Curso Básico de Computación

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1 Curso Básico de Computación 4 Gramáticas libres de contexto Feliú Sagols Troncoso Matemáticas CINVESTAV-IPN <fsagols@math.cinvestav.mx> 2010 Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

2 4 Gramáticas libres de contexto 4.1 Introducción Una gramática libre de contexto es un conjunto finito de variables, cada una de las cuales representa un lenguaje. Los lenguajes representados por las variables se describen recursivamente en términos de otros lenguajes o de símbolos primitivos llamados terminales. Las reglas que describen el lenguaje asociado con cada variable se llaman producciones. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

3 La motivación original para las gramáticas libres de contexto fue la descripción de lenguajes naturales tal como ocurre con las siguientes reglas: oración frase sustantivo frase verbal frase sustantivo adjetivo frase sustantivo frase sustantivo sustantivo sustantivo niño adjetivo pequeño donde las variables se escriben dentro de corchetes angulares y las terminales son, por ejemplo, la palabra niño. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

4 4.2 Gramáticas libres de contexto Una gramática libre de contexto (GLC) se denota por una 4-tupla G = (V,T, P, S), donde V y T son conjuntos finitos de variables y terminales, respectivamente. Asumimos que V y T son disjuntos. P es un conjunto finito de producciones; cada producción es de la forma A α, donde A es una variable yαes una cadena de símbolos en (V T). Finalmente, S es una variable especial llamada el símbolo de inicio. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

5 Ejemplo: Suponga que usamos E en lugar de expresión para la siguiente gramática: E E + E E E E E (E) E id Entonces formalmente está gramática se expresa como ({E},{+,, (, ), id}, P, E). Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

6 Usaremos las siguientes convenciones con respecto a las gramáticas: 1 Las letras mayúsculas A, B, C, D, E y S denotan variables; y S es el símbolo de inicio. 2 La letras minúsculas a, b, c, d, e, dígitos, y cadenas en letras negrillas son terminales. 3 Las letras mayúsculas X, Y y Z denotan símbolos que pueden ser terminales o variables. 4 La letras minúsculas u, v, w, x, y, y z denotan cadenas de terminales. 5 Las letras griegasα,β yγ denotan cadenas de variables y terminales. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

7 Si nos apegamos a estas convenciones, podemos deducir las variables, terminales y el símbolo de inicio de una gramática únicamente examinando sus producciones. Así, se puede representar una gramática por una simple lista de producciones. Si A α 1, A α 2,, A α k son las producciones para las variables A de alguna gramática, entonces se pueden expresar por la notación: A α 1 α 2 α k donde la línea vertical se lee como o. La gramática del ejemplo anterior se escribe como E E + E E E (E) id Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

8 Derivaciones y lenguajes Si A β es una producción en P yαyγ son cadenas en (V T), entoncesαaγ = Gαβγ. Decimos que la producción A β es aplicada a la cadenaαaγ para obtenerαβγ o queαaγ deriva directamente enαβγ en la gramática G. Dos cadenas están relacionadas por = G exactamente cuando la segunda se obtiene de la primera por una aplicación de alguna producción. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

9 Suponga queα 1,α 2,,α m son cadenas en (V T), con m 1, y = = = α 1 Gα 2,α 2 Gα 3,,α m 1 Gα m. = Entonces decimos queα 1 Gα m o queα 1 deriva enα m en la = gramática G. Es decir, G es la cerradura reflexiva y transitiva de = G. Recíprocamente, α = producciones en P. Note queα Gβsiβ sigue deαaplicando cero o más = en lugar de = G y en lugar de en i pasos, escribimosα β. i Gα para cada cadena α. Usaremos = G. Siαderiva enβ exactamente Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

10 El lenguaje generado por G [denotado L(G)] es {w w T y S = G w}. Es decir, una cadena pertenece a L(G) si: 1 La cadena consiste solamente de terminales. 2 La cadena puede ser derivada de S. Llamamos a L un lenguaje libre de contexto (LLC) si es L(G) para alguna GLC G. Una cadena de terminales y variablesαes una forma sentencial si S α. Las gramáticas G 1 y G 2 son equivalentes si L(G 1 ) = L(G 2 ). Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

