Límite y Continuidad de Funciones

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1 CAPÍTULO 6 Límite Continuidd de Funciones 6.1. Límite de un función L noción de ite es l bse del cálculo. Decir que f) = L signific que es posible hcer que los vlores de f) sen tn cercnos l número L como se desee, hciendo que se proime lo suficiente. Propieddes de los ites Si f) g) eisten son igules L M respectivmente, si c es un constnte, entonces: 1. c = c, es decir, El ite de un función constnte es l mism constnte. 2. [f) ± g)] = f) ± g), es decir, El ite de l sum o diferenci de dos funciones es igul l sum o diferenci de los ites de mbs funciones. 3. cf) = cf), es decir, El ite de un constnte por un función es igul l constnte por el ite de dich función. 4. [f)g)] = f) g), es decir, 71

2 El ite del producto de dos funciones es igul l producto de los ites de mbs funciones. f) f) 5. g) = g), si g) 0 en ls cercnís de g) 0, es decir, El ite del cuociente de dos funciones es igul l cuociente de los ites de mbs funciones. 6. f) g) ) = f)) g)) 7. n f) = n f) si mbos ldos están bien definidos. 8. Si f es un función polinomil, entonces f) = f), es decir, Pr encontrr el ite de un polinomio cundo tiende, bst sustituir en dicho polinomio. Not: Como se comento, l propiedd 8 dice que se puede encontrr el ite de un función polinomil por simple sustitución de por. Sin embrgo, con otrs funciones l sustitución puede llevr fórmuls indeterminds, es decir que crecen de sentido, como por ejemplo, l form 0, ó l form 0 00, etc. En estos csos, l mnipulción lgebric, tles como: l fctorizción, l rcionlizción, etc., pueden dr como resultdos un form prtir de l que pueden determinrse los ites. Si f) tiende L cundo tiende por l derech se escribe: +f) = L. De mner similr, si f) tiende L cundo tiende por l izquierd, entonces se tiene f) = L. Los símbolos + que no representn un número, se utilizn pr describir ites. El símbolo represent l + l. El plntemiento f) = L signific que cundo ument indefinidmente sin cot + superior, los vlores de f) tienden l número L. Análogmente, f) = L signific que cundo tom vlores negtivos de vlor bsoluto mu grndes, f) se proim l número L. Decir que el ite de un función es + ó no signific que eist ese ite, es más bien un form de decir que el ite no eiste demás se dice por qué no eiste. Límites especiles 1. 0 sin = 1 1 cos = 0 ) = e Instituto de Mtemátic Físic 72 Universidd de Tlc

3 ) e 1 = 1 = e 6.2. Continuidd de Funciones Un función que no tiene interrupciones en su gráfic cundo es se dice que es continu en. Si no es sí, es discontinu en. Formlmente, f es continu en si sólo si se cumplen ls tres condiciones siguientes: 1. f) eiste 2. f) eiste 3. f) = f) Un función f es continu en un conjunto A si sólo si f es continu en cd punto de A. f Si f g son continus en un conjunto A, tmbién lo son: f ± g, fg, con g 0. g Si gt) es continu en t = f) es continu en b = g), entonces f g es continu en t =. Son funciones continus en R, los polinomios, ls funciones seno, coseno, l función eponencil. Ls funciones rcionles cuociente de dos polinomios) son continus en todo R slvo en quellos puntos donde el denomindor se nul, en tles puntos l función es discontinu. Ls funciones logrítmic, cosecnte, secnte, tngente cotngente son contínus en sus respectivos dominios de definición. Tipos de discontinuidd 1. Discontinuidd reprble en un punto =. Se d en el cso que los ites lterles en son igules, pero distintos de f). distintos f). 2. Discontinuidd irreprble en un punto =. Se d en los siguientes csos: Los ites lterles en son distintos Discontinuidd de slto). A lo menos uno de los ites lterles en no eiste Ejemplos 1. Se = f) = 3 1. Anlizr, usndo tbl de vlores, el comportmiento de f 1 cerc de = 1 mtemáticmente, ésto se dice: en un vecindd de = 1) Solución: Notr que 1 no pertenece l dominio de f. Pr nlizr el comportmiento de f cerc del 1, nos cercmos l 1 tnto por l izquierd como por l derech. Instituto de Mtemátic Físic 73 Universidd de Tlc

