MATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS

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1 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS LOGARITMOS Unidd 4

2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS. ÍNDICE. Introducción. Potencis funciones eponenciles. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO En est unidd, nuestro objetivo básico es el estudio de los ritmos, unque pr ello comenzremos recordndo ls propieddes básics de ls potencis de ls funciones eponenciles. Seguidmente introduciremos l función rítmic como l función invers de l función eponencil. A continución introducimos ls propieddes básics de los ritmos el cmbio de bse. Finlmente, veremos lgunos ejemplos de cómo se resuelven ecuciones rítmics eponenciles.. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer l definición de l función rítmic Estudir sus propieddes crcterístics 4. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS. Introducción L espernz de vid, ún en los píses poco desrrolldos, creció después de l Segund Guerr Mundil unque distinto ritmo. Este crecimiento, si bien l principio trjo mor ctividd progreso, l lrg h producido grves problems: flt de viviends, escuels, puestos de trbjo... El umento de l poblción por l prolongción de l vid se h visto compensdo en prte por el descenso de l ntlidd en los píses industrilizdos. De todos modos, h precido el problem del envejecimiento de l poblción (es decir el umento de l edd promedio). Unidd 4

3 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Anlizremos hor lgún modelo mtemático que trt de describir l evolución de un poblción. En Europ occidentl, durnte los siglos XVII XVIII, comenzó descender el índice de mortlidd, el incremento poblcionl en muchos píses se situó entre 0.5 % nul. Pr evitr complicciones con los cálculos considerremos que el crecimiento poblcionl fue del % nul durnte los primeros 0 ños de este siglo. Supongmos que l cntidd de poblción europe l comienzo del siglo XVII (ño.600 ) se 0 (en cientos de millones). L función P(t) medirá l cntidd de poblción en el tiempo t. Como comenzremos nuestro estudio prtir del ño.600 este será el tiempo inicil, es decir, t = 0. Podemos hllr un fórmul que nos permit clculr l poblción pr culquier Vlor de t?.pr ello nlizremos lo que hemos hecho hst el momento en cd pso: en t = 0, P (0) = 0 en t =, P () = 0 + 0,0.0 = 0 ( + 0,0) = 0.,0 = P (0).,0 en t =, P () = P () + 0,0. P () = 0.,0 + 0,0. 0.,0 = 0.,0 ( + 0,0) = 0.,0.,0 = 0 (.0) Podrás relizr el cso t =? (Ten en cuent los psos hechos en los csos t = t =) En generl, l poblción después de t períodos será: P (t ) = 0 (.0) t donde 0 es l poblción inicil P (0). Verifiquemos que l fórmul obtenid nos d, por ejemplo pr t =, P () = 0.,0 = 0,0 que coincide con el vlor de l tbl. Si queremos estimr l poblción en el ño 60, será P (0) = 0.,00 = 046. Observemos que en l fórmul P (t ) = 0 (,0) t, el fctor 0 es l poblción inicil l vrible t figur en el eponente. A este tipo de funciones se ls llm eponenciles. Por otr prte, supongmos que un determindo bien mteril que ho cuest 50 euros se devlú con el uso, cd ño, un 4% de su vlor durnte el ño nterior. Por ejemplo: En t = 0 (inicio) el vlor en 0 V(0) = 50 En t = ( ño después ) V() = 50 4% de 50 = 44 En t = ( ños después) V() = 44 4% de 44 = 8,4 En t =... En generl, un fórmul que represent est situción, puede obtenerse como en el ejemplo nterior V(t) = 50. (096) t Unidd 4

4 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Supongmos hor, que queremos sber después de cuántos ños de uso el vlor del bien se redujo proimdmente 9 euros. Pr esto necesitmos resolver l siguiente ecución 9 = 50 (0,96) t Cómo despejr t de est fórmul?.observemos que el vlor de t que estmos buscndo 9 es tl que elevndo el número 0,96 ese vlor d por resultdo. 50 Es decir, nuestr pregunt es: cómo podemos resolver ecuciones del tipo 0 = k?, ó en generl = k?. Podemos hcerlo si conocemos l función invers de = 0, es decir, l función rítmic.. Potencis funciones eponenciles.. Potencis potencis de eponente nturl potencis de eponente nulo potenci de eponente negtivo potenci de eponente frccionrio.. Propieddes básics de ls potencis Ejemplos:.. Función eponencil Unidd 4 4