11 Ejemplo: Considere la gramática G = (V,T, P, S), donde V ={S}, T ={a, b} y P ={S asb, S ab}. Aquí, S es sólo una variable; a y b son terminales. Existen dos producciones, S asb y S ab. Si aplicamos la primera producción n 1 veces, seguido por una aplicación de la segunda producción, tenemos: S asb aasbb a 3 Sb 3 a n 1 Sb n 1 a n b n Además, las cadenas en L(G) son sólo de la forma a n b n para n 1. Cada vez que se usa S asb, el número de S s resultantes es el mismo. Después de usar la producción S ab encontramos que el número de S s en la forma sentencial decrece en uno. Así, después de usar S ab, no hay S s restantes en la cadena resultante. Ya que ambas producciones tienen un S en la izquierda, el único orden de aplicación de las producciones es S asb algún número de veces seguido por una aplicación de S ab. Así, L(G) ={a n b n n 1}. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

12 4.3 Árboles de derivación Los árboles de derivación permiten hacer una clasificación jerárquica en las palabras de un lenguaje que es útil en aplicaciones como la compilación de lenguajes de programación. Los vértices de un árbol de derivación son etiquetados con terminales o variables de la gramática o posiblemente con ǫ. Si un vértice interior n es etiquetado con A, y los hijos de n son etiquetados con X 1, X 2,..., X k por la izquierda, entonces A X 1 X 2 X k debe ser una producción. Por ejemplo, para la siguiente gramática: expresión expresión expresión ( expresión ) expresión ( expresión ) id ( expresión + expresión ) id ( expresión + id) id (id + id) id su árbol de derivación es: Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

13 <expresión> <expresión> * <expresión> ( <expresión> ) id <expresión> + <expresión> id id Note que si leé las hojas de izquierda a derecha, se obtiene (id + id) id. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

14 Formalmente, sea G = (V,T, P, S) una GLC. Un árbol es de derivación en G si: 1 Cada vértice tiene una etiqueta y es un símbolo en V T {ǫ}. 2 La etiqueta de la raíz es S. 3 Si un vértice es interior y tiene etiqueta A, entonces A V. 4 Si un vértice n tiene etiqueta A y los vértices n 1, n 2,..., n k son hijos del vértice n, ordenados por la izquierda, con etiquetas X 1, X 2,..., X k, respectivamente, entonces debe ser una producción en P. A X 1 X 2 X k 5 Si el vértice n tiene etiquetaǫ, entonces n es una hoja y es el único hijo de su padre. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

15 Ejemplo: Considere la gramática G = ({S, A},{a, b}, P, S), donde P consiste de: S aas a A SbA SS ba Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

16 Un árbol de derivación en G es: S 1 a 2 A 3 S 4 S 5 b 6 A 7 8 a a 9 b 10 a 11 Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

17 Los vértice interiores son 1,3,4,5 y 7. El vértice 1 tiene etiqueta S, y sus hijos, ordenados por la izquierda, tienen etiquetas a, A, y S. Note que S aas es una producción. Del mismo modo, el vértice 3 tiene etiqueta A, y las etiquetas de sus hijos son S, b y A, y A SbA es su producción. Los vértices 4 y 5 tienen etiquetas S, su único hijo tiene etiqueta a y S a es su producción. Finalmente, el vértice 7 tiene etiqueta A y las etiquetas de sus hijos son b, a, y su producción es A ba. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

18 Extendemos el ordenamiento por la izquierda de los hijos para producir el ordenamiento de izquierda a derecha de las hojas. De hecho, para dos vértices, o uno es el antecesor del otro, o uno está a la izquierda del otro. Dados los vértices v 1 y v 2, se sigue el camino de estos vértices hacia la raíz hasta encontrar algún vértice común w. Sean x 1 y x 2 los hijos de w en el camino de v 1 y v 2, respectivamente. Si v 1 no es un antecesor de v 2, o viceversa, entonces x 1 x 2. Suponga que x 1 está a la izquierda de x 2 en el orden de los hijos de w. Entonces v 1 está a la izquierda de v 2. En caso contrario, v 2 está a la izquierda de v 1. Por ejemplo, si v 1 y v 2 son 9 y 11 en la figura anterior, entonces w es 3, x 1 = 5 y x 2 = 7. Como 5 está a la izquierda de 7, se sigue que 9 está a la izquierda de 11. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

