Ciencias de la Computación I

Transcripción

1 Ciencias de la Computación I Autómatas Finitos No Determinísticos Minimización de Autómatas Finitos Determinísticos Agosto 2007 Autómatas Finitos Determinísticos Para cada estado y para cada símolo se determina unívocamente un solo estado: a, c a, c No Determinísticos Para algunos estados, dado un símolo a, existe un conjunto de estados siguientes para elegir a,, c Dada una cadena w existe sólo una forma de recorrer el diagrama de transición de estados del AF Desde con podemos quedarnos en ó pasar a 1

2 Autómatas Finitos No Determinísticos Formalmente, un AF reconocedor no determinístico (AFND) se define como una quintupla M = <E, A, δ, e i, F> E es un conjunto finito de estados; E A es el alfaeto de entrada δ es la función de transición de estados; δ: E x A P(E) P(E) conjunto potencia de E En general δ(e j, a) = {e k, e s, e t, } El AF puede pasar del estado e j al e k ó al estado e s ó al estado e t después de leer el símolo a en la cinta (e j, e k,e s, e t, E; a A) F es el conjunto de estados finales o de aceptación; F E Ejemplo: Autómatas Finitos No Determinísticos AFND que reconoce el lenguaje L = { x / x {a, }* y x contiene la sucadena a } a, a, a e 2 AFND = <{, }, {a, }, δ,, {e 2 }> Las cadenas aaa y aa, pertenecen o no a L(AFND)? Aceptación de cadena por AFND Un AFND acepta una cadena si existe alguna secuencia de transiciones que a partir del primer símolo de la cadena y empezando en el estado inicial, permite alcanzar un estado final luego de leer todos los símolos de la cadena. 2

3 Determinismo y No determinismo Determinismo término importante en muchas áreas de Teoría de la Computación Determinismo existe una alternativa válida, o no hay alternativa. No Determinismo puede haer varias alternativas válidas. Importante distinguir si el no determinismo agrega o no poder computacional En los Autómatas Finitos, todo se puede resolver con un Autómata Finito Determinístico Equivalencia entre AFND y AFD Teorema: Sea L un lenguaje aceptado por un AFND. Entonces existe un AFD que acepta el mismo lenguaje L. Es decir, L(AFND) = L(AFD) Algoritmo para otener AFD a partir de AFND: Dado el autómata finito no determinístico M ND = <E ND, A,, ND, F ND >, se define el autómata finito determinístico correspondiente M D = <E D, A,, D, F D > como sigue: -E D = P(E ND ) (conjunto potencia de E ND ). Cada elemento de E D se representa como [ ] donde, e 2 E ND. [ ] es un único estado de M D - A: alfaeto de entrada 3

4 Equivalencia entre AFND y AFD Algoritmo para otener AFD a partir de AFND: - D = [ND ] (estado inicial) -F D : conjunto de todos los estados de E D que contienen al menos un estado final de M ND. - : E D x A E D, se define como ([ ], a) = [e l, e m,..., e k ] sii ({ }, a) = δ G ({ }, a) = {e l, e m,..., e k }, δ G (C, a) = δ (p, a) y δ G (, a) = (C: conj. de estados) p C aplicada a un elemento [ ] de E D se calcula aplicando a cada estado de E ND que está en [ ]. Equivalencia entre AFND y AFD Sea AFND = <{, }, {a,, c}, δ,, { }> tal que L(AFND) = { x / x {a,, c}* y x termina en } a,, c a, c, a, c a c a c { } {, } { } [ ] [, ] [ ] [ ] [, ] [, ] [ ] [ ] Función de transición no determinística Función de transición determinística 4

5 Minimización de AFD Teorema Para cada AFD existe un AFD con cantidad mínima de estados que acepta el mismo lenguaje. Algoritmo para minimizar un AFD (divide al conjunto de estados del AFD en clases de estados equivalentes) Dado un AFD = <E, A, δ,, F>, dos estados p, q E son equivalentes sí y sólo sí para toda cadena x A *, δ * (p,x) F δ * (q,x) F ó δ * (p,x) F δ * (q,x) F (Si las transiciones desde p con la cadena x llegan a un estado final, las de q con esa misma cadena x tamién tienen que llegar, lo mismo si no se llega a un estado final) Minimización de AFD Algoritmo para minimizar un AFD 1) Eliminar los estados no alcanzales desde el estado inicial. 2) Eliminar los estados desde los que no es posile alcanzar un estado final. 3) Construir una partición Π 0 del conjunto de estados, que consiste en dos grupos: estados finales y estados no finales. 4) Sea K = 0. 5) Definir Π K+1 de la siguiente manera: para cada grupo G de una partición Π K, dividir a G en sugrupos tales que dos estados s y t están en el mismo grupo sí y sólo sí para todo símolo a del alfaeto de entrada, los estados s y t van al mismo grupo de Π K. 6) K = K ) Si Π K Π K-1 volver al paso 5. En caso contrario, terminar. 5