4 Por l izquierd, se tomn vlores cercnos 1 menores que él, l siguiente tbl es de utilidd: 0,6 0,8 0,9 0,99 0,999 1 f) Por l derech, se tomn vlores cercnos l 1 mores que él 1,4 1,2 1,1 1,01 1, f) Por lo tnto, cundo nos cercmos l 1 por l izquierd, f) se cerc cd vez más 3, lo mismo ocurre si nos cercmos por l derech l 1. Luego, se puede inferir que cundo se cerc 1, f) tiende 3. Observr que en este estudio no interes el comportmiento de l función en el punto, sino su lrededor, ésto es lgo que no se debe olvidr! 2. Clculr los siguientes ites: 3 ) Solución: Aplicndo ls propieddes de los ites, se obtiene: = = = b) Solución: Tnto el numerdor como el denomindor se nuln pr = 3, luego no se puede plicr el método del ejercicio nterior, el procedimiento consiste en fctorizr por 3) luego simplificr, es decir: c) Solución: Se tiene = 3) + 9) 3 3) + 1) = = 12 4 = ) = ) El ite del numerdor es 6 el del denomindor es 0, luego el ite pedido es. Instituto de Mtemátic Físic 74 Universidd de Tlc

5 d) 3+1 ) 3 3 Solución: Usndo ites especiles se tiene, ) = 3 3 = = e lim ) = ) = 3 3 = e 4/3 = 3 e ) 3 3 ) ) 3 3)/4 4/3 3) e) sin 10 ) 0 3 Solución: sin = 0 10 sin ) = sin = sin = 10 3 f ) sin ) 0 1 cos Solución: El numerdor el denomindor tienden 0 cundo tiende 0, luego el ite es de l form 0. L indeterminción se deshce de l siguiente mner: 0 ) sin 0 1 cos = 0 sin 1 + cos ) 1 cos )1 + cos ) = 0 = 0 sin 1 + cos ) sin 2 = cos ) sin sin 1 + cos ) 1 cos 2 = 3 g) Solución: El ite es de l form, luego simplificndo l frcción por 2, se obtiene: ) ) = 2 ) ) = 3 9 = 1 3 1, pues = 1 = Considerr ls gráfics de ls siguientes funciones: Instituto de Mtemátic Físic 75 Universidd de Tlc

6 L =f 1 ) L M =f 2 ) =f 3 ) A C B =f 4 ) L =f 5 ) A B =f 6 ) ) Cuáles de ls funciones precedentes son continus cuáles discontinus en =? Solución: Es continu en = sólo l función f 5, que no present cortes o sltos o interrupciones; ls restntes son discontinus en =. Instituto de Mtemátic Físic 76 Universidd de Tlc

7 b) Se firm que l función f 1 es discontinuidd reprble en =. Justificr lo nterior, e indicr como se repr. Solución: L función en cuestión tiene es crcterístic debido que f 1) = f 1) = f 1 ) = L + De ls tres condiciones necesris pr l continuidd fll l primer, es decir, f) no eiste. L reprción se hce redefiniendo f 1 de l mner siguiente: f 1 ) = L f 1 ) igul que ntes pr. Se sugiere, determinr el tipo de discontinuidd pr ls restntes funciones. 4. Considerr f) = Es continu en = 1? Cómo se podrí reprr l función pr que se continu en todo punto? Solución: Se tiene que f) es discontinu en = 1 pues no eiste f 1). Fll l condición 1 de l definición de continuidd en un punto. El ite 3 +1 es de l form 0 epresión indetermind). Fctorizndo el numerdor luego simplificndo se obtiene: = + 1) 2 + 1) = ) = 1) 2 1) + 1 = 3 f es discontinu reprble en = 1. Luego, definiendo f 1) = 3, l función será continu en todo número rel. L función redefinid quedrí: { 3 +1 si 1 f) = +1 3 si = 1 5. Estudir l continuidd de f) = 1 1+ Solución: Un form equivlente pr l ecución que define f es: f) = { 1 1+ si si < 0 Como 1 + ) no se nul pr 0 1 ) no se nul pr < 0, l función es continu en todo R. 6. Estudir l continuidd de f) = 2 1 en R Solución: f es un función rcionl. El numerdor el denomindor son funciones polinómics, luego continus. Los únicos puntos de discontinuidd posibles son quellos en que se nul el denomindor. Como, = 1) ) Instituto de Mtemátic Físic 77 Universidd de Tlc