19 Para ver que un árbol de derivación es una descripción natural de una derivación de una particular forma sentencial en una gramática G. Si leemos las etiquetas de las hojas de izquierda a derecha, se obtiene una forma sentencial. A esta cadena le llamamos el producto del árbol de derivación. Más adelante, veremos que siαes el producto de algún árbol de derivación para la gramática G = (V,T, P, S), = entonces S G α, y viceversa. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

20 Un subárbol de un árbol de derivación es un vértice particular del árbol junto con todos su descendientes, las aristas conectadas a ellas, y sus etiquetas. Se mira igual que un árbol de derivación, excepto que la etiqueta de la raíz podría no ser el símbolo de inicio de la gramática. Si la variable A es la etiqueta de la raíz, entonces llamamos al subárbol un A-árbol. Así S-árbo es un sinónimo para el árbol de derivación si S es el símbolo de inicio. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

21 Ejemplo: Considere la gramática y el árbol de derivación del ejemplo anterior. Reproducimos el árbol de derivación sin el número de vértices. El producto del árbol es aabbaa como se muestra en la Figura = 4.1.(a). Note que S G aabbaa por la derivación: S aas asbas aabas aabbas aabbaa Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

22 En la Figura 4.1.(b) se muestra un subárbol del árbol anterior. El producto del subárbol es abba. La etiqueta de la raíz del subárbol es A, y A abba. Una derivación en este caso es: S A SbA aba abba. a A S A S b A a S b A a b a a b a (a) (b) Figura 4.1 Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

23 Relación entre árboles de derivación y derivaciones Teorema (4.1) Sea G = (V,T, P, S) una gramática libre de contexto. Entonces S α si y sólo si existe un árbol de derivación en la gramática G con producto α. Demostración: Se tiene que probar que para cualquier A V, A α si y sólo si existe un A-árbol con α como producto. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

24 ) Suponga queαes el producto de un A-árbol, se utiliza inducción sobre el número de vértices interiores en el árbol para probar que A α. ) Suponga que A α, se debe demostrar que existe un A-árbol con productoα. Si A α en un solo paso, entonces A α es una producción en P, y existe un árbol con productoα, como se muestra en la siguiente figura: A X 1 X 2... X n Para terminar se utiliza inducción sobre el número de pasos. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

25 Ejemplo: Considere la derivación S aabbaa del ejemplo anterior. El primer paso es S aas. Si seguimos la derivación, vemos que A eventualmente es reemplazada por SbA, entonces por aba, y finalmente por abba. La Figura 4.1(b) es el árbol de derivación para está derivación. El único símbolo derivado de S en aas es a. La Figura 4.2(a) es el árbol para la última derivación. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

26 La Figura 4.2(b) es el árbol de derivación para S aas. Si reemplazamos el vértice con etiqueta A en la Figura 4.2.(b) por el árbol de la Figura 4.1(b) y el vértice con etiqueta S en la Figura 4.2(b) con el árbol de la Figura 4.2(a), obtenemos el árbol de la Figura 4.1(a), cuya producción es aabbaa. S S a a A S (a) (b) Figura 4.2 Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

27 Derivación más a la izquierda y más a la derecha: ambigüedad Si en cada paso en una derivación se aplica una producción a la variable más a la izquierda, entonces la derivación se dice más a la izquierda. Similarmente una derivación en la cual la variable más a la derecha es reemplazada en cada paso se dice más a la derecha. Si w L(G) para la GLC G, entonces w tiene por lo menos un árbol de derivación, y para un árbol de derivación particular, w tiene una única derivación más a la derecha y una única derivación más a la izquierda. Por supuesto, w puede tener varias derivaciones más a la izquierda y más a la derecha, ya que puede existir más de un árbol de derivación para w. Sin embargo, es fácil demostrar que para cada árbol de derivación, se puede obtener sólo una derivación más a la izquierda y una derivación más a la derecha Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

28 Ejemplo: La derivación más a la izquierda correspondiente al árbol de la Figura 4.1(a) es: S aas asbas aabas aabbas aabbaa La correspondiente derivación más a la derecha es: S aas aaa asbaa asbbaa aabbaa. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

29 Una GLC G tal que alguna palabra tiene dos árboles de derivación se dice ambigua. Un LLC para el cual cada GLC es ambigua se dice un LLC inherentemente ambiguo. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

