Autómata finito y Expresiones regulares A* C. B

Transcripción

1 Autómata finito y Expresiones regulares A* C. B

2 Conceptos Alfabeto ( ): es el conjunto finito no vacío de símbolos. Ejemplo: = {0,1}, el alfabeto binario Cadenas: secuencia finita de símbolos pertenecientes a un alfabeto Por ejemplo: es una cadena del anterior. = {ASCII}

3 Cadena vacía(ε): cadena que contiene 0 símbolos. Longitud de una cadena cad :numero de símbolos. Ejemplo: 011 =3 y ε = 0

4 Potencia de alfabeto Potencias de un alfabeto k :conjunto de cadenas de longitud k, tal que todos los símbolos que las forman pertenecen al 0 = {ε} sea cual sea el 1={0,1} 2 = {00,01,10,11} Si ={0,1}, entonces

5 Lenguaje Regular los que se pueden generar a partir de los lenguajes básicos({},{ε},{a}), con la aplicación de las operaciones de unión, concatenación y * de Kleene un número finito de veces 5

6 Lenguaje: Conjunto de cadenas, todas elegidas de algún *. L(r) Lenguaje generado por la e.r r con ={a,b} L(r) = {ε, a, bb, aa, abb, }

7 Operadores Sean L y M lenguajes regulares entonces (L U M) es un lenguaje regular Unión de L y M (L U M): conjunto de cadenas que pertenecen a L, a M, o a ambos. Por ejemplo: Si L={001,10,111} y M={ε, 001}, entonces L U M = {ε,10,001,111} 7

8 Concatenación de L y M(L.M) (L.M) es un lenguaje regular Conjunto de cadenas que pueden formarse tomando cualquier cadena de L y concatenándola con cualquier cadena de M Por ejemplo Si L={001,10,111} y M={ε, 001}, entonces L. M = {001,10,111,001001,10001,111001}

9 Clausura de Kleen de (L*) L* es un lenguaje regular Cualquier conjunto de cadenas que se pueden formar (quizá con repeticiones) L(r*) = L(r)* cero o mas concatenaciones L*= U L i i=0 Ejemplo: Si L = {0,11} L*={ε,011,11110}

10 Expresiones Regulares(e.r.) Representa una descripción algebraica de los lenguajes regulares. Son un conjunto de secuencias de símbolos válidas que se construyen en base al alfabeto del lenguaje. Ejemplo: dir *.* donde el patrón * coincide con cualquier cadena de caracteres.

11 Expresión Regular(e.r) Forma compacta para definir un lenguaje regular. Ejemplo: Sea el = {a,b} La e.r r = (a bb)* se define en base al alfabeto del lenguaje L(r) 11

12 Expresiones regulares básicas λ o ε, L(ε) = {ε} a ε Σ, L(a) = { a } Si E y F son e.r. 1. E + F es una e.r. que representa la unión de L(E) y L(F). Es decir L(E+F)= L(E)UL(F) 12

13 2. EF es una e.r. que representa la concatenación de L(E) y L(F). Es decir L(E.F)= L(E).L(F). 3. E* es una e.r. que representa la clausura de L(E). Es decir, L(E*) = (L(E))*. 4. E es una e.r. entonces (E) es una e.r. que denota el mismo lenguaje que E. Es decir, L((E)) = L(E).

14 Cerradura positiva L(r+) = L(r)+ una o mas concatenaciones L + = U L i i=1 14

15 Prioridad 1. () 2. * 3.. o nada 4. = U=+

16 Formas abreviadas Digito = { } = [0-9]=D o d Letra = {a b z,a B Z}=[a-zA-Z]=L o l Signo = {+ - ε} =S o s ConstanteEntera = signo digito + =CE o ce (r)? = ε U L(r) 0 ó 1 vez G= { _ } 16

17 Ejemplos 1. r = a*.(b c) + y Σ= {a,b,c} L(r)= {b,c,bb,cc,bc,cb,ab,ac,cbc,bcc, abb,acc, aac,ccc,ccb,...} 2. r = [0-9]*.[0-9] + y Σ= {1..9,.} L(r)= {.2,1.2,12.3, , , ,...} 17

18 Ejemplo 3. Identificadores en ADA inician con letra seguido de letra o dígito o guión bajo (éste no puede ser el último) r=l(l D)*(G*(L D) + )* y Σ= {L,D,G} L(r)={a,s,a_f,k d,suma, sum12s,s2a_a} 18

19 Leyes algebraicas de e.r. LEY r s = s r r (s t) = (r s) t r.(s.t) = (r.s).t DESCRIPCIÓN es conmutativo es asociativo. es asociativa r.(s t) = r.s r.t. se distribuye sobre ε.r = r. ε = r ε es la identidad para la concatenación r* = (r ε)* ε se garantiza en una cerradura

