Generalidades sobre lenguajes.

Transcripción

1 no DSIC - UPV July 3, 2011 (DSIC - UPV) July 3, / 21

2 Definiciones: no Alfabeto Σ = {a, b, c} o Γ = {0, 1} palabra, cadena o frase Σ: x = aaba, y = Cadena vacía: λ. Longitud de una palabra: número de símbolos que contiene. Si x, y palabras Σ, a Σ, se define: { 0 si x = λ x = y +1 si x = ya Σ n representa el conjunto de palabras de longitud n el alfabeto Σ Σ = i 0 Σi (DSIC - UPV) July 3, / 21

3 Definiciones: Concatenación de palabras no Dadas x = a 1 a 2 a m, y = b 1 b 2 b n, a i, b j Σ, x y = a 1 a 2 a m b 1 b 2 b n Propiedades: Sean x, y, z Σ y a Σ 1 Asociativa: (x y) z = x (y z). 2 Existencia de elemento neutro: xλ = λx = x. 3 xy = x + y Dados x, u, t, v Σ t es un segmento de x si x = u t v. Si u = λ(v = λ)t es un prefijo (sufijo) de x. x a es el número de veces aparece a en x. (DSIC - UPV) July 3, / 21

4 Definiciones: Lenguaje no Un Lenguaje L es un subconjunto de Σ. se incluyen: (lenguaje vacío, no contiene ninguna palabra). Σ. Un lenguaje se denomina finito si tiene un número finito de palabras. Caso contrario es infinito numerable (DSIC - UPV) July 3, / 21

5 no Unión: L 1 L 2 = {x Σ : x L 1 x L 2 } Intersección: L 1 L 2 = {x Σ : x L 1 x L 2 } Propiedades Unión e Intersección Asociativa Conmutativa Elemento neutro (,Σ ) Unión: Intersección: Σ Distributivas: L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 ) L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 ) (DSIC - UPV) July 3, / 21

6 Complementación: L = {x Σ : x / L}. Propiedades Complementación Σ = = Σ = L = L no definidas a partir de las anteriores Diferencia: L 1 L 2 = L 1 L 2. Diferencia simétrica: L 1 L 2 = ( L 1 L 2 ) ( L1 L 2 ). (DSIC - UPV) July 3, / 21

7 específicas no Producto L 1 L 2 = {x y Σ : x L 1 y L 2 } Propiedades (No conmutativa). L 1 L 2 no necesariamente igual a L 2 L 1 (Asociativa) (L 1 L 2 ) L 3 = L 1 (L 2 L 3 ) (Elemento neutro) L {λ} = {λ} L = L (Anulador) L = L = λ L 1 L 2 λ L 1 λ L 2 L 1 (L 2 L 3 ) = L 1 L 2 L 1 L 3 L 1 (L 2 L 3 ) L 1 L 2 L 1 L 3 Ejemplo: L 1 = {a, ab}, L 2 = {a}, L 3 = {ba}. (DSIC - UPV) July 3, / 21

8 Potencia y cierre estrella no Potencia de un lenguaje L n = Cierre estrella y cierre positivo Cierre estrella: L = i 0 Li Relación entre ambos { {λ} si n = 0 L n 1 L si n > 0 Cierre positivo L + = i>0 Li L + = { L si λ L L {λ} si λ / L (DSIC - UPV) July 3, / 21

9 Propiedades Cierre estrella y positivo no 1 L L + L (Puesto que L = L 1 ). 2 L 1 L 2 L n 1 Ln 2 ( n N). 3 L 1 L 2 L 1 ( L 2 L + 1 ) L+ 2 4 (L ) = L 5 (L + ) + = L + 6 L + = L L = LL 7 (L + ) = L 8 (L ) + = L (DSIC - UPV) July 3, / 21

10 Cociente de un lenguaje por una palabra no Cocientes por la derecha y por la izquierda Por la derecha u 1 L = {v Σ : uv L} Por la izquierda Lu 1 = {v Σ : vu L} (DSIC - UPV) July 3, / 21

11 Cociente de un lenguaje por una palabra Propiedades (u, v Σ, a Σ) no L 1 L 2 u 1 L 1 u 1 L 2 u 1 (L 1 L 2 ) = u 1 L 1 u 1 L 2 u 1 (L 1 L 2 ) = u 1 L 1 u 1 L 2 { ( a a 1 (L 1 L 2 ) = 1 ) (a L 1 L2 si λ / L 1 1 ) L 1 L2 a 1 L 2 si λ L 1 a 1 L = ( a 1 L ) L (uv) 1 L = v 1 ( u 1 L ) (DSIC - UPV) July 3, / 21

