Lenguajes Regulares. Departamento de Informática e Ingeniería de Sistemas C.P.S. Universidad de Zaragoza. Última revisión: Feb.

Transcripción

1 Lengujes Regulres Deprtmento de Informátic e Ingenierí de Sistems C.P.S. Universidd de Zrgoz Últim revisión: Fe LengujesRegulres..ppt 27/03/2006 1

2 Índice Prolem de especificción de lengujes Lengujes regulres Expresiones regulres LengujesRegulres..ppt 27/03/2006 2

3 Especificción de lengujes: Introducción Hst hor h sido sencillo especificr qué cdens pertenecen un determindo lengujes sore lgún lfeto Σ. Ojetivo: L dígitos = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} Encontrr formlismos que me permitn definir lengujes más complejos. Cuántos lengujes diferentes puedo definir sore un determindo lfeto Σ? Cálculo del número de plrs del lenguje universl Σ*. Cálculo del número de suconjuntos, en este cso sulengujes, que puedo formr con ls plrs del lenguje universl Σ*. LengujesRegulres..ppt 27/03/2006 3

4 Especificción de lengujes (II) Teorem: Pr todo Σ, Σ* es infinito numerle. Consideremos el lfeto Σ = {, } Orden lexicográfico: ε,,,,,,,,... Numermos ls plrs por orden lexicográfico: ε Conclusión (informl): ddo que hemos construído un función iyectiv de Σ* N, se tiene que Σ* es infinito numerle. LengujesRegulres..ppt 27/03/2006 4

5 Especificción de lengujes (III) Teorem: El conjunto de todos los lenguje sore Σ no es numerle. Demostrción: Supongmos que el conjunto de todos los lengujes sore Σ (L) es numerle. Si es numerle L = {A 0, A 1, A 2,...} Como Σ* es numerle, Σ*={w 0, w 1, w 2,...} Se B = {w i w i A i }, plrs que no pertenecen l lenguje con su mismo índice. B es un lenguje sore Σ luego B = A k pr lgún k. Si w k B, entonces w k A k (= B), luego w k B Si w k B, entonces w k A k (= B), luego w k B. Conclusión: L suposición de que el conjunto de todos los lengujes sore Σ es numerle es fls. Luego el conjunto es no numerle. LengujesRegulres..ppt 27/03/2006 5

6 Especificción de lengujes: Conclusiones Cuál es l mgnitud del prolem de especificr lengujes sore un Σ? Existe lgún método suficientemente expresivo cpz de especificr todos los lengujes sore un Σ? Con qué método podemos especificr todos esos lengujes? LengujesRegulres..ppt 27/03/2006 6

7 Lengujes regulres Se el lfeto Σ. El conjunto de lengujes regulres se define de mner recursiv como sigue: 1) φ es un lenguje regulr. 2) {ε} es un lenguje regulr. 3) Pr todo Σ, {} es un lenguje regulr. 4) Si A y B son lenguje regulres, entonces A B, A B y A* son lengujes regulres. 5) Ningún otro lenguje sore Σ es regulr LengujesRegulres..ppt 27/03/2006 7

8 Lengujes regulres: ejemplos. Ddo Σ = {,}, ls siguientes firmciones son cierts: φ y {ε} son lengujes regulres {} y {} son lengujes regulres {, } es un lenguje regulr {} es un lenguje regulr {,, } es un lenguje regulr { i i 0} es un lenguje regulr { i j i 0 y j 0} es un lenguje regulr {() i i 0} es un lenguje regulr LengujesRegulres..ppt 27/03/2006 8

9 Lengujes regulres: ejemplos (II) Ddo Σ = {,,c}, El lenguje de tods ls cdens sore el Σ que no contiene ningun sucden c es regulr? {c}, {}, {} son L.R. (3) {c}* es un L.R. (4, *) {}{c}* es un L.R. (4, ) {} {}{c}* es un L.R. (4, ) ({} {}{c}*)* es un L.R. (4, *) {c}*({} {}{c}*)* es un L.R. (4, ) Es este lenguje el que uscámos? Result engorroso construir y especificr lengujes regulres. LengujesRegulres..ppt 27/03/2006 9

