Tema 2: Lenguajes regulares

Transcripción

1 Tem : Lengujes regulres Ide de utómt Autómts finitos y grmátis regulres Autómts finitos determinists Autómts finitos no determinists Grmátis regulres (y lineles) l dereh Exresiones regulres Exresiones regulres Autómts finitos no determinists on trnsiiones vís Proieddes de los lengujes regulres 3 5 Minimizión de utómts Alguns roieddes de ierre Lengujes no regulres Aliiones 4 6 Tem : Lengujes regulres Tem : Lengujes regulres Autómt finito determinist (AFD) Elementos: Comonentes físios Comonentes lógios Unidd de Proeso Q onjunto de estdos Fuente de entrd Σ lfeto de entrd Cilo-máuin: Consults: estdo tul y símolo de entrd Aiones: vne en l entrd y mio de estdo Elementos distinguidos r l iniilizión y slid: 0 Q: estdo iniil y F Q: onjunto de estdos finles Definiión forml: M = (Q, Σ, δ, 0, F) on δ : Q Σ Q (funión ril) Ejemlo de AFD Formlmente: M = (Q, Σ, δ, 0, F) on δ : Q Σ Q Este utómt es: M = ({,}, {,}, δ,, {}) on δ definid: δ(,) = δ(,) = δ(,) = δ(,) = Tem : Lengujes regulres 3 Tem : Lengujes regulres 4

2 Lenguje etdo or un AFD Ejemlo de AFD Configurión: (, w) Q Σ es el estdo tul y w l lr ue ued or leer 3 5 Movimiento: mio de onfigurión en un so (s Σ) (, s.w) (, w) si y solo si δ(,s) = 4 6 Lenguje etdo or el utómt M: L(M) = { w Σ: ( 0,w) (,ε) F } ( denot 0 ó más sos de ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (,ε) δ(,) = δ(,) = δ(,) = δ(,) = δ(,) = Tem : Lengujes regulres 5 Tem : Lengujes regulres 6 Funión de trnsiión extendid Ejemlo de lenguje etdo Funión de trnsiión extendid lrs δ: Q Q w Σ, s Σ, Q δ(, w) = estdo en ue se enuentr M trs leer l lr w desde Lenguje etdo or M: - δ (, ε) = - δ (, ws) = δ (δ (, w), s) L(M) = { w Σ: δ( 0, w) F } Ddo un AFD M = (Q, Σ, δ, 0, F), el lenguje ue et es L(M) = { w Σ: ( 0,w) (, ε) F } = { w Σ: δ( 0, w) F } Pr el AFD M = ({,}, {,}, δ,, {}) L(M) = {,,,,,,... } = { w {,}: el número de s en w es imr } Tem : Lengujes regulres 7 Tem : Lengujes regulres 8

3 Autómt finito determinist totlmente eseifido (AFDt) Autómt totlmente eseifido AFDt Es un AFD uy funión de trnsiión es totl M = (Q, Σ, δ, 0, F) Autómts euivlentes on δ : Q Σ Q M y N son euivlentes si L(M) = L(N) PROPOSICIÓN : Los AFDts y los AFDs son euivlentes: L(AFDt) = L(AFD) Dem: [ ] Todo AFDt es un AFD [ ] Pr d AFD existe un AFDt (on un estdo trm ) euivlente. Tem : Lengujes regulres 9 Ejemlo: AFD AFDt AFD M = (Q, Σ, δ, 0, F) on δ : Q Σ Q f. ril δ(,) = indefinido δ(,) = indefinido AFDt N = (Q {s}, Σ, δ, 0, F) on δ : Q {s} Σ Q {s} f. totl tl ue L(M) = L(N) s Tem : Lengujes regulres 0,, Autómt finito no determinist (AFND) Definiión forml: M = (Q, Σ, δ, 0, F) on δ : Q Σ (Q ) Funión de trnsiión extendid: δ : Q Σ (Q ) δ (, ε ) = { } δ (, ws) = Configurión: (, w) Q Σ y Movimiento: (, s.w) (, w) si y solo si δ(, s) Lenguje etdo: L(M) = { w Σ: δ ( 0, w) F } U δ (, w) δ (, s) Ejemlo de AFND 0 δ( 0, ) = {, } δ( 0, ) = δ( 0, ) = δ(, ) = δ(, ) = {} δ(, ) = δ(, ) = δ(, ) = δ(, ) = { } Tem : Lengujes regulres Tem : Lengujes regulres