5 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS El comportmiento de l función eponencil es mu distinto según se >, <, =. Ejemplo: Anlicemos l gráfic de l función eponencil de cuerdo l vlor de. ) Si >, por ejemplo =, l función = es creciente. Observemos que culquier se el vlor de > 0, l gráfic de l función eponencil debe psr por el punto (0,), que es el vlor de l ordend l origen; es decir el vlor que tom l función pr = 0. Por otro ldo, es clro que medid que el vlor de ument, el vlor de tmbién, si el vlor de decrece (con vlores negtivos) entonces el vlor de tiende 0. b) Si 0 < <, por ejemplo l función es decreciente. L siguiente tbl de vlores nos permite hcer un estudio comprtivo de ls funciones = e Unidd 4 5

6 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Como hemos comentdo en l introducción, l función eponencil prece con frecuenci en modelos mtemáticos de diferentes procesos evolutivos. Por ejemplo, ls mebs son seres unicelulres que se reproducen dividiéndose en dos. Supongmos que ls condiciones de un cultivo son tles que ls mebs se duplicn proimdmente cd hor, que inicilmente solo h un meb. Proponemos clculr el número de mebs que hbrá según psn ls hors: Observemos que si en el momento inicil h k mebs, en l primer hor se duplicn, entonces hor h k. En l segund hor se vuelven duplicr, es decir, (k) = k, en l tercer hor se repite l situción tenemos ( k) = k, etc. Luego en generl se tiene k. Es decir, si l comienzo del proceso hbí k mebs, el número totl l cbo de hors será = k.4. Ecuciones eponenciles Ejemplos: Unidd 4 6

7 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 4. Función rítmic ritmos 4.. Función rítmic Nuestr pregunt es: cómo podemos resolver ecuciones del tipo 0 = k?, l respuest es conociendo l función invers de =0. Ahor, podemos decir que, si 0 = k entonces = k es decir, el ritmo de un número en bse 0 es el eponente l que h que elevr l bse 0 pr obtener dicho número. Ejemplo: Si 0 = 00 entonces = 0 00 = pues 0 = 00 Si = entonces 0 = = /00 entonces = = - pues 0 - = Generlizndo: Se > 0, e > 0, llmremos ritmo en bse de l único número que verific =. Es decir, = = Ejemplos: Unidd 4 7

8 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Interpretción de l definición de ritmo: ) 7 = 8 por tnto 8 = 7 b) 8 / = por tnto 8 = / Clculmos ) 6 6= = 6 = 4 = 4 b) = = = = 5 Resolvemos un ecución 4.. Propieddes de los ritmos 0 - = = 0 - = 0 0,477 luego - 0,477 0 El ritmo de un producto es igul l sum de los ritmos de los fctores Log (. ) = + Ejemplo (4.8) = = = + = 5 El ritmo de un potenci es igul l eponente por el ritmo de l bse Log ( ) =. Ejemplo 4 = 64 = 6 pues 6 = 64 4=. = 6 A prtir de ls dos propieddes nteriores podemos deducir ls dos propieddes siguientes: El ritmo de un cociente es igul l ritmo del numerdor menos el ritmo del denomindor. Observr que Unidd 4 8

9 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Ejemplo 8/9 = 9 = por otro ldo 8-9 = 4 =. El ritmo de un ríz es igul l ritmo del rdicndo dividido por el índice de l ríz. Observr que Ejemplo 4 por otro ldo ( 4) Cmbio de bse Ls clculdors científics permiten solmente obtener ritmos decimles neperinos. Los ritmos decimles son los ritmos de bse 0, se costumbr denotr 0 = omitiendo l bse. El ritmo neperino o nturl es el ritmo cu bse es el número e,78 se denot e = ln. Si queremos clculr ritmos en otr bse, es conveniente relizr cmbios de bse. Si, por ejemplo, tuviérmos que clculr : Lo primero que hcemos es llmr por tnto, tomndo ritmos en mbos ldos de l últim iguldd tenemos de donde tenemos que. En generl tenemos que: b de donde tenemos que b b b Unidd 4 9

