Números reales. 1. Números y expresiones decimales. página El conjunto de los números reales página La recta real. Intervalos página 9

Transcripción

1 Números reles E S Q U E M A D E L A U N I D A D.. Los números rcionles págin.. Los números irrcionles págin. Números y expresiones decimles págin. El conjunto de los números reles págin Orden y desiguldd de números reles págin 4.. Vlor bsoluto de los números reles págin. L rect rel. Intervlos págin 4. Orden y desigulddes. Vlor bsoluto págin. Operciones con números reles págin.. L rect rel págin.. Intervlos págin. Potencición de números reles págin 4.. Ríz de un número rel y propieddes págin.. Expresión de un rdicl como un potenci de exponente frccionrio págin.. Regls de cálculo con rdicles págin. Rdicción de números reles págin 8. Aproximciones decimles y errores págin. Notción científic págin 0. Logritmos págin 8.. Aproximciones págin 8.. Error bsoluto págin 8.. Error reltivo págin 0. Números reles

2 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO Cuestiones previs (págin 4). Orden de myor menor ls siguientes expresiones decimles: ) 0,, 0,,0,,0, b) 0,0, 0,0, 0,0, 0,0 c),,,,, ) 0, 0, 0, 0, b) 0,0 0,0 0,0 0,0 c),,,. Expres como producto de potencis l siguiente expresión: ( b c ) b c 4 b c b c b c. Reliz ls siguientes operciones: y Actividdes (págins /) Por qué,0 no es un número irrcionl? El número,0 es rcionl puesto que se puede escribir en form frccionri. Su frcción genertriz es. 44 Determin y rzon cuáles de los siguientes números son rcionles y cuáles irrcionles:, 0,0,,4,,, 4, 4 8 Los números,0,0,,4 y son rcionles. 8 Los números y 4, 4 son irrcionles. Rzon cuál de ls siguientes frses es ciert: ) Todo número deciml se puede expresr como un frcción. b) Los números reles se pueden expresr como un número deciml limitdo o periódico. c) Todo número rcionl es rel. d) Todo número entero es rcionl. e) Hy números reles que no pueden expresrse como un frcción. f) Entre dos números rcionles hy infinitos irrcionles. g) Los números irrcionles no se pueden expresr en form deciml. Ls frses de los prtdos c), d), e) y f) son cierts. 4 Determin un sucesión que se proxime por defecto l número irrcionl.,,,,,,,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0 4, 8 0 Escribe un sucesión que se proxime 4 por exceso. 0,, 0,, 0,, 0, 4, 0, 4, 0, 48, 0, 48, 0, 48, 0, 48, 0, 48 4, 0, 48 4, Aproxim por defecto el número e medinte un expresión con cutro cifrs decimles. e,8 Escribe dos números, uno rcionl y otro irrcionl, comprendidos entre los siguientes pres: ),4 y,48 b) 0,00 y 0,00 ),4 (rcionl),4 0,4 4 4 (irrcionl) b) 0,00 0 (rcionl) 0,00 0, (irrcionl) 0 Represent en l rect rel los intervlos, y, Represent gráficmente los números reles que verificn x, x, / x / y x. Escribe, en cd cso, de qué intervlo se trt. 0 Se trt de los intervlos (, ], (, ),, y (, ], respectivmente. Si 0, b 0 y b, qué relción de desiguldd existe entre / y /b? b Si 0 y b 0, qué relción de desiguldd existe entre / y /b? b Sbiendo que 0 y 4, determin el intervlo l que pertenece. No hy ningún número rel que cumpl l mismo tiempo ls dos desigulddes. Si x, y, z son positivos, y x (y z) y (x z), qué relción de orden existe entre x e y? x(y z) y(x z) xy xz yx yz xz yz x y Aritmétic y Álgebr

