Matemáticas discretas II

Transcripción

1 Matemáticas discretas II Lenguajes y gramáticas carlos.andres.delgado@correounivalle.edu.co Carlos Andrés Delgado S. Raúl E Gutierrez de Piñerez R. Facultad de Ingeniería. Universidad del Valle Abril 2017

2 1 Lenguajes 2 Autómatas finitos 3 Gramáticas

3 Contenido 1 Lenguajes 2 Autómatas finitos 3 Gramáticas

4 El alfabeto Un alfabeto es un conjunto finito no vacío cuyos elementos se llaman símbolos. Sea Σ = {a, b} el alfabeto que consta de los símbolos a y b. Las siguientes son cadenas sobre Σ: aba, abaabaaa, aaaab. El alfabeto binario Σ = {0, 1} son las cadenas sobre Σ que se definen como secuencias finitas de ceros y unos. Las cadenas son secuencias ordenadas y finitas de símbolos. Por ejemplo, w = aaab w 1 = baaa. Sea Σ = {a, b, c,..., x, y, z} el alfabeto del idioma castellano. El alfabeto utilizado por muchos lenguajes de programación. Sea Σ = {a, b, c} entonces podemos formar todas las cadenas sobre Σ incluyendo la cadena vacía.

5 Notación de alfabetos, cadenas y lenguajes Si bien un alfabeto Σ es un conjunto finito, Σ es siempre un conjunto infinito (enumerable). Hay que distinguir entre los siguientes cuatro objetos, que son diferentes entre sí:, ɛ, { }, {ɛ}

6 Alfabetos Operaciones con alfabetos Si Σ es un alfabeto, σ Σ denota que σ es un símbolo de Σ, por tanto, si se puede decir que 0 Σ Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Un alfabeto es simplemente un conjunto finito no vacío que cumple las siguientes propiedades, Dados Σ 1 y Σ 2 alfabetos Entonces Σ 1 Σ 2 también es un alfabeto. Σ 1 Σ 2, Σ 1 Σ 2 y Σ 2 Σ 1 también son alfabetos.

7 Conjunto Universal El conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto Σ, incluyendo la cadena vacía, se denota por Σ Sea Σ = {0, 1} Σ = {ɛ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 100, 010, 110,...} Sea Σ = {a, b, c}, entonces Σ = {ɛ, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, aaa, aab, abc, baa,...} Sea Σ = {a, b}, entonces Σ = {ɛ, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, baa,...}

8 Concatenación de cadenas Cadenas Dado un alfabeto Σ y dos cadenas u, v Σ, la concatenación de u y v se denota como u v o simplemente uv y se define así: 1 Si v = ɛ, entonces u ɛ = ɛ u = u, es decir, la concatenación de cualquier cadena u con la cadena vacía, a izquierda o derecha, es igual a u. 2 Si u = a 1 a 2... a n, v = b 1 b 2... b m, entonces u v = a 1 a 2... a nb 1 b 2... b m Es decir, u v es la cadena formada de escribir los símbolos de u y a continuación los símbolos de v.

9 Potencia de una cadena Dada w Σ y n N, se define w n de la siguiente forma ɛ si n = 0 w n = uu }{{... u } n veces si n 1 Potencia de una cadena de manera recursiva La potencia de una cadena se define como w Σ para n N { w n ɛ, si n = 0 = ww n 1, si n > 0 Ejemplo. Sea una cadena w = acc sobre Σ = {a, c} entonces podemos obtener w 3 = ww 2 = wwww 0 = accaccaccɛ = (acc) 3

10 Inversa de una cadena Longitud de una cadena La longitud de una cadena w Σ se denota w y se define como el número de símbolos de w (contando los símbolos repetidos), es decir: { 0, si w = ε w = n, si w = a 1 a 2... a n aba = 3, baaa = 4 Reflexión o inversa de una cadena La reflexión o inversa de una cadena w Σ se denota como w I y se define así: { w I ɛ, si w = ε = a n... a 2 a 1, si w = a 1 a 2... a n

11 Inversa de una cadena de manera recursiva La Inversa de una cadena Sea u Σ entonces u 1 es la inversa. { w I w si w = ε = y I a si w = ay, a Σ, y Σ Sea x= able entonces obtener x I x I = (able) I = (ble) I a = (le) I ba = (e) I lba = (ε) I elba = εelba = elba Sea la concatenación de las cadenas ab y cd que forma abcd sobre un alfabeto. Sabemos que (abcd) I = dcba, por tanto dcba = (cd) I (ab) I. Por lo tanto, si w e y son cadenas y si x = wy, entonces x I = (wy) I = y I w I En general, (x I ) I = x, para demostrar, suponga que x = a 1 a 2... a n.

12 Sufijos y prefijos Cadena Definición formal: Una cadena v es una subcadena o subpalabra de u si existen x, y tales que u = xvy. Nótese que x o y pueden ser ɛ y por lo tanto, la cadena vacía es una subcadena de cualquier cadena. Un prefijo de u es una cadena v tal que u = vw para alguna cadena w Σ. Se dice que v es un prefijo propio si v u. Un sufijo de u es una cadena de v tal que u = wv para alguna cadena w Σ. Se dice que v es un sufijo propio si v u.

