accés a la universitat dels majors de 25 anys MATEMÀTIQUES UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS

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1 Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO En est unidd, nuestro ojetivo ásico es el estudio de los ritmos, unque pr ello comenzremos recordndo ls propieddes ásics de ls potencis de ls funciones eponenciles. Seguidmente introduciremos l función rítmic como l función invers de l función eponencil. A continución introducimos ls propieddes ásics de los ritmos el cmio de se. Finlmente, veremos lgunos ejemplos de cómo se resuelven ecuciones rítmics eponenciles. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer l definición de l función rítmic Estudir sus propieddes crcterístics DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 1. Introducción L espernz de vid, ún en los píses poco desrrolldos, creció después de l Segund Guerr Mundil unque distinto ritmo. Este crecimiento, si ien l principio trjo mor ctividd progreso, l lrg h producido grves prolems: flt de viviends, escuels, puestos de trjo... El umento de l polción por l prolongción de l vid se h visto compensdo en prte por el descenso de l ntlidd en los píses industrilizdos. De todos modos, h precido el prolem del envejecimiento de l polción (es decir el umento de l edd promedio). Anlizremos hor lgún modelo mtemático que trt de descriir l evolución de un polción. En Europ occidentl, durnte los siglos XVII XVIII, comenzó descender el índice de mortlidd, el incremento polcionl en muchos píses se situó entre 0.5 1% nul. Pr evitr complicciones con los cálculos considerremos que el crecimiento polcionl fue del 1% nul durnte los primeros 20 ños de este siglo. Unidd 04: Logritmos Págin 1 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

2 Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños Supongmos que l cntidd de polción europe l comienzo del siglo XVII (ño ) se 10 (en cientos de millones). L función P(t) medirá l cntidd de polción en el tiempo t. Como comenzremos nuestro estudio prtir del ño este será el tiempo inicil, es decir, t = 0. Podemos hllr un fórmul que nos permit clculr l polción pr culquier Vlor de t?.pr ello nlizremos lo que hemos hecho hst el momento en cd pso: en t = 0, P (0) = 10 en t = 1, P (1) = ,01.10 = 10 ( 1 + 0,01) = 10.1,01 = P (0). 1,01 en t = 2, P (2) = P (1) + 0,01. P (1) = 10. 1,01 + 0, ,01 = 10. 1,01 ( 1 + 0,01) = 10. 1,01. 1,01 = 10 (1.01)2 Podrás relizr el cso t = 3? (Ten en cuent los psos hechos en los csos t = 1 t =2) En generl, l polción después de t períodos será: P (t ) = 10 (1.01) t donde 10 es l polción inicil P (0). Verifiquemos que l fórmul otenid nos d, por ejemplo pr t = 2, P (2) = 10. 1,012 = 10,201 que coincide con el vlor de l tl. Si queremos estimr l polción en el ño 1610, será P (10) = 10. 1,0110 = Oservemos que en l fórmul P (t ) = 10 (1,01) t, el fctor 10 es l polción inicil l vrile t figur en el eponente. A este tipo de funciones se ls llm eponenciles. Por otr prte, supongmos que un determindo ien mteril que ho cuest 150 euros se devlú con el uso, cd ño, un 4% de su vlor durnte el ño nterior. Por ejemplo: En t = 0 (inicio) el vlor en 0 V(0) = 150 En t = 1 (1 ño después ) V(1) = 150 4% de 150 = 144 En t = 2 (2 ños después) V(2) = 144 4% de 144 = 138,24 En t = 3... En generl, un fórmul que represent est situción, puede otenerse como en el ejemplo nterior V(t) = 150 (0,96) t Supongmos hor, que queremos ser después de cuántos ños de uso el vlor del ien se redujo proimdmente 92 euros. Pr esto necesitmos resolver l siguiente ecución 92 = 150 (0,96) t Unidd 04: Logritmos Págin 2 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

3 Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños Cómo despejr t de est fórmul? Oservemos que el vlor de t que estmos uscndo 92 es tl que elevndo el número 0,96 ese vlor d por resultdo. 150 Es decir, nuestr pregunt es: cómo podemos resolver ecuciones del tipo 10 = k?, ó en generl = k?. Podemos hcerlo si conocemos l función invers de = 10, es decir, l función rítmic. 2. Potencis funciones eponenciles 2.1. Potencis potencis de eponente nturl potencis de eponente nulo potenci de eponente negtivo potenci de eponente frccionrio 2.2. Propieddes ásics de ls potencis Ejemplos: 2.3. Función eponencil Unidd 04: Logritmos Págin 3 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

4 Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños El comportmiento de l función eponencil es mu distinto según se > 1, < 1, = 1. Ejemplo: Anlicemos l gráfic de l función eponencil de cuerdo l vlor de. ) Si > 1, por ejemplo = 2, l función = 2 es creciente. Oservemos que culquier se el vlor de > 0, l gráfic de l función eponencil dee psr por el punto (0,1), que es el vlor de l ordend l origen; es decir el vlor que tom l función pr = 0. Por otro ldo, es clro que medid que el vlor de ument, el vlor de tmién, si el vlor de decrece (con vlores negtivos) entonces el vlor de tiende 0. ) Si 0 < < 1, por ejemplo 1 2 l función es decreciente. L siguiente tl de vlores nos permite hcer un estudio comprtivo de ls funciones = 2 e 1 2 Unidd 04: Logritmos Págin 4 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