10 Expresiones regulres Ls expresiones regulres permiten representr de mner simplificd un lenguje regulr. Ls expresiones regulres sore un Σ y el lenguje que denotn se define recursivmente como: 1) φ es un e.r y denot el lenguje vcío 2) ε es un e.r y denot el lenguje {ε} 3) Pr cd Σ, es un e.r y denot el lenguje {} 4) Si α, β son dos e.r que denotn los lengujes A y B, entonces: 1) α + β es un e.r que denot A B 2) αβ es un e.r que denot A B 3) α* es un e.r que denot A* 5) Orden de precedenci operdores * + (se pueden usr préntesis) LengujesRegulres..ppt 27/03/

11 Expresiones regulres: Ejemplos Ddo el lfeto Σ = {,,c}: Lenguje Universl Σ* (++c)* L = { w w es múltiplo de 3} ((++c) (++c) (++c))* L = { w w es pr} ((+c)* (+c)* (+c)*)* + (+c)* L = { w w contiene l suplr c } (++c)* c (++c)* Not: Usremos l notción w pr denotr el número de ocurrencis del símolo en l plr w LengujesRegulres..ppt 27/03/

12 Expresiones regulres: Equivlenci Cundo se necesrio diferencir entre expresión regulr r y el lenguje denotdo por l mism, usremos L(r) pr denotr el lenguje. Dos expresiones regulres r y s sore un mismo Σ se dice que son equivlentes, si L(r) = L(s) Ejemplo: r = (*)* s = ε+(+)* L(r) = L(s) = {plrs con 0 o más es y es que son l plr vcí o tienen un l finl} LengujesRegulres..ppt 27/03/

13 Expresiones Regulres: Ejemplo de Equivlenci Sen r, s dos e.r, Son equivlentes ls siguientes expresiones regulres? r (sr)* = (rs)* r Conclusión: Se podrá simplificr expresiones regulres reemplzándols por otrs por otrs equivlentes pero menos complejs. LengujesRegulres..ppt 27/03/

14 Expresiones regulres: Simplificción Teorem: Sen r, s, t expresiones regulres sore un mismo lfeto Σ. Entonces: 1. r + s = s + r 2. r + φ = r = φ + r 3. r + r = r 4. (r + s) + t = r + (s + t) 5. rε = εr = r 6. rφ = φr = φ 7. (rs)t = r(st) 8. r(s+t) = rs+rt, y (r+s)t = rt+st 9. r*= r**= r*r*=(ε+r)*=r*(r+ε)=(r+ε)r*= ε+rr* 10. (r+s)*=(r*+s*)*=(r*s*)*=(r*s)*r*=r*(sr*)* 11. r(sr)*=(rs)*r 12. (r*s)*= ε+(r+s)*s 13. (rs*)*= ε+r(r+s)* 14. s(r+ ε)*(r+ ε)+s=sr* 15. rr*=r*r LengujesRegulres..ppt 27/03/

15 Reconocimiento de Plrs Ojetivo: Construir digrms que nos yuden determinr si un plr w pertenece un lenguje L. Digrms de Trnsición: Tienen form de grfo dirigido con informción dicionl. Dos tipos de elementos: Nodos (estdos): representn hst que lugr h sido reconocid l cden. Arists (trnsiciones) etiquetds con símolos del Σ: si el siguiente crácter de l plr corresponde con el símolo de lgun de ls rists de slid del nodo ctul, nos desplzmos l estdo l que nos llev es rist. Dos tipos de Nodos (estdos) especiles: Nodo Inicil: donde comenzmos el reconocimiento de l plr. Nodos Finl o de Aceptción: quellos que determinn que un plr es legl. LengujesRegulres..ppt 27/03/

16 Reconocimiento de Plrs: Ejemplos L = { k k 0} sore Σ = {,},, L = {() i i 1} sore Σ = {,}, LengujesRegulres..ppt 27/03/