13 Ejemplo de cadenas que son sufijos y prefijos Sea Σ = {a, b, c, d} y u = bcbaadb Sufijos de u ɛ b db adb aadb baadb cbaadb bcbaadb Prefijos de u ɛ b bc bcb bcba bcbaa bcbaad bcbaadb

14 La concatenación como una operación binaria Operación binaria Una operación binaria en un conjunto A es una función f : A A A, esta deberá satisfacer las siguientes propiedades: 1 La operación binaria deberá estar definida para cada par ordenado de A, es decir, f asigna a UN elemento f (a, b) de A a cada par ordenado (a, b) de elementos de A. 2 Como una operación binaria es una función, sólo un elemento de A se asigna a cada par (a, b). Sea A = Z, se define a b como a + b. Entonces, es una operación binaria en Z. Sea A = Z +, se define a b como a b. Entonces no es una operación binaria ya que no asigna un elemento de A a cualquier par ordenado de elementos de A.

15 Concatenación de cadenas como una operación binaria Concatenación La operación de la concatenación es una operación binaria entre cadenas de un alfabeto Σ, esto es: : Σ Σ Σ Sean u, v Σ y se denota por u v o simplemente uv. uv = u + v Dado el alfabeto Σ y dos cadena w, u Σ Entonces w ɛ = ɛ w = w. Si u = a 1 a 2 a 3... a n, w = b 1 b 2 b 3... b m, entonces, Por tanto u w = n + m u w = a 1 a 2 a 3... a nb 1 b 2 b 3... b m La concatenación de cadenas es asociativa. Es decir, si u, v, w Σ, entonces: (uv)w = u(vw)

16 Semigrupos Semigrupo Sea (Σ, ) es un semigrupo el cual es un conjunto no vacío Σ junto con una operación binaria asociativa definida en Σ. El conjunto P(S), donde S es un conjunto, junto con la operación de la unión (P(S), ) es un semigrupo y es también un semigrupo conmutativo. : P(S) P(S) P(S) Sea S = {a, b} entonces {a, b} ( {b}) = ({a, b} ) {b} El semigrupo (Σ, ) no es un semigrupo cunmutativo porque para u, w Σ no se cumple que u w = w u. Sea w = ac, w 1 = ab y w 2 = bb tal que w, w 1, w 2 Σ entonces w(w 1 w 2 ) = (ww 1 )w 2 ac(abbb) = (acab)bb acabbb = acabbb

17 Monoide Monoide Un monoide es un semigrupo (S, ) que tiene idéntico. El semigrupo P(S) con la operación de la unión tiene como idéntico a ya que A = A = A = A Sea (Σ,, ɛ) un monoide con las siguientes propiedades: 1 Es una operación binaria, es decir la concatenación es cerrada. x, y Σ, entonces x y Σ. 2 La concatenación es un semigrupo (Σ, ) y por tanto es asociativa x, y, z Σ, (xy)z = x(yz) 3 La cadena vacía ɛ es la idéntica para la concatenación: x Σ, ɛ x = x ɛ = x

18 Lenguajes Lenguaje Un lenguaje es un conjunto de palabras o cadenas. Un lenguaje L sobre un alfabeto Σ es un subconjunto de Σ y si L = Σ es el lenguaje de todas las cadenas sobre Σ. Sea L = el lenguaje vacío L Σ Σ = {a, b, c}. L = {a, aba, aca} Σ = {a, b, c}. L = {a, aa, aaa} = {a n : n 1} Σ = {a, b, c}. L = {ɛ, aa, aba, ab 2 a, ab 3 a} = {ab n a : n 0} {ɛ} Σ = {a, b, c}. L = {w Σ : w no contiene el símbolo c}. Por ejemplo, abbaab L pero abbcaa / L. Sobre Σ = {0, 1, 2} el lenguaje de las cadenas que tienen igual número de ceros, unos y dos s en cualquier orden.

19 Operaciones entre lenguajes Operaciones entre lenguajes; Sean A, B lenguajes sobre Σ entonces A B, A B, A B operaciones de conjuntos. Las operaciones lingüísticas son la concatenación, potencia, inverso y clausura. Sean A, B lenguajes sobre Σ entonces, A B = {x x : x A o x B} {a} {b} = {a, b} {a, ab} {ab, aab, aaabb} = {a, ab, aab, aaabb}

20 Operaciones entre lenguajes Sean A, B lenguajes sobre Σ entonces, A B = {x x : x A y x B} {a, ab} {ab, aab} = {ab} {a, aab} {a, ab, aab, aaabb} = {a, aab} {ɛ} {a, ab, aab, aaabb} = Complemento en Σ : A = {x Σ x / A} A = Σ A A ={ Cadenas de longitud par} sobre Σ = {a, b}, entonces A={cadenas de longitud impar}.

21 Operaciones entre lenguajes Sean A, B lenguajes sobre Σ entonces, A B = {x x : x A y x / B} Sea B: El lenguaje de todas las cadenas de ceros de cualquier longitud. Entonces: Sea A = {0, 1} y B = {0} entonces A B = {0, 1} {0} = 0 1(0 1) A B es el lenguaje de todas las cadenas de unos y ceros con almenos un uno.

22 Lenguajes Lenguaje Universal Si Σ, entonces Σ es el conjunto de todas las cadenas sobre Σ. Se le llama lenguaje universal. Teorema Σ es un conjunto infinito de cadenas de longitud finita sobre Σ. Sean A y B dos lenguajes sobre el alfabeto Σ. Entonces A = B si y sólo si A B y B A. ) Suponiendo que A = B, entonces si x A, como A = B entonces x B por tanto A B de la misma forma si x B entonces como A = B entonces x A por lo tanto B A. ) Se demuestra que si A B y B A entonces A = B.

