Lógica Proposicional (LP)

Transcripción

1 Lógica Proosicional (LP) Proosición Enunciado del ue uede afirmarse si es verdadero o falso Oración declarativa Cuáles de las siguientes son roosiciones? ) Pedro es alto. 2) Juan es estudiante. 3) Vayan con cuidado. 4) Quién es? 5) Salud! 6) 3 es imar. Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Lógica Proosicional Proosición Simle Mi erro es negro. Juan es estudiante Comuesta María es aruitecta o Juan es músico. Si Juan es estudiante entonces Juan viaja en colectivo. 2 * 3 = 6 y 7 no es ar. Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27

2 Lógica Proosicional Definición del Lenguaje de la Lógica Proosicional Sintaxis: cómo definir fórmulas bien formadas (fórmulas como cadenas de símbolos) - Alfabeto - Lenguaje Semántica: cómo interretar esas fórmulas, es decir cómo asignarles un valor de verdad (fórmulas como enunciados ue ueden ser verdaderos o falsos) - Valuaciones Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Lógica Proosicional: Sintaxis Alfabeto (A PROP ): A PROP = Var {,,, } { (, ) } Variables o símbolos roosicionales (a, b, c,...,,,...) Símbolos auxiliares Conectivos roosicionales: negación y o si... entonces Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

3 Lógica Proosicional: Sintaxis Lenguaje de la LP Conjunto de Fórmulas de la LP (F m ): F m es el conjunto de cadenas de símbolos de A PROP, F m A * PROP, ue se obtiene alicando las siguientes reglas: Para toda variable Var, entonces F m, es decir Var F m Fórmulas atómicas Si A F m, entonces A F m Si A, B F m, entonces (A B), (A B), (A B) F m Fórmulas no atómicas Se ueden eliminar los aréntesis, teniendo en cuenta la siguiente recedencia de conectivos:,,, (de mayor a menor) Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Lógica Proosicional: Semántica Interretación de fórmulas como enunciados a los ue se uede asignar sólo uno de dos valores: Verdadero (, V, T) ó Falso (, F, ) La interretación o valuación de una fórmula se obtiene como sigue: - se asigna un valor de verdad ( ó ) a las variables roosicionales - se interretan las fórmulas no atómicas teniendo en cuenta el significado de los conectivos ue contienen Interretación de conectivos Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

4 Lógica Proosicional: Semántica Valuación: Es una función v: F m {, } ue cumle con las siguientes roiedades ara todo A, B F m v( A) = v(a) v(a B) = v(a) v(b) v(a B) = v(a) v(b) v(a B) = v(a) v(b) Ejemlo: Dada la fórmula A = y la valuación v() = y v() = v(a) = v( ) = v( ) v( ) = v() v() v() = = = Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Tablas de Verdad: Lógica Proosicional: Semántica Permiten calcular todos los osibles valores de verdad de una fórmula considerando todas las valuaciones osibles. Fórmula secuencia finita de variables y conectivos: conociendo valor de verdad de las k variables de la fórmula se uede construir la tabla de verdad Tamaño de la tabla de verdad = 2 k filas Ejemlo: Para la fórmula A = Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

5 Definiciones: Lógica Proosicional: Semántica Una tautología es una fórmula A ue es verdadera bajo toda valuación. Es decir, A es tautología sí y sólo sí ara toda valuación v, v(a) = En la tabla de verdad, todos los elementos de la columna corresondiente a la fórmula son. En símbolos = A Una contradicción es una fórmula A ue es falsa bajo toda valuación. Es decir, A es contradicción sí y sólo sí ara toda valuación v, v(a) = Una contingencia es una fórmula A ue es no es ni tautología ni contradicción. Una fórmula A es una tautología sí y sólo sí su negación A es una contradicción. Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Definiciones: Lógica Proosicional: Semántica Una valuación v satisface una fórmula A si v(a) = Una fórmula A se dice satisfacible si existe alguna valuación v ue la satisfaga, es decir ara alguna valuación v, v(a) =. En caso contrario, A es insatisfacible (contradicción). Una valuación v satisface un conjunto de fórmulas Γ F m si v satisface cada fórmula de Γ, es decir v(a) = ara toda fórmula A Γ Un conjunto de fórmulas Γ son mutuamente satisfacibles, o consistentes entre sí, si existe al menos una valuación v ue satisface cada fórmula de Γ, es decir v(a) = ara toda fórmula A Γ Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

6 Lógica Proosicional: Semántica Euivalencia Lógica: Dos fórmulas A y B se dicen euivalentes, A B, sí y sólo sí ara toda valuación v, v(a) = v(b) es una relación de euivalencia en el conjunto de las fórmulas F m, es decir cumle las roiedades: Reflexiva: A A Simétrica: Si A B entonces B A Transitiva: Si A B y B C entonces A C Ejemlos: A B A B A A A A A A Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Definición: Lógica Proosicional: Formalización. Identificar los enunciados simles 2. Asignar a cada enunciado simle una roosición 3. Identificar los conectores lógicos: negación, condicional, disyunción, etc. 4. Reconstruir los enunciados comuestos a artir de los simles y los conectores lógicos Ejemlo : o juega al tenis Pedro juega al tenis Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

