LÓGICAS NO-CLASICAS. Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 77

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1 LÓGICAS NO-CLASICAS Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 77

2 Motivación de las - La Lógica (Clásica) de Primer Orden sólo es un modelo adecuado para el razonamiento matemático - Es necesario ajustar ese modelo a nuestras intuiciones acerca del razonamiento natural - Objetivos: - Resolución de las paradojas de la implicación - Ampliación de la potencia expresiva del lenguaje lógico: - Razonamiento hipotético - Razonamiento temporal - Razonamiento epistémico - Razonamiento no-monótono - Superación de la semántica bivalente: - Razonamiento impreciso - Razonamiento sometido a incertidumbre - Las lógicas no-clásicas tienen más relevancia para la modelización cognitiva que la clásica - La Lógica Clásica se toma siempre como referencia Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 78

3 CLASIFICACIÓN DE LAS LÓGICAS NO-CLÁSICAS - Extensiones de la Lógica Clásica: - Lógica Modal - Interpretaciones de la Lógica Modal: - Lógica Temporal Modal - Lógica Epistémica - Lógica Deóntica - Alternativas a la Lógica Clásica - Lógicas Trivalentes - Lógica Intuicionista - Lógicas Multivalentes - Lógicas de la Probabilidad - Lógicas Borrosas. - Lógicas Nomonotónicas Lógica no- Clásica No Bivalentes Más Recursos Expresivos Lógica Trivalente Lógicas Polivalentes Lógicas Probabilísticas Lógicas Difusas Lógica Modal Lógica Temporal Lógica Epistémica Lógica Deóntica Lógica Nomonotónica Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 79

4 - La Lógica trivalente: contempla tres valores de verdad, lo verdadero, lo falso y lo que no es verdadero ni falso, por desconocido o incierto. - Las lógicas multivalentes son fundamentalmente lógicas probabilísticas en las que los valores de verdad se corresponden con el intervalo [0,1]. - La lógica modal incorpora como operadores los modificadores lo necesario y lo posible. - La Lógica temporal incorpora parámetros temporales. Para muchas oraciones su verdad depende del momento en que se produce. - La lógica epistémica es una lógica intensional que pretende formalizar enunciados de creencia, opinión, etc. - La Lógica Deóntica investiga la obligación y el deber moral. - La Lógica intuicionista: Parte de presupuestos constructivistas no admitiendo ninguna entidad de la que no se aporte un método para su construcción. El programa intuicionista pretende investigar las construcciones mentales matemáticas como tales y no tanto la naturaleza de los objetos construidos. - La lógica nomonotónica pretende formalizar situaciones reales en las que decidimos sin una total información y que posteriormente admite, conforme se prueben o refuten creencias, revisar el sistema total de creencia. Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 80

5 LOGICA MODAL LAS PARADOJAS DEL CONDICIONAL - En la definición clásica del condicional hay tesis lógicas que no responden en absoluto a nuestra intuición natural acerca del funcionamiento de la conectiva si..., entonces... - Anormalidad de la definición semántica básica del condicional (implicación material ): (A B) σ = Τ sii A σ = o B σ = T. En otro caso, (A B) σ = - Tesis aberrantes : A (B A) A (A B) (A B) (B A)... Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 81

6 POSIBLES REMEDIOS 1. Exigir una conexión significativa entre antecedente y consecuente - Que el significado del antecedente sea relevante para la obtención del consecuente - Relación - intensional- de entrañamiento (entailment) - Lógica de la relevancia o del entrañamiento (Anderson, Belnap) 2. Redefinición del si..., entonces... como una implicación estricta o condicional formal - Esta nueva definición requiere la introducción de nuevos operadores - En la teoría resultante seguirán siendo válidos todos los teoremas de la Lógica Clásica - Sistemas: - Lógica de la implicación estricta (Lewis) - Lógicas Modales Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 82