17 Reconocimiento de Plrs: Ejemplos(II) L = {() i i 0} sore Σ = {,}, LengujesRegulres..ppt 27/03/

18 Reconocimiento de Plrs: Ejemplos(II) L = {() i i 0} sore Σ = {,} q 0 q 1 q 2, Podemos representr el Digrm de Trnsición por medio de un tl: Entrd Estdo Actul q 0 q 1 q 1 q 2 q 2 q 0 q 2 q 2 q 2 LengujesRegulres..ppt 27/03/

19 Autómt Finito Determinist Un Autómt Finito Determinist M es un colección de cinco elementos: Un lfeto Σ de entrd. Un colección Q finit de estdos. Un estdo inicil s (s Q). Un colección F de estdos finles o de ceptción (F Q). Un función δ: Q x Σ Q que determin el ÚNICO estdo siguiente pr el pr (q i, σ) correspondiente l estdo ctul y l entrd. Arevitur de un AFD: M = (Σ, Q, s, F, δ) LengujesRegulres..ppt 27/03/

20 Autómt Finito Determinist: Ejemplos L = {() i i 0} sore Σ = {,} q 0 q 1 q 2 M = (Σ, Q, s, F, δ) Σ = {,}, Q = {q 0, q 1, q 2 } s = q 0 F = {q 0 } δ q 0 q 1 q 2 q 1 q 2 q 0 q 2 q 2 q 2 LengujesRegulres..ppt 27/03/

21 Autómt Finito Determinist: Ejemplos (II) Se M = (Σ, Q, s, F, δ), Σ = {, } Q = {q 0, q 1 } s = q 0 δ q 0 q 0 q 1 q 1 q 1 q 0 F = {q 0 } Se M = (Σ, Q, s, F, δ), Σ = {, } Q = {q 0, q 1,q 2, q 3 } s = q 0 F = {q 0, q 1,q 2 } δ q 0 q 0 q 1 q 1 q 0 q 2 q 2 q 0 q 3 q 3 q 3 q 3 Cuáles son sus digrms de trnsición? Qué lenguje cept cd utómt? LengujesRegulres..ppt 27/03/

22 Autómts Finitos Determinists y Lengujes: Definiciones Se M un AFD, el lenguje ceptdo por M es, L(M) = {w Σ* w es ceptd por M } es decir, el conjunto de cdens que hce que M pse de su estdo inicil uno de sus estdos de ceptción. Ejemplo (AFD ejemplo nterior): L(M) = {w {,}* w no contiene tres s consecutivs} Sen M1 y M2 dos AFD, se dice que son equivlentes, si L(M1) = L(M2) Ejemplo: Se Σ = {}, son equivlentes Mi? M1 M2 M3 LengujesRegulres..ppt 27/03/

23 Autómt Finito No Determinist Los utómts M1 y M2 reconocer el mismo lenguje L? M1 q 1 q 0, q 2 q 3 q 4 q 5,, q 6 M2 q 0 q 1 q 2 q 4 q 3 LengujesRegulres..ppt 27/03/

24 Autómt Finito No Determinist Amos utómts reconocen el lenguje * + * Entonces, cuáles son ls diferencis entre M1 y M2?: Cd estdo de M1 tiene un únic trnsición pr cd símolo del Σ (δ es un función). Cd estdo de M2 tiene cero, un o más trnsiciones pr cd símolo del Σ (regl de trnsición) Indeterminismo. En ocsiones result más conveniente diseñr utómts finitos No determinists (como por ejemplo, M2) LengujesRegulres..ppt 27/03/

25 Autómt Finito No Determinist Un Autómt Finito No Determinist M es un colección de cinco elementos: Un lfeto Σ de entrd. Un colección Q finit de estdos. Un estdo inicil s (s Q). Un colección F de estdos finles o de ceptción (F Q). Un relción : Q x Σ Q que se llm relción de trnsición, (q i, σ) Q, tl que q i Q y σ Σ Arevitur de un AFN: M = (Σ, Q, s, F, ) LengujesRegulres..ppt 27/03/

