CORTADURAS DE DEDEKIND
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- Rosario Herrera Alarcón
- hace 9 años
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1 CORTDURS DE DEDEKIND En l evolución de est teorí se distinguen tres etps: l primer prece influid por l ide del número rel como un objeto preexistente: cd número rel produce un cortdur; l cortdur define l número y éste determin l primer Dedekind. L segund etp es l del pensmiento concreto: cd número rel es un cortdur. L tercer etp inugurd por Hilbert está domind por el pensmiento xiomático: ls cortdurs sirven pr probr que l noción de cuerpo ordendo completo es consistente con l ritmétic de los números rcionles. Desde el punto de vist xiomático el único objeto de l teorí de ls cortdurs que exponemos continución es construir un ejemplo de cuerpo ordendo completo. El ciclo se cierr l probr que culquier cuerpo ordendo completo es isomorfo l cuerpo de ls cortdurs. Suponemos conocids ls propieddes del cuerpo ordendo de los números rcionles l que denotmos por Q. Entre ls que nos hrán flt destcmos l densidd: el hecho de que entre dos números rcionles distintos se encuentr siempre otro número rcionl y l rquimedinidd: el hecho de que pr culquier número rcionl positivo r existe un entero positivo n tl que / n r. En lo que sigue l plbr número es sinónimo de número rcionl; no hy por hor otros números. Los enuncidos más sencillos vn señldos con números romnos y en lgunos csos nos h precido conveniente omitir l fácil demostrción. Definición. Llmmos cortdur un conjunto o clse de números rcionles que stisfg ls siguientes propieddes:. y Q; es decir es un subconjunto propio de Q;. si r y s > r entonces s ; es decir todo número myor que un elemento de pertenece tmbién ; 3. no tiene mínimo. L clse complementri formd por los números rcionles que no pertenecen posee entonces l siguiente propiedd:
2 si r y s entonces r s. En efecto si fuer r s en virtud de se tendrí r. ntes de seguir delnte conviene nlizr con cuiddo los siguientes ejemplos. Ejemplos. Pr cd número r el conjunto de los números myores que r es un cortdur que denotmos por r. En prticulr está formd por los números positivos y por los números myores que.. Denotemos por el conjunto de los rcionles positivos que verificn r >. Es clro que culquier de estos números es myor que y que si r l relción s > r implic s. Tmbién es clro que no es vcí y que tmpoco lo es l clse complementri ést contiene l número y todos los números negtivos. Pr probr que es un cortdur sólo fltrí mostrr que no tiene mínimo. Ddo r si δ entonces tendremos r δ > y demás: r δ r rδ δ > r rδ y el último número es myor que siempre que se cumpl r / r > δ. hor bien un número δ entre y que cumpl l últim condición es por ejemplo r δ. r r Este número verific ls condiciones que se requieren pr que > sber: r δ > y r δ. r δ pertenezc Hemos probdo que es un cortdur. Sin embrgo est cortdur difiere de ls del ejemplo nterior en el hecho de que su clse complementri no tiene máximo. En efecto se r un número positivo que verific r. Entonces podemos hllr un número δ entre y que verifique r δ. Pues si δ tendremos:
3 r δ r rδ δ r rδ δ r r δ condición de que se cumpl δ r /r. Bst entonces elegir: δ r r r r 3 r r pr tener cumplids ls dos condiciones. Qued sí demostrdo que es un cortdur cuy clse complementri no tiene máximo. En delnte denotmos ls cortdurs por letrs griegs:... ; los elementos de cd un de ells por ls correspondientes letrs myúsculs: B C... y los de sus respectivs clses complementris por ls correspondientes letrs minúsculs: b c... lo que fcilit lgunos rzonmientos si se tiene en cuent que en culquier circunstnci será b B c C... etc. Ordención. Es fácil ver que pr culquier pr de cortdurs se verific lgun de ls inclusiones: o bien. En efecto si no está incluid en existe un número en que no está en y por consiguiente b un número de l clse. Pero entonces culquier B de l clse verific B > de donde B por definición de cortdur. Hemos probdo que si no está incluid en entonces está incluid en. Q.E.D. Definición. si y sólo si. Se ve fácilmente que l relción es un relción de orden reflexiv ntisimétric y trnsitiv. Como es usul: i signific y ; ii equivle y finlmente iii equivle >. 3