23 Lenguajes Sea el lenguaje del conjunto de cadenas con igual número de ceros y unos. L 1 = {ɛ, 01, 10, 0011, 0101, 1001, ,...} y sea L = {a n b n : n 0} L 1 {0, 1} La concatenación de lenguajes de dos lenguajes A y B sobre Σ, notada por A.B o simplemente AB. AB = {uv : u A, v B} A = A = A = {uw : u A, w } =

24 Lenguajes A {ε} = {ε} A = A A {ɛ} = {uw : u A, w {ɛ}} = {u : u A} = A Las propiedad distributiva generalizada de la concatenación con respecto a la unión. A B i = (A B i ) i I i I x A B i x = u v, u A, v i I i I x = u v, u A, v B j, j I x A B j, j I x B i ) i I(A B i

25 Lenguajes Ejemplo. Sean A = {ab}, B 1 = {a, b}, y B 2 = {abb, b} A B i = (A B i ) i I i I A B i = A (B 1 B 2 ) A i I=2 i I=2 B i = {ab} ({a, b} {abb, b}) {ab} ({a, b} {abb, b}) = ({ab} ({a, b}) ({ab} {abb, b}) De igual forma se puede demostrar que: ( ) B i A = i A) i I(B i I

26 Lenguajes La concatenación no es distributiva con respecto a la intersección, es decir, no se cumple que A (B C) = A B A C. Contraejemplo: Sea A = {a, ɛ}, B = {ɛ}, C = {a} se tiene: Por otro lado, A (B C) = {a, ɛ} = A B A C = {a, ɛ} {ɛ} {a, ɛ} {a} = {a, ɛ} { a 2, a} = a

27 Lenguajes Potencia del lenguaje Potencia del lenguaje Dado un lenguaje A sobre Σ y (A Σ ) y n N, se define { A n {ɛ}, si n = 0 = A A n 1, si n 1 Ejemplo. Sea A = {ab} sobre un alfabeto Σ = {a, b}, entonces: A 0 = {ɛ} A 1 = A = { ab} A 2 = A A 1 = { abab} A 3 = A A 2 = { ababab}

28 Cerradura de Kleene Def. formal de Cerradura de Kleene La cerradura de Kleene de un lenguaje A Σ es la unión de las potencias: se denota por A A = i 0 A i = A 0 A 1 A 2... A n Observación: A se puede describir de la siguiente manera: A = {u 1 u 2... u n : u i A, n 0} Es el conjunto de todas las concatenaciones de la cadena A, incluyendo ɛ la cerradura positiva se denota por A + A + = A i = A 1 A 2 A 3... A n i 1

29 Cerradura de Kleene Observe que A = A + {ɛ} y A = A + si y solamente si ɛ A A + = A A = A A A A = A (A 0 A 1 A 2...) = (A 1 A 2 A 3...) = A + Se demuestra lo mismo que A + = A A

30 Cerradura de Kleene A A = A 1 ), Sea un x A A, entonces x = u v, con u A y v A Por tanto x = u v, con u = u 1 u 2... u n, u i A, n 0 y v = v 1 v 2... v m, v i A, m 0 De donde x = u v = u 1 u 2... u n v 1 v 2... v m con u i A, v i A, por lo tanto x, es una concatenación de n + m cadenas de A, así que x A. 2 ) Recíprocamente, si x A, entonces x = x ε A A. Esto prueba la igualdad de los conjuntos A A y A.

31 Cerradura de Kleene (A ) n = A, para todo n 1 (A ) = A A + A + A + Contraejemplo de A + A + = A +. Sea Σ = {a, b}, A = {a} se tiene que Por otro lado, A + = (A 1 A 2 A 3...) = {a} {aa} {aaa...} = {a n : n 1} A + A + = {a, a 2, a 3,...} {a, a 2, a 3,...} = {a 2, a 3,...} = {a n : n 2}

32 Cerradura de Kleene (A ) + = A (A ) + = (A ) 1 (A ) 2 (A ) 3... = A A A... = A (A + ) = A (A + ) = (A + ) 0 (A + ) 1 (A + ) 2... = {ɛ} A + A + A +... = A (conjuntos contenidos en A + ) = A (A + ) + = A + (A + ) + = (A + ) 1 (A + ) 2 (A + ) 3... = (A + ) 1 (conjuntos contenidos en A + ) = A +

33 Operaciones claves Operaciones claves en los lenguajes: A Σ A + Σ + A + A {ε} = {ε} = {ε} + 0 = {ε} n =, n 1 = {ε} + =

34 Inverso de un lenguaje Inverso de un lenguaje Sea A sobre Σ, se define A I como: A I = {u I : u A} Sean A y B lenguajes sobre Σ tal que (A, B Σ ) (A.B) I = B I.A I x (A B) I x = u I, donde, u A B x = u I, donde, u = vw, v A, w B x = (vw) I, donde, v A, w B x = w I v I, donde, v A, w B x = B I A I

35 Propiedades del inverso de un lenguaje Sean A y B lenguajes sobre Σ tal que (A, B Σ ) (A B) I = A I B I (A B) I = A I B I (A I ) I = A (A ) I = (A I ) (A + ) I = (A I ) +

