Una Introducción a la Teoría de Autómatas sobre Arboles

Transcripción

1 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles IIC3800 IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 1 / 40

2 Arboles etiquetdos Σ: Alfbeto (conjunto finito de símbolos) Definición (Arbol binrio) Un árbol T sobre Σ es un tupl (D,λ): D es un subconjunto finito de {0,1} cerrdo bjo prefijo λ : D Σ Ejemplo Σ = {,b,c} y T = (D,λ): D = {ε, 0, 1, 10, 11, 100, 101} λ = {ε, 0 b, 1, 10 c, 11 b, 100, 101 b} IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 2 / 40

3 Arboles etiquetdos Exmple Gráficmente: ε λ 0 1 b c b b IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 3 / 40

4 Autómts sobre árboles Supuesto: Cd nodo tiene dos hijos o ninguno. Definición (Top-down & determinist) A = (Q,Σ,q 0,δ,F): Q es un conjunto finito de estdos q 0 es el estdo inicil F es un conjunto de estdos finles δ es un función prcil: δ : Q Σ Q Q Notción: Td-DTA IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 4 / 40

5 Autómts sobre árboles: Funcionmiento q 0 δ(q 0,) = (q 1,q 2 ) q 1 b q 2 δ(q 1,b) = (q 3,q 4 ) δ(q 2,) = (q 5,q 6 ) q 3 q 4 q 5 c b q 6 q 4 b q 7 q 1 q 3 q 3 q 2 q 4 q 3 IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 5 / 40

11 Autómts sobre árboles: Funcionmiento q 0 δ(q 0,) = (q 1,q 2 ) q 1 q 2 δ(q 1,b) = (q 3,q 4 ) δ(q 2,) = (q 5,q 6 ) q 3 q 4 q 5 q 6 q 4 q 7 q 1 q 3 q 3 q 2 q 4 q 3 Condición de ceptción: Cd hoj tiene un estdo en F IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 5 / 40

12 Funcionmiento: Noción de ejecución Ddo: Td-DTA A = (Q,Σ,q 0,δ,F) y T = (D,λ) (con D ). Definición (Ejecución de un Td-DTA) ρ : D Q es l ejecución de A sobre T si: ρ(ε) = q 0 pr cd w,w0,w1 D: δ(ρ(w),λ(w)) = (ρ(w0),ρ(w1)) Condición de ceptción: δ(ρ(w), λ(w)) (F F) pr cd w D que es mximl en D bjo l relción de ser prefijo (w mx prefijo (D)). El árbol vcío es ceptdo si q 0 F IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 6 / 40

13 Autómts sobre árboles: No determinismo Definición (Top-down & no determinist) A = (Q,Σ,q 0,δ,F): Q es un conjunto finito de estdos q 0 es el estdo inicil F es un conjunto de estdos finles δ es un función totl: δ : Q Σ 2 Q Q Notción: Td-NTA IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 7 / 40

14 Ejecución de un Td-NTA Ddo: Td-NTA A = (Q,Σ,q 0,δ,F) y T = (D,λ) (con D ). Definición (Ejecución de un Td-NTA) ρ : D Q es un ejecución de A sobre T si: ρ(ε) = q 0 pr cd w,w0,w1 D: (ρ(w0),ρ(w1)) δ(ρ(w),λ(w)) Condición de ceptción: Existe un ejecución ρ de A sobre T tl que δ(ρ(w),λ(w)) (F F) pr cd w mx prefijo (D). IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 8 / 40

15 Td-DTA versus Td-NTA Proposición Td-DTA Td-NTA IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 9 / 40

16 Td-DTA versus Td-NTA Proposición Td-DTA Td-NTA Demostrción: Considere el lenguje L = j, ff b b c c Demuestre que L es ceptdo por un Td-NTA y no es ceptdo por un Td-DTA. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 9 / 40

17 Ejercicios 1. Construy un Td-NTA que cepte el lenguje de los árboles sobre el lfbeto {,b} que tienen un número pr de símbolos. 2. Demuestre que no existe un Td-DTA que cepte el lenguje del ejercicio nterior. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 10 / 40

18 Lengujes regulres de árboles Notción: L(A) es el lenguje de árboles ceptdo por un Td-NTA (Td-DTA) A. Definición (Lenguje regulr de árboles) Un lenguje L de árboles es regulr si existe Td-NTA A tl que L = L(A). Qué lengujes de árboles no son regulres? Un herrmient útil: Lem de bombeo IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 11 / 40

19 Lem de bombeo pr lengujes regulres de árboles El lem en un figur: q q b q q q q b q IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 12 / 40

