TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN:

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1 TEMA LOS NÚMEROS REALES. LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los números rcionles: Se crcterizn porque pueden epresrse: En form de frcción, es decir, como cociente de dos números enteros: Q, b Z tles que b 0 b En form deciml: O bien son enteros o bien tienen epresión deciml finit o periódic. El conjunto de todos los números rcionles se design por Q. El conjunto Q es denso en R (l situr todos los números rcionles sobre l rect numéric l ocupn densmente. Esto quiere decir: Entre dos números rcionles hy infinitos números rcionles. (si, Q El punto medio: + Q No obstnte, en l rect numéric hy infinitos puntos no ocupdos por números rcionles. A cd uno de estos puntos le corresponde un número irrcionl. Los número irrcionles: Se crcterizn porque: No pueden epresrse en form de frcción. Su epresión deciml tiene infinits cifrs no periódics. El conjunto de todos los números irrcionles se design por I. Tnto los números rcionles como los irrcionles se llmn números reles. El conjunto de los números reles se design por R. Los números reles llenn l rect numéric por eso se l llm rect rel. ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES NATURALES(N 0 ; ; ;... 6 ENTEROS (Z - ENTEROS NO NATURALES -; ;... (Enteros negtivos RACIONALES(Q - Frcciones:,... REALES(R FRACCIONARIOS. Ectos : 0,;... (Rcionles no enteros Números decimles Puros :,;... Periódicos Mitos :,,... IRRACIONALES (I ; - ; ; π, decimles no periódicos...

2 REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA L representción de un número rel sobre l rect se hrá de un modo u otro según el tipo de número que se: Entero o deciml ecto: ;, ,,,,,,6,,,9,,,,,,,6,,,9, Deciml periódico: Puede epresrse en form de frcción y, de este modo, se represent dividiendo cd unidd entre ls prtes que teng el denomindor y tomndo tnts de ess prtes como indique el numerdor: /6, -/ 0 Rcionl cudrático: Construyendo triángulos rectángulos y teniendo el cuent el teorem de Pitágors:, 6, 0 Números decimles periódicos o no periódicos : Se representn de form proimd medinte un intervlo de vlores:,90..., ,,,,,,6,,,9,,,,,,,6,,,9,

3 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS Sirven pr epresr trmos de l rect rel NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN Intervlo bierto (,b { / < < b } Nº comprendidos entre y b Intervlo cerrdo [,b] { / b } Nº comprendidos entre y b, Intervlo semibierto Semirrect éstos incluidos. (,b] { / < b } Nº comprendidos entre y b, incluido b [,b { / < b } Nº comprendidos entre y b, incluido (-, { / < } Números menores que (-,] { / } Nº menores o igules que (, { / < } Números myores que [, { / } Nº myores o igules que Not : Si queremos nombrr un conjunto de puntos formdos por dos o más de estos intervlos, se utiliz el signo (unión entre ellos.. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL DEFINICIÓN El vlor bsoluto de un número rel,, es el propio número, si es positivo, o su opuesto, si 0 -, si es negtivo: - si < 0 (Es decir, consiste en convertirlo en positivo DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS L distnci entre dos puntos y b es su diferenci en vlor bsoluto: b ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO b b + b {-b,+b} (Dos puntos concretos b b

4 b + b < b (-b,+b (El interior b b b + b b (-, -b] [+b,+ (El eterior b b. RADICALES. PROPIEDADES DEFINICIÓN DE RAIZ N-ÉSIMA Se llm ríz n-ésim de un número y se escribe n, un número b que cumple l siguiente condición: n b si b n n se llm rdicl, rdicndo y n índice de l ríz. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Si 0, n eiste culquier que se n Si < 0, sólo eiste su ríz de índice impr. FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES Form eponencil de rdicles n m m n PROPIEDADES DE LOS RADICALES np p n (Pr simplificr rdicles o reducir común índice n n p ( p m n mn n n n. b. b n n n b b OPERACIONES CON RADICALES Sum y rest de rdicles : Dos rdicles distintos no pueden sumrse si no es obteniendo sus epresiones decimles proimds. Sólo puede sumrse rdicles idénticos.

