TEMA 7: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

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1 TEMA 7: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. POTENCIAS L epresión n se llm potenci de bse y eponente n: Si n es un número nturl: n =, n veces. 0 =, = n m n n m = y = n Ejercicios: º) Clcul: 5 5 b) ) 5 c) d) 4 5 º) Rzon cuáles de ls siguientes igulddes son verdders: 4 4 ) = 0,75 b) = c) 6 9 = d) º) Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo ls propieddes de ls potencis:. = = 8 + = = 7. = 0,5 [-/] = 4. + = 9. = = 0. 4 = = = = 6. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL En un cultivo de bcteris un ejemplr se divide en dos individuos proimdmente cd dí. Si queremos verigur l poblción l cbo de dos dís, o después de un mes, tendremos que 0 9 clculr: = 4 individuos l cbo de dos dís, =,077 0 individuos l cbo de un mes. L relción entre el nº de individuos y los dís trnscurridos es un función dd por un potenci de bse. n Conocemos ls funciones del tipo f() = llmds funciones potenciles porque l vrible independiente está fectd por un potenci. Tmbién podemos intentr definir funciones en ls que l vrible independiente esté en el eponente, como. L función que sign l vrible independiente el vlor f ( ) = se llm función eponencil de bse, con >0 y. Así, por ejemplo, ls funciones f ( ) = 4 y f ( ) = 0, son funciones eponenciles de bse 4 y de bse 0,, respectivmente. / IBR IES LA NÍA

2 NOTA: L bse,, debe ser positiv (>0), y que si es negtiv, puede no eistir ejemplo El número e: ( ) = R en R ; por El número e es uno de los números irrcionles de myor relevnci en mtemátics. Su vlor es e =, y se define como el límite de + (*) cundo n. Aprece en n multitud de fenómenos nturles (cpitl cumuldo un interés continuo nul, evolución de ls poblciones, desintegrción rdictiv,..) y en estdístic. Utiliz l clculdor y construye un tbl con vlores muy grndes de, clculndo el vlor de (*) y observ que se proim cd vez más l vlor de e. n Ejercicios: 4º) Represent f ( ) = y g( ) = cundo + y cundo. y nliz dominio, recorrido, continuidd y los límites 5º) Utilizndo l clculdor (que permite obtener e ) represent l función eponencil f ( ) = e Estudi los mismos prtdos que en el ejercicio nterior.. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Observ l gráfic de ls siguientes funciones eponenciles: Vemos que ls gráfics de ls funciones eponenciles presentn crcterístics similres. Ls clsificmos en dos grupos, según que l bse se myor o menor que : / IBR IES LA NÍA

3 Si > l: Si 0< <l El dominio es tod l rect rel: Dom( f ) + El recorrido es el conjunto de los números reles positivos: Re c( f ) = R = ] 0, + [ f (0) = y que = R 0 =, es decir, l gráfic siempre psrá por el punto (0,). L función eponencil es continu. L función eponencil no tiene etremos reltivos ni bsolutos. L función es creciente L función es decreciente lim + = +, lim = 0 lim = 0, lim + = + Asíntot horizontl : Eje X (por l izquierd) Asíntot horizontl : Eje X (por l derech) Ejercicios: 6º) Rzon, sin hcer l gráfic, si ls siguientes funciones son crecientes o decrecientes: f()=(,), g()=(/), h()=0,8, i()=( ), j()= - 7º) L poblción de un grnj vícol crece de individuos en un mes. Suponiendo que sigue un ley de crecimiento eponencil, hll: ) Un epresión de l poblción dependiendo del tiempo en meses. b) Qué poblción hbrá en es grnj l cbo de un ño? 8º) Ls mebs son seres unicelulres que se reproducen por biprtición. Un biólogo estudi l evolución de un ciert poblción de mebs y comprueb que su número se dobl todos los dís. ) D un epresión del nº de mebs N en función del tiempo t si prtimos de un meb. Cuál será l epresión si prtimos de 00 mebs? b) Determin el nº de mebs los dís, 5 dís y 5 dís, tnto si empezmos con un como si empezmos con 00. c) Cuánts mebs hbí un dí ntes? y dos dís ntes? y tres dís? d) En qué instnte hbrá 7 millones de mebs? / IBR IES LA NÍA