20 Ejercicio Demuestre que el lenguje de todos los árboles blncedos sobre el lfbeto {,b} no es un lenguje regulr de árboles. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 13 / 40

21 Autómts sobre árboles: El enfoque bottom-up Definición (Bottom-up & determinist) A = (Q,Σ,q 0,δ,F): Q es un conjunto finito de estdos q 0 es el estdo inicil F es un conjunto de estdos finles δ es un función totl: δ : Q Q Σ Q Notción: Bu-DTA IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 14 / 40

22 Ejecución de un Bu-DTA Ddo: Bu-DTA A = (Q,Σ,q 0,δ,F) y T = (D,λ) (con D ). Definición (Ejecución de un Bu-DTA) ρ : D Q es l ejecución de A sobre T si: pr cd w mx prefijo (D): ρ(w) = δ(q 0,q 0,λ(w)) pr cd w,w0,w1 D: ρ(w) = δ(ρ(w0),ρ(w1),λ(w)) Condición de ceptción: ρ(ε) F IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 15 / 40

23 Ejercicios 1. Construy un Bu-DTA que cepte el siguiente lenguje: j ff L =, b b c c 2. Construy un Bu-DTA que cepte el lenguje de los árboles sobre el lfbeto {,b} que tienen un número pr de símbolos. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 16 / 40

24 Autómts sobre árboles bottom-up: No determinismo Definición (Bottom-up & no determinist) A = (Q,Σ,q 0,δ,F): Q es un conjunto finito de estdos q 0 es el estdo inicil F es un conjunto de estdos finles δ es un función totl: δ : Q Q Σ 2 Q Notción: Bu-NTA IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 17 / 40

25 Ejecución de un Bu-NTA Ddo: Bu-NTA A = (Q,Σ,q 0,δ,F) y T = (D,λ) (con D ) Definición (Ejecución de un Bu-NTA) ρ : D Q es l ejecución de A sobre T si: pr cd w mx prefijo (D): ρ(w) δ(q 0,q 0,λ(w)) pr cd w,w0,w1 D: ρ(w) δ(ρ(w0),ρ(w1),λ(w)) Condición de ceptción: ρ(ε) F IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 18 / 40

26 Bu-NTA son determinizbles Proposición Bu-NTA = Bu-DTA IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 19 / 40

27 Bu-NTA son determinizbles Proposición Bu-NTA = Bu-DTA Demostrción: Ddo Bu-NTA A = (Q,Σ,q 0,δ,F), defin Bu-DTA B = (2 Q,Σ, {q 0 },δ,f ): ( ) δ (X 1,X 2,) = δ(q 1,q 2,) q 2 X 2 q 1 X 1 F = {X Q X F } Se tiene que L(A) = L(B). IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 19 / 40

28 L relción entre los utómts estudidos Proposición Td-DTA Td-NTA = Bu-NTA = Bu-DTA IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 20 / 40

29 L relción entre los utómts estudidos Proposición Td-DTA Td-NTA = Bu-NTA = Bu-DTA Td-NTA Bu-NTA: Ddo Td-NTA A = (Q,Σ,q 0,δ,F), defin Bu-NTA B = (Q {q 0 },Σ,q 0,δ,F ): δ (q 1,q 2,) = {q Q (q 1,q 2 ) δ(q,)} q 1,q 2 Q δ (q 0,q 0,) = {q Q δ(q,) (F F) } F = {q 0 } Se tiene que L(A) = L(B). IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 20 / 40

30 L relción entre los utómts estudidos Bu-NTA Td-NTA: Ddo Bu-NTA A = (Q,Σ,q 0,δ,F), defin Td-NTA B = (Q {q 0 },Σ,q 0,δ,F ): δ (q,) = {(q 1,q 2 ) Q Q q δ(q 1,q 2,)} q Q δ (q 0,) = {(q 1,q 2 ) Q Q δ(q 1,q 2,) F } F = {q 0 } Se tiene que L(A) = L(B). IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 21 / 40

31 Propieddes de clusur Proposición L clse de los lengujes regulres de árboles es cerrd bjo unión, intersección y complemento. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 22 / 40

32 Propieddes de clusur Proposición L clse de los lengujes regulres de árboles es cerrd bjo unión, intersección y complemento. Demostrción: Ddos A 1 = (Q 1, Σ, q 1 0, δ 1, F 1 ) y A 2 = (Q 2, Σ, q 2 0, δ 2, F 2 ), defin A 1 A 2 = (Q, Σ, q 0, δ, F): Q = Q 1 Q 2 q 0 = (q0 1, q2 0 ) δ((q 1, q 2 ), ) = (q 3,q 4) δ 1(q 1,) (q 5,q 6) δ 2(q 2,) F = F 1 F 2 Se tiene que L(A 1 A 2 ) = L(A 1 ) L(A 2 ). {((q 3, q 5 ), (q 4, q 6 ))} IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 22 / 40