5 Producto y cociente de rdicles : Pr poder multiplicr o dividir dos rdicles deben tener el mismo índice en l ríz, es decir, debemos epresrls con el m.c.m de sus índices. (Aplicr propieddes y del prtdo nterior. Rcionlizción de denomindores : A veces conviene suprimir ls ríces del denomindor. Pr ello hy que multiplicrlo por l epresión decud. Nturlmente, el numerdor tmbién se multiplicrá por es mism epresión. - Pr suprimir un ríz cudrd (unque esté multiplicd por un número, bst multiplicr numerdor y denomindor por dich ríz. - Pr suprimir un ríz n-ésim (unque esté multiplicd por un número, se multiplic numerdor y denomindor por otr ríz n-ésim tl que se complete en el rdicndo un potenci n-ésim. - En un sum de ríces cudrds, + b, se suprimen los rdicles multiplicndo por el conjugdo b y vicevers.. LOGARITMOS LOGARITMOS EN BASE CUALQUIERA Si > 0 y, se llm logritmo en bse de p, y se design log p, l eponente l que hy que elevr l bse pr obtener p. log p p PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS El logritmo de l bse es : log El logritmo de es 0 : log 0 El logritmo de un potenci es igul l eponente por el logritmo de l bse de l potenci: log p n n. log p El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos: log (p.q log p + log q El logritmo de un cociente es igul l rest de los logritmos: log (p/q log p log q El logritmo de un ríz es igul l logritmo del rdicndo dividido por el índice : log p log n p n Cmbio de bse : El logritmo en bse de un número se puede obtener prtir de log c p logritmos de logritmos decimles. log p log c

6 ALGUNOS LOGARITMOS IMPORTANTES Se llm logritmo deciml de un número p y se design por log p, l eponente l que hy que elevr el 0 pr obtener p. log p 0 p L tecl log nos d el logritmo deciml del número que escribmos en l pntll continución. Se llm logritmo neperino de un número p y se design por Ln p, l eponente l que hy que elevr el número e pr obtener p. Ln p e p L tecl Ln nos d el logritmo neperino del número que escribmos en l pntll continución. Un logritmo en otr bse culquier (distint de 0 o e se puede obtener prtir de logritmos de logritmos en culquier bse (c (En prticulr, bse 0 o bse e. log c p log p Ln p log p log log Ln c. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. NÚMEROS APROXIMADOS. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. ERRORES Y COTAS Al epresr un número rel con muchs o infinits cifrs decimles, utilizmos epresiones decimles proimds, es decir, recurrimos l redondeo. Al relizr ests proimciones cometemos errores. Error bsoluto Vlor rel Vlor de medición Error reltivo Error bsoluto Vlor rel Cots de los errores: Números myores o igules que el vlor bsoluto de los errores: Error Absoluto Error reltivo CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cundo utilizmos los números decimles pr epresr mediciones concrets, se deben dr con un cntidd decud de cifrs significtivs. Se llmn cifrs significtivs quells con ls que se epres un número proimdo. Sólo de deben utilizr quells cuy ectitud nos conste. El error bsoluto suele ser menor que uniddes del lugr siguiente l de l últim cifr significtiv utilizd. El error reltivo es tnto menor, cunto más cifrs significtivs se utilicen.

7 NOTACIÓN CIENTÍFICA L notción científic se utiliz pr epresr números muy grndes o muy pequeños. Un número puesto en notción científic const de : - Un prte enter formd por un sol cifr que no es el cero(l de ls uniddes - El resto de ls cifrs significtivs puests como prte deciml. - Un potenci de bse 0 que d el orden de mgnitud del número. Prte enter (sólo un cifr bcd... Prte deciml 0 n Potenci enter de bse 0 N, bcd... 0 n Si n es positivo, el número N es grnde Si n es negtivo, el número N es pequeño Operciones con números en notción científic El producto y el cociente son inmeditos, teniendo en cuent: 0 b. 0 c 0 b+c 0 b : 0 c 0 b-c En sums y en rests hy que preprr los sumndos de modo que tengn todos l mism potenci de bse 0 Clculdor pr l notción científic Interpretción : signific, Escritur:,90 0 9,90 EXP 9,9 0 -,9 EXP ± Modo científico (SCI : Hce que l clculdor trbje siempre con números en notción científic y, demás, con l cntidd de cifrs significtivs que previmente le hymos indicdo. ( MODE Pr volver modo norml MODE 9.

