Los números racionales:

Transcripción

1 El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr clculr y ordenr. El conjunto de los números nturles se simboliz medinte l letr N.. Un deficienci de los números nturles es que no siempre se puede restr ni dividir con ellos. Existen muchs situciones de l vid cotidin que no pueden expresrse medinte números nturles, como por ejemplo, l tempertur mbiente. Los números positivos y negtivos sirven pr expresr cntiddes o posiciones fijs. Tmbién sirven pr expresr vriciones de cntidd (subir-bjr, gsto-ingreso,...). Por este motivo, se mpli el conjunto de los números nturles con un nuevo conjunto numérico que es el de los números enteros, que se simboliz con l letr Z. Pr medir suele ser necesrio frccionr l unidd. El conjunto de los números enteros no sirve pr expresr cntiddes inferiores l unidd: medio kilo, tres curtos de un tryecto,... Con lo cul se introduce un nuevo conjunto, el de los números rcionles. Los números rcionles: Se crcterizn porque pueden expresrse: En form de frcción, es decir, como cociente de dos números enteros. En form deciml: O bien son enteros o bien tienen expresión deciml finit o periódic. Todo número rcionl tiene socid un expresión deciml exct o periódic, pr obtenerl bst dividir el numerdor entre el denomindor. Un crcterístic que tienen los números rcionles es que entre dos números rcionles culesquier existen infinitos números rcionles. Por ello, se dice que el conjunto de los números rcionles es denso: Ddos dos números rcionles culesquier, tomndo l medi ritmétic de mbos obtenemos un número rcionl comprendido entre los dos. Q = / Z, b Z, b 0 b No obstnte, en l rect numéric hy infinitos puntos no ocupdos por números rcionles. Pueden encontrrse números que tienen un expresión deciml infinit no periódic. Ejemplo : - L digonl de un cudrdo de ldo. - L rzón entre l longitud de un circunferenci y su diámetro, el número π = 3, L rzón entre l digonl y el ldo de un pentágono regulr, el número φ = 1, El número e, que es el límite de l sucesión n = 1+ n : e = 2, Los números con infinits cifrs decimles no periódics reciben el nombre de irrcionles y su conjunto se represent con l letr I. Al conjunto formdo por los números rcionles y los irrcionles se le llm conjunto de los números reles y se simboliz con l letr R. n

2 El número rel MATEMÁTICAS I 2 Este conjunto englob todos los conjuntos de números estudidos hst hor. Nturles Enteros Enteros negtivos Rcionles Decimles exctos Reles Puros Decimles periódicos Mixtos Irrcionles N Z Q R = {números rcionles} {números irrcionles} = Q I 1.2. Representción sobre l rect Un rect grdud es quell en l que se hn fijdo dos elementos, el cero u origen, y l unidd, que represent l número 1. Existe un método excto pr representr geométricmente los números irrcionles de l form n. Ejemplo : Representmos 2. Trzmos sobre l rect rel un triángulo de ctetos 1 cm., en el que l hipotenus, por el teorem de Pitágors es 2. Con l yug de un compás lo situmos sobre l rect rel. C C C A B A B A B De form precid podemos representr todos los números irrcionles de l form en el teorem de Pitágors. n, bsándonos Ejemplo : A continución representmos de form gráfic los números 3,

3 El número rel MATEMÁTICAS I 3 Aunque no semos cpces de representr exctmente, por métodos geométricos, l myor prte de los números irrcionles, l representción proximd prtir de l expresión deciml será siempre fible y suficiente pr nuestrs necesiddes. Es fácil situr, sobre l rect rel, los números enteros y los decimles exctos. Por ejemplo, pr representr el número 3,47 procederemos del siguiente modo: Si el número es irrcionl, hbrí que repetir este proceso infinits veces pr siturlo exctmente en su sitio. Si sólo lo efectumos dos o tres veces, hbremos proximdo el número hst l segund o tercer cifr deciml. Ejemplo : Vemos lgunos psos pr situr el número 2 = 1, El número está situdo en el trmo 1,4 y 1,5. Dividiendo este trmo en 10 prtes igules no siturímos en el segundo trmo, y que está situdo entre los números 1,41 y 1,42. Volviendo repetir el proceso, nos siturímos hor en el 5º trmo y que estrímos entre los números 1,414 y 1, Propieddes Propieddes de l sum L sum de números reles verific ls siguientes propieddes: Asocitiv: + (b + c) = ( + b) + c Conmuttiv: + b = b + Elemento neutro: + 0 = Elemento opuesto: + ( ) = 0 Propieddes del producto El producto de números reles verific ls siguientes propieddes: Asocitiv: (b c) = ( b) c Conmuttiv: b = b Elemento neutro: 1 = Elemento inverso: 1 1 = Propiedd distributiv del producto respecto de l sum: (b + c) = b + c