26 Autómt Finito No Determinist: Ejemplos Se el AFN M = (Σ, Q, s, F, ): Σ = {, } Q = {q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 } s = q 0 F = {q 2, q 3, q 4 } q 0 {q 1, q 4 } {q 3 } q 1 {q 1 } {q 2 } q 2 φ φ q 3 φ φ q 4 φ {q 4 } Digrm de Trnsición de M q 0 q 1 q 2 q 4 q 3 LengujesRegulres..ppt 27/03/

27 Autómt Finito No Determinist: Ejemplos (II) Se el AFN M = (Σ, Q, s, F, ): Σ = {, } Q = {q 0, q 1, q 2 } s = q 0 F = {q 0 } q 0 {q 1 } φ q 1 φ {q 0, q 2 } q 2 {q 0 } φ Cuál es el digrm de trnsición que represent el AFN M? Cuál es lenguje regulr que cept el AFN M? Pertenece l plr l lenguje regulr ceptdo por el AFN M? LengujesRegulres..ppt 27/03/

28 Autómts Finitos No Determinists y Lengujes: Definiciones Se M un AFN, el lenguje ceptdo por M es, L(M) = {w Σ* w es ceptd por M },es decir, el conjunto de cdens que hce que M pse de su estdo inicil uno de sus estdos de ceptción. Ddo su crácter indeterminist, pr firmr que un cden w no está en L(M) deemos gotr tods ls forms posiles de recorrer el digrm pr dich cden. LengujesRegulres..ppt 27/03/

29 Equivlenci entre AFN y AFD Ddos dos utómts finitos M y M, independientemente si son AFD o AFN, se dice que son equivlentes si L(M) = L(M ). Los AFN no son más potentes que los AFD respecto los lengujes que ceptn. Ojetivo: Demostrr que todo lenguje ceptdo por un AFN es tmién ceptdo por un AFD equivlente. Suojetivo: A prtir de un AFN, otener el AFD equivlente que reconoce el mismo lenguje. LengujesRegulres..ppt 27/03/

30 Equivlenci entre AFN y AFD Se M=(Σ, Q, s, F, ) un AFN. Definimos un AFD M =(Σ, Q, s, F, δ) equivlente tl que: Σ = Σ Q = 2 Q (colección de todos los suconjuntos de Q) s = {s} F = colección de todos los suconjunto de Q con lgún estdo en F Definimos δ como, δ({q i1, q i2,..., q in }, σ) = {p 1, p 2,..., p k } tl que, ({q i1, q i2,..., q in }, σ) = {p 1, p 2,..., p k } δ: Q Σ Q Notd que tenemos que mplir l definición de : si X Q, y σ Σ, (X, σ)= (q X) (q, σ) En l práctic, no todos los posiles suconjuntos de Q son estdos ccesiles desde el estdo inicil. Añdir sólo quellos que sen el resultdo de un trnsición desde un estdo previmente ñdido. LengujesRegulres..ppt 27/03/

31 Equivlenci entre AFN y AFD: Ejemplo Ejemplo: Se el AFN M con el siguiente digrm de trnsición: q 0 q 1 q 2 q 3 L (M) = + () + Pr el AFN tenemos, (q 0, ) = {q 1, q 2 } (q 0, ) = φ ({q 1,q 2 }, ) = φ ({q 1,q 2 }, ) = {q 3 } (φ, ) = (φ, ) = φ ({q 3 }, ) = {q 2 } ({q 3 }, ) = φ ({q 2 }, ) = φ ({q 2 }, ) = {q 3 } LengujesRegulres..ppt 27/03/

32 Equivlenci entre AFN y AFD: Ejemplo A prtir de definimos el AFD equivlente, Σ = Σ = {, } Q = {φ, {q 0 },, {q 1,q 2 }, {q 2 },{q 3 }} s = {q 0 } F = {{q 1,q 2 }, {q 3 }} δ definid tl que, δ φ φ φ {q 0 } {q 1,q 2 } φ {q 1,q 2 } φ {q 3 } {q 2 } φ {q 3 } {q 3 } {q 2 } φ {q {q 1,q 2 } {q 3 } 0 } {q 2 } φ, LengujesRegulres..ppt 27/03/