33 Arboles versus plbrs Son los utómts pr árboles más expresivos que los utómts pr plbrs? Si representmos árboles como plbrs, qué tipo de lengujes obtenemos? IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 23 / 40

34 Arboles versus plbrs Son los utómts pr árboles más expresivos que los utómts pr plbrs? Si representmos árboles como plbrs, qué tipo de lengujes obtenemos? Cómo se puede representr el siguiente árbol T como un plbr? b b b IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 23 / 40

35 Arboles = XML <> <> <> <> </> </> </> </> IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 24 / 40

36 Arboles = XML <> <> <> <> </> </> </> </> Representción: rep(t) = āb bāb bāb bā IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 24 / 40

37 Arboles versus plbrs (continución) b Se L 0 el lenguje de los árboles de l form: b b IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 25 / 40

38 Arboles versus plbrs (continución) b Se L 0 el lenguje de los árboles de l form: b b Proposición L 0 es un lenguje regulr de árboles, pero rep(l 0 ) = {rep(t) T L 0 } no es un lenguje regulr. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 25 / 40

39 Arboles versus plbrs (continución) b Se L 0 el lenguje de los árboles de l form: b b Proposición L 0 es un lenguje regulr de árboles, pero rep(l 0 ) = {rep(t) T L 0 } no es un lenguje regulr. Demostrción: rep(l 0 ) = { n (āb b) n ā n 0}. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 25 / 40

40 Autómts sobre árboles versus grmátics libre de contexto Proposición Si L es un lenguje regulr de árboles, entonces rep(l) es un lenguje libre de contexto. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 26 / 40

41 Autómts sobre árboles versus grmátics libre de contexto Proposición Si L es un lenguje regulr de árboles, entonces rep(l) es un lenguje libre de contexto. Demostrción: Ddo un Td-NTA A = (Q,Σ,q 0,δ,F), considere l siguiente grmátic libre de contexto: S (q 0, ) Σ (q, ) (q 1, b 1 )(q 2, b 2 )ā (q 1, q 2 ) δ(q, ) y b 1, b 2 Σ (q, ) ā δ(q, ) (F F) IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 26 / 40

42 Autómts sobre árboles versus grmátics libre de contexto Podemos entonces estudir los lengujes regulres de árboles usndo herrmients de los lengujes libres de contexto? IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 27 / 40

43 Autómts sobre árboles versus grmátics libre de contexto Podemos entonces estudir los lengujes regulres de árboles usndo herrmients de los lengujes libres de contexto? Este enfoque no funcion bien. Un lenguje regulr de árboles corresponde los árboles de derivción de un grmátic libre de contexto. No hy un correspondenci direct con el lenguje de ls hojs IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 27 / 40

44 Autómts sobre árboles versus grmátics libre de contexto Podemos entonces estudir los lengujes regulres de árboles usndo herrmients de los lengujes libres de contexto? Este enfoque no funcion bien. Un lenguje regulr de árboles corresponde los árboles de derivción de un grmátic libre de contexto. No hy un correspondenci direct con el lenguje de ls hojs Vmos ver que est es un diferenci fundmentl. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 27 / 40

45 Autómts sobre árboles: Problems de decisión Problems resolver Ddos utómts A y B sobre árboles: Non-emptiness : Es L(A)? Continment : Es L(A) L(B)? Equivlence : Es L(A) = L(B)? IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 28 / 40

46 Pr recordr... Cuál es l complejidd de los problems nteriores pr lengujes regulres y libres de contexto sobre plbrs? Non-emptiness Continment Equivlence NFA CFG IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 29 / 40

47 Pr recordr... Cuál es l complejidd de los problems nteriores pr lengujes regulres y libres de contexto sobre plbrs? Non-emptiness Continment Equivlence NFA PTIME PSPACE-complete PSPACE-complete CFG IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 29 / 40

48 Pr recordr... Cuál es l complejidd de los problems nteriores pr lengujes regulres y libres de contexto sobre plbrs? NFA CFG Non-emptiness PTIME PTIME Continment PSPACE-complete indecidible Equivlence PSPACE-complete indecidible IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 29 / 40

49 Non-emptiness pr Td-NTA Algoritmo pr non-emptiness Input : Td-NTA A = (Q,Σ,q 0,δ,F) Output : es L(A)? A := F O := while O A do O := A for ech q Q do if existe Σ tl que δ(q,) (O O) then A := A {q} if q 0 A then return(true) else return(flse) IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 30 / 40