36 Lenguajes regulares Los lenguajes regulares sobre un alfabeto Σ se definen recursivamente como:, {ε} y {a}, a Σ son lenguajes regulares. si A y B son lenguajes regulares, también lo son: A B (Unión) A B (Concatenación) A (Cerradura de Kleene) Ejemplo 1. Dado Σ = {a, b} el lenguaje A de todas las palabras que tienen exactamente una a: A = {b} {a} {b} Ejemplo 2. Lenguaje de todas las cadenas que comienzan con b: B = {b} {(a b)} Ejemplo 3. Lenguaje de todas las cadenas que contienen la cadena ba: C = {(a b)} {ba} {(a b)}

37 Propiedades de clausura Teorema Si L, L 1 y L 2 son lenguajes regulares sobre un alfabeto Σ, también lo son: 1 L 1 L 2 2 L 1 L 2 3 L + 4 L = Σ L 5 L 6 L 1 L 2 7 L 1 L 2 8 L 1 L 2 Observación Un sublenguaje (subconjunto) de un lenguaje regular no es necesariamente regular, es decir, la familia de los lenguajes regulares no es cerrada para subconjuntos.

38 Propiedades de clausura Observación Un lenguaje regular puede contener sublenguajes No-regulares. Sea L = {a n b n } es un sublenguaje del lenguaje regular a b Todo lenguaje finito es regular y la unión finita de lenguajes regulares es regular. La unión infinita de lenguajes no necesariamente es regular. L = {a n b n : n 1} = i 1{a i b i } Donde cada {a i b i } regular, pero L No lo es.

39 Definición formal de expresiones regulares Las expresiones regulares sobre un alfabeto Σ se definen recursivamente como:, ɛ y a, a Σ son expresiones regulares. si A y B son expresiones regulares, también lo son: A B (Unión) A B (Concatenación) A (Cerradura de Kleene) Son expresiones regulares aab, ab +, (aaba ) + Sea el conjunto {ɛ, aa, aba, ab 2 a, ab 3 a, ab 4 a,...} entonces {ɛ} ab a es una expresión regular. Expresión regular de todas las cadenas impares sobre Σ = {a, b} a(aa ab ba bb) b(aa ab ba bb)

40 Expresiones regulares Teorema Sean r, s y t expresiones regulares sobre Σ, entonces: 1. r s = s r 2. r = r = r 3. r r = r 4. (r s) t = r (s t) 5. rε = r = εr 6. r = = r 7. (rs)t = r(st) 8. r(s t) = rs rt y (r s)t = rt st 9. r = r = r r = (ε r) = r (r ε) = (r ε)r = ε rr 10. (r s) = (r s ) = (r s ) = (r s) r = r (sr ) 11. r(sr) = (rs) r 12. (r s) = ε (r s) s 13. (rs ) = ε r(r s) 14. s(r ε) (r ε) s = sr 15. rr = r r

41 Ejemplos expresiones regulares Ejemplo 1. Muestre que si r = s t implica que r = sr t r = s t = (ε s + )t ya que s = ε s + = (ε ss )t = εt s s t }{{} r = t sr = sr t Ejemplo 2. Probar que (b aa b) (b aa b)(a ba b) (a ba b) y a b(a ba b) son equivalentes.

42 Ejemplos expresiones regulares Ejemplo 3. Las siguientes expresiones regulares representan el mismo lenguaje? (a b) y ɛ (a b) b Ejemplo 4. Demostrar que r(sr) = (rs) r ) Sea w r(sr), entonces w = r 0 (s 1 r 1 )(s 2 r 2 )... (s nr n), para n 0 w = r 0 (s 1 r 1 )(s 2 r 2 )... (s nr n) w = (r 0 s 1 )(r 1 s 2 )(r 2 s 3 )... (r n 1 s n)r n Por lo tanto, r(sr) (rs) r ) Sea w (rs) r, entonces w = (r 0 s 0 )(r 1 s 1 )... (r n 1 s n 1 )r n, para n 0

43 Encontrar las expresiones regulares de los siguientes lenguajes Ejemplo 5. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que comienzan con b y terminan con a. b(a b) a Ejemplo 6. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen exactamente dos a s b ab ab

44 Ejercicios resueltos de expresiones regulares Ejemplo 7. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen un número par de símbolos (palabras de longitud par) (aa ab ba bb) Ejemplo 8. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen un número impar de símbolos (palabras de longitud impar) a(aa ab ba bb) b(aa ab ba bb) Ejemplo 9. Σ = {a, b} Lenguaje de todas las palabras que tienen un número par de a s. b (ab a) b

45 Ejercicios resueltos de expresiones regulares Ejemplo 10. Sobre Σ = {0, 1} lenguaje de todas las cadenas que tienen exactamente dos ceros: Ejemplo 11. Sobre Σ = {0, 1} lenguaje de todas las cadenas cuyo penúltimo símbolo, de izquierda a derecha, es un 0. (0 1) 0(0 1)

46 Expresiones regulares en la computación Las expresiones regulares sirven para la construcción de analizadores léxicos. es un testeador de expresiones regulares en java. Representa palabras que comienzan por una letra mayúscula seguida de un espacio en blanco y de dos letras mayúsculas. Ejemplo, reconocería Ithaca NY. Por ejemplo, Palo Alto CA no la reconocería.

47 Contenido 1 Lenguajes 2 Autómatas finitos 3 Gramáticas

48 Introducción a los autómatas finitos

49 Autómatas finitos Son máquinas abstractas que procesan cadenas, las cuales son aceptadas o rechazadas. El autómata posee unidad de control que inicialmente escanea o lee la casilla desde el extremo izquierdo de la cinta. Tiene unos estados o configuraciones internas.

