Autómatas sobre palabras infinitas

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Sara Castro Ponce
hace 9 años
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1 Autómts sobre plbrs infinits Mrcelo Arens M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 1 / 46

2 Teorí de utómts sobre plbrs infinits Los utómts sobre plbrs infinits son un herrmient fundmentl pr l verificción forml. Un de sus plicciones: Algoritmo de verificción pr LTL. En este cpítulo vmos estudir en detlle estos utómts. Y su conexión con lógics temporles. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 2 / 46

3 Autómts sobre plbrs infinits: Formlizción Ddo: Alfbeto finito Σ. Definición Un plbr infinit w sobre Σ es un secuenci 0 1 2, donde cd i Σ (i 0). Σ ω : Conjunto de tods l plbrs infinits sobre Σ. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 3 / 46

4 Autómts sobre plbrs infinits: Formlizción Definición A = (Q,Σ,Q 0,δ,F) es un utómt de Büchi no-determinist (NB) sobre Σ si: Q es un conjunto finito de estdos; Q 0 Q es un conjunto no vcío de estdos iniciles; δ : Q Σ 2 Q es un función de trnsición; F Q es un conjunto de estdos finles. Si Q 0 = 1 y pr cd (q,) Q Σ se tiene que δ(q,) 1, entonces decimos que A es determinist (DB). M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 4 / 46

5 Autómts de Büchi: Condición de ceptción Ddo: A = (Q,Σ,Q 0,δ,F) Un función ρ : N Q es un ejecución de A sobre un plbr w = si ρ(0) Q 0 ; pr cd i 0: ρ(i + 1) δ(ρ(i), i ). Concepto fundmentl: Inf(ρ) = {q Q {i ρ(i) = q} es infinito}. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 5 / 46

6 Autómts de Büchi: Condición de ceptción Ddo: A = (Q,Σ,Q 0,δ,F) Definición A cept un plbr infinit w si existe un ejecución ρ de A sobre w tl que Inf(ρ) F. Lenguje ceptdo por un utómt: L ω (A) = {w Σ ω A cept w}. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 6 / 46

7 Autómt de Büchi: Ejemplo Qué lengujes ceptn los siguientes utómts? b q 0 b q 1, b b q 0 b q 1 M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 7 / 46

8 Autómts de Büchi: Propieddes de clusur Vmos determinr si los utómts de Büchi son cerrdos bjo ls siguientes operciones: Unión Intersección Determinizción Complementción Ests operciones son fundmentles pr los lgoritmos de verificción. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 8 / 46

9 Unión de utómts de Büchi Decimos que los utómts de Büchi son cerrdos bjo unión, si pr cd pr de utómts A y B, existe un utómt C tl que: L ω (C) = L ω (A) L ω (B). Ser cerrdo bjo intersección se define de l mism form. Teorem Los utómts de Büchi son cerrdos bjo unión. Ejercicio: Demuestre el teorem. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 9 / 46

10 Intersección de utómts de Büchi Teorem Los utómts de Büchi son cerrdos bjo intersección. Demostrción: Primero vmos mostrr que el producto de utómts no puede ser usdo directmente pr el cso infinito. Considere los siguientes utómts de Büchi sobre el lfbeto Σ = {}: A : 0 1 B : 0 1 M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 10 / 46

11 Intersección de utómts de Büchi Se tiene que: L ω (A) = L ω (B) = { ω }. Pero: (0, 0) (1, 1) A B: (0, 1) (1, 0) Por lo que L ω (A B) = L ω (A) L ω (B). M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 11 / 46

12 Intersección de utómts de Büchi Vemos como construir un utómt pr l intersección: Supong que A = (Q 1,Σ,Q0,δ 1 1,F 1 ), B = (Q 2,Σ,Q0,δ 2 2,F 2 ). Definimos: C = (Q 1 Q 2 {1,2},Σ,Q 1 0 Q 2 0 {1},δ,F) M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 12 / 46

13 Intersección de utómts de Büchi Donde: Pr q 1 F 1, q 2 Q 2 y Σ: δ((q 1,q 2,1),) = δ 1 (q 1,) δ 2 (q 2,) {2}. Pr q 1 Q 1 \ F 1, q 2 Q 2 y Σ: δ((q 1,q 2,1),) = δ 1 (q 1,) δ 2 (q 2,) {1}. Pr q 1 Q 1, q 2 F 2 y Σ: δ((q 1,q 2,2),) = δ 1 (q 1,) δ 2 (q 2,) {1}. Pr q 1 Q 1, q 2 Q 2 \ F 2 y Σ: δ((q 1,q 2,2),) = δ 1 (q 1,) δ 2 (q 2,) {2}. F = F 1 Q 2 {1}. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 13 / 46