5 Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños Como hemos comentdo en l introducción, l función eponencil prece con frecuenci en modelos mtemáticos de diferentes procesos evolutivos. Por ejemplo, ls mes son seres unicelulres que se reproducen dividiéndose en dos. Supongmos que ls condiciones de un cultivo son tles que ls mes se duplicn proimdmente cd hor, que inicilmente solo h un me. Proponemos clculr el número de mes que hrá según psn ls hors: Oservemos que si en el momento inicil h k mes, en l primer hor se duplicn, entonces hor h 2k. En l segund hor se vuelven duplicr, es decir, 2 (2k) = 2 2 k, en l tercer hor se repite l situción tenemos 2(2 2 k) =2 3 k, etc. Luego en generl se tiene 2 k. Es decir, si l comienzo del proceso hí k mes, el número totl l co de hors será = k Ecuciones eponenciles Ejemplos: 3. Función rítmic ritmos 3.1. Función rítmic Nuestr pregunt es: cómo podemos resolver ecuciones del tipo 10 = k?, l respuest es conociendo l función invers de =10. Ahor, podemos decir que, si 10 = k entonces = k es decir, el ritmo de un número en se 10 es el eponente l que h que elevr l se 10 pr otener dicho número. Unidd 04: Logritmos Págin 5 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

6 Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños Ejemplo: Si 10 = 100 entonces = = 2 pues 10 2 = 100 Si 3 = entonces 10 3 = = 1/100 entonces = = -2 pues 10-2 = Generlizndo: Se > 0 1, e > 0, llmremos ritmo en se de l único número que verific =. Es decir, = = Ejemplos: Interpretción de l definición de ritmo: ) 2 7 = 128 por tnto = 7 ) 8 1/3 = 2 por tnto 8 2= 1/3 Clculmos ) = 2 = 16 = 2 4 = 4 ) = 2 = 32 = 2 5 = 5 Resolvemos un ecución 3.2. Propieddes de los ritmos = = ,47712 luego - 0, El ritmo de un producto es igul l sum de los ritmos de los fctores Log (. ) = + Ejemplo 2 (4.8) = 2 32 = = = 5 El ritmo de un potenci es igul l eponente por el ritmo de l se Log ( ) =. Ejemplo = 2 64 = 6 pues 2 6 = = 3.2 = 6 A prtir de ls dos propieddes nteriores podemos deducir ls dos propieddes siguientes: Unidd 04: Logritmos Págin 6 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

7 Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños El ritmo de un cociente es igul l ritmo del numerdor menos el ritmo del denomindor. Oservr que 1 1 Ejemplo 3 (81/9) = 3 (9) = 2 por otro ldo = 4 2 = 2. El ritmo de un ríz es igul l ritmo del rdicndo dividido por el índice de l ríz. 1 Oservr que Ejemplo por otro ldo 3 ( 4) Cmio de se Ls clculdors científics permiten solmente otener ritmos decimles neperinos. Los ritmos decimles son los ritmos de se 10, se costumr denotr 10 = omitiendo l se. El ritmo neperino o nturl es el ritmo cu se es el número e 2,7182 se denot e = ln. Si queremos clculr ritmos en otr se, es conveniente relizr cmios de se. Si, por ejemplo, tuviérmos que clculr 2 3: Lo primero que hcemos es llmr por tnto, tomndo ritmos en mos ldos de l últim iguldd tenemos de donde tenemos que En generl tenemos que: de donde tenemos que Unidd 04: Logritmos Págin 7 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

8 Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns 4. Ecuciones eponenciles rítmics Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños Unidd 04: Logritmos Págin 8 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

9 Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños Unidd 04: Logritmos Págin 9 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

10 RESUMEN Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Potencis Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños Definición de ritmo Se > 0 1, e > 0, llmremos ritmo en se de l único número que verific =. Es decir, = = Propieddes de los ritmos o o (. ) = + o ( ) =. o ( ) =. o 1 o Cmio de se 6. BIBLIOGRAFÍA Emilio Bujlnce otros. Mtemátics especiles. Editoril Snz Torres (1998). 2ª Edición Mrí E. Bllvé otros. Prolems de mtemátics especiles. Editoril Snz Torres (1996). 2ª Edición. José T. Pérez Romero José A. Jrmillo Sánchez. Mtemátics. Prues de cceso l universidd pr mores de 25 ños. Editoril MAD. (2002). Unidd 04: Logritmos Págin 10 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco

11 Universitt Miguel Hernández Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns ACTIVIDADES 1. Clculr: Universidd Miguel Hernández Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños 2. Mostrr con un ejemplo que en generl 3. Resolver plicndo l definición de ritmo 4. Siendo que clculr, plicndo ls propieddes de los ritmos 5. Clculr relizndo cmio de se EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Siendo que 2= = , clculr: c d. 3 3 e f Clculr, utilizndo l clculdor, con ritmos decimles: c Clculr, utilizndo l clculdor, con ritmos neperinos c SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN c d e f c , c Unidd 04: Logritmos Págin 11 de 11 Prof. Mª Crmen Pere Mrco