Clases de Complejidad
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- Santiago Benítez Nieto
- hace 6 años
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1 Clases de Complejidad IIC3242 IIC3242 Clases de Complejidad 1 / 63
2 Clases de complejidad: Supuestos Vamos a definir y estudiar las propiedades fundamentales de algunas de las clases de complejidad más importantes. Modelo para este estudio: Máquina de Turing (determinista o no determinista) con un número arbitrario de cintas. Mostramos como se define el tiempo de ejecución para estas máquinas. También vimos como se define el espacio ocupado para las MTs con una cinta de lectura y otra de trabajo. IIC3242 Clases de Complejidad 2 / 63
3 Clases de complejidad: Supuestos Vamos a definir y estudiar las propiedades fundamentales de algunas de las clases de complejidad más importantes. Modelo para este estudio: Máquina de Turing (determinista o no determinista) con un número arbitrario de cintas. Mostramos como se define el tiempo de ejecución para estas máquinas. También vimos como se define el espacio ocupado para las MTs con una cinta de lectura y otra de trabajo. Cómo se define esto para una MT con k 2 cintas de trabajo? IIC3242 Clases de Complejidad 2 / 63
4 Clases de complejidad: Supuestos También es necesario imponer una restricción sobre las funciones usadas para medir la complejidad. Supuesto Cada función f para medir la complejidad es edificable, vale decir, existe una MT M determinista, con una cinta de entrada y k 1 cintas de trabajo tal que: IIC3242 Clases de Complejidad 3 / 63
5 Clases de complejidad: Supuestos También es necesario imponer una restricción sobre las funciones usadas para medir la complejidad. Supuesto Cada función f para medir la complejidad es edificable, vale decir, existe una MT M determinista, con una cinta de entrada y k 1 cintas de trabajo tal que: t M es O(n + f (n)) IIC3242 Clases de Complejidad 3 / 63
6 Clases de complejidad: Supuestos También es necesario imponer una restricción sobre las funciones usadas para medir la complejidad. Supuesto Cada función f para medir la complejidad es edificable, vale decir, existe una MT M determinista, con una cinta de entrada y k 1 cintas de trabajo tal que: t M es O(n + f (n)) s M es O(f (n)) IIC3242 Clases de Complejidad 3 / 63
7 Clases de complejidad: Supuestos También es necesario imponer una restricción sobre las funciones usadas para medir la complejidad. Supuesto Cada función f para medir la complejidad es edificable, vale decir, existe una MT M determinista, con una cinta de entrada y k 1 cintas de trabajo tal que: t M es O(n + f (n)) s M es O(f (n)) M acepta todas las entradas IIC3242 Clases de Complejidad 3 / 63
8 Clases de complejidad: Supuestos También es necesario imponer una restricción sobre las funciones usadas para medir la complejidad. Supuesto Cada función f para medir la complejidad es edificable, vale decir, existe una MT M determinista, con una cinta de entrada y k 1 cintas de trabajo tal que: t M es O(n + f (n)) s M es O(f (n)) M acepta todas las entradas Si la entrada de M tiene largo n, entonces al detenerse M tiene en la k-ésima cinta de trabajo el símbolo, seguido de f (n) símbolos #, y estos seguidos sólo del símbolo B. IIC3242 Clases de Complejidad 3 / 63
9 Clases de complejidad deterministas: Tiempo Dado: Alfabeto Σ. DTIME(t): conjunto de todos los lenguajes L Σ que pueden ser aceptados en tiempo O(t) por una MT determinista. Dos clases fundamentales: PTIME = k N DTIME(n k ) EXPTIME = k N DTIME(2 nk ) IIC3242 Clases de Complejidad 4 / 63
