Ciencias de la Computación I

Transcripción

1 Ciencis de l Computción I Propieddes de Clusur de Lengujes Regulres y Lengujes Libres del Contexto Propieddes de Clusur de Lengujes Regulres Los lengujes regulres (LR son cerrdos bjo ls siguientes operciones: Unión Intersección Complemento Clusur Revers Conctención Culquier de ests operciones plicds sobre lengujes regulres d como resultdo otro lenguje regulr.

2 Intersección de Lengujes Regulres Teorem: Ddos L 1 lengujes regulres, L 1 L 2 es un lenguje regulr. Demostrción: es LR existe un AFD M 1 = <E 1, A 1, δ 1, e 01, F 1 tl que L 1 = L(M 1 es LR existe un AFD M 2 = <E 2, A 2, δ 2, e 02, F 2 tl que L 2 = L(M 2 A prtir de M 1 y M 2 es posible definir un AFD M de l siguiente mner: M = < E 1 x E 2, A 1 A 2, δ, [e 01, e 02 ], F 1 xf 2 > E 1 E 2 = δ se define como: δ([e j, e k ], = [δ 1 (e j,, δ 2 (e k, ] pr todo e j, E 1 e k E 2 y pr todo A Como L(M = L(M 1 L(M 2 = L 1 L 2 L 1 L 2 es un lenguje regulr Ejemplo Intersección entre dos Lengujes Regulres L 1 = { 2n+1 b / n 0 } b M 1 =<{e 01,e 11,e 21 },{,b},δ 1,e 01,{e 21 }> δ 1 e 01 L 2 = { n b / n>0 } δ 2 e 02 e 11 e 21 b e 22 L(M 1 =L 1 M 2 =<{e 02,,e 22 },{,b},δ 2,e 02,{e 22 }> L(M 2 =L 2 A prtir de M 1 y M 2, según l demostrción nterior, se puede construir un AFD M como: M=<{[e 01 e 02 ],[e 11 ], [e 01 ], [e 21 e 22 ]},{,b},δ,[e 01 e 02 ],{[e 21 e 22 ]}> [e11 `[e ] 01 e 02 ] [e 01 ] δ: L(M={ 2n+1 b /n 0} [e 21 e 22 ] b L(M=L(M 1 L(M 2 =L 1 L 2 L 1 L 2 entonces es regulr

3 Unión de Lengujes Regulres Teorem: Ddos L 1 lengujes regulres, L 1 es un lenguje regulr. Demostrción: (usndo Autómts Finitos (AF es LR existe un AFD M 1 = <E 1, A 1, δ 1, e 01, F 1 tl que L 1 = L(M 1 es LR existe un AFD M 2 = <E 2, A 2, δ 2, e 02, F 2 tl que L 2 = L(M 2 A prtir de M 1 y M 2 es posible definir un AF M de l siguiente mner M = < E 1 E 2 {e 0 }, A 1 A 2, δ, e 0, F 1 F 2 > δ: se define como: δ(e k, = e 0 E 1 y e 0 E 2 E 1 E 2 = δ 1 (e k, si e k E 1 pr todo e k E 1 E 2 y δ 2 (e k, si e k E 2 pr todo A 1 A 2 Además se define δ(e 0, ε = e 01 y δ(e 0, ε = e 02 M es AFND-ε. pero plicndo los lgoritmos estudidos se puede obtener un AFD equivlente que cept el mismo lenguje que M. Como L(M = L(M 1 L(M 2 = L 1 luego L 1 es un lenguje regulr Unión de Lengujes Regulres Teorem: Ddos L 1 lengujes regulres, L 1 es un lenguje regulr. Demostrción: (usndo Expresiones Regulres (ER es LR existe un ER r 1 tl que L 1 = L(r 1 es LR existe un ER r 2 tl que L 2 = L(r 2 r 1 + r 2 es ER que describe el lenguje regulr L(r 1 L(r 2 Como L(r 1 = L 1 y L(r 2 = L 2 entonces L(r 1 L(r 2 = L 1 Por lo tnto, L 1 es un lenguje regulr