30 4.4 Simplificación de gramáticas libres de contexto Si L es un lenguaje libre de contexto no vacío entonces puede ser generado por una gramática libre de contexto G con las propiedades siguientes: 1 Cada variable y cada terminal en G aparece en la derivación de alguna palabra en L. 2 No existen producciones de la forma A B donde A y B son variables. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

31 Además, siǫ/ L, se puede hacer que en G no existan producciones de la forma A ǫ. De hecho, siǫ/ L, se puede lograr que cada producción en G sea de las formas A BC y A a, donde A, B y C son variables arbitrarias y a es una terminal arbitraria. Alternativamente, podemos hacer que cada producción de G sea de la forma A aα, dondeαes una cadena de variables (quizás vacía). Estas dos últimas formas especiales son la forma normal Chomsky y la forma normal Greibach, respectivamente. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

32 Símbolos inútiles Sea G = (V,T, P, S) una gramática. Un símbolo X es útil si existe una derivación S αxβ w para algunosα,β, y w, donde w T. En otro caso, X es inútil. Existen dos formas en las que una cadena puede ser útil: primero, algunas cadenas terminales deben ser derivables de X y segundo, X debe ocurrir en alguna cadena derivable de S. Esas dos condiciones no son, sin embargo, suficientes para garantizar que X es útil, ya que X puede ocurrir sólo en formas sentenciales que contienen una variable de la cual ninguna cadena de terminales puede ser derivada. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

33 Lema (4.1) Dada una GLC G = (V,T, P, S), con L(G), podemos encontrar de una manera efectiva una GLC equivalente G = (V, T, P, S) tal que para cada A V existe alguna w T para la cual A w. Demostración: Cada variable A con producción A w en P claramente pertenece a V. Si A X 1 X 2 X X n es una producción, donde cada X i es o una terminal o una variable que pertenece a V, entonces una cadena de terminales se deriva de A por una derivación A X 1 X 2 X n, y así A V. El conjunto V se encuentra utilizando un algoritmo iterativo. P es el conjunto de todas las producciones cuyos símbolos están en V T. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

34 Lema (4.2) Dada una GLC G = (V,T, P, S) podemos encontrar de una manera efectiva una GLC equivalente G = (V, T, P, S) tal que para cada X V T existenα,β (V T ) para las cuales S αxβ. Demostración: El conjunto V T de símbolos que aparecen en las formas sentenciales de G se construye por un algoritmo iterativo. Se coloca S en V. Si A es colocado en V y A α 1 α 2 α n, entonces añadir todas las variables deα 1,α 2,,α n al conjunto V y todas las terminales deα 1,α 2,,α n a T. P es el conjunto de producciones en P que contienen sólo símbolos de V T. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

35 Teorema (4.2) Cada LLC no vacío es generado por una GLC con símbolos no inútiles. Demostración: Sea L = L(G) un LLC no vacío. Sea G 1 el resultado de aplicar la construcción del Lema 4.1 a G y sea G 2 el resultado de aplicar la construcción del Lema 4.2 a G 1. Suponga que G 2 contiene algún = símbolo inútil X. Por el Lema 4.2, existe una derivación S G 2 αxβ. Como todos los símbolos de G 2 son símbolos de G 1, se sigue del = = Lema 4.1 que S G 1 αxβ G 1 w para alguna cadena terminal w. Por lo = tanto, ningún símbolo en la derivación αx β G 1 w es eliminado por el Lema 4.2. Así, X deriva una cadena terminal en G 2, y por lo tanto X no es inútil como se supuso. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36

36 Ejemplo: Considere la gramática S AB a A a Aplicando el Lema 4.1, encontramos que no hay cadenas terminales que sean derivables de B. Por lo tanto, eliminamos B y la producción S AB. Aplicando el Lema 4.2 a la gramática S a A a encontramos que sólo S y a aparecen en alguna forma sentencial. Así ({S},{a},{S a}, S) es una gramática equivalente sin símbolos inútiles. Note que si aplicamos primero el lema 4.2 y luego el 4.1 a la gramática de este ejemplo, no se obtiene el resultado esperado. Curso Básico de Computación (Matemáticas) 4 Gramáticas libres de contexto / 36