4 Un conjunto de cortdurs Γ se llm cotdo inferiormente si existe un cortdur con l propiedd de que pr todo Γ implic. De culquier cortdur que teng est propiedd decimos que es un cot inferior de Γ. En form simétric se definen los conceptos de conjunto cotdo superiormente y cot superior. Teorem. Si Γ es no vcío y cotdo inferiormente existe un cortdur tl que º es un cot inferior de Γ ; º si es un cot inferior de Γ entonces. En otrs plbrs es l cot inferior máxim de Γ. Demostrción. Supongmos que l cortdur verific pr culquier del conjunto Γ. En otrs plbrs supongmos que pr cd Γ implic. Definmos hor l clse de números rcionles como unión de tods ls cortdurs del conjunto Γ: 8. Γ Es decir r si y sólo si r pr lgún del conjunto Γ. Es fácil ver que: º ; º es un cortdur; 3º Γ implic es decir. Luego l cortdur es un cot inferior de Γ. Notemos que y que est relción se mntiene válid si en el lugr de se pone culquier cot inferior de Γ. Lo que demuestr que es l cot inferior máxim de Γ. 4 Q.E.D.
5 L cortdur se llm extremo inferior o ínfimo de Γ y se denot por inf Γ. Corolrio. Si un conjunto Γ de cortdurs es no vcío y cotdo superiormente entonces Γ posee un cot superior mínim. En efecto el conjunto Σ formdo por ls cots superiores de Γ es no vcío y cotdo inferiormente por culquier elemento de Γ; de donde se sigue que l cortdur σ inf es un cot superior de Γ es decir un elemento de Σ y por consiguiente el mínimo de este conjunto. Q.E.D. L cortdur σ se llm extremo superior o supremo de Γ y se denot por supγ. Σ El siguiente lem será de grn utilidd pr estudir ls propieddes ritmétics de ls cortdurs: Lem. Ddos: un cortdur un número de su clse complementri y un número t > existe un pr de números y tl que y t. Pr demostrrlo elegimos un número en y un número nturl n tl que t n propiedd de rquímedes; y continución elegimos el mínimo entero k tl que k. Nótese que n pr k n se obtiene y pr k se obtiene. Entonces los números: k y n k verificn ls n condiciones del lem. En prticulr pr culquier y culquier número t > existe un pr de números y tl que t. 5
6 Sum de cortdurs. L sum de ls cortdurs y se define por medio de l fórmul { B : B }. prtir de l definición se demuestrn fácilmente ls siguientes propieddes: I.. II.. Pr l demostrción de l segund bst recordr que los elementos de son los números positivos y que no tiene mínimo: si Entonces. existe III. Pr culquier existe un cortdur tl que. tmbién en. Pongmos: { B : B > pr lgún en }. Es muy fácil probr que l clse es un cortdur: no es vcí pues bst elegir B con lgún en pr tener un elemento de. En cunto l clse complementri de si el número no puede pertenecer pues l desiguldd > equivle que es bsurd. Luego y. Por l definición de se ve clrmente que todo número myor que un elemento de es otro número de l mism clse. 3 Por último si B > bst elegir un número B que verifique B > B > pr tener un número menor que B en l clse ; es decir no tiene mínimo. Probemos hor que. En efecto un número de tiene l form B donde y B > pr lgún en l clse inferior de. Pero entonces B > > 6
