Jerarquía de Chomsky. 1. Clasificación de gramáticas. 2. Clasificación de lenguajes. 3. Gramáticas regulares. 5. Gramáticas dependientes del contexto

Transcripción

1 Jerarquía de Chomsky 1. Clasificación de gramáticas 2. Clasificación de lenguajes 3. Gramáticas regulares 4. Gramáticas independientes del contexto 5. Gramáticas dependientes del contexto 6. Gramáticas sin restricciones

2 Clasificación de gramáticas Chomsky generaliza el concepto de gramática G = (V T, V N, S, P ) y propone una clasificación (jerarquía) según la forma que deben tener sus producciones: Regulares (GREG) Independientes del contexto (GIC) Dependientes del contexto (GDC) Con estructura de frase (GEF) Por la izquierda: A Aa A a Por la derecha: A aa A a A v αaβ v con αaβ v αaβ γ donde A, B V N, a V T, α, β, γ V y v V + Para cubrir el caso de la generación de λ en todos los tipos de gramáticas, se admite la inclusión de la regla S λ en GREGs, GICs y GDCs. Se verifica: El conjunto de las gramáticas GRs está estrictamente contenido en el de las GICs. El conjunto de las gramáticas GICs está estrictamente contenido en el de las GDCs. El conjunto de las gramáticas GDCs está estrictamente contenido en el de las GEFs.

3 Clasificación de lenguajes La jerarquía de Chomsky implica a su vez una jerarquía de lenguajes. Las gramáticas GREGs por la derecha o izquierda generan la misma clase de lenguajes LREG denominados regulares. Esta clase coincide con la de los lenguajes aceptados por los autómatas finitos y la de los lenguajes descritos mediante expresiones regulares. Las GICs generan la clase LIC de los lenguajes independientes del contexto. Esta clase coincide con la de los lenguajes aceptados por los autómatas de pila. Las GDCs generan la clase LDC de los lenguajes dependientes del contexto. Las GEFs generan la clase LEF de los lenguajes con estructura de frases. Esta clase de lenguajes coincide con la de los lenguajes aceptados por las máquinas de Turing. Se verifica LREG LIC LDC LEF

4 Gramáticas regulares Ejemplo: Las dos gramáticas G r y G l generan el lenguaje regular Regular por la derecha S 1A G r = A 1A 0B 0 B 0B 0 Regular por la izquierda S C0 G l = C C0 D1 1 D D1 1

5 Gramáticas independientes del contexto Ejemplo: Las dos gramáticas G 1 y G 2 generan el lenguaje independiente del contexto 0 n 1 n 2 m con n, m 0. GIC en formato no estricto S AB G 1 = A 0A1 λ B 2B λ Lenguaje GIC en formato estricto S AB A B λ G 2 = A 0A1 01 B 2B 2 Podemos observar que la gramática G 1 no es una GIC en sentido estricito ( incluye reglas nulas asociadas a símbolos que no son el axioma). Admitiremos, sin embargo, que es una GIC debido al siguiente teorema. Teorema Si todas las reglas de una gramática G son de la forma A γ con A V N y γ V, entonces podemos obtener otra gramática GIC equivalente a G.

6 Gramáticas dependientes del contexto Ejemplo: Sea la GDC G = ({a, b, c}, {S, M}, S, P ) donde P = S amc asmc am ab bm bb cm Mc La gramática G genera el lenguaje dependiente del contexto a n b n c n con n > 0. Un ejemplo de derivación sería: S asmc aamcmc aabcmc aabmcc aabbcc Teorema Toda gramática GDC G pueden ser convertida en otra gramática equivalente G donde todas las reglas de G son la forma αaβ αvβ o S λ con A V N, v V + y α, β V. Es decir, reglas en donde A se sustituye por v en el contexto (α, β).

