FUNDAMENTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Transcripción

1 18 de Septiembre de 2017 FUNDAMENTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Ingenierí Industril Ingenierí Informátic Fcultd de Ingenierí Universidd Ctólic Andrés Bello Progrmción Linel José Luis Quintero 1

2 Puntos trtr 1. Modelos y reliddes 2. Modelo básico de PL 3. Suposiciones básics 4. El problem de PL Progrmción Linel José Luis Quintero 2

3 Modelos y reliddes Modelo Análisis Resultdos Mundo simbólico Juicio del tomdor de decisiones Mundo rel Relidd ser observd Intuición Decisiones Progrmción Linel José Luis Quintero 3

4 Puntos trtr 1. Modelos y reliddes 2. Modelo básico de PL 3. Suposiciones básics 4. El problem de PL Progrmción Linel José Luis Quintero 4

5 El modelo básico de PL Un problem de PL de mimizción se epres por: m z = f() s..: S donde: : Opción dd por ls vribles 1, 2,..., n f: Función objetivo S: Región fctible del espcio de opciones con ls vribles de decisión continus y siendo, tnto f() como ls restricciones que definen S, epresiones lineles de ess vribles. Se recuerd que un epresión Θ es linel en ls vribles si cumple Θ( 1, 2,..., n ) = α 1 1 +α α n n con los esclres α i constntes (i = 1, 2,..., n). Si lgun de ls vribles no es continu, o el objetivo o lgun restricción no es linel entonces el modelo no es linel. Progrmción Linel José Luis Quintero

6 El modelo básico de PL Si el problem de PL es de minimizción, puede epresrse por: min z = f() s..: S con l mism notción nterior. El objeto de un problem de PL es determinr un opción que rroje el mejor vlor del objetivo, es decir, determinr un solución óptim: Un solución óptim se crcteriz porque no eiste otr solución fctible que rroje un mejor vlor de l función objetivo. En síntesis, l PL trt el problem de optimizr un función objetivo linel en un región limitd por restricciones lineles. Progrmción Linel José Luis Quintero

7 Puntos trtr 1. Modelos y reliddes 2. Modelo básico de PL 3. Suposiciones básics 4. El problem de PL Progrmción Linel José Luis Quintero 7

8 Suposiciones del modelo de PL Pr utilizr l PL el modelo debe stisfcer: Proporcionlidd: L contribución de un vrible de decisión en tods ls relciones es proporcionl su vlor y el fctor de proporcionlidd es constnte. Por ejemplo, si en un problem de minimizción de costos se tienen costos vribles, es decir, el costo de lgun ctividd j es 2,75 si j 1000 y que ese costo cmbi 2,50 si j > 1000, entonces l proporcionlidd no se sostiene. Si en un problem ddo el objetivo o lgun restricción tiene epresiones distints según el rngo de ls vribles l proporcionlidd no se cumple. Es el cso si se tiene que z= cundo 1 5 y 2 15 y que z=2 1 cundo 1 > 5 y 2 >15. Progrmción Linel José Luis Quintero

9 Suposiciones del modelo de PL Aditividd: El vlor del objetivo y de culquier restricción, es igul l sum de los portes de ls vribles. L contribución de culquier vrible debe ser independiente de los vlores de ls otrs. Ello implic que el objetivo es seprble en un sum de funciones, cd un de ls cules es un epresión linel de un únic vrible, es decir: Divisibilidd: z = f( 1, 2,..., n ) = f 1 ( 1 ) + f 2 ( 2 ) f n ( n ) Ls vribles de decisión se pueden dividir en culquier nivel frccionl. Por ejemplo, si se dese un ptrón de embrque de cjs que minimice el costo no tiene sentido obtener 2.31 cjs. En csos como éste l divisibilidd no se sostiene y el modelo linel puede no corresponder l problem. Progrmción Linel José Luis Quintero