4 PROPOSICIÓN : Relión entre AFND y AFD L(AFD) L(AFND) Los lengujes reonoidos or los utómts finitos determinists son reonoidos or los utómts finitos no determinists. DEMOSTRACIÓN: Ddo un AFD M = (Q, Σ, δ, 0, F), onstruimos el AFND M = (Q, Σ, γ, 0, F) on γ (,s) = { δ(,s) } Q, s Σ Los utómts M y M son euivlentes: L(M) = L(M ) Psos de l demostrión: ) γ(,x) = { δ(,x) } Q, x Σ ) x L(M) x L(M ) Tem : Lengujes regulres 3 Elementos: Grmátis regulres l dereh (GRD) Elementos distinguidos r l iniilizión: S N símolo iniil Cilo-genertivo: Com onentes Búsued de sulr: ldo izuierdo de un regl Aiones: sustituir or ldo dereho. Definiión forml: G = (N,, S, P) on N Σ= y S N on P (onjunto de regls o roduiones) de l form: A B A ε Com onentes form les Ctegoris N onjunto de no terminles Fuente de entrd Σ lfeto de terminles on A,B N, Tem : Lengujes regulres 4 Derivión: Grmátis regulres l dereh (GRD) δ δ si y sólo si δ = σ Aσ, δ = σ βσ y A β P Ejemlo de GRD G = (N,, S, P), on N = {S,A,B}, = {,,} y siendo P el onjunto de regls: S A B A A ε B B ε Form sentenil: α ( Σ N ) tl ue S α G (donde denot 0 ó más sos de ) Ejemlos de deriviones: S A A A Lenguje generdo or G: L ( G ) = { w Σ : S G w} S B B Lenguje generdo or G? Tem : Lengujes regulres 5 Tem : Lengujes regulres 6

5 Grmátis lineles l dereh (GLD) Definiión forml: G = (N,, S, P) on N Σ= y S N donde el onjunto P de regls o roduiones es de l form: A wb A u on A,B N, w +, u PROPOSICIÓN 3: Ls GRDs y ls GLDs son euivlentes: L(GRD) = L(GLD) Dem: [ ] Tod GRD es un GLD [ ] Pr d GLD se onstruye un GRD euivlente, medinte el siguiente lgoritmo: Tem : Lengujes regulres 7 Relión entre GRD y GLD Algoritmo ue trnsform un GLD en un GRD euivlente: ENTRADA: GLD G = (N, Σ, A 0, P) SALIDA: GRD G = (N N, Σ, A 0, P ) Pr d A wb (ó euiv. A w) on w ε se re un símolo no terminl Z N y mimos l regl or regls: A Z y Z wb (ó euiv. Z w) Pr d A on Σ se re un símolo no terminl Z N y mimos l regl or regls: A Z y Z ε Continur el roeso mientrs hy regls ue reemlzr. Tem : Lengujes regulres 8 Ejemlo: GLD GRD Relión entre GRD y AFD Ejemlo de trnsformión de un GLD en un GRD euivlente: ENTRADA: GLD G = ({A,B}, {,,,d}, A, P) siendo P: PROPOSICIÓN 4: L(AFD) L(GRD) Los lengujes reonoidos or los utómts finitos determinists son generdos or ls grmátis regulres l dereh. SALIDA: A B B d ε GRD G = ({A,B,C,D,E}, {,,,d}, A, P ) siendo P : DEMOSTRACIÓN: ) Crer un lgoritmo ue roduz un GRD euivlente un AFD M: A C C B ENTRADA: AFD M = (Q, Σ, δ, 0, F) on Q = { 0,,..., m }. C D B de ε D B E ε SALIDA: GRD G = (N, Σ, A 0, P) ) Pror ue M y G son euivlentes: L(M)=L(G). Tem : Lengujes regulres 9 Tem : Lengujes regulres 0

6 ) Construión del lgoritmo Se N = { A 0, A,..., A m } donde A i se orresonde on el estdo i Se P = { A i sa j : δ( i, s) = j } { A i ε : i F } ) Demostrión forml de l euivleni ) Demostrmos or induión sore k 0 l siguiente roiedd: ( i, x) k ( j, ε) A i k xa j ( x ) L slid es G = (N, Σ, A 0, P) Ejemlo: 0 Grmáti otenid: A 0 A A 0 ε A A A A A A 0 ) A rtir de l roiedd nterior odemos demostrr l euivleni: x L(M) ( 0, x) k ( f, ε) on f F A 0 k xa f y A f ε P A 0 k xa f x A 0 k+ x x L(G) Tem : Lengujes regulres Tem : Lengujes regulres Relión entre GRD y AFND PROPOSICIÓN 5: L(AFND) = L(GRD) Los lengujes reonoidos or los utómts finitos no determinists son generdos or grmátis regulres l dereh. Y vievers. DEMOSTRACIÓN: L(AFND) L(GRD) Similr l demostrión de l Proosiión. L(GRD) L(AFND) Dr l vuelt l demostrión nterior. EJEMPLO: 0 S A B A A ε B B ε Tem : Lengujes regulres 3 Reliones estudids Reso de ls roosiiones vists hst hor: L(AFDt) = () L(AFD) () L(AFND) = (5) L(GRD) = (3) L(GLD) (4) Tem : Lengujes regulres 4