3 4 L diferenci de edd entre un mdre y su hij es de 8 ños. Simplific ls siguientes expresiones: Cuándo superrá l edd de l hij l mitd de l de su mdre 4 más 0 ños? ) 4 0 m h 8 h m 0 h m 0 h 48 h h 48 b) 4 L edd de l hij debe ser más de 48 ños. Escribe dos números rcionles y dos irrcionles que sen, en vlor bsoluto, menores que 0,. Por ejemplo, 0,0, 0,0, y 0, Si sbemos que x, qué intervlo pertenece x? c) ) 4 0 b) x x 4 x Al intervlo (4, ). Si x, determin l mplitud del intervlo en el que está x. Determin el conjunto de números reles que cumplen que x 4. x 4 x 4 o x 4 [4, 4] Reliz ls siguientes operciones: ) (/) (/) (/) b) 4 c) Di si son cierts ests igulddes. Cundo no lo sen, escribe l iguldd correct. ) 4 b) 4 8 c) ) Fls: 4 b) Ciert c) Ciert ) 4 b) Reliz ls siguientes operciones y simplific el resultdo: ) c) b) d) ) 4 0 Reliz ls siguientes operciones: ) d) (/) b) e) (/) (/) c) / f) (/) 4 ) 8 b) 4 c) 8 d) e) f) 4 b) c) 4 d) Escribe tres rdicles equivlentes estos otros:, 4, () y ; () () ; Por qué son flss ls siguientes igulddes? Expres los siguientes números como potencis de exponente negtivo: ) /4 c) / b) (/) d) /4 ) 4 b) (/) c) d) (/) Escribe en form de potencis de bse 0 ls siguientes expresiones: ) /0 000 c) /0,00 b) 0, d) ) 0 4 b) 0 c) 0 d) 0 8 ) 8 () 4 8 b) () 4 ) no existe. b) 4 Escribe un rdicl equivlente cd uno de los siguientes rdicles con el índice común:,, 8,, 4 Simplific los rdicles 4, 4, 8,, 4, 4 y.. Números reles

4 0 Escribe ests expresiones en form de potencis de exponente frccionrio: 4 Simplific ls expresiones: ) d) g) ) b) 4 b) e) h) 4 ) c) 4 f) i) ) / d) /4 g) / b) / e) 4/ h) / c) /4 f) / i) / Reliz ls siguientes operciones, expresndo el resultdo como un único rdicl lo más simplificdo posible: ) b) e) d) 4 b () c) 40 4 f) ) / / 4 b) c) 40 d) 4 b () / /4 b /4 / /4 b /4 4 b 4 e) /4 / 4 / / / / 4 f) / / /4 / / / / Simplific ls siguientes operciones extryendo fctores fuer del rdicl: 4 048x y ) b) 8xy 4 048x y x y xy ) y 8x 4 y xy x x y 4 x y x xy b) 8/ / / / 4 ( ) / / / Efectú ls siguientes operciones simplificndo l máximo: ) b) 8 4 ) b) b) (4 ) Reliz ls siguientes operciones: ) b) ) b) Efectú estos cálculos: ) b) c) d) ) b) c) 4 d) Rcionliz ls siguientes expresiones: ) c) b) d) ) b) 0 c) d) Estblece, en cd cso, un proximción con 4 cifrs excts: ) b) c) 4, ) 4, b),0 c) 4, Hciendo uso de l clculdor, redonde el resultdo de los siguientes cálculos con un error menor que un milésim: ) 0 b) c),0 ), b),8 c) 0,0 8 Aritmétic y Álgebr