4 El número rel MATEMÁTICAS I Relción de orden Ddos dos números y b, decimos que: < b ( menor que b) si b < 0 > b ( myor que b) si b > 0 b b L relción de orden entre números cumple ls siguientes propieddes: Si < b y b < c, entonces < c Si < b, pr cul quier vlor rel c, se verific + c < b + c. Si < b y c > 0, entonces c < b c Si < b y c < 0, entonces c > b c 2. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS L ordención de los números reles permite hblr del conjunto de números comprendidos entre dos números determindos Hemos podido ver que entre dos números reles culesquier existen infinitos números reles. Pr referirnos todos estos números se utilizn los intervlos Tipos de desigulddes x > : represent todos los números que son myores que. x < : represent todos los números que son menores que x : represent todos los números myores o igules que. x : represent todos los números menores o igules que. Un desiguldd es doble cundo precen dos signos de desiguldd: < x < b: represent los números x tles que x > y x < b > x > b: represent los números x tles que x>b y x<. x b : represent los números x tles que x b y x x b : represent los números x tles que x b y x Ejemplos: 2 x 5 Todos los números reles myores o igules que 2 y menores o igules que 5 x > 7 Todos los números myores que 7 x 2 Todos los números menores o igules que -2

5 El número rel MATEMÁTICAS I Intervlos Un intervlo es un conjunto de números reles que se corresponde con los puntos de un segmento o un semirrect en l rect rel. Cd intervlo viene determindo por sus extremos, siendo dos extremos en el cso de los segmentos o un extremo en el cso de semirrect. Según incluyn o no los puntos extremos, los intervlos pueden ser biertos, semibiertos o cerrdos. Nombre Desiguldd Intervlo Representción x > (, + ) Semirrect (intervlos no cotdos) x < (, ) x [, + ) x (, ] Intervlo bierto < x < b (, b) b Intervlo cerrdo x b [, b] b Intervlo semibierto < x b (, b] x < b [, b ) b b Actividdes resuelts 1.- Ddo el intervlo (-4,7] escribe tres números enteros que pertenezcn dicho intervlo y tres que no pertenezcn. El intervlo (-4,7] está formdo por todos los vlores reles myores que 4 y menores o igules que 7. Vlores que pertenecen: -3, -2, 0, 4, 7 Vlores que no pertenecen: -4, -5, 8, Represent los siguientes intervlos: ) [2, 8] b) [-2, 5) c) [2, + ) d) (-, 4) e) (-1, 2) f) (-5, 2]

6 El número rel MATEMÁTICAS I Escribe como intervlo los puntos de los siguientes segmentos: [-12,-7) [ -3,+ ) ( 5, 8) (-, 13 ) 4.- Represent los intervlos (-2, 2) y [1, 4] y mrc l zon común. ) Qué intervlo represent l zon común? b) Qué intervlo englobrí todos los vlores de mbos intervlos? Los vlores que pertenecen l vez mbos intervlos constituyen el intervlo intersección. En nuestro cso serín los vlores myores o igules que 1 y menores que 2: (-2, 2) [1, 4] = [1, 2) Los vlores que pertenecen uno de los dos intervlos constituyen el intervlo unión. En nuestro cso serín los vlores myores que -2 y menores o igules que 4: (-2, 2) [1, 4] = (-2, 4] 2.3. Entornos Se llm entorno de centro y rdio r, y se denot por E r () o E(,r), l intervlo bierto ( r, + r). Los entornos se expresn con yud del vlor bsoluto: E r (0) = (-r, r) se expres tmbién x <0, o bien, -r < x < r. E r () = ( r, + r) se expres tmbién x <0, o bien, r < x < + r. Se llm entorno reducido de centro y rdio r y se denot por E*(,r), l intervlo: E*(,r) = E(,r) {} = ( r, + r) {} Entornos lterles Por l izquierd: E r ( ) = ( r, ) Por l derech: E r ( + ) = (, + r)