50 Función de transición Sea un autómata M = (Q, Σ, q 0, T, δ)

51 Lenguaje aceptado por un autómata

52 Autómatas finitos (FSAs: Finite State-Automata) Los autómatas finitos se dividen en autómatas finitos deterministas (AFD) (es función) y en autómatas finitos no deterministas (AFN)(es una relación). Autómata finito determinista Sea M = (Q, Σ, q 0, T, δ) un AFD entonces: Σ: es el alfabeto de entrada. Q: es el conjunto de estados q 0 :Estado inicial T : Conjunto de estados finales. δ : Q Σ Q determina un único estado siguiente para el par δ(q i, γ) correspondiente al estado actual y la entrada. Un AFD puede ser representado por un grafo dirigido y etiquetado.

53 Ejemplos autómatas finitos deterministas Ejemplo 1. Diseñar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca el lenguaje L = a = {ε, a, a 2, a 3,...}

54 Ejemplos finitos deterministas Ejemplo 2. Diseñar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca el lenguaje L = a + = {a, a 2, a 3,...}

55 Ejemplos autómatas finitos deterministas Ejemplo 3. Diseñar el AFD sobre Σ = {a, b} que reconozca el lenguaje de todas las cadenas que tienen un número par de símbolos Ejemplo 4. AFD que reconoce a + b +

56 Ejemplos autómatas finitos deterministas Ejemplo 5. El diagrama y tabla de transición en cierta forma determinan si es un autómata finito determinista o no determinista. Sea Σ = {a, b}, Q = {q 0, q 1, q 2 } q 0 : estado inicial T = {q 0, q 2 } estados finales o de aceptación. Es importante anotar que en la tabla de transición por cada pareja (q i, γ) hay un sólo estado q j por eso δ es una función de transición. el lenguaje que reconoce este AFD es: a (b(a + ba + bb) b) + a Ahora como el estado inicial es un estado final este AFD reconoce ε

57 Ejemplos autómatas finitos deterministas Ejemplo 6. Diseñar el AF sobre Σ = {0, 1} que reconozca en binario el lenguaje de todos los múltiplos de 2.

58 Autómatas finitos No determinísticos Autómatas finitos No determinísticos Sea M = (Q, Σ, q 0, T, ) un AFN entonces: Σ: es el alfabeto de entrada. Q: es el conjunto de estados q 0 :Estado inicial T : Conjunto de estados finales. : es una relación tal que: (Q Σ) 2 Q Donde 2 Q denota el conjunto potencia de Q o el conjunto de todos los subconjuntos de Q. 2 Q = {A A Q}

59 Ejemplos Autómatas finitos No determinísticos Ejemplo 1. Diseñar el AFN sobre Σ = {a, b} que reconozca el lenguaje regular a b ab

60 Ejemplos Autómatas finitos No determinísticos Ejemplo 2. Diseñar el AFN sobre Σ = {a, b} que reconozca el lenguaje (ab aba)

61 Ejemplos Autómatas finitos No determinísticos Ejemplo 3. Diseñar el AF sobre Σ = {0, 1} que reconozca el lenguaje de todas las cadenas que terminan en 01

62 Ejemplos Autómatas finitos No determinísticos Ejemplo 4. Obetener la expresión regular del siguiente AFN sobre Σ = {a, b}. (a b ) (aa bb)(a b )

63 Equivalencia de AFN y AFD Teorema Sea M = (Q, Σ, q 0, T, ) un AFN. Entonces existe un AFD M = (Q, Σ, q 0, T, δ) tal que L(M) = L(M ). El conjunto q 0 se corresponde con q 0 El conjunto de estados finales T de Q se corresponde con los conjuntos de estados de Q que contienen un estado de T El conjunto de estados de Q se corresponde con el conjunto de estados de Q que se vaya formando mediante el análisis de una cadena sobre M

64 Equivalencia entre autómatas Autómatas equivalentes Dos AFD son equivalentes M 1 y M 2 son equivalentes si L(M 1 ) = L(M 2 ). Sean M 1 y M 2 sobre el alfabeto = {a}, L(M 1 ) = L(M 2 ) = a

65 Ejemplos equivalencia de AFN y AFD Ejemplo 1. Consideremos el AFN M que acepta a (ab) + Para este AFN se tiene: (q 0, a) = {q 1, q 2 } (q 0, b) = ({q 1, q 2 }, a) = ({q 1, q 2 }, b) = {q 3 } (, b) = (, b) = (q 3, a) = {q 2 } (q 3, b) = (q 2, a) = (q 2, b) = {q 3 }

66 Ejemplos equivalencia de AFN y AFD Entonces se verifica que la regla de transición es una función. Por tanto, M = (Q, Σ, q 0, T, δ) donde: Q = {, {q 0 }, {q 2 }, {q 3 }, {q 1, q 2 }} Σ = Σ s = {q 0 } T = {{q 3 }, {q 1, q 2 }} y δ viene dada por la siguiente tabla:

67 Ejemplos equivalencia de AFN y AFD Ejemplo 2. Consideremos el AFN M que acepta (0 1) 0(0 1) Caso desfavorable para la construcción de subconjuntos Crecimiento exponencial del número de estados para el AFD.