50 Non-emptiness pr Td-NTA El lgoritmo funcion en tiempo polinomil. Se obtiene que: Proposición Non-emptiness pr Td-NTA está en PTIME. Continment y equivlence pr Td-NTA están en EXPTIME. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 31 / 40

51 Non-emptiness pr Td-NTA El lgoritmo funcion en tiempo polinomil. Se obtiene que: Proposición Non-emptiness pr Td-NTA está en PTIME. Continment y equivlence pr Td-NTA están en EXPTIME. Demostrción: Pr verificr si L(A) L(B) hg lo siguiente: Construy Td-NTA B L(B) = Σ L(B) Construy Td-NTA A B L(A B) = L(A) L(B) Verifique si L(A B) = IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 31 / 40

52 Complejidd exct de los problems de decisión NFA CFG Td-NTA Non-emptiness PTIME PTIME Continment PSPACE-complete indecidible Equivlence PSPACE-complete indecidible IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 32 / 40

53 Complejidd exct de los problems de decisión NFA CFG Td-NTA Non-emptiness PTIME PTIME PTIME Continment PSPACE-complete indecidible EXPTIME-complete Equivlence PSPACE-complete indecidible EXPTIME-complete IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 32 / 40

54 XML: Arboles con un número rbitrrio de hijos Definición (Arbol sin rngo) Un árbol sin rngo T sobre Σ es un tupl (D, λ): D es un subconjunto finito de N cerrdo bjo prefijo y tl que: pr cd i N y w N, si w i D, entonces pr cd j {0,...,i 1}: w j D λ : D Σ Ejemplo Σ = {, b} y T = (D, λ): D = {ε, 0, 1, 2, 1 0, 1 1, 1 2, 1 2 0, 1 2 1} λ = {ε b, 0, 1, 2 b, 1 0, 1 1 b, 1 2, b, } IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 33 / 40

55 Arboles sin rngo Exmple Gráficmente: ε λ b b b b IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 34 / 40

56 Autómts pr árboles sin rngo ER(Γ): Expresiones regulres sobre Γ Definición (Bottom-up, no determinist & sin rngo) A = (Q,Σ,δ,F): Q es un conjunto finito de estdos F es un conjunto de estdos finles δ es un función prcil δ : ER(Q) Σ Q tl que pr todo Σ y q Q, existe lo más un r ER(Q) tl que δ(r,) = q. Notción: Bu-UNTA IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 35 / 40

57 Ejecución de un Bu-UNTA Ddo: Bu-UNTA A = (Q, Σ, δ, F) y T = (D, λ) (con D ). Pr w 1, w 2 D: w 2 es un hijo de w 1 en D si w 2 = w 1 i con i N Definición (Ejecución de un Bu-UNTA) ρ : D Q es un ejecución de A sobre T si pr cd w D con hijos w 0, w 1,..., w k en D, existe r ER(Q): ρ(w 0)ρ(w 1) ρ(w k) L(r) δ(r, λ(w)) está definido y ρ(w) = δ(r, λ(w)) Condición de ceptción: ρ(ε) F IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 36 / 40

58 Un ejemplo Construy un Bu-UNTA que cepte el lenguje de los árboles sin rngo sobre {,b} que tienen un número pr de símbolos. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 37 / 40

59 Un ejemplo Construy un Bu-UNTA que cepte el lenguje de los árboles sin rngo sobre {,b} que tienen un número pr de símbolos. Solución Se A = (Q = {q 0,q 1 },Σ = {,b},δ,f = {q 0 }) con: δ((q0 q 1q0 q 1q0 ),) = q 1 δ((q0 q 1q0 q 1q0 ),b) = q 0 δ(q0q 1 q0(q 0q 1 q0q 1 q0),) = q 0 δ(q0q 1 q0(q 0q 1 q0q 1 q0),b) = q 1 IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 37 / 40

60 Arboles sin rngo versus árboles binrios b tr b b b b b b b IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 38 / 40

61 Arboles sin rngo versus árboles binrios Función tr puede ser clculd en tiempo polinomil. Proposición Existe un lgoritmo polinomil pr el siguiente problem: Ddo un Bu-UNTA A sobre un lfbeto Σ, construy un Td-NTA B sobre el lfbeto Σ { } tl que pr todo árbol T sobre Σ: T L(A) si y sólo si tr(t) L(B) Ejercicio Demuestre l proposición. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 39 / 40

62 Arboles sin rngo versus árboles binrios Corolrio Non-emptiness pr Bu-UNTA está en PTIME. Continment y equivlence pr Bu-UNTA son EXPTIME-complete. IIC3800 Un Introducción l Teorí de Autómts sobre Arboles 40 / 40