Demostraciones por resolución

Transcripción

1 Demostraciones por resolución A lo largo del curso, hemos prometido insistentemente que hay métodos para mecanizar demostraciones En particular, queremos un método, dado una base de conocimiento Σ y una fórmula ϕ nos permita verificar que Σ = ϕ El método que veremos se denomina resolución Resolución es un método de refutación, es decir, sirve para demostrar que una base de conocimiento es inconsistente Diremos que Σ r ϕ si existe una demostración por resolución para la fórmula ϕ a partir de la base de conocimiento Σ Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 42

2 Esperamos de nuestro procedimiento dos importantes propiedades: Que sea correcto, es decir, Σ r ϕ entonces Σ = ϕ Esto es lo mínimo que podemos exigir Queremos que nuestro método con conduzca a conclusiones que no se deriven de la base de conocimiento Que sea completo, es decir, Σ = ϕ entonces Σ r ϕ Es lo ideal a lo que podemos aspirar Esto significa que nuestro método puede demostrar todo lo que se deduce la base de conocimiento La resolución consiste en una aplicación mecánica de pasos que preservan la verdad Supongamos que tenemos las siguiente fórmula en FNC: (p q r) ( q s v) y que σ es una valuación que la hace verdadera Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 43

3 Luego, si σ = q, podemos concluir inmediatamente que σ = s v es verdadero, porque la primera disyunción se hace trivialmente verdadera Por otro lado si σ = q, la segunda disyunción se hace trivialmente verdadera en σ y por lo tanto σ = (p q r) Juntando ambos casos tenemos que siempre que σ = (p q r) ( q s v), se da que σ = (p r s v) Qué hemos generado? Una nueva cláusula que es consecuencia de las dos originales, pero que tiene una variable menos Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 44

4 Siempre podremos hacer esto cuando tenemos cláusulas que contienen una variable común que aparece negada en una y no negada en la otra En general, si l 1 l n y l 1 l m son cláusulas y se cumple que existe j (1 j n) y k (1 k m) tal que l j = l k entonces podemos generar la cláusula: i {1,,n} {j} l i i {1,,m} {k} l i Esto se conoce como la regla de resolución de cláusulas Esta regla será aplicable siempre que existan dos cláusulas que tengan un literales complementarios Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 45

5 Veamos algunos ejemplos: p r q s p u r q s u p r q r p q p p Ejemplos de la regla de resolución En este último ejemplo hemos llegado a una cláusula vacía (o ) que es siempre falsa porque es equivalente a p p, una contradicción Este último ejemplo nos motiva la idea principal de la resolución, las demostraciones por refutación Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 46

6 Si tenemos una base de conocimiento inconsistente, siempre llegaremos a obtener una cláusula vacía Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 47

7 El método de demostración por resolución Está basado en la reducción entre consistencia y consecuencia lógica: Σ = ϕ si y sólo si Σ { ϕ} es inconsistente Suponga que quiere demostrar que ϕ es consecuencia lógica de Σ El método es el siguiente: Transforme el conjunto Σ { ϕ} en un conjunto de cláusulas C = {C 1,, C n } (esto se puede hacer con el método de traducción a FNC) Mientras C y existen C i, C j C, tales que la regla de resolución es aplicable: Aplique la regla de resolución a C i y C j generando C y haga C := C {C } Si C, decimos que es posible demostrar por resolución, a partir de Σ la fórmula ϕ En forma simbólica diremos que Σ r ϕ Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 48

8 De otra forma, podemos decir que, dado un conjunto inicial de cláusulas S, una refutación por resolución es una secuencia finita C 1, C 2,, C n de cláusulas tal que cada C i pertenece a S o es obtenida a partir de la aplicación de la regla de resolución de dos cláusulas precedentes C j y C k (j < k < n) Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 49

9 Demuestre que { q, p q} r p Ejemplos de Resolución El conjunto de cláusulas que se genera es { q, p q, p} q p q p p Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 50

10 Demuestre que {p, q (p r)} r {q r} El conjunto de cláusulas inicial es el siguiente: {p, q p r, q, r} p q p r q r q r r Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 51

11 Propiedades de Resolución Por construcción, resolución es correcta, es decir, Si Σ r ϕ entonces Σ = ϕ En efecto, el proceso de resolución agrega cláusulas que son consecuencia lógica de un conjunto Σ al mismo conjunto Si una valuación σ es tal que σ = Σ y Σ = ϕ, entonces σ = Σ {ϕ} Esto quiere decir que todos los conjuntos que se generan son equiconsistentes Es posible obtener un resultado aún más deseable Resolución es también completa, esto significa que Si Σ = ϕ entonces Σ r ϕ Es decir, cualquier fórmula que sea consecuencia lógica de un conjunto de fórmulas es demostrable a través de resolución Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 52

12 Implementando Resolución El algoritmo de resolución que hemos visto es no determinístico Para poder implementarla necesitamos un algoritmo determinístico Cómo lo hacemos? Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 53

13 Implementando Resolución: por Saturación de Niveles La idea de este método es asignar las cláusulas a niveles El conjunto inicial de cláusulas S está asignado al nivel 0 Todas las cláusulas que se pueden formar a partir de cláusulas del nivel 0, pertenecerán al nivel 1 Y así sucesivamente Formalmente, los niveles se definen de la siguiente manera: S 0 = S S n = {cláusulas obtenidas de C 1, C 2 C 1 n 1 i=0 S i y C 2 S n 1 } Si a partir de S es posible encontrar una refutación, entonces la cláusula vacía aparecerá en alguno de estos conjuntos Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 54