4 4. LOGARITMOS Si queremos obtener el vlor de en ls epresiones: = 4, =, observmos que en el primer cso es relmente sencillo, mientrs que en el segundo es mucho más complicdo, como en el último prtdo del ejercicio nterior. Podrímos hcerlo si conociérmos l función invers de f()=. El problem que se pretende resolver con l introducción de los logritmos es el del cálculo del eponente l que se debe elevr un n o pr obtener otro. Llmremos logritmo en bse del n b, y lo representremos como log b, c otro número c que cumpl = b, es decir, c es el n o l que se debe elevr l bse () pr obtener el número b: log b = c c =b Ejemplos: log 9, se lee logritmo en bse de 9, y es el número l que hy que elevr pr que dé 9, es decir,, porque = 9 log 45, no se especific l bse del logritmo cundo es 0 y el logritmo se llm deciml; se lee logritmo deciml de 45, es decir, el n o l que hy que elevr 0 pr que dé 45. Aunque nosotros no sbemos su resultdo, lo podemos obtener con l clculdor. loge 67, logritmo en bse e de 67, el n o l que se debe elevr el n o e pr obtener 67. En este cso prticulr, cundo l bse es el n o e, el logritmo se llm neperino, y se suele representr con ls letrs: ln o L, en lugr de log e. Es el logritmo más importnte en mtemátics. Tmbién se pueden obtener directmente con l clculdor. El log 8 = porque = 8 Ejercicio: 9º) Aplic l definición de logritmo y clcul: ) log00 b) log4 4 c) log d) log e) log0.000 f) log 0' g) log 5 5 h) log 8 i) ln e j) log k) log 4 l) log 6 m) 7 log0 n) log7 7 o) log p) log ( ) q) log 8 r) 4 log 9 s) ln e 4 t) log 5 5 log 5 u) 5 4/ IBR IES LA NÍA

5 0º) Epres en form logrítmic ls siguientes relciones: 0,477 = 0 º) Hll en ls siguientes epresiones: ) log = b) log 6 = c) log5 = d) log = e) log5 = 4 f) log4 8 = g) log 5 = h) log = 4 = 4, i) log 6 = 0 = 7, 4 8 = 4, j) log 0,6 = log 0, = k) l) log = 7 log 7 49 = log = m) n) log 5 o) = log (log ) = 5. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. log =, porque. log 0 =, porque = 0 =. log (. y) = log + log y, el logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de sus fctores. 4. log = log log y, el logritmo de un cociente es igul l logritmo del dividendo y menos el logritmo del divisor. m 5. log ( ) = m log, el logritmo de un potenci es igul l producto del eponente por el logritmo de l bse. Ejercicios: º) Usndo que log=0,477, clcul el log de: 0; 00; 000; 0, ; 0,0 ; 0,00 ; 7; ; 9 ; 6. FUNCIÓN LOGARÍTMICA L función que sign l vrible independiente el vlor f ( ) = log se llm función logrítmic de bse, con >0 y. 5/ IBR IES LA NÍA

6 Si representmos ls funciones : f ( ) = log y f ( ) = log. El comportmiento de est fmili de funciones (según los distintos vlores de l bse ) será muy precido. Si recordmos demás que ls funciones eponenciles son distints según que l bse se myor o menor que, prece lógico esperr que ocurr otro tnto con ls funciones logrítmics. Así pues, estudiremos ls propieddes comunes tods ls funciones logrítmics y, después, ls diferencis según que l bse se myor o menor que. Propieddes:. L función logrítmic de bse es l función invers de l función eponencil de bse. (sus gráfics son simétrics respecto de l bisectriz del primer y tercer cudrnte) ] 0, [ ] 0, [ R + log + R y = log = y. Dominio: ] 0,+ [ y que debe coincidir con el recorrido de l función eponencil. En consecuenci, no eisten los logritmos de números negtivos ni de cero.. Recorrido: R, coincide con el dominio de l función eponencil. 4. Continuidd: l función logrítmic es continu en todo su dominio ] 0,+ [ 5. L función logrítmic no tiene etremos reltivos ni bsolutos. 6. Tods ls gráfics psn por el punto (,0), y que log = 0. Cundo > : Cundo 0 < < : 7. L función es creciente L función es decreciente 6/ IBR IES LA NÍA