4 Unión de Lengujes Regulres Teorem: Ddos L 1 lengujes regulres, L 1 es un lenguje regulr. Demostrción: (usndo Grmátics Regulres (GR es LR existe un GR G 1 tl que L 1 es LR existe un GR G 2 = (N 2, T 2, P 2 tl que L 2 = L(G 2 A prtir de G 1 es posible definir un grmátic G como sigue: G N 2 T 2, P, S N 1 N 2 = P = P 1 P 2 reemplzndo S 1 en P 1 y S 2 en P 2 por S Como ls regls de P son ls regls de P 1 y P 2, G es un GR y entonces L(G L(G 2 = L 1 es un lenguje regulr Ejemplo Complemento entre dos Lengujes Regulres L 2 = { n b / n>0 } b M 2 =<{e 02,,e 22 },{,b},δ 2,e 02,{e 22 }> e 02 e 22 L(M 2 =L 2 A prtir de M 2, se puede construir un AFD M como: b e 02 e 22 b,b e,b M=<{e 02,,e 22, e},{,b},δ,e 02,{e 02,, e}> L(M={,b}*-{ n b / n>0} Como L(M = L(M 2 = L 2 L 2 es un lenguje regulr

5 Complemento de un Lenguje Regulr Teorem: Ddo L lenguje regulr, L es un lenguje regulr. Demostrción: Como L es LR existe un AFD M = <E, A, δ, e 0, F> tl que L = L(M A prtir de M, se puede construir un nuevo utómt M tl que L(M = L M se define como M = <E { e }, A, δ, e 0, (E F { e }>, donde δ se define como - si e k E y δ(e k, está definid δ (e k, = δ(e k, pr todo e k E y pr todo A - si e k E y δ(e k, no está definid δ (e k, = e pr todo e k E y pr todo A - si e k = e δ (e, = e pr todo A Como L(M = L L es un lenguje regulr Revers de un Lenguje Regulr Teorem: Ddo L lenguje regulr, L R es un lenguje regulr. Demostrción: Como L es LR existe un GR linel derech G = (N, T, P, S tl que L = L(G A prtir de G es posible definir un grmátic G R =(N, T, P R, S tl que L(G R = L R donde P R = P con cd regl de producción de P de l form A B reemplzd por A B pr A, B N y T Como L(G R = L R L R es un lenguje regulr

6 Propieddes de Clusur de Lengujes Libres del Contexto Los lengujes libres del contexto (LLC son cerrdos bjo ls siguientes operciones: Unión Clusur Revers Conctención Los lengujes libres del contexto (LLC no son cerrdos bjo ls siguientes operciones: Intersección Complemento Ejemplo Unión de lengujes Libres del Contexto L 1 = { n b n / n 0 } L(G 1 =L 1 L 2 = { bn n / n 0 } L(G 2 =L 2 G 1 =<{A},{,b},P 1,S 1 > G 2 =<{B},{,b},P 2,S 2 > P 1 ={S 1 ε, S 1 A, A Ab, A b} P 2 ={S 2 ε, S 2 B, B bb, B b} A prtir de G 1, se puede construir un grmátic G como: G=<{A,B,S 1 },{,b},p, S> P=P 1 P 2 {S S 1,S S 2 } {S 1 ε ε}} Considerr el cso especil P 2 estb S 1 ε ó S 2 ε gregr en P: S ε P={S ε A, A Ab, A b B, B bb, B b} L(G=L(G 1 L(G 2 =L 1 G es tipo 2 luego L 1 L 2 es LLC Si los no terminles en G 1 tienen el mismo nombre deben renombrrse

