Lenguajes Libres del Contexto

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1 Capítulo 3 Lenguajes Libres del Contexto [LP81, cap 3] n este capítulo estudiaremos una forma de representación de lenguajes más potentes que los regulares. Los lenguajes libres del contexto (LC) son importantes porque sirven como mecanismo formal para expresar la gramática de lenguajes de programación o los semiestructurados. Por ejemplo la popular Backus-aur form es esencialmente una gramática libre del contexto. Similarmente, los Ts usados para indicar el formato permitido en documentos XML son esencialmente gramáticas que describen lenguajes LC. Los lenguajes LC también se usan en biología computacional para modelar las propiedades que se buscan en secuencias de A o proteínas. l estudio de este tipo de lenguajes deriva en la construcción semiautomática de parsers (reconocedores) eficientes, los cuales son esenciales en la construcción de compiladores e intérpretes, así como para procesar textos semiestructurados. Una herramienta conocida para esta construcción semiautomática es lex/yacc en C/Unix, y sus distintas versiones para otros ambientes. stas herramientas reciben esencialmente una especificación de un lenguaje LC y producen un programa que parsea tal lenguaje. n términos teóricos, los lenguajes LC son interesantes porque van más allá de la memoria finita sobre el pasado permitida a los regulares, pudiendo almacenar una cantidad arbitraria de información sobre el pasado, siempre que esta información se acceda en forma de pila. s interesante ver los lenguajes que resultan de esta restricción. 3.1 Gramáticas Libres del Contexto (GLCs) [LP81, sec 3.1] Una gramática libre del contexto (GLC) es una serie de reglas de derivación, producción o reescritura que indican que un cierto símbolo puede convertirse en (o reescribirse como) una secuencia de otros símbolos, los cuales a su vez pueden convertirse en otros, hasta obtener una cadena del lenguaje. s una forma particular de sistema de reescritura, restringida a que las reglas aplicables para reescribir un símbolo son independientes de lo que tiene alrededor 43

2 44 CAPÍTULO 3. LGUAJS LIBRS L COTXTO en la cadena que se está generando (de allí el nombre libre del contexto ). istinguiremos entre los símbolos terminales (los del alfabeto Σ que formarán la cadena final) y los símbolos no terminales (los que deben reescribirse como otros y no pueden aparecer en la cadena final). Una GLC tiene un símbolo inicial del que parten todas las derivaciones, y se dice que genera cualquier secuencia de símbolos terminales que se puedan obtener desde el inicial mediante reescrituras. jemplo 3.1 Consideremos las siguientes reglas de reescritura: asb ε donde S es el símbolo (no terminal) inicial, y {a, b} son los símbolos terminales. Las cadenas que se pueden generar con esta GLC forman precisamente el conjunto {a n b n, n 0}, que en el j vimos que no era regular. e modo que este mecanismo permite expresar lenguajes no regulares. Formalicemos ahora lo que es una GLC y el lenguaje que describe. efinición 3.1 Una gramática libre del contexto (GLC) es una tupla G = (V, Σ, R, S), donde 1. V es un conjunto finito de símbolos no terminales. 2. Σ es un conjunto finito de símbolos terminales, V Σ =. 3. S V es el símbolo inicial. 4. R F V (V Σ) son las reglas de derivación (conjunto finito). scribiremos las reglas de R como A G z o simplemente A z en vez de (A, z). Ahora definiremos formalmente el lenguaje descrito por una GLC. efinición 3.2 ada una GLC G = (V, Σ, R, S), la relación lleva en un paso = G (V Σ) (V Σ) se define como x, y, A z R, xay = G xzy. efinición 3.3 efinimos la relación lleva en cero o más pasos, = G, como la clausura reflexiva y transitiva de = G. scribiremos simplemente = y = cuando G sea evidente. otamos que se puede llevar en cero o más pasos a una secuencia que aún contiene no terminales. Las derivaciones que nos interesan finalmente son las que llevan del símbolo inicial a secuencias de terminales.

3 3.1. GRAMÁTICAS LIBRS L COTXTO (GLCS) 45 efinición 3.4 ada una GLC G = (V, Σ, R, S), definimos el lenguaje generado por G, L(G), como L(G) = {w Σ, S = G w}. Finalmente definimos los lenguajes libres del contexto como los expresables con una GLC. efinición 3.5 Un lenguaje L es libre del contexto (LC) si existe una GLC G tal que L = L(G). jemplo 3.2 Cómo podrían describirse las secuencias de paréntesis bien balanceados? (donde nunca se han cerrado más paréntesis de los que se han abierto, y al final los números coinciden). Una GLC que lo describa es sumamente simple: (S)S ε la que formalmente se escribe como V = {S}, Σ = {(,)}, R = {(S,(S)S),(S,ε)}. Una derivación de la cadena (())() a partir de S podría ser como sigue: S = (S)S = ((S)S)S = (()S)S = (())S = (())(S)S = (())()S = (())(), y otra podría ser como sigue: S = (S)S = (S)(S)S = (S)()S = (S)() = ((S)S)() = (()S)() = (())(). sto ilustra un hecho interesante: existen distintas derivaciones para una misma cadena, producto de aplicar las reglas en distinto orden. Observación 3.1 Puede el lenguaje del j. 3.2 ser regular? o, pues entonces su intersección con ( ) también lo sería, pero esa intersección es {( n ) n, n 0}, que ya sabemos que no es regular. Una herramienta muy útil para visualizar derivaciones, y que se independiza del orden en que se aplican las reglas, es el árbol de derivación. efinición 3.6 Un árbol de derivación para una gramática G = (V, Σ, R, S) es un árbol donde los hijos tienen orden y los nodos están rotulados con elementos de V ó Σ ó ε. La raíz está rotulada con S, y los nodos internos deben estar rotulados con elementos de V. Si los rótulos de los hijos de un nodo interno rotulado A son a 1...a k, k 1 y a i V Σ, debe existir una regla A a 1...a k R. Si un nodo interno rotulado A tiene un único hijo rotulado ε, debe haber una regla A ε R. iremos que el árbol genera la cadena que resulta de concatenar todos los símbolos de sus hojas, de izquierda a derecha, vistos como cadenas de largo 1 (o cero para ε).