8 CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 π ; ;,...; ; 6; ; ;, 0 0, Deciml ecto, Frccionrio, Rcionl, Rel Nturl, Entero, Rcionl, Rel -,, Deciml periódico puro, Frccionrio, Rcionl, Rel Irrcionl, Rel 6-6 Nturl, Entero, Rcionl, Rel π Irrcionl, Deciml no periódico, Rel - Entero negtivo, Entero, Rcionl, Rel, Deciml periódico mito, Frccionrio, Rcionl, Rel EJERCICIO : Sitú cd número en su lugr correspondiente dentro del digrm: π,; ; ; ; ; ; ;,... 6 EJERCICIO : Represent sobre l rect los siguientes números:,; ; EJERCICIO : Represent en l rect rel los siguientes números, utilizndo el Teorem de Pitágors: 0 b 0 + L hipotenus de un triángulo rectángulo de ctetos y es l longitud pedid. Con el compás podemos trsldr est medid donde deseemos. b 9 +

9 EJERCICIO : Represent en l rect rel los siguientes números, utilizndo el Teorem de Pitágors: b 6 EJERCICIO 6 : Represent en l rect rel:, b,. b INTERVALOS Y SEMIRECTAS EJERCICIO : Escribe en tods ls forms posibles los siguientes intervlos y semirrects: { / < } b (, ] c Números myores que - d [, Intervlo semibierto Números comprendidos entre - y, incluido - b { / } Semirrect Números menores o igules que - c (, + Semirrect { / > } d [, ] Intervlo cerrdo { / } Números comprendidos entre y, mbos incluidos. EJERCICIO : Escribe en form de intervlos los vlores de que cumplen: + b < Son los números de (, ] [, +. b Es el intervlo (, 6 FRACCIONES, POTENCIAS Y DECIMALES EJERCICIO 9 : Oper y simplific el resultdo: +,6 + + b Simplific: Epresmos N,6 en form de frcción:

10 00N 6, N, N 0 N 90 6 Opermos y simplificmos: b EJERCICIO 0 : Clcul y simplific el resultdo: + + 0, b Simplific: 6 - Epresmos N 0, en form de frcción: 00N,... 0N,... 90N N 90 6 Opermos y simplificmos: b EJERCICIO Efectú y simplific: +,6 : b Reduce un sol potenci: Epresmos N,6 en form de frcción: 00N 6, N, N 0 N 90 6 Opermos y simplificmos: b : EJERCICIO Oper y simplific:,6 + + Epresmos N,6 en form de frcción: 00N 6, N, N 9 N 90 6 Opermos y simplificmos: b Reduce un sol potenci y clcul: :

11 b : : RADICALES EJERCICIO : Epres en form de potenci, efectú ls operciones y simplific: b : c d e b 0 0 c 9 9 e d EJERCICIO : Efectú y simplific: b c + + d 6 + b + c + d ( + ( ( + ( ( EJERCICIO : Simplific l máimo ls siguientes epresiones: b 0 c + 6 d + b 0 6 c + ( ( ( + ( + ( 6 d +

12 LOGARITMOS EJERCICIO 6 : Utiliz ls propieddes de los logritmos pr clculr el vlor de ls siguientes epresiones, teniendo en cuent que log,: 00 log b log ( 00 c log 000 log log000 log log0 log log, 0,, 000 b log 00 log00 + log log0 + log +, +, 6, ( 6 00 c log log00 log log0 log,, 0, EJERCICIO : Epres como un solo logritmo l siguiente epresión utilizndo ls propieddes de los logritmos: ln + ln ln ln + ln ln ln + ln ln ( 6 ln + ln ln ln ln ln6 ln ln EJERCICIO : Si sbemos que log 0,9, clcul: log log ( log log00 log00 log 00 log log00 log log log00 0, 9,, log log ( 00 log log00 ( log00 + log EJERCICIO 9 : Sbiendo que ln 0,69, clcul el logritmo neperino de: b c ln ln ln 0,69, b ln ln ln 0,69 0, c ln ln ln 0,69 0, EJERCICIO 0 : Hll el vlor de, utilizndo l definición de logritmo: log 6 b log c log 6 d log 6 e log f log g log h log log 6 6 b log c log d log 6 6 e log f log g log h log EJERCICIO : Clcul, utilizndo l definición de logritmo: log + log ln b log + log ln c log + log e ln e d log e log f log 6 + log ln g log + log log 000 h log log + log ln log log + ln + 0