10 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 5. Ecuciones eponenciles rítmics Unidd 4 0

11 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Unidd 4

12 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 5. RESUMEN Potencis Definición de ritmo Se > 0, e > 0, llmremos ritmo en bse de l único número que verific =. Es decir, = = Propieddes de los ritmos o 0 o (. ) = + o ( ) =. Unidd 4

13 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS o ( ) =. o o Cmbio de bse b b 6. ACTIVIDADES. Clculr:. Mostrr con un ejemplo que en generl. Resolver plicndo l definición de ritmo 4. Sbiendo que 5. clculr, plicndo ls propieddes de los ritmos 5. Clculr relizndo cmbio de bse 7. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN. Sbiendo que =0.000 = 0.477, clculr: Unidd 4

14 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 6. 8 b. c d. e. 0.0 f. 4. Clculr, utilizndo l clculdor, con ritmos decimles:. 5 b. 0 c Clculr, utilizndo l clculdor, con ritmos neperinos. 7 b. 6 c SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN b c..477 d e f b c b.,7546 c..599 () Hllr el ritmo en bse de 8 (sol: 4) MAS EJERCICIOS Que vlor debe tener pr que se igul 8? = 8 Si te fijs, 8 = 4 ; 4 = luego = 4 M Otr form de hcerlo es por medio del cmbio de bse: M, que los ritmos decimles si que slen en l clculdor 8, ,47 ().- Hllr el ritmo en bse 8 de 6 = 8 6 (sol:4/) L bse, que es 8, elevd debe de dr 6. En vez de 8 podemos poner en vez de 6 podemos poner 4 8 = 6; = 4 ; pr que se cumpl est iguldd = 4 luego = 4 =, Cmbindo de bse, pr poder hcerlo en l clculdor , 0,9. 4 Unidd 4 4

15 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS ().- Hllr el ritmo en bse 8 de = 8 (sol: 5/) L bse, que es 8, elevd debe de dr. En vez de 8 podemos poner en vez de podemos poner 5 8 = ; = 5 ; pr que se cumpl est iguldd = 5 luego = 5 =,66 Por cmbio de bse 8 8,5 0,9,66 5 (4).- Hllr el vlor de en l epresión = (0 4 0 ) es el ritmo de un producto según el primer párrfo de l págin, es igul l sum de los ritmos de los fctores = (0 4 0 ) = (0 4 )+ (0 ) el primer ritmo es 4 que = (0 4 ); 0 = 0 4 ; = 4 Por l mism rzón, el segundo ritmo es igul = (0 4 0 ) = (0 4 )+ (0 ) = 4 + = 6 (5).- Hllr el ritmo en bse 4 de 8 = 4 8 (sol: /) L bse, que es 4, elevd debe de dr 8. En vez de 4 podemos poner en vez de 8 podemos poner 4 = 8; = ; pr que se cumpl est iguldd = luego = Por cmbio de bse ,9 0,6,5 (6).- Hllr el ritmo en bse de 4 = 4 (sol: ) L bse, que es, elevd debe de dr 4. En vez de podemos poner en vez de 4 podemos poner = 4; = ; pr que se cumpl est iguldd = luego = Por cmbio de bse 4 4 0,6 0, (7).- Hllr el ritmo en bse 0 de 0 4 = 0 4 (sol: 4) Unidd 4 5