7 lo que muestr que B. Recíprocmente si t entonces t > y en virtud del lem nterior existen números y tles que t. Por consiguiente existe un número positivo s tl que t s s B. Q.E.D. L cortdur de l demostrción nterior se represent por medio del símbolo. Ejercicio. Mostrr que si entonces l cortdur opuest de es únic. En prticulr. IV. Si entonces pr culquier. En efecto si entonces. Definición.. Ejercicio. Mostrr que equivle. En prticulr equivle. Producto de cortdurs no negtivs. De un cortdur que verifique decimos que es no negtiv; ls que verificn > se llmn positivs. Notemos que equivle de modo que los números de un cortdur no negtiv son todos positivos. Pr que se positiv se requiere que hy un número positivo en l clse complementri. El producto de cortdurs no negtivs se define por l siguiente fórmul: Definición. { B : B }. Probemos primero que l clse sí definid es un cortdur. Clrmente no es vcí y su complemento que incluye l cero y todos los rcionles negtivos tmpoco lo es. Si el número r es myor que un número B de l clse entonces existe un número s > tl que 7
8 s r B s B B lo que muestr que r está en l clse. 3 Que l clse no tiene mínimo es muy clro si se piens que no lo tiene ningun de ls cortdurs y y que ésts constn de números positivos exclusivmente. Q.E.D. Tods ls cortdurs que se considern en lo que rest del presente párrfo son no negtivs. V.. Probmos solmente l tercer ley distributiv. Culquier número del primer miembro tiene l form B C B C que es l form de un número del segundo miembro. Recíprocmente un número del segundo miembro es de l form B C. Si suponemos que tendremos B C B C B C un número del primer miembro. Por tnto el número considerdo tmbién pertenece l primer miembro. VI.. En efecto un número del primer miembro es de l form r con r > que d como resultdo un número de por ser myor que. Recíprocmente: si puesto que ningun cortdur tiene mínimo existe en l mism clse un número. Entonces el número número del primer miembro. Q.E.D. tiene l form de un Ejercicio 3. Mostrr que. VII. Si > entonces existe un cortdur tl que. Puesto que es positiv existe un número en l clse inferior de. Definmos l clse de l siguiente mner: { B : B > pr lgún > en l clse complementri }. > 8
9 9 En primer lugr es muy fácil probr que l clse sí definid es un cortdur positiv. Pr probr l iguldd del enuncido comencemos observndo que un número del primer miembro tiene l form B con B / > pr lgún positivo en l clse inferior de. Pero entonces / > > B y B es un número del segundo miembro. Recíprocmente: se > r. En virtud del lem pr culquier t positivo existen números y C tles que y. t Luego r t siempre que elijmos. r t Entonces existe un número > s tl que B s s r lo que muestr que r es un número de l clse. Q.E.D. Producto de cortdurs culesquier. Extendemos l definición del producto culquier pr de cortdurs por medio de ls siguientes fórmuls:. y si y si y si VIII. regl de los signos. El nálisis de los cutro csos posibles se dej como ejercicio. IX.. L demostrción exige un considerción de csos: º. Entonces [ ]. º. Por el cso nterior
10 [ ]. 3º. Este cso se reduce los nteriores por l propiedd conmuttiv de l sum. 4º. En este cso [ ] con lo que se gotn tods ls posibiliddes pr el cso. Finlmente si podemos empler de entrd l regl de los signos:. Q.E.D. X. Si y entonces. Resumiendo hemos probdo el siguiente teorem: Teorem. Existe un cuerpo ordendo en el que todo subconjunto no vcío y cotdo superiormente posee un cot superior mínim. Un cuerpo ordendo con dichs propieddes se llm completo y es esencilmente único en el sentido de que culquier otro cmpo con ls misms propieddes es isomorfo él. Bibliogrfí. T.J. Bromwich n Introduction to the Theory of Infinite Series Chelse 99.. T. Dntzig Number The Lnguge of Science The Mcmillm Compny R. Dedekind Essys on the Theory of Numbers Dover N. York G.H. Hrdy Course of Pure Mthemtics Cmbridge University Press décim edición E.W. Hobson The Theory of Functions of Re l Vrible Cmbridge University Press Vol. I W. Rudin Principles of Mthemticl nlysis 3. edición McGrw Hill 976. Norberto Fv Buenos ires 3 de bril de 999
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