14 Veamos cómo funciona Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 55

15 Use resolución para demostrar que el conjunto {p q r, p q, q, r} es insatisfacible S 0 : 1 p q r 2 p q 3 q 4 r S 2 : 9 q r, de 1 y 8 10 q r, de 2 y 6 11 q, de 2 y 7 12 r, de 3 y 5 13 p, de 3 y 7 14 q, de 4 y 5 15 p, de 4 y 6 S 1 : 5 q r, de 1 y 2 6 p r, de 1 y 3 7 p q, de 1 y 4 8 p, de 2 y 3 S 3 : 16 de 3 y 11 Cómo podemos optimizar esto? Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 56

16 Eliminación de tautologías, cláusulas repetidas y subsumidas (deletion) Formalmente, una cláusula D es subsumida por una cláusula C si todos los literales que aparecen en C también aparecen en D Por ejemplo: p q r es subsumida por p q, p r, q r, p, q y r El algoritmo de deletion agrega una cláusula al nivel S n ssi esta cláusula no es subsumida por ninguna cláusula que ya se encuentre en algún nivel (incluyendo a S n ) Usando la técnica de deletion, se obtiene la siguiente derivación en nuestro ejemplo: Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 57

17 S 0 : 1 p q r 2 p q 3 q 4 r S 2 : 9 q, de 2 y 7 10 r, de 3 y 5 11 p, de 3 y 7 S 1 : 5 q r, de 1 y 2 6 p r, de 1 y 3 7 p q, de 1 y 4 8 p, de 2 y 3 S 3 : 12 de 3 y 9 Para este caso, no hemos logrado grandes optimizaciones Es posible demostrar que este nuevo algoritmo es completo y correcto Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 58

18 Resolución Semántica Uno de los mayores avances en mejorar la implementación de resolución está dado por los métodos que se derivan de resolución semántica La idea es bastante simple y viene de la observación de los siguientes hechos: Generalmente aplicamos resolución a un conjunto inconsistente de fórmulas Σ Esto significa que ninguna valuación hace verdadero al conjunto de fórmulas Supongamos que elegimos una valuación arbitraria σ Necesariamente esta valuación divide al conjunto de cláusulas en dos conjuntos no vacíos por qué? Sea Σ 1 el conjunto que es hecho verdadero por σ y Σ 2 el conjunto hecho falso por σ (Σ 1 Σ 2 = Σ) Bajo este esquema, para producir una contradicción no tiene sentido hacer resolución entre cláusulas de Σ 1 o cláusulas de Σ 2 Sólo podremos producir una contradicción al hacer resolución entre cláusulas de distintos conjuntos También es posible demostrar que esta resolución es correcta y completa Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 59

19 Un caso particular de resolución semántica es hiper-resolución Existen dos variantes, hiper-resolución positiva e hiper-resolución negativa Definición 12 [Hiper-resolución positiva] Una hiper-resolución positiva es un caso especial de resolución semántica, en la cual la interpretación σ escogida hace falso a todas las variables del conjunto de fórmulas Hiper-resolución negativa se define en forma análoga La ventaja de hiper-resolución es que la pertenencia de cualquier fórmula a los conjuntos Σ 1 o Σ 2 puede ser determinada sintácticamente En efecto, las cláusulas que son hechas falsas por la valuación σ son todas aquéllas que contienen sólo literales positivos Por otro lado, las cláusulas que contienen al menos un literal negativo son hechas verdaderas Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 60

20 En cada paso de la hiper-resolución positiva, se escogen n cláusulas (llamadas satélites) que sólo contengan literales positivos y una cláusula que contenga, al menos, un literal negativo (llamada núcleo) Veamos cómo se ve en la práctica este tipo de resolución Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 61

21 Ejemplo de Hiper-resolución Positiva Demuestre que el conjunto { p q r, p r, q r, r} es insatisfacible 2 S 0 S 1 S 2 S 3 1 p q r 2 r 5 q r, de 1 y 3 6 p r, de 1 y 4 11 de 2 y 9 3 p r 4 q r 7 p de 2 y 3 8 q de 2 y 4 9 r de 3 y 6 Hiper-resolución puede ser mejorada si se fuerza un ordenamiento total entre las variables proposicionales De esta forma podemos decir que las variables se ordenan de la siguiente manera: p > q > r 2 En la primera fila se ubican los núcleos y en la segunda los satélites Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 62

22 La regla de resolución se modifica de la siguiente manera: Sólo aplicar la regla de resolución con una cláusula satélite C si el literal resuelto en la cláusula 3 es el mayor (dado un orden fijo cualquiera) que aparece en C Usando esta regla, la resolución se reduce de la siguiente manera: S 0 S 1 S 2 S 3 1 p q r 2 r 5 q r, de 1 y 3 6 p r, de 1 y 4 8 de 2 y 7 3 p r 4 q r 7 r de 3 y 6 Es posible demostrar que este tipo de resolución también es correcta y completa 3 Este es literal que no aparece en la cláusula resultante de la resolución Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 63

23 La estrategia Set of Support (SOS) Generalmente, cuando se busca una demostración mecánica, se intenta concluir una fórmula ϕ a partir de un conjunto de fórmulas Σ que es generalmente consistente Debido a esto, es posible evitar el uso de resolución entre cláusulas de Σ Un subconjunto T de un conjunto S de cláusulas se dice conjunto de soporte (set of support) si S T es satisfacible La regla de resolución SOS es la misma de resolución estándar, pero sólo es aplicable entre dos clausulas C 1 y C 2 si no se da que ambas pertenecen a S T Esta estrategia es una de las bases del demostrador mecánico Otter Jorge Baier Aranda, PUC << Atrás 64