16 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS L bse, que es 0, elevd debe de dr = 0 4 ; 0 = 0 4 ; pr que se cumpl est iguldd = 4 luego = 4 (8).- Hllr el ritmo en bse 7 de 8 = 7 8 (sol:4/) L bse, que es 7, elevd debe de dr 8. En vez de 7 podemos poner en vez de 8 podemos poner 4 7 = 8; = 4 ; pr que se cumpl est iguldd = 4 luego = 4/=, Por cmbio de bse ,90,4, (9).- Hllr el ritmo en bse del producto de por 8 = ( 8) (sol:8) el ritmo de un producto es igul l sum de los ritmos de los fctores = ( 8) = + 8 = ; = ; = 5 = ; luego = 5 8 = ; 8 = ; 8 = = ; luego = = ( 8) = + 8 = 5 + = 8 Por cmbio de bse ( 8) ( 8) 8,5 0,9 8 0, (0).- A quién es igul el ritmo (m n)? (sol: m + n) Es el ritmo de un producto, luego por l definición es igul l sum de los ritmos de los fctores (m n) = m + n ().- Epres en función de un solo ritmo: c + d (sol: (c d)) Sbemos que el ritmo de un producto es un sum de ritmos de los fctores. En este cso es el contrrio, lo que nos dn es l sum de dos ritmos, luego el resultdo será el ritmo de un multiplicción c + d = (c d) Unidd 4 6

17 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS ().- Desrroll el ritmo 6 = ( 6) = ().- Desrroll el ritmo (sol: 4+ - ) Es el ritmo de un cociente que es igul l diferenci de los ritmos del numerdor denomindor 4 = (4) El primer término es el ritmo de un producto que podemos desrrollr 4 = (4) = 4 + (4).- Hllr el vlor del ritmo de 0 4 (sol: 4) = = 4 = 4 (5).- Hllr el vlor del ritmo de 0, (sol: -) , = 0 0 sbemos que 0 0 he puesto 0 0 porque culquier número elevdo cero es igul l unidd l unidd es igul culquier número elevdo cero. Lo que nos d es un cociente de potencis, que es igul l bse elevd l diferenci de eponentes 0, = 0 - = - 0 = - (6).- Hllr el vlor del ritmo de 0,0 (sol: -)lo mismo que en el problem nterior, 0 0,0 = ,0 = = = - = - (7).- Hllr el vlor del ritmo de (sol: z) 4 z Unidd 4 7

18 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS el ritmo que nos hn ddo podemos colocrlo como z 4 = z z z Esto es el ritmo de un producto que es igul l sum de los ritmos de los fctores 4 z = z - = 4 + z (8).- Desrroll el siguiente ritmo m n p (sol: m + n p) es el ritmo de un cociente de un producto (m n) p = m + n p c d (9).- Desrroll el siguiente ritmo m n (sol: c + d m n) Igul que en el cso nterior, es el ritmo de un cociente de un multiplicción, demás de ser uns potencis c d m n = (c d ) (m n) = c + d m n = c + d m n (0).- Desrroll el siguiente ritmo (sol: - - ) es el ritmo de un cociente un potenci. H que tener en cuent que el ritmo de es cero, que l bse del ritmo elevd cero es igul : 0 0 = = ( ) = 0 = - ().- Desrroll el siguiente ritmo 4 ( ) (sol: ( ) ) 4 sbemos que un ríz l podemos poner como l invers de un potenci 4 ( ) = ( 4 4 ) ( ) = ( ) 4 el ritmo de un sum no lo podemos relizr por lo que l solución qued como está en l prte superior ().- Desrroll el siguiente ritmo (sol:/ b+ c ) b c Unidd 4 8

19 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS Lo primero que hremos es hcer el cociente de los ritmos como diferenci b c = b c Colocmos ls potencis como productos b c = b c = b c (b c ) = b c = = b c = b c ().- Desrroll el ritmo de (sol: ( b c) ) b c lo primero que nos encontrmos es ritmo de un cociente b c = b c A continución podemos colocr l ríz como l invers de un potenci b c = b c = ( b c) = ( b c) l primer prte es el ritmo de un producto que es l sum de los ritmos de los fctores ( b c) = ( b c) = ( b c) Unidd 4 9

20 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS 9. BIBLIOGRAFÍA Emilio Bujlnce otros. Mtemátics especiles. Editoril Snz Torres (998). ª Edición Mrí E. Bllvé otros. Problems de mtemátics especiles. Editoril Snz Torres (996). ª Edición. José T. Pérez Romero José A. Jrmillo Sánchez. Mtemátics. Pruebs de cceso l universidd pr mores de 5 ños. Editoril MAD. (00). Unidd 4 0