CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR CUN GUÍA DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS DOCENTE : YAMILE MEDINA CASTAÑEDA

Transcripción

1 GUÍA # 2 LÓGICA DOCENTE : YAMILE MEDINA CASTAÑEDA PROPOSICIONES Y OPERACIONES LÓGICAS. Una proposición o enunciado es una oración (expresión con sentido completo) de la cual puede afirmarse si es falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo. p: El agua es esencial para la vida. q: = 21 r: x > -9 s: -3+(-5)=-10 x: Hola cómo estas? y: Qué hora es?. Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento lo que indica que es una proposición abierta. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de Fútbol Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo expresado en términos interrogativos y el otro es una orden.

2 PROPOSICIONES COMPUESTAS. Están formadas por dos o más proposiciones unidas con conectivos lógicos, como son: y, o, entonces, si y solo si. Los operadores o conectores básicos son: Operador (y) CONJUNCIÓN Su símbolo es Sea el siguiente enunciado El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería p: El coche enciende. q: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería. De tal manera que la representación del enunciado es: p = q r Su tabla de verdad es como sigue: q r p = q r V V V V F F F V F F F F La conjunción solo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas. Operador (o) DISYUNCIÓN Su símbolo es Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Sea el siguiente enunciado Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase. Donde. p: Entra al cine. q: Compra su boleto. r: Obtiene un pase. Su tabla de verdad es como sigue: q r p =q r V V V V F V F V V F F F La conjunción solo es falsa cuando las dos proposiciones son falsas.

3 Operador (no) NEGACIÓN Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador no se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {,, }. La negación de está lloviendo en este momento es no está lloviendo en este momento p p V F F V En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos: Sean las proposiciones: p: Hoy es domingo. q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje. r: Aprobaré el curso. El enunciado: Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera: p q r PROPOSICIONES CONDICIONALES. Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera: p q Se lee Si p entonces q El candidato del PRI dice Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: p: Salió electo Presidente de la República. q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año. De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera. p q

4 Su tabla de verdad queda de la siguiente manera: p q p q V V V V F F F V V F F V PROPOSICIÓN BICONDICIONAL. Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera: p q Se lee p si solo si q Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez Donde: p: Es buen estudiante. q: Tiene promedio de diez. por lo tanto su tabla de verdad es. p q p q V V V V F F F V F F F V La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas

5 A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos. Ejemplo. Sea el siguiente enunciado Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado Donde: p: Pago la luz. q: Me cortarán la corriente eléctrica. r: Me quedaré sin dinero. s: Pediré prestado. t: Pagar la deuda. w: soy desorganizado. (p q) p (r s) (r s) t w TABLAS DE VERDAD. En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p q) (q r) (r q). p q r q p q (q r) (p q) (q r) r q [(p q) (q r) (r q) V V V F V F V V V V V F F V F V V V V F V V F V V F F V F F V F F F V F F V V F V F V V V F V F F V F V V V F F V V V V V F F F F F V V F V V V

6 El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula. No de líneas = 2 n Donde n = número de variables distintas. Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo. Tautología y contradicción. Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contra positiva cuya tabla de verdad se indica a continuación. p q p q p q q p (p q) (q p ) V V F F V V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre V. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones. Lo contrario a la Tautologia es una contradicción o falacia

7 CONTRADICCIÓN Es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es p ~p Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad. p ~p p ~p V F F F V F Si en el ejemplo anterior p: La puerta es verde. La proposición p p equivale a decir que La puerta es verde y la puerta no es verde. Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia. Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente. RECORDEMOS SOBRE PROPOSICIONES. A) Bogotá es la capital de Colombia B) El CIDCA tiene sedes en Bogotá y Cali C) El numero 3 es un dígito D) 4+7=13 E) la luna gira alrededor del sol F) el producto de dos números pares es un numero par A cada una de las afirmaciones anteriores podemos afirmar que es verdadero o falso, pero no ambas a la vez. En conclusión podemos decir: CONCEPTO CLAVE Proposición simple es un enunciado declarativo del cual se puede afirmar que es verdadero o falso pero NO ambas a la Vez.