10 Clases de complejidad deterministas: Tiempo Dado: Alfabeto Σ. DTIME(t): conjunto de todos los lenguajes L Σ que pueden ser aceptados en tiempo O(t) por una MT determinista. Dos clases fundamentales: PTIME = k N DTIME(n k ) EXPTIME = k N DTIME(2 nk ) PTIME: Conjunto de todos los problemas que pueden ser solucionados eficientemente. IIC3242 Clases de Complejidad 4 / 63
11 Clases de complejidad no deterministas: Tiempo NTIME(t): conjunto de todos los lenguajes L Σ que pueden ser aceptados en tiempo O(t) por una MT no determinista. Dos clases fundamentales: NP = k N NTIME(n k ) NEXPTIME = k N NTIME(2 nk ) IIC3242 Clases de Complejidad 5 / 63
12 Clases de complejidad deterministas: Espacio DSPACE(s): conjunto de todos los lenguajes L Σ que pueden ser aceptados en espacio O(s) por una MT determinista. Tres clases fundamentales: LOGSPACE = DSPACE(log n) PSPACE = k N DSPACE(n k ) EXPSPACE = k N DSPACE(2 nk ) IIC3242 Clases de Complejidad 6 / 63
13 Clases de complejidad no deterministas: Espacio NSPACE(s): conjunto de todos los lenguajes L Σ que pueden ser aceptados en espacio O(s) por una MT no determinista. Tres clases fundamentales: NLOGSPACE = NSPACE(log n) NPSPACE = k N NSPACE(n k ) NEXPSPACE = k N NSPACE(2 nk ) IIC3242 Clases de Complejidad 7 / 63
14 Clases de complejidad: Complemento Dado un lenguaje L sobre un alfabeto Σ: L = {w Σ w L}. Definición Dada una clase de complejidad C, el conjunto de los complementos de C se define como: co-c = {L L C} Ejemplo Una clase muy estudiada: co-np Puede identificar algún problema en esta clase? Es esta clase igual a NP? IIC3242 Clases de Complejidad 8 / 63
15 Clases de complejidad: Relaciones Punto de partida: co-expspace LOGSPACE NPSPACE PSPACE co-pspace PTIME NP co-logspace co-np NLOGSPACE co-exptime NEXPTIME co-npspace EXPTIME co-nlogspace EXPSPACE co-nexptime co-nexpspace NEXPSPACE co-ptime IIC3242 Clases de Complejidad 9 / 63
16 Resultados básicos Las siguientes propiedades son triviales: IIC3242 Clases de Complejidad 10 / 63
17 Resultados básicos Las siguientes propiedades son triviales: Si C es una clase de complejidad definida en términos de MTs deterministas, entonces co-c = C. IIC3242 Clases de Complejidad 10 / 63
18 Resultados básicos Las siguientes propiedades son triviales: Si C es una clase de complejidad definida en términos de MTs deterministas, entonces co-c = C. Si f es O(g), entonces: DTIME(f ) DTIME(g) NTIME(f ) NTIME(g) DSPACE(f ) DSPACE(g) NSPACE(f ) NSPACE(g) IIC3242 Clases de Complejidad 10 / 63
19 Resultados básicos Las siguientes propiedades son triviales: Si C es una clase de complejidad definida en términos de MTs deterministas, entonces co-c = C. Si f es O(g), entonces: DTIME(f ) DTIME(g) NTIME(f ) NTIME(g) DSPACE(f ) DSPACE(g) NSPACE(f ) NSPACE(g) DTIME(f ) NTIME(f ) IIC3242 Clases de Complejidad 10 / 63
20 Resultados básicos Las siguientes propiedades son triviales: Si C es una clase de complejidad definida en términos de MTs deterministas, entonces co-c = C. Si f es O(g), entonces: DTIME(f ) DTIME(g) NTIME(f ) NTIME(g) DSPACE(f ) DSPACE(g) NSPACE(f ) NSPACE(g) DTIME(f ) NTIME(f ) DSPACE(f ) NSPACE(f ) IIC3242 Clases de Complejidad 10 / 63