20 Leyes algebraicas 1) r Φ Φ r r 2) r r r 3) Φ * ε 4) r. Φ Φ. r Φ 5) r. r* r*. r 6) r. r* ε r* 7) (r*. s*)* (r s)* 8) (r*)* r*

21 Algunas e.r [abc] = {a,b,c} ^a es cualquier símbolo que no sea la a Ejemplo ^[a-az-z] cualquier símbolo menos una letra a? es {ε,a} \ c el carácter c literalmente Ejemplo \$ftp= { $ftp }

22 Práctica 2 Dadas las e.r s y el Σ= {a,b,c,d} definir los L(r) definidos por dichas e.r. 1. r=ab 5. r=(ab c)*d 2. r=a b 6. r=(ab)* 3. r=a* 7. r=a a*b 4. r=ab* 8. r=(a ab)* 22

23 Práctica 2 9. r=(a b)* 10. r=(a b)*aa(a b)* 11. r=(a ε) (a ab)* 12. r=(a* b)*abb 13. r=(c d) + (a + db)* 14. r=(d.c)* (b ad + )* 15. r=(c* ε) (a ab)* 23

24 Práctica 3 Define los alfabetos y modela mediante una e.r los siguientes lenguajes: 1. cadenas con a lo mas una pareja de 0's consecutivos y a lo mas una pareja de 1's consecutivos. 2. cadenas de uno o mas dígitos pero que no contienen dos dígitos pares consecutivos. 3. Cadenas de comentarios que empiezan por un asterisco y un uno y terminan con el fin de esa línea o bien empiezan por un asterisco y un dos y terminan con el fin de la línea siguiente.

25 4. Lenguaje formado por todas las cadenas de caracteres que cumplen simultáneamente las tres condiciones siguientes: a) Sus tres primeros caracteres son, por este orden, una letra i, una n y otra i. b) Sus tres últimos caracteres son, por este orden, una letra f, una i y una n. c) Entre las tres letras iniciales y las tres letras finales de la cadena aparece una secuencia de uno o mas caracteres, pero ninguno de los cuales es ni una letra ni un salto de línea. Observa que cada una de las seis letras de la cadena debe poder ser, indistintamente, mayúscula o minúscula, ya que no se ha impuesto ninguna restricción al respecto.

26 5. L1 el lenguaje de todas las cadenas que pueden formarse utilizando únicamente cero o mas dígitos binarios y asteriscos con la restricción de que no se permiten mas de dos asteriscos consecutivos. Así, por ejemplo, las siguientes cadenas pertenecerán a L1: 101, **, *1*1*1, *00*1*,. Pero no estas otras: +001, 1****1, 000***,

27 6. L2 el lenguaje de todas las cadenas que pueden formarse utilizando únicamente dígitos decimales y asteriscos con la restricción de que en cada cadena debe haber un único grupo de varios asteriscos consecutivos. Así, por ejemplo, las siguientes cadenas pertenecerán a L2: 2**, *10*1**, 19***99. Pero no estas otras: **1**, x****x, , 1*1,...

28 7. L3 el lenguaje de todas las cadenas formadas por una o mas letras minúsculas y que no tienen tres b s seguidas. Así, por ejemplo, las siguientes cadenas pertenecerán a L3: xyz, bb, bebebe, baobab,. Pero no estas otras: Gato, abbbba, xxxbbb, salu2...

29 8. Conjunto de cadenas numéricas de tres dígitos formados por todos los posibles excepto 007. Así, por ejemplo, o33,921 y 777 pertenecen a este lenguaje, pero no efe, 33, etc. 9. El lenguaje de todas las cadenas que se pueden formar con los dígitos 0,1 y 2 respetando las 2 condiciones siguientes: la cadena no será vacía ni habrá ninguna subcadena 01 en ella. Por ejemplo pertenece al lenguaje pero no

30 Autómatas Finitos Modelo matemático de un sistema que recibe una cadena y determina si esta pertenece al lenguaje que el autómata reconoce

31 Clasificación Deterministas (AFD):no puede estar en mas de un estado simultáneamente No deterministas (AFND):puede estar en varios estados al mismo tiempo

32 AFD consta de A = (Q, Σ, δ, q0,f) Q conjunto finito de estados. Σ conjunto finito de símbolos de entrada. δ función de transición que recibe como argumentos un estado y una entrada y devuelve un estado. q0 estado inicial (uno de los estados de Q). Conjunto F de estados finales o de aceptación.