7 8. Signo: si 0 < < log < 0 si > log > 0 Signo: si 0 < < log > 0 si > log < 0 lim log 0 + lim log + = = + 9. Asíntot verticl: eje Y, =0 lim log 0 + lim log + = + = Ejercicios: º) Clcul el dominio de ls siguientes funciones: ) f ( ) = log 4(5 ) b) f ( ) = ln(4 + ) e) g ( ) = log c) 4 f ( ) = log 4 f) g ( ) = ln d) f ( ) = ln log( + 5) 4 g) f ( ) = º) Hll el dominio, el recorrido y l función invers de ls siguientes funciones: ) f ( ) = log ( + ) b) f ( ) = log ( ) c) f ( ) = + d) f ( ) = 5º) Resuelve ls siguientes ecuciones: + 6 ) 4 = 8 ) 8 = 6 ) (4 ) = 4) 5) 4 5 = e.. = [-5/] 6) 5 + =4 7) = 8 8) = 5 9) log 5 = 0) log 4( + 8) = 6º) Durnte cierto período de tiempo l demnd de cfé de un poblción qued justd l 0' t función: D(t) = 600 e, donde t indic el número de meses, y D l cntidd de kilos de cfé vendidos. Qué tipo de función es? L demnd de cfé está umentndo o disminuyendo? Cuál er l demnd hce medio ño? Cuál es l demnd ctul?. Cuándo se reducirá ést l mitd? En lgún momento l vent de cfé fue doble que l de hor? 7º) Hcemos un imposición de en un entidd bncri l 6% nul de interés compuesto. Qué tipo de función me d el cpitl l cbo de n ños? Qué cpitl tendré l cbo de 5 ños? Cuánto tiempo tiene que psr pr obtener uns gnncis de.000? 7/ IBR IES LA NÍA

8 8º) Se estim que l poblción mundil ument un,8% nulmente. En enero de 005 l poblción er de 4800 millones. ) Cuál es l función eponencil que permite obtener l poblción en función del ño? b) Admitiendo que est ts es de vrición constnte (lo cul no es cierto), cuál será l poblción mundil en el ño 05? [577,45 millones] c) A prtir de qué ño se puede estimr que, en ests condiciones, sobrepsrá mills? 9º) Un plg de insectos tiene un función de crecimiento: I ( t) = I 0 e donde I 0 es l cntidd inicil de insectos, t tiempo en dís y K es un constnte. Si l cbo de 6 dís hy 0000 insectos y el vlor K=0, ) Cuántos hbí inicilmente? b) Qué cntidd de insectos hbrá l cbo de 0 dís? c) Cuándo hbrá proimdmente ? 0º) Cuánto tiempo se trdrá en devolver un hipotec de l,6% si l cuot mensul es fij e igul 00? Cuántos interese pgmos en totl? [8686] Durnte cuántos ños n D r ( + r) pgmos l hipotec? A = n ( + r) º) Un entidd bncri ofrece un interés compuesto nul del 4% pr los depósitos iniciles ingresdos l brir un nuev cuent. Cuántos ños h de estr depositd un cntidd pr que se duplique? K t 7. MEDIDA DE ÁNGULOS Pr medir los ángulos y los rcos de circunferenci se usn dos sistems de medid:. Sistem Segesiml: Se tom como unidd fundmentl el ángulo recto. Un ángulo recto se divide en 90 prtes llmds grdos segesimles ( º ). Un grdo segesiml tiene 60 minutos( ) y cd minuto tiene 60 segundos ( ). ángulo recto= 90º º=60 =60. Sistem Circulr o Interncionl: En el sistem circulr l unidd de medid es el rdián y no tiene subuniddes. Su brevitur es rd. Se dice que un ángulo mide un rdián cundo l longitud del rco que brc es igul l rdio. 8/ IBR IES LA NÍA