68 Intersección entre lenguajes regulares Teorema Si L 1 y L 2 son lenguajes regulares, también lo es L 1 L 2. Sean L 1 = L(M 1 ) y L 2 = L(M 2 ) donde: M 1 = (Q 1, Σ 1, q 1, T 1, δ 1 ) y M 2 = (Q 2, Σ 2, q 2, T 2, δ 2 ) Entonces construimos: donde M = (Q 1 Q 2, Σ 1 Σ 2, (q 1, q 2 ), T 1 T 2, δ) δ : Q 1 Q 2 Σ Q 1 Q 2 δ((q i, q j ), a) = (δ 1 (q i, a), δ 2 (q j, a)) Esta función satisface: L(M) = L(M 1 ) L(M 2 )

69 Ejemplo intersección de lenguajes Ejemplo. Construir el AFD que acepte el lenguaje L de todas las palabras sobre Σ = {a, b} que tienen un número par de a s y un número par de b s. Entonces el lenguaje L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) tiene cuatro estados: Q 1 Q 2 = {(q 1, q 2 ), (q 1, q 4 ), (q 3, q 2 ), (q 3, q 2 )} T 1 T 2 = {(q 1, q 2 )}

70 Ejemplo intersección de lenguajes Entonces δ se define como: δ((q 1, q 2 ), a) = (δ 1 (q 1, a), δ 2 (q 2, a)) = (q 3, q 2 ) δ((q 1, q 2 ), b) = (δ 1 (q 1, b), δ 2 (q 2, b)) = (q 1, q 4 ) δ((q 1, q 4 ), a) = (δ 1 (q 1, a), δ 2 (q 4, a)) = (q 3, q 4 ) δ((q 1, q 4 ), b) = (δ 1 (q 1, b), δ 2 (q 4, b)) = (q 1, q 2 ) δ((q 3, q 2 ), a) = (δ 1 (q 3, a), δ 2 (q 2, a)) = (q 1, q 2 ) δ((q 3, q 2 ), b) = (δ 1 (q 3, b), δ 2 (q 2, b)) = (q 3, q 4 ) δ((q 3, q 4 ), a) = (δ 1 (q 3, a), δ 2 (q 4, a)) = (q 1, q 4 ) δ((q 3, q 4 ), b) = (δ 1 (q 3, b), δ 2 (q 4, b)) = (q 3, q 2 )

71 Toerema de Kleene Autómatas con ε-transiciones Autómatas con ε-transiciones: Un autómata con ε-transiciones es un AFN M = (Q, Σ, q 0, T, ) en el que la relación de transición está definida así: : Q (Σ ε) 2 Q La ε-transición permite al autómata cambiar internamente de estado sin consumir el símbolo leído sobre la cinta. Donde 2 Q denota el conjunto potencia de Q o el conjunto de todos los subconjuntos de Q. 2 Q = {A A Q}

72 Ejemplos Ejemplo 1. Se puede representar el lenguaje de la expresión regular a sin necesidad de colocar el estado inicial como estado final.

73 Ejemplos Ejemplo 2. Sea el siguiente AFN-ε La ε-transición en el AFN permite que se reconozcan cadenas como: w=aaab w=abbbbaaa w=a w=b Expresión regular del autómata a b ab a

74 Ejemplos Ejemplo 3. Construir un AFN-ε que reconozca sobre Σ = {a, b, c}, el lenguaje L = a b c El siguiente AFN reconoce el mismo lenguaje que reconoce el AFN-ε anterior.

75 Teorema de Kleene Teorema Teorema de Kleene. Un lenguaje regular si y sólo si es aceptado por un autómata finito (AFD o AFN o AFN-ε) Construcción de autómatas finitos a partir de expresiones regulares. Construcción de expresiones regulares a partir de autómatas: 1 Lema de Arden (Ecuaciones de Lenguaje) 2 Conversión de AFN a expresiones regulares por eliminación de estados.

76 Autómatas finitos y lenguajes regulares Teorema Dado un AFN-ε M = (Q, Σ, q 0, T, ), se puede construir un AFN M equivalente a M, es decir L(M) = L(M ). Teorema Un lenguaje regular si y sólo si es aceptado por un autómata finito (AFD o AFN o AFN-ε)

77 Autómatas finitos y lenguajes regulares Teorema Para toda expresión regular R se puede construir un AFN-ɛ M tal que L(R) = L(M). Paso Básico EL autómata acepta el lenguaje vacío

78 Autómatas finitos y lenguajes regulares EL autómata acepta el lenguaje {ɛ} EL autómata acepta el lenguaje {a}

79 Autómatas finitos y lenguajes regulares PASO INDUCTIVO 1. Existe un autómata que acepta R S Sean M 1 = (Q 1, Σ 1, s 1, T 1, 1 ) y M 2 = (Q 2, Σ 2, s 2, T 2, 2 ) para el nuevo M = (Q, Σ, s, T, ) tenemos que: 1 Σ = Σ 1 Σ 2 2 En T se agrega un estado s si y sólo si = 1 2 {(s, ɛ, s 1 ), (s, ɛ, s 2 )} s es un estado final NUEVO. {(T 1, ɛ, s ), (T 2, ɛ, s )} 3 Q = Q 1 Q 2 {s} {s } donde s es el nuevo estado inicial.