33 Equivlenci entre AFN y AFD Teorem: Se M=(Σ, Q, s, F, ) un AFN. Entonces, existe un AFD M =(Σ, Q, s, F, δ) que es equivlente M. Ide de l demostrción: Construir un AFD prtir de un AFN plicndo el método de trnsformción visto, pror que reconoce ls misms plrs y verificr que es un AFD. LengujesRegulres..ppt 27/03/

34 ε-trnsiciones Podemos mplir l definición de los AFN ñdiendo nuevos elementos no determinists. Ls ε-trnsiciones son un tipo de trnsiciones entre dos estdos que no consumen ningún símolo de entrd. L decisión de elegir un ε-trnsiciones se reliz de l mism form que l elección de un trnsición con elección múltiple pr un símolo de entrd. Bsándose en lgo que no determin el modelo. q 0 q 1,ε q 2 LengujesRegulres..ppt 27/03/

35 ε-trnsiciones Prolem: Ddo un AFN con ε-trnsiciones Cómo clculr el conjunto de los estdos siguientes? Hy que tener en cuent ls ε-trnsiciones nteriores y posteriores l trnsición etiquetd con el símolo de entrd σ. Ejemplo: q 0 q 1 q 2 q 3 ε q 5 q 4 (q 0, ) = {q 1, q 4 } (q 1, ) = {q 0, q 2, q 5 } (q 0, ) =??? LengujesRegulres..ppt 27/03/

36 ε-trnsiciones Ojetivo: Sistemtizr el proceso de determinr el conjunto de los siguientes estdos de un AFN con ε-trnsiciones. Definimos l ε-cerrdur de un estdo q como, ε-c(q)={p p es ccesile desde q sin consumir nd en l entrd} podemos mplir l definición, ε-c({q i1,q i2,...,q in })= ε-c(q ik ) pr k=1..n Además, pr q Q, σ Σ se define, d(q,σ)={p hy un trnsición de q p etiquetd con σ} podemos mplir l definición, d({q i1,q i2,...,q in },σ)= d(q ik,σ) pr k=1..n LengujesRegulres..ppt 27/03/

37 ε-trnsiciones: Ejemplo Ejemplo: Se el AFN, q 0 ε q 1 ε q 2 ε q 3 q 4 entonces, ε-c(q 0 )={q 0, q 1, q 2 } ε-c(q 4 )={q 1, q 2, q 4 } d(q 0, )={q 3 } d(q 0, )= φ d({q 3,q 4 }, )={q 0, q 4 } LengujesRegulres..ppt 27/03/

38 ε-trnsiciones En se ls definiciones previs, ddo un AFN con ε-trnsiciones, el conjunto de siguientes estdo q medinte el símolo de entrd σ se define como: ε-c(d(ε-c(q), σ)) Ejemplo: Se el AFN con ε-trnsiciones, q 0 ε q 1 q 2 ε ε q 3 q 4 q 5 conjunto de siguientes estdos pr q 0 pr el símolo de entrd, ε-c(q 0 )={q 0, q 1 } d(ε-c(q 0 ), )={q 3, q 4 } ε-c(d(ε-c(q 0 ), ))={q 1, q 3, q 4, q 5 } LengujesRegulres..ppt 27/03/

39 ε-trnsiciones: Equivlenci A prtir de un AFN con ε-trnsiciones M=(Σ,Q,s,F, ) se puede construir un AFN sin ε-trnsiciones M =(Σ,Q,s,F, ) que cepte el mismo lenguje, siendo F = F {q ε-c(q) F φ} (q, σ)= ε-c (d(ε-c(q), σ)) L colección de lengujes ceptd por AFN con ε-trnsiciones es l mism que l ceptd por AFN sin ε-trnsiciones. Ejemplo: Trnsformr AFN con ε-trnsiciones un AFN sin ε-trnsiciones. q 0 ε q 1 q 2 ε ε q 3 q 4 q 5 LengujesRegulres..ppt 27/03/