33 Ejemplo 1 AFD que acepta únicamente todas las cadenas de 0 s y 1 s que contienen la secuencia 01 en algún lugar de la cadena. δ( q0,1)= q0 δ(q2,1)= q1 δ(q0,0)= q2 δ(q2,0)= q2 δ(*q1,0)=δ(q1,1)= q1

34 Representación de autómatas Formal: Quintupla Diagarama de Transición Tabla de Transición Formal: A=({q0, q1, q2},{0,1},δ,q0,{q1})

35 Diagrama de Transición 1 0 Inicio q0 0 1 q2 q1 0,1

36 Tabla de transición 0 1 Inicial q0 q2 q0 Final *q1 q1 q1 q2 q2 q1

37 Ejemplo 2 AFD que acepta únicamente todas las cadenas con un número par de 0 s y/o 1 s. δ( *q0,0)= q2 δ(q2,0)= q0 δ(q0,1)= q1 δ(q2,1)= q3 δ(q1,0)= q3 δ(q3,0)= q1 δ(q1,1)= q0 δ(q3,1)= q2

38 Representación Formal A=({q0, q1, q2, q3 },{0,1},δ,q0,{q0})

39 Diagrama de Transición Inicio 1 q0 q q2 q3 1

40 Tabla de transición 0 1 * q0 q2 q1 q1 q3 q0 q2 q0 q3 q3 q1 q2

41 AFND consta de A = (Q, Σ, δ, q0,f) Q conjunto finito de estados. Σ conjunto finito de símbolos de entrada. δ función de transición que recibe como argumentos un estado y una entrada y devuelve un conjunto con 0,1 o mas estados. q0 estado inicial (uno de los estados de Q). Conjunto F de estados finales o de aceptación.

42 Ejemplo 1 AFND que acepta únicamente las cadenas de 0 s y 1 s que terminan en 01. δ( q0,0) = {q0, q1} δ(q1,0) = Φ δ(q0,1) = {q0} δ(q1,1) = {q2} δ(*q2,0) = Φ δ(q2,1) = Φ

43 Representación de autómatas Formal: Quintupla Diagarama de Transición Tabla de Transición Formal: A=({q0, q1, q2},{0,1},δ,q0,{q2})

44 Diagrama de Transición 0,1 Inicio q0 0 1 q1 q2

45 Tabla de transición 0 1 q0 {q0, q1} {q0} q1 Φ {q2} *q2 Φ Φ

46 Equivalencia entre AFND y AFD Construcción de subconjuntos Parte de un AFND = (QN, Σ, δn, q0,fn) Resultado: la descripción de AFD = (QD, Σ, δd, {q0},fd)

47 Construcción 1. QD es el conjunto de subconjuntos de QN, es decir es el conjunto potencia de QN. 2. FD es el conjunto de subconjuntos S de QN tal que S FN Φ, es decir, FD contiene todos los conjuntos de estados de N que incluyen al menos un estado de aceptación de N.

48 Función de transición 3. Para cada conjunto S QN y para cada símbolo de entrada a en Σ, δd ( S,a) = p ens δn ( p,a)

49 Ejemplo 0,1 Inicio q0 0 1 q1 q2 0 1 Φ Φ Φ {q0} {q0,q1} {q0} {q1} Φ {q2} *{q2} Φ Φ {q0,q1} {q0,q1} {q0,q2} *{q0,q2} {q0,q1} {q0} *{q1,q2} Φ {q2} *{q0,q1,q2} {q0,q1} {q0,q2}

50 AFD 1 0 Inicio {q0} 0 1 {q0,q1} {q0,q2} 1 0 Nota: no todos los estados son accesibles

51 Práctica 4 1. Construye el AFD o AFND que acepte el siguiente lenguaje. Todas las cadenas compuestas de cualquier letra pero que inician con a y tiene la restricción que nunca pueden llevar 3 b s seguidas.

52 Práctica 4. Construye AFD 2. Que acepte el conjunto de todas las cadenas terminadas en Que acepte el conjunto de todas las cadenas con tres ceros consecutivos.(no necesariamente al final). 4. Que acepte el conjunto de cadenas con 011 como subcadena.

53 1. Convertir el siguiente AFND a AFD( manera formal y DT a) b) c) 0 1 p {p,q} {p} q {r} {r} r {s} Φ *s {s} {s} 0 1 p {q,s} {q} *q {r} {q,r} r {s} {p} *s Φ {p} 0 1 p {p,q} {p} q {r,s} {t} r {p,r} {t} *s Φ Φ *t Φ Φ

54 2. Construir AFND para los lenguajes a) conjunto de cadenas de dígitos cuyo último dígito haya aparecido antes en la misma entrada. b) conjunto de cadenas de dígitos cuyo último dígito no haya aparecido antes en la misma entrada.

55 3. Para el ejercicio 2 convertir el AFND a AFD( manera formal y DT)

56 Tarea 3 Investigar algún método para encontrar el AFND equivalente de un AFD y 2 ejemplos aplicando el método. Investigar algún método para encontrar la e.r. equivalente a AFND y 2 ejemplos aplicando el método. Investigar algún método para encontrar la e.r. equivalente a AFD y 2 ejemplos aplicando el método.