80 Autómatas finitos y lenguajes regulares Por ejemplo se construye ab ba. Ejemplo. Sobre Σ = {a, b} el lenguaje de todas las palabras sobre Σ que tienen un n

81 Autómatas finitos y lenguajes regulares 2. Autómata que acepta R S Sean M 1 = (Q 1, Σ 1, s 1, T 1, 1 ) y M 2 = (Q 2, Σ 2, s 2, T 2, 2 ) para el nuevo AFN M = (Q, Σ, s, T, ) que acepta L(M 1 ) L(M 2 ) tenemos que: 1 Q = Q 1 Q 2 2 s 1 = s 3 T = T 2 = 1 2 (T 1 {ɛ} s2)

82 Autómatas finitos y lenguajes regulares 3. Autómata que reconoce R Sean M 1 = (Q 1, Σ 1, s 1, T 1, 1 ) entonces el nuevo AFN M = (Q, Σ, s, T, ) que acepta L(M) = (L(M 1 )) viene dado por 1 Q = Q 1 {s} {s }, donde s es un nuevo estado final. 2 T = {s } 3 = 1 {(s, ɛ, s 1 ), (s, ɛ, s )} (T 1 {ɛ} s ) (T 1 {ɛ} s 1 )

83 Ecuaciones de lenguaje Ecuacion del lenguaje Sea Σ un alfabeto y sean E y A subconjuntos de Σ, entonces la ecuación del lenguaje X = E A X admite la solición X = A E cualquier otra solución Y deberá contener A X, además ɛ / A, X = A E es la única solución.

84 Ejemplos ecuaciones de lenguaje Ejemplo 1. Encontrar la expresión del siguiente AFD. Entones el sistema de ecuaciones a resolver: x 0 = ax 1 x 1 = ax 2 + bx 4 x 2 = ax 3 + bx 4 x 3 = ax 3 + bx 4 + ɛ x 4 = bx 4 + ɛ

85 Ejemplos ecuaciones de lenguaje Ejemplo 2. Encontrar la expresión regular del siguiente AFD usando el lema del Arden: El siguiente es el sistema de ecuaciones a resolver: x 0 = ax 0 + bx 1 + ɛ x 1 = ax 1 + bx 2 x 2 = (a b)x 1 + ɛ

86 Ecuaciones de lenguaje Teorema Sean n 2 considere el sistema de ecuaciones cuyas incognitas x 1, x 2,..., x n dado por: x 1 = E 1 A 11 x 1 A 12 x 2... A 1,n x n x 2 = E 2 A 21 x 1 A 22 x 2... A 2,n x n. x n 1 = E n 1 A (n 1)1 x 1... A (n 1),n x n x n = E n A n1 x 1 A n2 x 2... A n,nx n Entonces el sistema tiene una única solución: En i, j {1,..., n}, ɛ / A i

87 Ecuaciones de lenguaje Entonces el nuevo sistema se obtiene hasta n 1: x 1 = Ê1 Â11x 1 Â12x 2... Â1,(n 1)x n 1 x 2 = Ê2 Â21x 1 Â22x 2... Â2,(n 1)x n 1. x n 1 = Ên 1 Â(n 1)1x 1... Â(n 1),(n 1)x n 1 Entonces Êi y Âij se definen como: Donde: Ê i = E i (A in A nne n), i = 1,..., n 1 Â ij = A ij (A in A nna nj ), i,j = 1,..., n 1 E i = { si qi / F ɛ si q i F

88 Ejemplo ecuaciones de lenguaje Ejemplo 1. Obtener la expresión regular del siguiente AFD usando ecuaciones del lenguaje y la solución única. El sistema de ecuaciones inicial es: x 1 = ax 1 + bx 2 x 2 = bx 1 + ax 2 + ɛ

89 Ejemplo ecuaciones de lenguaje Se aplica el teorema de solución de ecuaciones: x 1 = Ê1 + Â11x 1 Se obtiene Ê1 Ê 1 = E 1 + (A 12 A 22E 2 ) Ê 1 = + (b a ɛ) Ê 1 = ba Se obtiene Â11 Â 11 = A 11 + (A 12 A 22A 21 ) Â 11 = a + (b a b) Â 11 = a + ba b

90 Ejemplo ecuaciones de lenguaje Reemplazando Ê1 y Â11 en x 1 x 1 = Ê1 + Â11x 1 x 1 = ba + (a + ba b)x 1 Aplicando solución única se tiene: x 1 = (a + ba b) ba

91 Sistema de ecuaciones por reducción de variables x 1 = Ê1 Â11x 1 Â12x 2 Â13x 3 x 2 = Ê2 Â21x 1 Â22x 2 Â23x 3 x 3 = Ê3 Â31x 1 Â32x 2 Â33x 3

92 Contenido 1 Lenguajes 2 Autómatas finitos 3 Gramáticas

93 LENGUAJES Y GRAMATICAS Según Chomsky los tipos de gramáticas se clasifican así:

94 Gramáticas Gramáticas Regulares (Tipo 3) Una gramática regular G es una 4-tupla G = (N, Σ, S, P) que consiste de un conjunto N de no terminales, un alfabeto Σ, un símbolo inicial S y de un conjunto de producciones P. Las reglas son de la forma A w, donde A N y w es una cadena sobre Σ N que satisface lo siguiente: 1 w contiene un no terminal como máximo. 2 Si w contiene un no terminal, entonces es el símbolo que está en el extremo derecho de w. 3 El conjunto de reglas P se define así: P N Σ (N ɛ) o P N (N ɛ)σ