10 Suposiciones del modelo de PL Certidumbre: Cd prámetro que interviene en el problem se supone conocido con certez. Ls posibles vriciones de los coeficientes de ls vribles, tnto en l función objetivo como en ls restricciones, que pueden ocurrir en l relidd no son tomds en cuent por los métodos de resolución. Por ejemplo, si en un problem de presupuesto de cpitl donde se us el criterio del Vlor Presente, se sbe que el vlor de l ts de interés fluctú dentro de cierto rngo, es preciso fijr un vlor pr resolver el problem hciendo cso omiso de ess fluctuciones, por lo menos en primer instnci. Progrmción Linel José Luis Quintero

11 Suposiciones del modelo de PL L proporcionlidd, l ditividd y l certidumbre son consecuencis directs de l definición mism de linelidd, mientrs que l divisibilidd es consecuenci de l continuidd eigid ls vribles Si no se cumple lgunos de los supuestos de proporcionlidd, ditividd, divisibilidd o certidumbre, el modelo no es linel. En muchos csos estos supuestos no se cumplen en l relidd y sin embrgo, se formuln y resuelven problems eitosmente utilizndo l PL, con l interpretción del cso. Lo importnte es que l scr conclusiones del modelo, se teng clr concienci de l proimción que se reliz l violr lguno de los supuestos de bse. Progrmción Linel José Luis Quintero

12 Puntos trtr 1. Modelos y reliddes 2. Modelo básico de PL 3. Suposiciones básics 4. El problem de PL Progrmción Linel José Luis Quintero 12

13 El problem de l PL Un problem de PL es un problem de optimizción en el cul: Se busc optimizr (mimizr o minimizr) un función objetivo, l cul es un epresión linel de ls vribles de decisión. Ls opciones considerr stisfcen un conjunto de restricciones lineles, que conformn l región fctible del espcio de opciones. Cd restricción es un ecución o inecución linel. Cd vrible está sujet un restricción de signo determind. El objetivo de un problem de PL es determinr un solución óptim, l cul es un solución fctible donde el objetivo lcnz su mejor vlor. Progrmción Linel José Luis Quintero

14 El problem de l PL Se el problem: s..: 1,1 2,1. m,1 m z = c c cnn 1,2 2,2. m, ,n 2,n. m,n j n n n b b b 0 pr j=1,...n. 1 2 m donde: 1, 2,..., n son ls vribles de decisión z = c c c n n es l función objetivo Progrmción Linel José Luis Quintero

15 El problem de l PL Los c 1,c 2,...,c n son vlores constntes conocidos llmdos coeficientes de costo. Un c j (j=1,2,...,n) represent l vrición que eperiment el objetivo, por un cmbio unitrio en l vrible j. b 1, b 2,...,b m son constntes conocids que constituyen el vector de recursos y representn los requerimientos que deben ser stisfechos. Los i,j (i=1,2,...,m y j=1,2,...,n) son constntes conocids llmdos coeficientes tecnológicos. Un i,j represent l vrición que tiene el recurso b i por un vrición unitri de j. Ellos formn l mtriz tecnológic. L no negtividd j 0 (j=1,2,...,n) puede derivr del problem, pero siempre debe introducirse pr plicr el Simple. Progrmción Linel José Luis Quintero

16 El problem de l PL Un form equivlente del problem nterior es: s..: El cul se puede epresr mtricilmente por: min z = c T s..: A b 0 min n j= 1 z = n j= 1 c j j i,j j bi pr i = 1,2,...,m j 0 pr j = 1,2,...,n Progrmción Linel José Luis Quintero

17 El problem de l PL siendo: c T = (c 1,c 2,...,c n ) es un vector fil o vector de costos A es l mtriz tecnológic. es un vector column de ls vribles de decisión b es un vector column llmdo vector de recursos 1,1 2,1 m,1 1,2 2,2. m, ,n 2,n. m,n M 1 2 n b b M b 1 2 m Progrmción Linel José Luis Quintero

18 El problem de l PL A un solución óptim se le suele denotr por * y l vlor que en ell lcnz el objetivo se le denot por z *. L solución un problem de PL no consiste en dr el vlor de z*, sino, lo que es más importnte, dr el vector *, pues es él quien indic l form de lcnzr z*. Progrmción Linel José Luis Quintero

19 Pensmiento de hoy Nd es permnente eceptoelcmbio. Heráclito Progrmción Linel José Luis Quintero 19