5 40 Determin entre qué vlores están comprendidos cd uno de los siguientes números proximdos. Escribe l proximción y su incertidumbre en cd uno de los csos. ),0 b) 0,00 c) ) (,0,,0),,0 0,00 b) (0,00, 0,00 ), 0,00 0,000 c) ( 000, 4 000), Orden de menor myor ls siguientes expresiones: log 4, log (/), log 4 (/8), log, log, log /4, log /, log /4 (/8), log / 8, log / (/) log / 8 log 4 (/8) log (/) log /4 log / log 4 log log /4 (/8) log Expres como un solo logritmo: ln (/) ln b (ln (/) ln b) ln (/)ln b (ln (/) ln b) ln ln b (ln ln b) 4 Utilizndo l clculdor, verigu qué error reltivo se comete en ls siguientes proximciones de : 8 ln ln ln b ln 8 ln b ln b ),4 b) /8 c) / 0 Clcul: ),4 00 0,0 % ) log / 0,00 b) log 0, b) ( ),8 prox. b) 0, prox. /8) 00 0,0 % Ejercicios y problems (págins /) ( / 0) c) 00 0,000 % Numeros rcionles e irrcionles 4 Reliz ls siguientes operciones expresds en notción científic: ) 0, 0 4, 0 Sin relizr l división, di qué frcciones dn lugr decimles limitdos y cuáles decimles ilimitdos periódicos: b), , 4,, 8 0, c) (4, 0 4 ) Limitdos: /, /8, /0, 8/0, 8/8 ) 8, 0 b) 8, 0 c),0 0 Periódicos: /, /4, /, /, /0 4 Expres, 0 ños luz en km (velocidd de l luz: c, 0 8 m s ). Hll l frcción genertriz irreducible de estos números,48 0 decimles: km 0,0,,,,0,,,, 44 Sbiendo que 8 g de gu contienen,0 0 moléculs, expres en notción científic l ms de un molécul 0,0 /4;, 44/;,0 /0; de gu., 0/;, 0/00 8 g, 0 g/molec H O,0 0 molec H O 4 Expres en notción científic y con tres cifrs excts: ),4 km/s c) 0 84, m b) 0,0040 g d) 0, cm ),00 0 km/s c), 0 m b),4 0 g d),4 0 8 cm 4 Reliz ests operciones y expres el resultdo en notción científic: ) 4,8 0 4,4 0,4 0 b), 0 8, 0 4,8 0 4 ), 8 0 b), Clcul los siguientes logritmos: ) log / c) log b) log 0,0 d) log / 8 ) (/) x / x / b) x /0000 x (/) 4 x 4 c) x/ x/ x d) (/) x / x / 48 Clcul x en estos logritmos: ) log x 04 c) log / x b) log x 8 d) log x ) x 0 x 4 c) / x b) x x / d) / x 4 Orden de menor myor: 0,40, 0,4, /, /, 0,48, /, 0,40, / Los decimles correspondientes son: 0,40, 0,4, 0,4, 0,, 0,48, 0,4, 0,40, 0,40. Por tnto: 0,40 / 0,40 / 0,48 / 0,4 / Reliz ests operciones y expres el resultdo en form deciml: ),8 0,4 c) 0, /0,4 b) 0, / d), / ) 0, c),4 b) 0,0 d) Clcul ls siguientes ríces: ) 0,4 b) 0,8 ) 0, b) 0,4 c) 0 c) /0,00 Clsific en rcionles e irrcionles cd uno de los siguientes números reles: ), e) b), f), c) 4, g),/ d) 0,00 h) Rcionles: ), b), e), f) y g). Irrcionles: c), d) y h).. Números reles

6 Represent sobre l rect rel,, y. Cómo 4 ) Sbiendo que los segmentos en que se divide OP son de l mism longitud, indic qué números rcionles representn los puntos A, B, C y D de l siguiente figur: se representrín, 0 y 48?, 0, 48 0 A B C D Y P O 4 X b) Determin qué números irrcionles representn los puntos P, Q, R y S de l figur: 8 0 Escribe tres números irrcionles entre y.,, Escribe un número rcionl y otro irrcionl que pertenezcn l intervlo (4,,8). Ejemplos de rcionles:,,,8,, Ejemplos de rcionles:,8 /00,,8 (/00), 4 /00 Orden de menor myor 4,,8,,8,,,,,,0,,,,,4,,4,,4. 4,8,8,4,4,4,0,,, Represent sobre un rect grdud los siguientes números:,, 0,0,,., / (/) P Q R S ) A, B 4, C, D b) P, Q, R, S Intervlos y vlor bsoluto Represent sobre l rect los siguientes intervlos: ) [, ] b) (, ] c) [4, ) d) [, ) c) d) ) b) 4 0 4, 0,0, Ddo el intervlo (,, ) de l rect rel, indic cuáles de los siguientes puntos pertenecen él:,,,4, /0,,4 I (,, ),, I,,4 I, /0 I,,4 I 4 Escribe un número deciml que se milésims menor que: ) 0,0 b), c) 4, d) ) 0, c) 4, b),4 d),44 Indic l relción de orden que existe entre los siguientes pres de números: ),0 y,0 b) /,0 y /,0 c) /,0 y /,0 d),0 y,0 ),0,0 b) /,0 /,0 c) /,0 /,0 d),0, Determin qué intervlo pertenecen los números reles que cumplen ls siguientes condiciones: ) 4/ x 0 d) x / b) / x 0, e) x /4 c) x y x f) x y x 4 ) x (4/, 0] d) x (, /] b) x [/, 0,] e) x (/4, ) c) x (, ] f) x (, ) A qué intervlo pertenece x? ) 0 4 x b) x4 ) x (4, 4] b) x (, ] Si x, qué intervlo pertenece x? x [4, 0] Qué conjunto de números reles, x, cumplen l desiguldd x? El conjunto unión: (, /) (/, ) [/, /] 0 Aritmétic y Álgebr