7 Gramáticas con estructura de frases Las gramáticas GEFs se caracterizan frente al resto (dejando aparte el caso S λ) en que admite reglas compresoras. Una regla compresora es aquella regla que cumple que el tamaño de su lado derecho es menor que el tamaño de su lado izquierdo. Ejemplo: Sea la GEF G = ({a, b, c}, {S, M}, S, P ) donde P = S abmsc λ bma abm bmc bc bmb bbm La gramática G genera el lenguaje a n b n c n con n 0. Un ejemplo de derivación sería: S abmsc abmabmscc abmabmcc abmabcc aabmbcc aabbmcc aabbcc

8 Máquinas de Turing 1. Modelo básico de una Máquina de Turing 2. Máquinas de Turing y computadoras 3. Lenguajes aceptados por una Máquina de Turing 4. Variantes de una Máquina de Turing

9 Modelo básico de una MT: Componentes Una máquina de Turing (MT) es una tupla M = (Γ, Σ,, Q, q 0, F, δ) donde Γ es el alfabeto de la cinta infinita por ambos lados. Σ Γ es el alfabeto de la entrada Γ ( / Σ) es el símbolo espacio en blanco. Q conjunto finito de estados q 0 Q es el estado inicial y F Q conjunto de estados finales (o de aceptación) δ : Q Γ Q Γ {I, D} es la función de transición que puede ser parcial Ejemplo: M 1 = ({a, b, }, {a, b},, {q 0, q 1 }, q 0, {q 1 }, δ) donde δ(q 0, a) = (q 0, a, D) δ(q 0, b) = (q 0, a, D) δ(q 0, ) = (q 1,, I) Tabla de transición M 1 a b q 0 q 0 ad q 0 ad q 1 I Diagrama (Grafo) de transición q 1

10 Modelo básico de una MT: Movimientos Dada una MT M = (Γ, Σ,, Q, q 0, F, δ) se define Configuración X 1... X i 1 qx i... X n con X 1,... X n Γ y q Q, indica que M está en el estado q, que el puntero de lectura se encuentra situado sobre la casilla que contiene el símbolo X i, y que todas las casilla a la izquierda (derecha) del símbolo X 1 (X n ) contienen. Movimiento M : Cambio de configuración en el autómata. Hay dos alternativas dependiendo del sentido del movimiento indicado por las directivas I o D X 1... X i 1 qx i... X n M X 1... px i 1 Y... X n si δ(q, X i ) = (p, Y, I) X 1... X i 1 qx i... X n M X 1... X i 1 Y p... X n si δ(q, X i ) = (p, Y, D) Computación M : Secuencia de cero o más movimientos. Nota: Cuando la MT M se sobreentiende se usa la notación y q 0 aaba M1 aq 0 aba M1 aaq 0 ba M1 aaaq 0 a M1 aaaaq 0 M1 aaaq 1 a aq 0 aba M 1 aq 0 aba q 0 aaba M 1 aaq 1 a

11 Máquinas de Turing y computadoras Una función de cadena es Turing computable si existe una MT M = (Γ, Σ,, Q, q 0, F, δ) para la que q 0 w M q f u para algún q f F, cuando f(w) = u. Ejemplo: Supongamos que representamos un entero positivo n mediante una cadena a n. La siguiente MT calcula la función f(n, m) = n + m teniendo en cuenta que f será representada mediante la transformación de a n ba m en a n+m b. M a b q 0 q 0 ad q 1 ad q 1 q 1 ad q 2 I q 2 q 3 bi q 3 q 3 ai q 4 D q 4 q 0 abaa aq 0 baa aaq 1 aa aaaq 1 a aaaaq 1 aaaq 2 a aaq 3 ab aq 3 aab q 3 aaab q 3 aaab q 4 aaab

12 Lenguajes aceptados por una MT: Definición Lenguaje L(M) aceptado por una MT: Dado un MT M = (Γ, Σ,, Q, q 0, F, δ) L(M) = {w Σ q 0 w M αq f β con α, β Γ y q f F } Ejemplo: L(M) acepta el lenguaje a n con n 0. M a q 0 q 0 ad q 1 D q 1 q 0 aa aq 0 a aaq 0 aa q 1 Nota: Asumimos que no existen transiciones desde ningún estado de aceptación. Los lenguajes aceptados por las MT se denominan lenguajes recursivamente enumerables. Denotamos mediante LR.E. a la clase de los lenguajes recursivamente enumerables. Equivalencia: Decimos que dos MT M 1 y M 2 son equivalentes cuando L(M 1 ) = L(M 2 ).