40 A.F. y Expresiones Regulres Ojetivos: Dd un Expresión Regulr construir un Autómt Finito que l reconozc. Ddo un Autómt Finito clculr l Expresión Regulr que reconoce. Repso: Ls expresiones regulres sore un Σ y el lenguje que denotn se define recursivmente como: 1) φ es un e.r y denot el lenguje vcío 2) ε es un e.r y denot el lenguje {ε} 3) Pr cd Σ, es un e.r y denot el lenguje {} 4) Si α, β son dos e.r que denotn los lengujes A y B, entonces: 1)α + β es un e.r que denot A B 2)αβ es un e.r que denot A B 3)α* es un e.r que denot A* LengujesRegulres..ppt 27/03/

41 A.F. y Expresiones Regulres Pr un determindo Σ es posile construir AFN que cepten: Lenguje Vcío (φ): q 0 Lenguje {ε}: q 0 Lengujes unitrios de Σ: q 0 q 1 LengujesRegulres..ppt 27/03/

42 A.F. y Expresiones Regulres Ddos dos AFN M 1 =(Σ 1, Q 1, s 1, F 1, 1 ) y M 2 = (Σ 2, Q 2, s 2, F 2, 2 ). Podemos UNIR M 1 y M 2 pr crer un AFN que reconozc el lenguje L(M 1 ) L(M 2 ). L construcción forml del nuevo utómt viene dd por M=(Σ,Q,s,F, ) tl que: Σ = Σ 1 Σ 2 Q = Q 1 Q 2 {s} s = es un nuevo estdo inicil ñdido. F = F 1 F 2 se construye pr que incluy ls trnsiciones de 1 y de 2, y demás, se incluyen dos ε-trnsiciones desde el nuevo estdo s los estdos iniciles de M 1 y M 2. = 1 2 {(s, ε, s 1 ), (s, ε, s 2 )} LengujesRegulres..ppt 27/03/

43 A.F. y Expresiones Regulres: Ejemplo. Ejemplo: Tenemos los AFN que ceptn * y ()*, y queremos construir un AFN que cepte * + ()*. q q 1 q 0 2 * q 0 q 1 ()* s ε ε q q 1 q 0 2 q 0 q 1 *+()* LengujesRegulres..ppt 27/03/

44 A.F. y Expresiones Regulres Ddos dos AFN M 1 =(Σ 1, Q 1, s 1, F 1, 1 ) y M 2 = (Σ 2, Q 2, s 2, F 2, 2 ). Podemos CONCATENAR M 1 y M 2 pr crer un AFN que reconozc el lenguje L(M 1 )L(M 2 ). L construcción forml del nuevo utómt viene dd por M=(Σ,Q,s,F, ) tl que: Σ = Σ 1 Σ 2 Q = Q 1 Q 2 s = s1 F = F 2 = 1 2 { F 1 {ε} {s 2 } } q F 1, (q, ε, s 2 ) LengujesRegulres..ppt 27/03/

45 A.F. y Expresiones Regulres: Ejemplo. Ejemplo: Tenemos los AFN que ceptn y, y queremos construir un AFN que cepte. q 0 q 1 q 0 q 1 q 0 q 1 q 0 ε q 1 LengujesRegulres..ppt 27/03/

46 A.F. y Expresiones Regulres Ddo un AFN M 1 =(Σ 1, Q 1, s 1, F 1, 1 ). Podemos crer un AFN que reconozc el lenguje L(M 1 )*. L construcción forml del nuevo utómt viene dd por M=(Σ,Q,s,F, ) tl que: Σ = Σ 1 Q = Q 1 {s} s = nuevo estdo inicil del AFN M. F = {s} = 1 {s, ε, s 1 } { F 1 {ε} {s} } q F 1, (q, ε, s) LengujesRegulres..ppt 27/03/

47 A.F. y Expresiones Regulres: Ejemplo. Ejemplo: Tenemos un AFN que cept, y queremos construir un AFN que cepte ()*. q 1 q 0 q 2 s ε q 1 q 0 q 2 ()* ε LengujesRegulres..ppt 27/03/