8 Ahora leamos los siguientes enunciados; a) Bogotá es la capital de Colombia y el CIDCA tiene sedes en Bogotá y Cali b) 4+6=15 ó el número 7 es un dígito Al analizar tanto el enunciado a como el b, están constituido por dos proposiciones simples, unidas por un conector (y/ó). Entonces concluimos. CONCEPTO CLAVE Proposición compuesta es un enunciado constituido por dos o más proposiciones simples, unidas por conectivos. De todo lo anterior podemos deducir: 1- el lenguaje escrito esta constituido por símbolos que se agrupan para formar expresiones que tiene sentido completo. 2- las expresiones tienen significado, otras no. 3- la proposiciones se representar con letras minúsculas (p,q,r, s,t,u,.) 4- las proposiciones pueden ser negativas, entonces el símbolo utilizado anterior a la letra minúscula es ~. ~r: Ecuador no exporta banano EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Di cuales de los siguientes enunciados son proposiciones (V o F) y cuáles no. a) ( 2 ) 1/2 es un numero racional. b) Los números 3 y 4. c) (x + y) 2 d) 2 es divisor de cero. e) Todo triángulo equilátero es isósceles. f) 19 es un número primo. g) Los productos notables. 2. Formula 3 proposiciones que sean verdaderas y 5 que sean falsas. 3. Evalúa el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) Una semana tiene 7 días y un año 12 meses.

9 b) El 8 es un número primo y par. c) Soy hombre o mujer. d) El sale de día si y sólo si la luna sale de noche. e) Si 10 es entero entonces es entero. f) 10 es múltiplo de 3. g) Hoy no es lunes. h) 15 es impar y no primo. i) 2 es primo y par a la vez. j) El cuadrado de un número real siempre es no negativo. k) La moneda de Ecuador no es el Bolívar. l) Si hoy es jueves, entonces mañana será domingo. m) 2 es un número par y 5 es impar. n) 2 es primo y 9 es impar. o) Si un triángulo tiene dos ángulos de 60, entonces es equilátero. p) 4 < 5 quiere decir que 5 > 4. q) Cuatro es el doble de dos y dos es el doble de cuatro. r) En Suramérica 9 países no son de habla hispana. s) 39 es impar y par. t) 81 es múltiplo de 3 si y sólo si 3 4 = 81. u) 2 < 2 2 y 2 2 > 2. v) Si 15es primo entonces es impar. w) (-4)(-3) = 12 y (4)(3) = 15. x) Si 5 < 10 entonces 10 2 < 5 2. y) 4 es un número natural si y sólo si es real.. TAREAS DE REPASO 1- simbolice las siguientes proposiciones: a) Carlos es un estudiante b) Lucia es un estudiante de Economía c) Camilo es deportista d) Juan no es estudiante e) Claudia no es estudiante de Economía EJERCICIO 2: Teniendo en cuenta estrictamente el siguiente texto determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifica tu respuesta:

10 El pequeño Pedro Vela cierto día se sentó en una silla de su casa a comer pastel. Mientras comía sintió que en pastel había un trozo de fruta y dijo Que suerte tengo! a) Pedro es de baja estatura. ( ) b) El pastel era de frutas ( ) c) Pedro estaba en su casa ( ) d) Pedro es de poca edad ( ) e) Pedro se sento porque estaba cansado ( ) De la siguiente conversación extrae las frases que sean proposiciones: Hola has visto a Felipe? El salio de viaje con unos amigos. Entonces ya se recupero de su enfermedad. No estaba total mente bien, pero decidió irse de paseo. Será que regresa pronto? Dijo que solo tardaría tres días. Entonces el lunes lo encuentro. Eso es lo mas seguro. 3. Dadas las siguientes proposiciones: p= Cundinamarca es un departamento democrático q= Bogotá es la capital de Colombia. a. ~p ~q b. p ~q c. ~(p q) d. p (~q) e. ~(p q) 4. Determinar el valor de verdad de: ~ p q (~ p ~ q ) 5. Determine si las proposiciones siguientes son tautologías, contradicciones o indeterminaciones: a. p (q r) b. ~[(~p ~q) (q r)] c. [p (q r)] [(p q) (p r)]

11 Bibliografía. Libro Autor Editorial Estructuras de Bernard Kolman, Robert Prentice Matemáticas Discretas C. Bisby, Sharon Ross Hall Elements of Discrete C.L.Liu Mc graw Hill Mathematics Matemáticas Discreta y Ralph P. Grimaldi Addiso Combinatoria Wesley Matemáticas Discretas Jean Paul Tremblay, Ram CECSA con aplicación a las Manohar ciencias de la computación Matemáticas Discretas Kenneth A. Ross, Charles Prentice R.B. Wright Hall Matemática Discreta y Winfried Karl, Jean Paul Prentice Lógica Tremblay Hall Matemáticas Discretas Richard Johnsonbaugh Gpo. Editorial Iberoameric a