21 Resultados básicos Las siguientes propiedades son triviales: Si C es una clase de complejidad definida en términos de MTs deterministas, entonces co-c = C. Si f es O(g), entonces: DTIME(f ) DTIME(g) NTIME(f ) NTIME(g) DSPACE(f ) DSPACE(g) NSPACE(f ) NSPACE(g) DTIME(f ) NTIME(f ) DSPACE(f ) NSPACE(f ) La figura empieza a tomar forma... IIC3242 Clases de Complejidad 10 / 63
22 Clases de complejidad: Relaciones Podemos eliminar algunas clases: co-expspace LOGSPACE PTIME PSPACE NP co-logspace NPSPACE co-pspace co-np NLOGSPACE co-exptime NEXPTIME co-npspace EXPTIME co-nlogspace EXPSPACE co-nexptime co-nexpspace NEXPSPACE co-ptime IIC3242 Clases de Complejidad 11 / 63
23 Clases de complejidad: Relaciones Podemos eliminar algunas clases: NPSPACE LOGSPACE PSPACE NP PTIME co-np NLOGSPACE co-npspace EXPTIME NEXPTIME co-nlogspace EXPSPACE co-nexptime co-nexpspace NEXPSPACE IIC3242 Clases de Complejidad 11 / 63
24 Clases de complejidad: Relaciones También tenemos algunas relaciones de inclusión: LOGSPACE NLOGSPACE PTIME NP co-nlogspace co-np PSPACE NPSPACE EXPTIME NEXPTIME co-npspace co-nexptime EXPSPACE NEXPSPACE co-nexpspace IIC3242 Clases de Complejidad 12 / 63
25 Relación entre tiempo y espacio Teorema NTIME(f (n)) DSPACE(f (n)) IIC3242 Clases de Complejidad 13 / 63
26 Relación entre tiempo y espacio Teorema NTIME(f (n)) DSPACE(f (n)) Ejercicio Demuestre el teorema. IIC3242 Clases de Complejidad 13 / 63
27 Relación entre tiempo y espacio Teorema NTIME(f (n)) DSPACE(f (n)) Ejercicio Demuestre el teorema. Corolario NP co-np NEXPTIME co-nexptime PSPACE PSPACE EXPSPACE EXPSPACE IIC3242 Clases de Complejidad 13 / 63
28 Relación entre tiempo y espacio Teorema Si f (n) es Ω(log n), entonces: NSPACE(f (n)) k N DTIME(2 k f (n) ) IIC3242 Clases de Complejidad 14 / 63
29 Relación entre tiempo y espacio Teorema Si f (n) es Ω(log n), entonces: NSPACE(f (n)) k N DTIME(2 k f (n) ) Ejercicio Demuestre el teorema. Por qué se necesita que f (n) sea Ω(log n) para demostrar el teorema? IIC3242 Clases de Complejidad 14 / 63
30 Relación entre tiempo y espacio Corolario NLOGSPACE co-nlogspace NPSPACE co-npspace PTIME PTIME EXPTIME EXPTIME IIC3242 Clases de Complejidad 15 / 63
31 Clases de complejidad: Relaciones Como corolario de los resultados anteriores obtenemos: NLOGSPACE NP NPSPACE NEXPTIME NEXPSPACE LOGSPACE PTIME PSPACE EXPTIME EXPSPACE co-nlogspace co-np co-npspace co-nexptime co-nexpspace Teorema de Immerman-Szelepcsényi Teorema de Savitch Teorema de Savitch IIC3242 Clases de Complejidad 16 / 63
32 Clases de complejidad: Relaciones Como corolario de los resultados anteriores obtenemos: NLOGSPACE NP NPSPACE NEXPTIME NEXPSPACE LOGSPACE PTIME PSPACE EXPTIME EXPSPACE co-nlogspace co-np co-npspace co-nexptime co-nexpspace Teorema de Immerman-Szelepcsényi Teorema de Savitch Teorema de Savitch Es posible reducir aun más esta figura? IIC3242 Clases de Complejidad 16 / 63
33 Clases de complejidad: Relaciones Como corolario de los resultados anteriores obtenemos: NLOGSPACE NP NPSPACE NEXPTIME NEXPSPACE LOGSPACE PTIME PSPACE EXPTIME EXPSPACE co-nlogspace co-np co-npspace co-nexptime co-nexpspace Teorema de Immerman-Szelepcsényi Teorema de Savitch Teorema de Savitch Es posible reducir aun más esta figura? IIC3242 Clases de Complejidad 16 / 63
34 Clases de complejidad: Relaciones Como corolario de los resultados anteriores obtenemos: NLOGSPACE NP NPSPACE NEXPTIME NEXPSPACE LOGSPACE PTIME PSPACE EXPTIME EXPSPACE co-nlogspace co-np co-npspace co-nexptime co-nexpspace Teorema de Immerman-Szelepcsényi Teorema de Savitch Teorema de Savitch Es posible reducir aun más esta figura? IIC3242 Clases de Complejidad 16 / 63