4 46 CAPÍTULO 3. LGUAJS LIBRS L COTXTO Observar que la definición permite que un árbol de derivación tenga símbolos no terminales en sus hojas, es decir, puede representar una derivación parcial. l siguiente lema es inmediato. Lema 3.1 Si un árbol de derivación para G genera x (V Σ), entonces S = G x. Si S = G x, existe un árbol de derivación que genera x. Prueba: Muy fácil por inducción estructural sobre el árbol o por inducción sobre la longitud de la derivación, según el caso. jemplo 3.3 l árbol de derivación para la cadena del j. 3.2 es como sigue: S ( ) S S ( S ) S ( S ) S y abstrae de ambos órdenes de derivación. ε ε ε ε Sin embargo, los distintos órdenes de derivación no son los únicos responsables de que existan distintas formas de derivar una misma cadena. s posible que una misma cadena tenga dos árboles de derivación distintos. efinición 3.7 Una GLC G es ambigua si existen dos árboles de derivación distintos para G que generan una misma cadena w L(G). Generalmente ser ambigua es una propiedad indeseable para una GLC. Veamos un ejemplo de una GLC ambigua. jemplo 3.4 La siguiente GLC describe un subconjunto de expresiones aritméticas correctas. + ()

5 3.1. GRAMÁTICAS LIBRS L COTXTO (GLCS) 47 donde V = {,,}, es el símbolo inicial, y todos los demás son terminales. Por ejemplo, pertenece al lenguaje generado por esta GLC, pero tiene dos árboles de derivación distintos: + * * ado que lo normal es asignar semántica a una expresión a partir de su árbol de derivación, el valor en este ejemplo puede ser 25 ó 17 según qué arbol utilicemos para generarla. Cuando se tiene una gramática ambigua, podemos intentar desambiguarla, mediante escribir otra que genere el mismo lenguaje pero que no sea ambigua. jemplo 3.5 La siguiente GLC genera el mismo lenguaje que la del j. 3.4, pero no es ambigua. La técnica usada ha sido distinguir lo que son sumandos (o términos T) de factores (F), de modo de forzar la precedencia, +. + T T T T F 0 T F... F () 9 F Ahora el lector puede verificar que sólo permite la derivación que queremos, pues hemos obligado a que primero se consideren los sumandos y luego los factores. 2 3

6 48 CAPÍTULO 3. LGUAJS LIBRS L COTXTO 3.2 Todo Lenguaje Regular es Libre del Contexto [LP81, sec 3.2] Hemos ya mostrado (j. 3.1) que existen lenguajes LC que no son regulares. Vamos ahora a completar esta observación con algo más profundo: el conjunto de los lenguajes LC incluye al de los regulares. Teorema 3.1 Si L Σ es un lenguaje regular, entonces L es LC. Prueba: Lo demostramos por inducción estructural sobre la R que genera L. Sería más fácil usando autómatas finitos y de pila (que veremos enseguida), pero esta demostración ilustra otros hechos útiles para más adelante. 1. Si L =, la GLC G = ({S},Σ,,S) genera L. sta es una GLC sin reglas! 2. Si L = {a}, la GLC G = ({S},Σ, { a},s) genera L. 3. Si L = L 1 L 2 y tenemos (por hipótesis inductiva) GLCs G 1 = (V 1,Σ,R 1,S 1 ) y G 2 = (V 2,Σ,R 2,S 2 ) que generan L 1 y L 2 respectivamente, entonces la GLC G = (V 1 V 2 {S},Σ,R 1 R 2 { S 1, S 2 },S) genera L. 4. Si L = L 1 L 2 y tenemos GLCs G 1 = (V 1,Σ,R 1,S 1 ) y G 2 = (V 2,Σ,R 2,S 2 ) que generan L 1 y L 2 respectivamente, entonces la GLC G = (V 1 V 2 {S},Σ,R 1 R 2 { S 1 S 2 },S) genera L. 5. Si L = L 1 y tenemos una GLC G 1 = (V 1,Σ,R 1,S 1 ) que genera L 1, entonces la GLC G = (V 1 {S},Σ,R 1 { S 1 S, ε},s) genera L. jemplo 3.6 Si derivamos una GLC para (a b) a obtendremos S 1 S 2 S 4 S 6 S 4 S 1 S 3 S 1 S 4 ε S 1 ε S 6 a S 3 S 4 S 5 b S 3 S 5 S 2 a l Teo. 3.1 nos muestra cómo convertir cualquier R en una GLC. Con esto a mano, nos permitiremos escribir Rs en los lados derechos de las reglas de una GLC. jemplo 3.7 La GLC del j. 3.5 se puede escribir de la siguiente forma. + T T T T F F F () si bien, para cualquier propósito formal, deberemos antes convertirla a la forma básica.