7 Unión de Lengujes Libres del Contexto Teorem: Ddos L 1 LLC, L 1 es un lenguje libre del contexto. Demostrción: es LLC existe un GLC G 1 tl que L 1 es LLC existe un GLC G 2 = (N 2, T 2, P 2 tl que L 2 = L(G 2 A prtir de G 1 es posible definir un grmátic libre del contexto G =(N, T, P, S tl que L(G L(G 2 = L 1 L grmátic G se define como sigue G N 2 {S 1 } T 2, P, S N 1 N 2 = P = P 1 P 2 { S S 1, S S 2 } {S 1 ε ε} y demás está l regl S 1 ε, ó en P 2 S 2 ε se greg P S ε Como ls regls de P respetn el formto de ls GLC, G es un GLC y entonces L(G L(G 2 = L 1 es un lenguje libre del contexto Ejemplo Conctención de lengujes Libres del Contexto L 1 = { n b n / n 0 } L(G 1 =L 1 L 2 = { bn n / n 0 } L(G 2 =L 2 G 1 =<{A},{,b},P 1,S 1 > G 2 =<{B},{,b},P 2,S 2 > P 1 ={S 1 ε, S 1 A, A Ab, A b} P 2 ={S 2 ε, S 2 B, B bb, B b} A prtir de G 1, se puede construir un grmátic G =<{A,B,S 1,S 2 }, {,b}, P, S> P=P 1 P 2 {S S 1 S 2 } {S 1 ε ε} Considerr csos especiles P 2 estbn S 1 ε y S 2 ε gregr en P : S ε estb S 1 ε gregr en P : S S 2 Si en P 2 estb S 2 ε gregr en P : S S 2 P={S S 1 S 2, S ε,s S 1, S S 2,S 1 A, A Ab, A b B, B bb, B b} L(G=L(G 1. L(G 2 =L 1. L 2 G es tipo 2 luego L 1.L 2 es LLC

8 Conctención de Lengujes Libres del Contexto Teorem: Ddos L 1 LLC, L 1. L 2 es un lenguje libre del contexto. Demostrción: es LLC existe un GLC G 1 tl que L 1 es LLC existe un GLC G 2 = (N 2, T 2, P 2 tl que L 2 = L(G 2 A prtir de G 1 es posible definir un grmátic libre del contexto G =(N, T, P, S tl que L(G. L(G 2 = L 1. L 2 L grmátic G se define como sigue G N 2 {S 1 } T 2, P, S N 1 N 2 = P = (P 1 P 2 { S S 1 S 2 } {S 1 ε ε} y demás está l regl S 1 ε, se greg P l regl S S 2 Si en P 2 está l regl S 2 ε, se greg P l regl S S 1 está l regl S 1 ε, y en P 2 S 2 ε se greg P S ε Como ls regls de P respetn el formto de ls GLC, G es un GLC y entonces L(G. L(G 2 = L 1. L 2 es un lenguje libre del contexto Clusur de un Lenguje Libre del Contexto Teorem: Ddo L 1 LLC, L * 1 es un lenguje libre del contexto. Demostrción: es LLC existe un GLC G 1 tl que L 1 A prtir de G 1 es posible definir un grmátic libre del contexto G =(N, T, P, S tl que L(G = L * (G 1 L grmátic G se define como sigue G = (N, T, P, S N = N 1 {S 1, X} X N 1 T = T 1 P = P 1 { S ε, S X, X S 1 X, X S 1 } {S 1 ε} Como ls regls de P respetn el formto de ls GLC, G es un GLC y entonces L(G = (L (G 1 * = L 1 * es un lenguje libre del contexto

9 Revers de un Lenguje Libre del Contexto Teorem: Ddo L 1 LLC, L R 1 es un lenguje libre del contexto. Demostrción: es LLC existe un GLC G 1 tl que L 1 A prtir de G 1 es posible definir un grmátic libre del contexto G =(N, T, P, S tl que L(G = (L(G 1 R L grmátic G se define como sigue G, P Donde P=P 1 con cd regl de producción de P 1 de l form A ω reemplzd por A ω R pr A N y ω {N T}* -{ε} Como ls regls de P respetn el formto de ls GLC, G es un GLC y entonces L(G = (L (G 1 R = L 1 R es un lenguje libre del contexto