48 A.F. y Expresiones Regulres De l discusión previ se deduce, que el conjunto de los lengujes ceptdos por un AF sore un Σ, contiene los lengujes de construcción ásic. Además, este conjunto es cerrdo respecto de l unión, de l conctención y l estrell de Kleene. Es decir, plicndo ls técnics previs, somos cpces de construir prtir de un expresión regulr el AF que l reconoce (ojetivo 1). LengujesRegulres..ppt 27/03/

49 A.F. y Expresiones Regulres El ojetivo hor es prtir de un utómt finito deducir l expresión regulr que define el lenguje que reconoce. Se M=(Σ,Q,s,F, ) un A.F. Suponemos que s=q 0. Entonces, pr todo estdo q i, se A i ={w Σ* (q i, w) F φ} el conjunto de tods ls cdens que hcen que M pse de q i un estdo de ceptción. A 0 = L(M), por suponer que s = q 0 Es posile que A i = φ, por ejemplo, un estdo sumidero. q i F, entonces ε A i LengujesRegulres..ppt 27/03/

50 A.F. y Expresiones Regulres: Ejemplo Ejemplo: Ddo el siguiente A.F, q 1 q 0 q 2, q 5, q 3 q 4 Entonces, A 5 = φ A 4 = ε A 3 = A 2 = ε A 1 = A 0 = + LengujesRegulres..ppt 27/03/

51 A.F. y Expresiones Regulres Si q j (q i, σ). Entonces A i contiene σa j. De hecho, se tiene que A i = {σa j q j (q i, σ)} Ejemplo: Ddo el siguiente A.F, q 1 q 0 q 2, q 5, entonces, q 3 q 4 A 0 = A 1 + A 3 A 3 = A 4 + A 5 A 1 = A 5 + A 2 A 4 = ε + A 5 + A 5 A 2 = ε + A 5 + A 5 A 5 = φ A 0 = L(M) = + LengujesRegulres..ppt 27/03/

52 A.F. y Expresiones Regulres Ejemplo: Ddo el siguiente A.F, q 0 q 1 entonces, A 0 = A 0 + A 1 A 1 = ε Resolviendo por sustitución qued, A 0 = A 0 + Lem de Arden: Un ecución de l form X=AX+B donde ε A, tiene como solución únic X=A*B. Por tnto, l solución será A 0 = * LengujesRegulres..ppt 27/03/

53 A.F. y Expresiones Regulres Se M un AF entonces existe un expresión regulr r tl que L(M)=L(r). Teorem de Kleene: Un lenguje es regulr si y sólo si es ceptdo por un A.F. Es decir, plicndo ls técnics previs, somos cpces de construir prtir de un AF l expresión regulr que especific el lenguje que reconoce (ojetivo 2). LengujesRegulres..ppt 27/03/

54 Propieddes de los Lengujes Regulres Ddo un lenguje L, L es regulr?: L es finito L es regulr. L es infinito?? Ojetivo: Encontrr propieddes que sen comprtids por todos los lengujes regulres infinitos y que no estén presentes en los lengujes no regulres. LengujesRegulres..ppt 27/03/

55 Propieddes de los Lengujes Regulres Suponemos que tenemos un lenguje L que es regulr, ceptdo por un AFD M=(Σ,Q,s,F,δ) donde Q tiene n estdos. Si L es infinito entonces existirá w= n+1. Si tuviérmos sucesivmente, δ(s, 1 ) = q 1 δ(q 1, 2 ) = q 2... psrímos por n+1 estdos q i. Q sólo tiene n estdos, con lo cul no todos ellos son distintos. Entonces, pr 1 j < k n+1, q j = q k q k-1... q j q 1 q j = q k q k+1 q n+1 Ddo que j < k, el ciclo tiene l menos longitud 1. Entonces, w = j k+1... n+1 L, y w = j ( j+1... k ) m k+1... n+1 L. Puedo omer cero o más veces el ciclo oteniendo plrs que pertenecen L. LengujesRegulres..ppt 27/03/