9 Si un ángulo de rdián corresponde un rco de longitud r, rdines corresponde un rco de longitud r, por tnto, como l longitud de tod l circunferenci de rdio r es πr, este rco corresponderá un ángulo de π rdines. Un circunferenci, cuy medid en grdos es 60º, tiene un totl de π rdines: Cuántos rcos de longitud r podemos colocr sobre un circunferenci de rdio r? L longitud r cbe π veces. 60º = π rd 80º = π rd π 90º = rd Ejercicio: º) Complet l tbl en tu cuderno: Ángulo en 0º 45º 60º 90º 5º 00º 5º 40º grdos Ángulo en π rdines 6 4π 9 5π 6 π 8. ÁNGULOS ORIENTADOS A prtir de hor considerremos los ángulos como giros, y no como regiones del plno limitds por dos semirrects. Así, un ángulo puede dr lugr cutro ángulos distintos según el ldo que se tome como origen y el sentido del giro: Si el sentido del giro es contrrio l de ls gujs del reloj, el ángulo es positivo. Si el sentido del giro coincide con el de ls gujs del reloj, el ángulo es negtivo. Pr representr un ángulo orientdo utilizremos un sistem de coordends crtesins, hciendo coincidir el ldo origen con el semieje OX. L posición del ldo etremo nos dirá qué cudrnte pertenece el ángulo. Por ejemplo, el ángulo de 50º pertenece l segundo cudrnte. Al considerr los ángulos como giros, tiene sentido hblr de ángulos myores de 60º Consideremos, por ejemplo, un ángulo 90º. Pr girr 90º hemos de girr un vuelt complet (60º) y 0º más. Por tnto, l posición finl y l representción de un ángulo de 90º coincide con l del ángulo de 0º, unque el giro es otro diferente. Decimos que 0º es el resultdo de reducir l primer giro el ángulo de 90º. 9/ IBR IES LA NÍA

10 Ejercicio: º) Indic qué cudrnte pertenecen los siguientes ángulos: ) 85º g) 50º b) -05º h) -00º c) 60º i) 85º d) 40º j) 560º e) 00º k) -400º f) -50º 9. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA En un sistem de ejes crtesinos se consider un circunferenci con centro situdo en el origen de coordends y de rdio r. Dibujmos el ángulo α, que cort dich circunferenci en el punto P(,y). Ls rzones trigonométrics de α son seno, coseno y tngente: y sen α =, r cos α =, r tg α = y Observ que, si el ángulo está en otro cudrnte que no se el primero, sus rzones trigonométrics pueden ser positivs o negtivs. Ls tecls sin, cos y tn de l clculdor científic permiten clculr ls rzones trigonométrics principles. Us el modo DEG o D pr trbjr con grdos segesimles y RAD o R pr trbjr en rdines. Tmbién podemos usr l clculdor pr el resultdo contrrio, es decir, conocido el vlor del seno, coseno o tngente de un ángulo, podemos verigur el vlor del ángulo utilizndo l función invers de l tecl correspondiente. Ejercicio: 4º) Indic los signos de ls tres rzones trigonométrics en cd uno de los cutro cudrntes. π π Comprueb con l clculdor esos signos pr los siguientes ángulos: 0º, rd, 5º, rd, 4 4 8π 9π 0º, rd, 95º, rd º) Ls rects que unen los puntos P(-,), Q(-5,-) y R(,-4) con el origen de coordends formn los ángulos α, β y δ con el semieje positivo OX, respectivmente. Clcul ls rzones trigonométrics de los ángulos α, β y δ. 0/ IBR IES LA NÍA

11 6º) Clcul ls rzones trigonométrics de los cutro ángulos que delimitn los cudrntes. 0. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Podemos definir funciones que signen l vlor de un ángulo, medido en rdines, el vlor de cd un de sus rzones trigonométrics. Ests funciones se denominn funciones trigonométrics o circulres. FUNCIÓN SENO: f ( ) = sen Su dominio es R pues el seno de un ángulo culquier siempre está definido. Recorrido: [,] Es continu en R Máimo bsoluto: Mínimo bsoluto: - Periodicidd: es periódic con período fundmentl π (Est es l propiedd más crcterístic de ls funciones trigonométrics) Simetrí: puesto que f ( ) = sen( ) = sen = f ( ), l función seno es un función impr y su gráfic es simétric respecto del origen de coordends. π π π 5π 7π 9π Creciente en..,,,,,,... π π π π 5π 7π Decreciente en...,,,,,,... Máimos reltivos en Mínimos reltivos en π π 5π 9π =...,,,... 5π π π 7π =...,,,... / IBR IES LA NÍA

12 FUNCIÓN COSENO: f ( ) = cos Su dominio es Recorrido: Etremos bsolutos Es continu en Periodicidd: Simetrí: Creciente en.. Decreciente en Máimos reltivos en Mínimos reltivos en FUNCIÓN TANGENTE: f ( ) = tg Ejercicio: 7º) Estudi tods ls propieddes de l función f ( ) = tg / IBR IES LA NÍA