35 Teorema de Savitch Teorema (Savitch) Si f (n) es Ω(log n), entonces NSPACE(f (n)) DSPACE(f (n) 2 ). Demostración: Sea L NSPACE(f (n)). Entonces existe una MT no determinista M = (Q,Σ,Γ,q 0,δ,F) tal que: M tiene una cinta de lectura y k 1 cintas de escritura L = L(M) s M es O(f (n)) IIC3242 Clases de Complejidad 17 / 63
36 Teorema de Savitch: Demostración Con una entrada de largo n, la cantidad de configuraciones de M está acotado por: Q (n + 2) s M (n) k Γ k s M(n) Como s M es O(f (n)) y f (n) es Ω(log n), existe una constante c tal que la cantidad de configuraciones de M está acotada por: c f (n) 2 Además, existe una constante d tal que el espacio necesario para almacenar una configuración de M está acotado por d f (n). Por qué? IIC3242 Clases de Complejidad 18 / 63
37 Teorema de Savitch: Demostración Considere la siguiente función: verificar(α: configuración, β: configuración, k: número natural) if α = β then return(true) else if k 1 y β es sucesor de α en M then return(true) else if k 2 then for each configuración γ de M do if verificar(α, γ, k 2 ) y verificar(γ, β, k 2 ) then return(true) return(false) IIC3242 Clases de Complejidad 19 / 63
38 Teorema de Savitch: Demostración Sea α 0 la configuración inicial de M con entrada w. Para verificar si w L, basta verificar si existe alguna configuración final β de M tal que verificar(α 0,β,2 c f (n) ) retorna true. Esto puede implementarse en espacio O(f (n) 2 ) en una MT determinista. Cómo puede hacerse esto? Concluimos que L DSPACE(f (n) 2 ). IIC3242 Clases de Complejidad 20 / 63
39 Teorema de Savitch: Algunas consecuencias Del Teorema de Savitch obtenemos los siguientes corolarios: Corolario PSPACE = NPSPACE EXPSPACE = NEXPSPACE Combinando esto con los resultados anteriores, obtenemos que: IIC3242 Clases de Complejidad 21 / 63
40 Teorema de Savitch: Algunas consecuencias Del Teorema de Savitch obtenemos los siguientes corolarios: Corolario PSPACE = NPSPACE EXPSPACE = NEXPSPACE Combinando esto con los resultados anteriores, obtenemos que: PSPACE = NPSPACE = co-npspace IIC3242 Clases de Complejidad 21 / 63
41 Teorema de Savitch: Algunas consecuencias Del Teorema de Savitch obtenemos los siguientes corolarios: Corolario PSPACE = NPSPACE EXPSPACE = NEXPSPACE Combinando esto con los resultados anteriores, obtenemos que: PSPACE = NPSPACE = co-npspace EXPSPACE = NEXPSPACE = co-nexpspace IIC3242 Clases de Complejidad 21 / 63
42 Clases de complejidad: Relaciones y el Teorema de Savitch Tenemos un mejor entendimiento de la relación entre las clases de complejidad: NLOGSPACE NP NEXPTIME LOGSPACE PTIME PSPACE EXPTIME EXPSPACE co-nlogspace co-np co-nexptime IIC3242 Clases de Complejidad 22 / 63
43 Clases de complejidad: Relaciones y el Teorema de Savitch Tenemos un mejor entendimiento de la relación entre las clases de complejidad: NLOGSPACE NP NEXPTIME LOGSPACE PTIME PSPACE EXPTIME EXPSPACE co-nlogspace co-np co-nexptime Y ahora seguimos con NLOGSPACE = co-nlogspace? IIC3242 Clases de Complejidad 22 / 63
44 Clases de complejidad: Relaciones y el Teorema de Savitch Tenemos un mejor entendimiento de la relación entre las clases de complejidad: NLOGSPACE NP NEXPTIME LOGSPACE PTIME PSPACE EXPTIME EXPSPACE co-nlogspace co-np co-nexptime Y ahora seguimos con NLOGSPACE = co-nlogspace? La respuesta a esta pregunta no se deduce del Teorema de Savitch. IIC3242 Clases de Complejidad 22 / 63
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