56 Propieddes de los Lengujes Regulres Lem de Bomeo: Se L un lenguje regulr infinito. Entonces, hy un constnte n de form que, si w es un cden de L cuy longitud es myor o igul que n, se tiene que w=uvx, siendo, uv i x L pr todo i 0, con v 1 y uv n. Nos permite demostrr cundo un lenguje no es regulr Pr demostrr que no es regulr, pr culquier vlor de n lo stnte grnde, se tendrá l menos un cden que flle l ser omed. Todos los lengujes regulres cumplen el L.B. y lgunos no regulres, tmién! p.ej. L={ i j c k i = 0 ó j = k} no es regulr, pero cumple el L.B. LengujesRegulres..ppt 27/03/

57 Propieddes de los Lengujes Regulres Ejemplos: Son regulres los siguientes lengujes? L = { i2 i 1} L = { m m m 0} LengujesRegulres..ppt 27/03/

58 Utiliddes: Equivlenci de AFD Son equivlentes dos AFD M y M? lgoritmo equivlentesafd (M, M : AFD) principio Construimos un tl de comprción; {#columns = 1 (pres estdos) + # símolos Σ} Insertr fil en tl (s, s ); Mients que existn fils en tl hcer {fil (q, q ) } Pr cd símolo σ hcer Insertr column símolo (p,p ) {p Q, p Q y δ(q, σ)=p, δ(q, σ)=p } Si (p F nd p F ) or (p F nd p F ) entonces return(no_equivlentes); sino Insertr fil en tl (p,p ) si no está y; fsi; fpr; fmientrsque: return (Si_Equivlentes); fin; LengujesRegulres..ppt 27/03/

59 Utiliddes: Equivlenci de AFD lgoritmo equivlentesafd (M, M : AFD) T : TlComprcion [][1 + # σ Σ] := TlVcí; {n fils, un column 1 y un column por cd σ Σ} principio i := 1; Si (s F nd s F ) or (s F nd s F ) entonces return (No_Equivlentes); T[i][1] = (s, s ); Mientrs que T[i][1] no es nulo hcer (q, q ) = T[i][1]; Pr cd σ Σhcer p := δ(q, σ); p := δ (q, σ); T[i][σ ] := (p, p ); Si (p F nd p F ) or (p F nd p F ) entonces return (No_Equivlentes); {Añdir (p,p ) T[][1] si no est y} fsi; fpr; i := i + 1; fmientrsque: return (Si_Equivlentes); fin; LengujesRegulres..ppt 27/03/

60 Utiliddes: AFD Mínimo Ddo un AFD, dos estdos p y q son distinguiles si pr lgun w Σ*, entonces δ(p, w) F y δ(q, w) F o vicevers. Dos estdos no distinguiles se dicen equivlentes. Un AFD mínimo no tiene estdos redundntes, es decir, todos sus estdos son distinguiles. Cómo otener un AFD Mínimo? Eliminr l redundnci sustituyendo los conjuntos de estdos no distinguiles por un único estdo. LengujesRegulres..ppt 27/03/

61 Utiliddes: AFD Mínimo Construir el AFD Mínimo: lgoritmo AFDMínimo (M:AFD) principio Eliminr estdos no lcnzles de M; Construcción tl [Q,Q] fin. {Con l mitd es suficiente, ls celds simétrics respecto l digonl representn los mismos pres de estdos} Mrcmos Distinguiles los pres [q F, q F] ; Pr (p,q) no conocidos como Distinguiles hcer Pr cd símolo σ Σhcer Clculr (p σ, q σ ) tq δ(p,σ) = p σ y δ(q,σ) = q σ Si (p σ, q σ ) son Distinguiles entonces (p,q) Distinguiles y Brek; sino (p,q) insertr list socid (p σ, q σ ) fsi; fpr; fpr; Pr tods ls lists socids hcer Si (p σ, q σ ) son Distinguiles entonces Todos sus (p,q) en su list Distinguiles; fsi; fpr; Extrer conjunto de estdos Distinguiles; Estlecer trnsiciones pr el nuevo AFD Mínimo; LengujesRegulres..ppt 27/03/