95 Definición de gramática regular por la derecha Gramáticas regulares Sobre G = (N, Σ, S, P) Una gramática es regular por la derecha si sus producciones son de la forma: ) { A wb, w ), B N } A ε Ejemplo Considere la siguiente gramática regular G = (N, Σ, S, P), que genera a, donde Σ = {a, b}, N = {S, A} P : S aa ε A aa Ejemplo. Sea la siguiente gramática regular G = (N, Σ, S, P) que genera el lenguaje de la expresión regular (a b) Σ = {a, b} N = {S, A} P : S as bs ε

96 Gramáticas regulares Ejemplo Considere la siguiente gramática regular G = (N, Σ, S, P), que genera (a b) +, donde Σ={a,b}, N={S,A } P : S as bs a b Ejemplo Considere la siguiente gramática regular G = (N, Σ, S, P), que genera a + b +, donde Σ={a,b}, N={S,A } P : S as aa A ba b Ejemplo Considere la siguiente gramática regular G = (N, Σ, S, P), que genera a b, donde Σ={a,b}, N={S,A } P : S as ba ε A ba ε

97 Gramáticas independientes del contexto Gramáticas tipo 2 Una gramática independiente del contexto G = (N, Σ, S, P) consiste de un conjunto N de no terminales, un alfabeto Σ, un símbolo inicial S y de un conjunto de producciones P. Definición Sea G = (N, Σ, S, P) una gramática independiente del contexto. El lenguaje generado por G (o el lenguaje de G) denotado por L(G), es el conjunto de todas las cadenas de terminales que se derivan del estado inicial S. en otras palabras: L(G) = {w Σ /S w} P N (N Σ)

98 Ejemplo de gramática tipo 2 Sea G = (N, Σ, S, P) una gramática con Σ = {0, 1} el conjunto N = {S} y P el conjunto de producciones: S 0S1 S ε Ejemplo. Una GIC que genera el lenguaje de los palíndromes sobre Σ = {a, b} S asa bsb a b ε Ejemplo. Una GIC que genera el siguiente lenguaje sobre Σ = {a, b} Sea L = {a n b m n m 2n} S asb asbb ε

99 GICs especiales 1 El lenguaje de todas las cadenas de paréntesis anidados y equilibrados, por ejemplo: (())(()), entonces la gramática sería: S (S)S ε 2 Sea T = {0, 1, (, ), +,,, ε}. T es el conjunto de símbolos usados para definir el lenguaje de las expresiones regulares sobre Σ = {0, 1}. Se puede diseñar un GIC que genere las expresiones regulares. S S + S SS S (S) 0 1 ε

100 Gramáticas no restringidas Sea una 4-tupla G = (N, Σ, S, P) que consiste de un conjunto N de no terminales, un alfabeto Σ, un símbolo inicial S y de un conjunto de producciones P. N es el alfabeto de símbolos no terminales Σ al alfabeto tal que N Σ = S N es el símbolo inicial P es el conjunto de reglas de producciones de la forma α β, donde α (N Σ) + y β (N Σ), es decir P (N Σ) + (N Σ)

101 Gramáticas no restringidas (Gramáticas de tipo 0 y 1) Ejemplo Sea G = (N, Σ, S, P) una gramática con Σ = {0, 1, 2} el conjunto N = {S, A, B} y P el conjunto de producciones: El lenguaje que genera esta gramática dependiente del contexto es: L(G) = {0 n 1 n 2 n /n = 0, 1, 2,...} Sea w= una cadena que puede ser reconocida por la gramática y que además pertenece al lenguaje.

102 Tipos de gramáticas la familia de los lenguajes de tipo i contiene a la familia de tipo i + 1. GR GIC GDC GEF

103 Arboles de derivación Ambigüedad Una gramática se dice que es ambigua si hay dos o más árboles de derivación distintos para la misma cadena. una gramática en la cual, para toda cadena w, todas las derivaciones de w tienen el mismo árbol de derivación, es no ambigua.

104 Ejemplos arboles de derivación Ejemplo 2. Consideremos la siguiente gramática: S SbS ScS a y se la cadena w = abaca y sus derivaciones: S SbS SbScS SbSca abaca S ScS SbScS abscs abacs abaca

105 La forma de Backus-Naur Forma de Backus-Naur La forma de Backus-Naur se emplea para especificar reglas sintácticas de muchos lenguajes de programación y de lenguaje natural: En lugar de utilizar el símbolo usamos ::= y colocamos los símbolos no terminales entre <>. La forma BNF se usa frecuentemente para especificar la sintaxis de lenguajes de programación, como Java y LISP; lenguajes de bases de datos, como SQL, y lenguajes de marcado como XML.

106 La forma de Backus-Naur Ejemplo 1. sea la siguiente GIC: O SN SV SN articulo sustantivo SV verbo sustantivo articulo el verbo come sustantivo perro salchicha La forma Backus-Naur es: < O >::=< SN >< SV > < SN >::=< articulo >< sustantivo > < SV >::=< verbo >< sustantivo > < articulo >::= el < verbo >::= come < sustantivo >::= perro salchicha

107 La forma de Backus-Naur Ejemplo 2. Sea la siguiente gramática: A Aa a AB La forma Backus-Naur es: < A >::=< A > a a < A >< B > Ejemplo 3. La producción de enteros son signo en notación decimal. (Un entero con signo es un natural precedido por un signo más o un signo menos). La forma Backus-Naur para la gramática que produce los enteros con signo es: < entero con signo >::=<signo><entero> <signo >::= + < entero >::=< dígito> < dígito >< entero> < dígito > ::=