13 + + e c log log ln log log + e + ln e + d log log e log log0 000 b log log + ln log + log ln e + ( f log 6 log ln log + + log ln g log + log log log log log + + / h log log EJERCICIO : Epres como un solo logritmo l siguiente epresión, utilizndo ls propieddes de los logritmos: log + log + log log log + log + log log log + log + log log log + log + log log log log 0, 0 EJERCICIO : Si ln 0,, clcul el vlor de l siguiente epresión: ln + ln ( 0 + ln 0 ln ln ln ln + ln ln + ln ln 0,, 6 0 ( ln0 + ln0 + EJERCICIO : Sbiendo que log 0,, clcul (sin utilizr l clculdor: log 00 b log 9 c log log 00 log ( 00 log + log 00 0, +, b log 9 log log 0,, c log log log 0, 0, EJERCICIO : Sbiendo que log 0,, clcul (sin utilizr l clculdor el logritmo (en bse 0 de cd uno de estos números: 0 b 9 c 9 log0 log ( 0 log + log0 0, +, b log 9 log log 0, 0,96 c log 9 log log 0, 0, 9 EJERCICIO 6 : Clcul, utilizndo l definición de logritmo: log 6 log + log b Hll el vlor de, plicndo ls propieddes de los logritmos: log log log 0 9 log log + log + 6 b log log log log log 9 9 EJERCICIO Clcul, utilizndo l definición de logritmo: log log + log b Hll el vlor de en l epresión: log, sbiendo que > 0.

14 ( log + log ( log b log EJERCICIO Clcul, utilizndo l definición de logritmo: log + log log 0 b Sbiendo que log, clcul log ( 0. log 0 + log log + ( + + b log 0 log0 + log log0 + log +, +,, ( EJERCICIO 9 Clcul, utilizndo l definición de logritmo: log log + log 9 b Clcul el vlor de, plicndo ls propieddes de los logritmos: log log0 log 0 0 log log + log + b log log EJERCICIO 0 Clcul, utilizndo l definición de logritmo: log + b Si 0, clcul log log. 00 log log + log b log log log00 log log0 log log0 00 ERRORES Y COTAS 0 log log 0, 0,, EJERCICIO : Hll los errores y cots de los errores l proimr el número π ls centésims. Vlor rel π,96 Vlor de medición:, Error bsoluto Vlor rel Vlor de medición,96 -, 0,0096 < 0, Error bsoluto.0 Error reltivo 6, < 6,.0 Vlor rel π NOTACIÓN CIENTÍFICA EJERCICIO : Los vlores de A, B y C son: A, 0 B 0 C, 0 Clcul : A + A C B A, 0 B 0, 0 + 9,0 0, 0 + 9, , 0 9,9 0 + A C + (, 0 (, 0