7 Ejemlo 2: Lógica Proosicional: Formalización, y Luis baila Luis baila Ejemlo 3: r r ( ) r ( r) o, y Luis baila Luis baila r ( ) r Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Ejemlo 4: Lógica Proosicional: Formalización o y Luis baila Luis baila r ( ) r ( r) Ejemlo 5: Si,. Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

8 Ejemlo 6: Lógica Proosicional: Formalización, si. Ejemlo 7: Si y, Luis baila Si y, entonces Luis baila ( ) r r Luis baila r Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Lógica Proosicional: Formalización Ejemlo 8: y, si, Luis baila. Luis baila Ejemlo 9: r ( r) si y sólo si. Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

9 Lógica Proosicional: Formalización Ejemlo : Si, entonces Luis baila si Ana no juega al tenis. Luis baila Ejemlo : r ( r) sólo si. Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Lógica Proosicional Ejemlo hiótesis conclusión En cada fila ue y son verdaderas la fórmula también es verdadera Diremos ue es consecuencia semántica de las fórmulas y Las fórmulas y se denominan hiótesis o remisas y la fórmula se denomina conclusión o consecuencia semántica Un argumento o razonamiento es válido o correcto cuando toda valuación ue hace verdaderas a las hiótesis, hace verdadera a la conclusión (no hay valuación ue haga verdaderas a las hiótesis y falsa a la conclusión) Ejemlo: Dados a, b, c N Si a < b y b < c entonces a < c Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

10 Definición Formal: Sea Γ {A} F m A es consecuencia semántica de Γ, en símbolos Γ = A, sí y sólo sí toda valuación ue satisface a Γ también satisface la fórmula A. Γ = A ara toda valuación v tal ue v(γ) =, entonces v(a) = De esta definición resulta ue = A A es una tautología Notación: Sea Γ un conjunto de fórmulas Γ = { A, A 2,..., A n }, Γ = A se uede escribir: { A, A 2,..., A n } = A A, A 2,..., A n = A A A 2... A n = A Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Ejemlo, r, r = r?? r r r r, r, r = r Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27

11 Ejemlo, =?? X, = Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Algunas Proiedades Sean Γ {A, B} F m ) A = A toda fórmula es consecuencia semántica de sí misma (Reflexividad) 2) Γ = A y A = B entonces Γ = B (Transitividad) 3) Si A Γ entonces Γ = A 4) Si Γ = A y Γ entonces = A (si de un conjunto de hiótesis se sigue una conclusión, agregando hiótesis al conjunto, la conclusión sigue siendo consecuencia semántica) Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27

12 Proiedades: Ejemlos 2),, r = y = entonces,, r = (Transitividad) 3), =, = 4), = entonces,, r =,, = hiótesis satisfacibles hiótesis insatisfacibles Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Teorema de la Deducción Sean Γ {A, B} F m Γ {A} = B sí y sólo sí Γ = A B Corolario : Sean A, B F m A = B sí y sólo sí = A B Corolario 2: Para todo conjunto Γ {A} F m Γ = A sí y sólo sí Γ { A} es insatisfacible (Si Γ =, A es tautología sí y sólo sí A es insatisfacible) Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

13 Teorema de la Deducción Sean Γ {A, B} F m Γ {A} = B sí y sólo sí Γ = A B ) Γ {A} = B entonces Γ = A B Suongamos ue Γ {A} = B ero Γ = A B v: v(γ {A}) = entonces v(b) = v: v(γ) = y v(a B) = v(γ) = y v(a) = Por lo tanto contradicción Γ {A} = B entonces Γ = A B v(a) = y v(b) = 2) Γ = A B entonces Γ {A} = B (ejercicio) Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Teorema de Comacidad Sean Γ {A, B} F m Γ = A sí y sólo sí Γ = A ara Γ Γ, Γ finito Una fórmula A es consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas Γ sí y sólo sí existe un subconjunto finito Γ de Γ tal ue A es consecuencia semántica de Γ Teorema Sea Γ F m Entonces Γ es satisfacible sí y sólo sí todo subconjunto finito de Γ es satisfacible. Teorema Sea Γ F m Entonces Γ es insatisfacible sí y sólo sí existe un subconjunto finito de Γ ue es insatisfacible. Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA

14 Ejemlo Si hay electricidad, accedo al servidor si está encendido. Está encendido ero no accedo al servidor. Por lo tanto, hay electricidad. el servidor está encendido accedo al servidor hay electricidad c s e e (c s), c s = e?? ) e (c s), c s = e sí y sólo sí {e (c s), c s, e } es insatisfacible Suonemos ue es satisfacible, es decir v: v(e (c s)) = y v(c s) = y v( e) = ara v(e) = y v(s) = y v(c) = esto se cumle or lo tanto e (c s), c s = e Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA - 27 Ejemlo ) e (c s), c s = e sí y sólo sí = (e (c s)) (c s) e (e (c s)) (c s) e ((e (c s)) c s) e (( e c s) c s) e ( e c s) c s e e c s c s e e c s contingencia or lo tanto e (c s), c s = e Ciencias de la Comutación II - Filminas de Clase Facultad Cs. Exactas UNCPBA