7 Clcul ls siguientes expresiones: Expres ls siguientes potencis como ríces: ) () b) (/) (/ 4) (/) c) (/) ) /4 ) 4 8 b) / b) c) /4 c) 4 ) b) /0 c) 4 / 8 Expres ests ríces en form de potencis: Clcul l mplitud de estos intervlos en l rect rel: ) b) 0 c) ) (x, x ) b), ) / b) 0 / c) / c) /, / Expres en form de potencis de exponente frccionrio: d) (8/, ) ) 4 ) b) 4 c) /0 d) / c) Potencis y rdicles b) 4 Efectú ls siguientes operciones: ) / /4 b) 4/ / c) /8 ) ( 4 0 Reliz los siguientes cálculos: ) 4 ( ) b) ) 0,04 0, c) b b c) ( b) d) b) ( b ) ( b c ) ) b) (4 ) ( 4 ) c) d) 4000 d) ( ) ( 4 ) 4 b ) 4 b) 0 4 Efectú ls siguientes operciones: ) b) 4 c) 8 () ) 4/ 0 b) / 844 c) /8 Introduce fctores dentro del rdicl: ) 8 b) c c) b d) c) (x ) (x ) ) (x ) b) 4 c) (x ) ) 8 (x Extre fctores del rdicl: ) 8 e) 8m 4 n p b) f) 04 c) 4 g) 8x y d) 4 b b 4 h) 4 y x ) e) mn p mp b) f) c) g) xy x 4 y d) b (b 4 4 ) h) 44x y xy Reliz estos cálculos simplificndo l máximo: ) 4 c) b) 8 d) ) 4 b) c) d) Efectú el cálculo y expres el resultdo como un rdicl: /4 4 Clcul ls siguientes expresiones con rdicles: ) b) c) 4 d) e) 8 f) /4 / 8 g) 4 h) i) 8 4 ) 0 b) c) 0 d) e) f) 4 g) h) 4 i) 4 Clcul cd un de ests expresiones con rdicles: ) c) 8 b) 48 d) ) 8 4 b) ( ) c) d). Números reles

8 Efectú, simplificndo l máximo: ) Clcul el resultdo de ls siguientes operciones, simplificndo l máximo: b) 4 0 ) ) 8 b) 0 b) Reliz ls siguientes operciones: 8 8 ) 4 x (x ) 8 (x ) b) 8 c) b b b b d) 4 4 ) 8 (x ) b) c) ( b b) ( b b) ( b) ( b) b d) Simplific ls siguientes expresiones: ) ( ) ( ) b) 4 ) ( ) ( ) b) 8 Determin si son cierts o flss ls igulddes que se dn continución: x ) x x x b) 8 8 x x x ) Ciert x x x x b) 8 8 Ciert Rcionliz ls siguientes expresiones: ) b) c) d) ) b) c) d) c) d) ) 4 b) 4 4 c) / /4 /8 / / d) Aproximciones y errores 4 A Brhmgupt (siglo VII. C.) se le tribuye un proximción de que vle 0. Siglos después, en el III. C., Arquímedes propuso otr: 4.Clcul cuánts cifrs excts 8 tiene cd proximción y qué porcentje de error se comete cundo se proxim con cd un de ells L primer tiene dos cifrs excts y un porcentje de error del 0, %. L segund tiene cutro cifrs excts y un porcentje de error del 0,0 %. Redonde dos cifrs decimles estos números e indic si l proximción es por exceso o por defecto: ),0 c) 0,000 8 e) 4,4 0 b),4 d) 4,8 0 f),00 ),0, por exceso. d) 4,8, por defecto. b),, por exceso. e) 4,, por exceso. c) 0,00, por defecto. f),0, por defecto. Aritmétic y Álgebr