12 Cociente de, Reverso no Cociente de Cociente por la derecha L 1 1 L 2 = {v Σ : uv L 2, u L 1 } Cociente por la izquierda L 2 L 1 1 = {v Σ : vu L 2, u L 1 } Reverso de una palabra x Σ, x = a 1 a 2...a n 1 a n, a i Σ x r = a n a n 1...a 2 a 1 De manera { recursiva: x si x = λ x r = ay r si x = ya y Σ, a Σ Propiedades a Σ, a r = a a Σ, (a n ) r = a n x, y Σ, (xy) r = y r x r (DSIC - UPV) July 3, / 21

13 Reverso de un lenguaje no Reverso de un lenguaje L r = {x r : x L} Propiedades Si Σ = {a}, L r = L. Σ r = Σ (L 1 L 2 ) r = L r 2 Lr 1 ( L i ) r = (L r ) i (L ) r = (L r ) (Σ ) r = (Σ r ) = Σ (L r ) r = L (DSIC - UPV) July 3, / 21

14 Homomorfismo no homomorfismo Dados dos alfabetos Σ y Γ, un homomorfismo es una aplicación h : Σ Γ. Extensión a palabras, h : Σ Γ : { h (λ) = λ h (xa) = h(x)h(a) Para : h (L) = {h (x) : x L} homomorfismo inverso Dado h : Σ Γ, h 1 (y) = {x Σ : h(x) = y} Para : h 1 (L) = {x Σ : h(x) L} (DSIC - UPV) July 3, / 21

15 Gramáticas Definición intuitiva Una gramática es una forma finita de describir un lenguaje no G = (N,Σ, P, S) Se parte de un axioma S. El objetivo es obtener palabras (elementos de Σ ) de un lenguaje L. Empleando reglas de reescritura (producciones, elementos de P). Con la ayuda de símbolos auxiliares (elementos de N). (DSIC - UPV) July 3, / 21

16 Gramáticas no Definición Formal G = (N,Σ, P, S) N es un conjunto finito de elementos llamados no terminales. Σ es un alfabeto. N Σ =, N Σ = V (conjunto de símbolos). P V NV V. Denotaremos (α, β) P mediante α β. Si α β 1... α β n escribimos α β 1 β 2... β n S N. (DSIC - UPV) July 3, / 21

17 Gramáticas Ejemplo La gramática G = ({S}, {a, b}, S asb λ, S) no Define el lenguaje L = {a n b n : n 0}. Las palabras se generan partiendo de S y aplicando las reglas de producción. Generación de aabb (por ejemplo): S asb aasbb aaλbb = aabb. (DSIC - UPV) July 3, / 21

18 Lenguaje generado por una gramática G no Dados α,β V, decimos que α deriva directamente en β (α G β ) en G si: α = γαδ. β = γβδ. α β P Ejemplo: en la gramática anterior asb aasbb. Decimos que α deriva en β (α G β) en G si existe una cadena de cero o más derivaciones directas que convierten α en β. Ejemplo: en la gramática anterior asb G aabb. (DSIC - UPV) July 3, / 21

19 Lenguaje generado por una gramática G no α V es una forma sentencial si S G α. Si α Σ se dice que α es una palabra generada por G. Lenguaje generado por G L(G) = {x Σ : S G x} (DSIC - UPV) July 3, / 21

20 no Imponiendo restricciones a las reglas de producción se obtienen los siguientes tipos de gramáticas: LINEALES POR LA DERECHA (IZQUIERDA): Sus reglas son de la forma A ab(a Ba) con A N, a Σ λ, B N λ. INCONTEXTUALES o INDEP. DE CONTEXTO: Sus reglas son de la forma A α con A N, α V. CONTEXTUALES o DEP. DE CONTEXTO: Reglas: γaδ γαδ con A N, γ,δ V, α V +. (se excluye S λ a condición de...) SIN RESTRICCIONES: (DSIC - UPV) July 3, / 21

21 Ejemplos no Según el tipo de gramática que los genera, los se denominan Regulares, Incontextuales,... Ejemplos La gramática cuyas reglas son S aa ba λ, A as bs: -Es regular y -Genera el lenguaje de todas las palabras de longitud par {a, b} La gramática cuyas reglas son S asb λ: -Es Incontextual y -Genera el lenguaje de todas las palabras de la forma a n b n {a, b} (DSIC - UPV) July 3, / 21