7 El número rel MATEMÁTICAS I Conjuntos cotdos Un conjunto A de números reles está cotdo superiormente por un número rel M si todos los elementos de A son menores o igules que M: A cotdo superiormente por M M, A Dicho número M se llm cot superior de A. Si A está cotdo superiormente, existen infinits cots superiores. L menor de ls cots superiores se denomin supremo del conjunto A y se denot por sup A Si existe lgun cot superior de A que pertenece l conjunto A se le denomin máximo del conjunto A. Un conjunto A de números reles está cotdo inferiormente por un número rel N si todos los elementos de A son myores o igules que N: A cotdo inferiormente por N N, A Dicho número N se llm cot inferior de A. Si A está cotdo inferiormente, existen infinits cots inferiores. L myor de ls cots inferiores se denomin ínfimo del conjunto A y se denot por inf A Si existe lgun cot inferior de A que pertenece l conjunto A se le denomin mínimo del conjunto A. Un conjunto A de números reles está cotdo si lo está superior e inferiormente: A cotdo por M y N N M, A Actividdes resuelts Estudi l cotción de los siguientes conjuntos y hll en los csos que se posible el máximo y el mínimo: ) A = { x R / x 2} Representmos gráficmente el conjunto A: En l representción observmos que el conjunto está cotdo superiormente pero no inferiormente. Un cot superior puede ser culquier número rel que se myor o igul que 2. L menor de tods ls cots superiores es 2, que pertenece l conjunto A. Por tnto, máx A = 2. b) B = ) ( 2, 4 1,6 Representmos gráficmente el conjunto B: Gráficmente observmos que l intersección de los dos conjuntos es el intervlo I = (1,4). Dicho conjunto está cotdo inferior y superiormente y que culquier elemento x de I verific 1 < x < 4. No tiene ni máximo ni mínimo.

8 El número rel MATEMÁTICAS I 8 3. VALOR ABSOLUTO El vlor bsoluto de un número rel indic l distnci de ese número l origen 0. Distnci = 12 Distnci = 12 Distnci = 3 Distnci = El vlor bsoluto de un número rel se represent por Si el número es positivo o 0, su vlor bsoluto es el mismo número. Ejemplos: 12 = 12 ; 5 = 5 Si el número es negtivo, su vlor bsoluto es el opuesto del número. Ejemplos: -3 = 3 ; -12 = Propieddes El vlor bsoluto de un número y su opuesto es el mismo: = x = x = ± x < - < x < x (,) x > x > ó x < - x (, ) (, + ) El vlor bsoluto de un producto de vrios números es igul l producto de los vlores bsolutos de cd fctor: b = b El vlor bsoluto de un sum es menor o igul que l sum de los vlores bsolutos de los sumndos: + b + b 3.2. Distnci entre dos puntos Se define l distnci entre dos números reles y b, que denotremos d(,b), como el vlor bsoluto de l diferenci de esos números: d(,b) = b

9 El número rel MATEMÁTICAS I 9 Actividdes resuelts 1.- Reliz ls siguientes operciones con vlores bsolutos indicds continución: ) b) c) d) ) = = = 9 b) = = 8 c) = = 4 5 = 1 d) = = Indic qué vlores de x cumplen ls siguientes condiciones: ) x = 4 b) x = 0 c) x = -2 d) x < 1 e) x > 4 ) Los vlores de x son 4 y 4. b) El único vlor es 0. c) No existe ningún vlor y que siempre el vlor bsoluto es positivo. d) Hy que buscr en l rect rel quellos vlores que disten menos de l unidd del 0. Por l derech del 0 tenemos los vlores que son menores que 1 y por l izquierd del 0, los vlores que son myores que 1. e) Hy que buscr en l rect rel quellos vlores que disten más de 4 uniddes del 0. Por tnto, serín los vlores myores que 4 y los vlores menores que 4.