8 se tiene que el denomindor se nul pr = 1 el fctor no tiene ríces reles). En consecuenci, el único punto de discontinuidd es el 1, que no eiste f1). Pr ver si l discontinuidd es reprble o no en = 1, se nliz el ite = + 1) 1) ) 1) = = 1 5 Como el ite eiste se trt de un discontinuidd reprble Ejercicios 1. Anlizr el comportmiento de l función f cerc de = 2. Cundo se cerc l 2 por l izquierd, hci dónde se cercn ls imágenes?. Idem por l derech. Qué se puede concluir? { 1, si < 2 f) = 2 + 2, si 2 2. Completr l siguiente tbl de vlores e inferir el vlor de los ites indicdos: f) = ; 4 f); f); 4 + f) f) 3. Usndo un tbl de vlores clculr proimdmente: ) 3 b) ) 1/2 +1 c) Usndo ites especiles clculr: sin 2 ) 0 sin 3 d) 1 cos b) h)2 h 0 h c) 0 sin 2 +sin ) e) sin 2 ) 1+ tn sin f) Encontrr los siguientes ites: ) ) 8 e) b) c) f) +2 2 g) d) h) i) 0 4 j) k) l) Instituto de Mtemátic Físic 78 Universidd de Tlc

9 6. Considerr l función g definid por: { g) = ) si 3 si = 3 Determinr de modo que g se continu en = Considerr l función f definid por: + 1 si < 2 f) = 2 si = si > 2 ) Hllr 2 f) b) Hllr f) 2 + c) Eiste f)? 2 8. Trzr l gráfic de un función = f) definid en R que cumpl simultánemente cd un de ls siguientes condiciones: ) f) = 0 b) f) = + 2 c) +f) = 2 d) 0 f) = 0 e) f) = f) 3 +f) = 2 9. Sen f) = g) = Clculr: f+h) f) ) h 0 h g+k) g) b) k 0 k 10. L siguiente función podrí describir el inventrio,, de un compñí en el tiempo si [0, 5[ = f) = si [5, 10[ si [10, 15[ Determinr si f es continu en = 5 en = Anlizr l discontinuidd de ls siguientes funciones, en cso de ser discontinu redefinirl pr que lo se cundo se posible). Comprobr gráficmente. + 6 si < si 1 ) f) = 2 si > 3 b) f) = 8 3 si 1 < < 2 1 si = si 2 c) f) = { 3 3 si 3 0 si = 3 d) f) = { 5 4 si 4 1 si 1 = 4 Instituto de Mtemátic Físic 79 Universidd de Tlc

10 12. Considerr ls siguientes funciones: f) = { si < 0 1 si 0 g) = { 1 si < 0 si 0 ) Trzr l gráfic de f l de g. b) Mostrr que mbs son discontinu en 0. Justificr. c) Mostrr que l función producto fg) es continu en L siguiente tbl muestr el número de uniddes que los consumidores demndrín de un producto específico cd semn diversos precios. precio / unidd, p cntidd por semn, q Describir est situción, en form gráfic digrm crtesino), medinte un función continu estrictmente decreciente. A prtir de est gráfic, estimr l demnd que hbrí pr un precio de $ Respuest los ejercicios de número impr 1) f) = 1, 2 f) = 6. Se puede concluir que f) no eiste ) ) 3 c) + 5) ) 7 c) e) 3 2 g) 0 i) no eiste k) + 7) ) 3 b) 7 c) no eiste ites lterles distintos) 9) ) 6 b) 4 3 ) 2 11) ) Discontinu reprble en = 3. Nuev definición pr f es + 6 si < 3 f) = 2 si > 3 9 si = ) c) Discontinu irreprble en = 3, que 3 3 son 1 1). no eiste los ites lterles 13) Aproimdmente l demnd es de 33 uniddes. Instituto de Mtemátic Físic 80 Universidd de Tlc