15 EJERCICIO : Clcul y epres el resultdo en notción científic: ( 0, 0, 0 + 0, 0 +, 0 b, 0 0, 0, , 0, 0 ( , 0, 0 +, 0 0, 0 96, 6 0 0, 6 0 +, 0 0 ( b, 0, 0, 966 0, 6, , , 0 EJERCICIO : Un vcun tiene bcteris por centímetro cúbico. Cuánts bcteris hbrá en un cj de 0 mpolls de 0 milímetros cúbicos cd un? 0 bcteris/cm y 0 mm 0 cm 0 0 9,6 cm en un cj. 9,6 0 número de bcteris en un cj. EJERCICIO : Clcul el número proimdo de glóbulos rojos que tiene un person, sbiendo que tiene unos por milímetro cúbico y que su cntidd de sngre es de litros. b Qué longitud ocuprín esos glóbulos rojos puestos en fil si su diámetro es de 0,00 milímetros por término medio? Epréslo en ilómetros. l dm 0 6 mm de sngre, , 0 número de glóbulos rojos b, 0 0, 0 mm m USO DE LA CALCULADORA EJERCICIO 6 : Utilizndo l clculdor, hll: 6, 0 +, b c log 90 d 9, 0 +, 0,6 0, 0 log + f (, 0 : (, e ln 6 0 SHIFT [ /y ] Por tnto: 60 g log b (. EXP +/ +. EXP 6 +/. EXP +/ c log 90 log Por tnto: log 90,0 d 9. EXP +/ +. EXP +/.6 EXP +/ 9. Por tnto: 9, 0 +, 0,6 0 9, 0 e log log + ln.6 Por tnto: log + ln, f. EXP. EXP +/ + EXP.066 Por tnto:(, 0 : (, 0 + 0,0 0 g log log.9990 Por tnto: log,9 h (. EXP 9 +. EXP. EXP +/.9 Por tnto: Por tnto:,9 0 9, 0 +, 0 h, 0 6, 0 +, 0, 0, 0

16 LOS NÚMEROS REALES Clsificción y representción de números reles EJERCICIO : Clsificr y representr los siguientes números: -; ; -/; /; - ; - 6 ;,;,000.; ; π - EJERCICIO :Clsific y represent los siguientes números: -/;- ;,; 6 ; -,...; ; / Operr con números decimles. Pso frcción EJERCICIO : Clcul :, ^ -, ^ +, Intervlos y semirrects. Vlores bsolutos EJERCICIO : Cmbir de notción (tipo de intervlo, significdo, representción... los siguientes intervlos y semirrects: [, d Números menores que b { R / > } e + > c - EJERCICIO : Escribe en form de intervlos los vlores de que cumplen: - y represéntlo gráficmente. EJERCICIO 6 : Epres de tods ls forms posibles los siguientes intervlos y semirrects: b { < } c 0 Rdicles. Propieddes y operciones. Rcionlizr EJERCICIO : Relizr ls siguientes operciones con rdicles: y y b : z z e ( + ( f ( ( + ( d h l b i. 6 b c + j 9 m o p s w b + b t y z 6 n (. : y z 6 + g 6.. ( y 6y : z z q. 6 6y y. z z u. y c ñ. 0 r + + v 0 y z

17 6 0.. ( + Logritmos. Propieddes y operciones. EJERCICIO : Resolver ls siguientes ecuciones: log b log / c log d.log( + + log log( + EJERCICIO 9 : Sbiendo que log 0,00... hll: log 0, b log c log, 0 0 d log ( / 6 EJERCICIO 0 : Utiliz ls propieddes de los logritmos pr clculr el vlor de ls siguientes epresiones, teniendo en cuent que log,: log 000 b log (00. EJERCICIO : Epres como un solo logritmo l siguiente epresión, utilizndo ls propieddes de los logritmos: log + log + log - log EJERCICIO : Sbiendo que log 0,, clculr log (00 log 000 EJERCICIO : Hllr el vlor de l siguiente epresión: log 6 + log - log + log.y EJERCICIO : Sbiendo que log, log y, log z -, clculr log z EJERCICIO : Si sbemos que log 0,9, clcul: log log( 00 Errores y cots EJERCICIO 6 : Clcul los errores cometidos y cots pr dichos errores l redonder el número, ls centésims. 00 EJERCICIO : Clcul los errores y cots pr dichos errores l redonder ls décims. EJERCICIO : L poblción de un pueblo, redonded ls decens es de 0 hbitntes. Indic los errores cometidos y cots pr dichos errores. EJERCICIO 9 : Si proimmos 0,69 por 0,, Qué error bsoluto se comete? Y si lo proimmos por 0,? Cuál es mejor proimción? Rzónlo. Notción científic EJERCICIO 0 : Epresr en notción científic: billones b 6 cienmilésims c 0,0 millones EJERCICIO : Clculr, sin clculdor, dndo el resultdo en notción científic con tres cifrs significtivs: d,.0,.0,.0,.0,.0, , b e (,6.0 (,6.0 +,.0 6.0,9.0 +, ,.0.(.0.(.0 c,.0,.0, (,.0,6.0 f,.0 +,0.0 0