14 Determinizción de utómts de Büchi Decimos que un utómt de Büchi A es determinizble si existe un utómt determinist B tl que L ω (A) = L ω (B). Todos los utómts sobre plbrs finits son determinizble. Esto es flso pr el cso infinito! Construcción bsd en subconjuntos de estdos no funcion. Vmos construir un NB A tl que pr todo DB B se tiene que L ω (A) L ω (B). M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 14 / 46

15 Determinizción de utómts de Büchi Se Σ = {,b} y:, b b b A : q 0 q 1 Entonces: L ω (A) = {w Σ ω w tiene un número finito de símbolos } Primero vmos mostrr que l construcción bsd en subconjuntos no funcion en este cso. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 15 / 46

16 Determinizción de utómts de Büchi Utilizndo l construcción de subconjuntos genermos el siguiente utómt: b B : {q 0 } {q 0,q 1 } b Qué lenguje cept este utómt? {w Σ ω w tiene un número infinito de símbolos b}. Se tiene que L ω (A) L ω (B). Nótese que esto no implic que A no se determinizble. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 16 / 46

17 Determinizción de utómts de Büchi Supong que A es determinizble: Existe un DB B tl que L ω (A) = L ω (B). Supong que F es el conjunto de estdos finles de B. Como b ω L ω (A), existe i 0 > 0 tl que pr l únic ejecución ρ 0 de B sobre b ω : ρ 0 (i 0 ) F. Como b i 0 b ω L ω (A), existe i 1 > 0 tl que pr l únic ejecución ρ 1 de B sobre b i 0 b ω : ρ 1 (i i 1 ) F. Nótese que ρ 1 (i 0 ) F. Por qué? M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 17 / 46

18 Determinizción de utómts de Büchi En generl: Ddo k 1, existen i 0,i 1,...,i k > 0 tles que pr l únic ejecución ρ k de B sobre b i 0 b i 1 b i k 1b ω : ρ k (i i i j ) F, pr todo j [0,k]. Si k > F, existen 0 p < q k tles que ρ k (i i i p ) = ρ k (i i i q ). Por lo tnto: b i 0 b i 1 b ip (b i p+1 b iq ) ω L ω (B). Est plbr tiene un número infinito de símbolos : Tenemos un contrdicción. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 18 / 46

19 Complementción de utómts de Büchi Decimos que un utómt de Büchi A es complementble si existe un utómt de Büchi B tl que L ω (B) = Σ ω \ L ω (A). Teorem Cd utómt de Büchi es complementble. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 19 / 46

20 Complementción de utómts de Büchi Cómo podemos demostrr el teorem? No podemos usr l técnic usul de complementción porque los utómt de Büchi no son determinizble. Ni siquier pr DBs es posible usr l técnic usul de complementción. Ejercicio: Suponiendo que Σ = {}, construy el complemento de A : 0 1 Este es el problem más difícil que vmos estudir en este cpítulo. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 20 / 46

21 Autómts de Muller Pr resolver el problem de l complementción vmos introducir otros dos modelos de utómt sobre plbrs infinits. Definición A = (Q,Σ,Q 0,δ, F) es un utómt de Muller no-determinist (NM) sobre Σ si: Q es un conjunto finito de estdos; Q 0 Q es un conjunto no vcío de estdos iniciles; δ : Q Σ 2 Q es un función de trnsición; F 2 Q es un colección de subconjuntos de Q. Si Q 0 = 1 y pr cd (q,) Q Σ se tiene que δ(q,) 1, entonces decimos que A es determinist (DM). M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 21 / 46

22 Autómts de Muller: Condición de ceptción Ddo: Autómt de Muller A = (Q,Σ,Q 0,δ, F) Definición A cept un plbr infinit w si existe un ejecución ρ de A sobre w tl que Inf(ρ) F. Ejercicio: Construy un DM que cepte el lenguje: {w {,b} ω w tiene un número finito de símbolos }. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 22 / 46

23 Autómts de Muller: Alguns propieddes básics Teorem Pr cd NB A, existe un NM B tl que L ω (A) = L ω (B). Ejercicio: Demuestre el teorem. Proposición Pr cd DM A, existe un DM B tl que L ω (B) = Σ ω \ L ω (A). Ejercicio: Demuestre l proposición. M. Arens Autómts sobre plbrs infinits 23 / 46

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