9 4 Clcul el error bsoluto que se comete l tomr 0, como proximción de /. El error bsoluto que se comete es /00. 4 Orden de menor myor los siguientes números, expresándolos previmente en notción científic: ), 0 8,, 0, b), 0,0,0 0 0, Aproxim con un error bsoluto menor que un milésim. Existe un sol proximción? ) 444 0, 0, 0 8 Culquier vlor comprendido en (,04,,0). b) ,0 0 0, 0 0 Si X 0, Y 4, 0 y Z, 0 0,clcul,expresndo el resultdo en notción científic: 4 El número deciml,4 es l proximción por redondeo de cierto número rel. En qué intervlo está comprendido? Escríbelo e indic su incertidumbre. ) (X Y) Z b) X Y Z Está comprendido en el intervlo: (,4,,4 ) ),4 0 b), Lo escribimos como,4 0, A continución se ofrece un tbl con ls proximciones Logritmos de lgunos números reles. Cópil y determin, pr cd Clcul: cso, el tipo de proximción, l incertidumbre o cot de ) log 0,000 0 d) log / g) log error y el intervlo en el que está comprendido el número excto. Indic tmbién el número de cifrs excts y el error b) log (/) e) log 0, h) log reltivo cometido. Cuál de ls proximciones crees que c) log 048 f) log i) log, es l mejor? ) c) e) g) 0 i), 4 L solución est pregunt se encuentr en l tbl de l prte inferior de est págin. Determin entre qué números están comprendidos los vlores exctos de cd un de ls siguientes proximciones: ),8 0,0 b) 84 c) 0,04 0,000 d),0 0, ) (,8,,8) b) ( 88, 8) c) (0,04, 0,04 4) d) (,8,,) Notción científic 48 Utilizndo l notción científic escribe ls siguientes mgnitudes en metros: ) L Unidd Astronómic de distnci es l distnci medi que sepr l Tierr del Sol, su vlor es 4, millones de kilómetros. b) Un ño-luz es l distnci que recorre l luz en un ño (velocidd de l luz km/s). c) El C-elegns fue el primer orgnismo cuyo genom fue completmente secuencido. Su longitud es de proximdmente mm. ),4 0 m b),408 0 m c) 0 m b) 4 d) / f) / h) / Utilizndo ls propieddes de los logritmos, clcul x en ls siguientes expresiones: ) log x b) log / 8 x c) log x / d) log x 4 /8 e) log x 4, 0, f) log x, g) log x h) log (x ) i) log x 0, ) d) g) 4 b) e) 0,8 h) c) f) 40 i) /0 Formul ests expresiones como un solo logritmo: ) (log log ) log log b) ( log ) log c) ln ln ) (log log ) log log log 0 4 log 0 0 b) ( log ) log log ( ) log 4 c) ln ln ln 8 e Vlor excto /,4, 0 Vlor proximdo,,, ,4 Tipo proximción exceso defecto defecto exceso defecto Incertidumbre 0,00 0,000 0, ,000 Intervlo (,8,,) (,,, ) (,44 4,,4 ) ( 84,, ,) (,,,4) Cifrs excts x 0,00 cifrs excts x 0,000 4 cifrs excts x 0,000 4 cifrs excts x 00 cifrs excts Error reltivo 0, % 0,00 % 0,00 % 0,0 % 0,0 % L segund es l mejor proximción. x 0,000 4 cifrs excts. Números reles