13 Lenguajes aceptados por una MT: La parada Parada Decimos que una MT M = (Γ, Σ,, Q, q 0, F, δ) para si alcanza un p Q y señala a un X Γ para el que no está definido δ(p, X). Una MT no tiene porqué pararse ante todas las cadenas de entrada. Por ejemplo, la MT M acepta el lenguaje {a, b} y sólo se para con las cadenas λ, a y b del lenguaje (a + b). M a b q 0 q 1 ad q 1 bd q 1 q 0 ai q 0 bi q 2 D q 0 a aq 1 a q 2 q 0 ab aq 1 b q 0 ab aq 1 b... q 2 Los lenguajes para los que existe una MT que para con cualquier cadena de entrada (pertenezca o no al lenguaje) se denominan lenguajes recursivos. Denotamos la clase de los lenguajes recursivos mediante LR. Teorema [LDC LR]. La clase LDC de los lenguajes dependientes del contexto está contenida de forma estricta en la clase de los lenguajes recursivos.

14 Variantes de una MT: Técnicas de diseño Almacenamiento en la unidad: Los estados son tuplas sobre dominios finitos Cinta multipista: Los símbolos son tuplas sobre dominios finitos Directiva Q: Indica que el puntero de lectura/escritura se queda quieto Ejemplo: Una MT que comprueba si dos secuencias de bits de igual tamaño son iguales o complementarias (se marcará con asteriscos el primer par incorrecto, si existiese). M (d, d ) (d, d) (, ) (q 0, ) (q 1, c)(d, d )D (q 1, i)(d, d)d (q 1, i) (q 1, i)(, )Q (q 1, i)(d, d)d (q 1, )(, )Q (q 1, c) (q 1, c)(d, d )D (q 1, c)(, )Q (q 1, )(, )Q (q 1, ) donde d {0, 1} y d es el bit complementario de d (q 0, )(0, 1)(1, 0) (0, 1)(q 1, c)(1, 0) (0, 1)(1, 0)(q 1, c)(, ) (0, 1)(1, 0)(q 1, )(, ) (q 0, )(0, 0)(1, 1)(1, 0)(1, 1) (0, 0)(q 1, i)(1, 1)(1, 0)(1, 1) (0, 0)(1, 1)(q 1, i)(1, 0)(1, 1) (0, 0)(1, 1)(q 1, i)(, )(1, 1)

15 Variantes de una MT: Modelo multicinta Ejemplo: Una MT de 2 cintas para aceptar el lenguaje a n b n con n > 1 definida del siguiente modo M = ({a, b, }, {a, b},, {q 0, q 1, q 2 }, q 0, {q 2 }, δ) donde viene descrita mediante: δ : Q Γ 2 Q Γ 2 {I, D, Q} 2 M (a, ) (b, ) (b, a) (, ) q 0 q 0 (a, a)(d, D) q 1 (b, )(Q, I) q 1 q 1 (b, )(D, I) q 2 (, )(Q, Q) q 2 (q 0 aabb)(q 0 ) (aq 0 abb)(aq 0 ) (aaq 0 bb)(aaq 0 ) (aaq 1 bb)(aq 1 a) (aabq 1 b)(q 1 a) (aabbq 1 )(q 1 ) (aabbq 2 )(q 2 ) Teorema Las MT con k > 1 cintas aceptan la misma clase de lenguajes que las MT con una sóla cinta.

16 Variantes de una MT: Modelo no determinista Ejemplo: Una MT que acepta el lenguaje ww R con w {0, 1}. M (d, ) (d, d) (, ) q 0 q 1 (d, d)(d, D) q 1 q 1 (d, d)(d, D) q 2 (d, )(Q, I) q 2 q 2 (d, )(D, I) q 3 (, )(Q, Q) q 3 donde d {0, 1} y d es el bit complementario de d Teorema Las MT no deterministas aceptan la misma clase de lenguajes que las MT.