10 4 Hll el vlor de pr que se cumpln ls siguientes igulddes: ) log log b) 0 Tres operrios remodeln un cocin trbjndo 8 h diris durnte quince dís. En cuánto tiempo hubiern remodeldo l cocin 4 operrios trbjndo h diris? En 0 dís. c) log log log 4 0 Al medir un niño de 0 cm de ltur se obtuvieron cm y l medir un edificio de 0 m de ltur se obtuvieron m, d) ln log 4 log determin: ) El error bsoluto de ls dos medids. ) log b) El error reltivo de ls dos medids. b) ln 0 c) Cuál te prece l medid más precis? ln 0 ) cm y m, respectivmente. c) log log log b), % y, % respectivmente. d) ln (4) e Clcul x pr que se cumpl cd un de ls siguientes c) L primer medid es más precis. L rist de un cubo mide cm. Cuánto mide su digonl? igulddes: ) log 8 (x ) D 0, cm Clcul l longitud de l digonl de un cj de dimensiones b) x 0,8 04 c) x e d) x ln cm cm 4 cm. D 4, cm L pirámide de Keops tení 0, m de ldo y 4, m de ) 8 / x x 4 ltur, cundo l construyeron en el 400. C. estb recubiert de plnchs de piedr pulid. Cuántos metros cudrdos de piedr pulid necesitron los constructores pr b) 0,8 log x log 04 x recubrirl? c) (x ) ln x ln Clculmos el áre de cutro triángulos isósceles de bse d) (x 0, m y un ltur de: ) ln ln ln x ± ln Clcul cuánto vle k en cd cso: h 4,, 8,4 m ) log x log / x k 0 Necesitron entonces: b) log x k log 4 x ) log x log / x k 0 log x log / x k A 4 0, 8,4 8 88, m log x log x k log x log x k k 4 Se quiere construir un rectángulo áureo. Si el ldo menor b) log x k log 4 x log x k log x k mide cm, cuánto deberá medir el ldo myor? (Recuerd que l rzón áure es,8.) Ejercicios de plicción Indic cuál de ls siguientes opciones es más conveniente: Que te cobren el precio de un rtículo sin IVA. Que te cobren el precio del rtículo más el % de IVA y que después te hgn un descuento del %. Rzon l respuest. L segund opción es l mejor, y que: p, 0,84 0,4 4p p donde p es el precio del rtículo. 8 Un comercinte vende sus rtículos en ls rebjs de enero l 80 % del precio que tenín en diciembre; en ls rebjs de febrero los vende l 0 % del precio de ls de enero. Determin: ) El precio de un jersey en diciembre y enero si en febrero costb 0. b) El precio en diciembre y febrero de unos pntlones que en enero costbn 0. ) 8,8 y,4, respectivmente. b), y, respectivmente., cm Clcul el áre de l zon sombred si D cm, y expres el resultdo con cutro cifrs excts. El ldo del cudrdo mide: cm El áre sombred es: D A,8 cm 4 Aritmétic y Álgebr

11 El punto G es el bricentro del triángulo isósceles ABC, AB AC cm y BC cm. Sbiendo que G cumple 8 Aplicndo ls propieddes de los logritmos, demuestr lo siguiente: GM GA, clcul el áre del triángulo GBC y redonde ) log x log / x b) log el resultdo con un error menor que un milésim. x log x A ) Se log x y; entonces y x. Por otr prte, log / x log / x. Se log / x z, entonces z x o z x. Por tnto, y z, o lo que es igul y z: B M C L ltur del triángulo GBC es h 4. Con este vlor proximdo, el áre es: A 4 cm,por lo que con un error menor que un milésim el resultdo no es único:,84 cm o,8 cm son resultdos válidos. En efecto:,84 0,000848, 4,8 0,000 4 El áre de un hexágono regulr es de cm.hll l longitud del ldo, expresndo est medid con un rdicl. Se l el ldo del hexágono, entonces su potem vle / l, por lo que l/ / l cm. G 0 log x log / x log x log x log x b) log x log / x lo / g (/ ) log l og log x Un poblción sufre un fuerte emigrción y en 0 ños se ve reducid l curt prte. Su decrecimiento es exponencil, del tipo P P e kt,donde k es l ts de decrecimiento, y t, el tiempo, medido en ños. Clcul l constnte k. (/4) e 0k k (ln 4) 0,8 0 El ph de un disolución es el logritmo deciml del inverso de l concentrción de iones hidronio, [H O ], es decir, ph log (/[H O ]). El ph máximo es 4 y, evidentemente, siempre es positivo. Un disolución es ácid si su ph es menor que y básic cundo es myor que. Cuál es el ph de un disolución cuy concentrción de iones hidronio es de 0 mol/l? Es ácid o básic? Sustituyendo se obtiene: ph 4, Es un disolución ácid.. Números reles

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