7 OPERADORES MODALES - Reformulación de la implicación estricta: - A B No es posible que A y B - A B Es necesario que (A B) - Operadores modales: - posibilidad: - necesidad: - Operadores derivados: - es imposible que : - es contingente que : - Formato general de las expresiones modales: Operador modal (modo) + Aserción (dictum) Equivalencias modales básicas - Demostrables como teoremas - A A - A A - A A - A A - Se comportarán recíprocamente igual que el particularizador y el generalizador El lenguaje modal (L EM ) - Añadimos al lenguaje clásico de enunciados los dos operadores modales - Estos operadores forman fórmulas igual que el operador monádico de negación Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 83

8 SEMANTICA PARA L ME - El universo de discurso está formado por un conjunto M, no vacío, de mundos posibles m 1,..., m n (Leibniz, Kripke) - Estos mundos m i, m j están unidos entre sí por una relación de accesibilidad Rm i m j, que puede tener diversas características formales (reflexividad, transitividad,...) - σ: Función de valoración que asigna a cada fórmula uno de los dos valores de verdad T o en un mundo determinado m i (A σ,mi ) - Se llama marco a la estructura <M,R, σ> - Definiciones semánticas de los operadores modales: - ( A) σ = T en m i sii A σ = T en todo mundo m j accesible desde m i. En otro caso, A σ =. - ( A) σ = T en m i sii A σ = T en al menos un mundo m j accesible desde m i. En otro caso, A σ =. - Las definiciones correspondientes para las fórmulas asertivas son iguales que las clásicas, salvo la mención del mundo del que se habla Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 84

9 Definiciones adicionales - A es modalmente satisfacible en un marco dado si existe al menos un mundo m i de ese marco en el que A es satisfacible. En otro caso, es modalmente insatisfacible. - A es modalmente válida si A es válida para todos los mundos de un marco modal Sistemas modales - Existe una multiplicidad de sistemas modales, que se diferencian entre sí : - Por el tipo de relación de accesibilidad en su marco modal - Por las fórmulas que son válidas en cada uno de ellos - Por sus propiedades específicas - Los principales sistemas son: - K - T (Gödel/Feys, von Wright) - S4 (KT4) - B (Sistema de Brouwer) - S Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 85

10 LOGICA CUANTIFICACIONAL MODAL - El uso de los operadores modales en el contexto cuantificacional suscita algunos problemas semánticos - Fórmulas de Barcan: a) xpx x Px Parece ser cierto, al menos en la medida en que todos los mundos accesibles desde el actual contienen exactamente el mismo conjunto de individuos b) x Px x Px Sólo es verdadero si los términos son designadores rígidos, es decir, si, en cualquier mundo, un objeto dado tiene siempre el mismo nombre. Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 86

11 LOGICA TEMPORAL MODAL - La Lógica clásica de Primer Orden no permite expresar que un enunciado es verdadero en un momento determinado y falso en otro, ni por tanto razonar sobre ello - Una adecuada interpretación de la Lógica Modal nos permite utilizarla como lenguaje de modelización del razonamiento acerca del tiempo - Prior (1956), Rescher y Urquart (1971), McArthur(1976) - En vez de considerar m 0, m 1, m 2,...,m n mundos posibles, consideraremos t 0, t 1, t 2,...,t n instantes de tiempo - Suponemos inicialmente un tiempo discreto - Sustituímos la relación de accesibilidad Am i m j por la relación de sucesión temporal St i t j - St i t j afirma que a t i le sucede t j. En el razonamiento temporal esta relación también se expresa en términos de su relación inversa: t i precede a t j (Pt j t i = S -1 t i t j ) Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 87

12 Operadores Temporales Modales - Bajo esta interpretación, los operadores modales se convierten en operadores temporales - Si consideramos la relación de sucesión temporal (razonamiento hacia el futuro): - A : A será verdadero a partir de ahora - A : A será verdadero en algún instante futuro - Si consideramos la relación de precedencia temporal (razonamiento hacia el pasado): - A: A ha sido verdadero hasta ahora. - A: A ha sido verdadero en algún instante pasado. Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 88

13 LOGICA EPISTÉMICA - Afirmar que A es verdadero es distinto que afirmar que yo sé que A es verdadero - Mientras que lo primero es un enunciado, lo segundo es una creencia. - En general, los enunciados en los que intervienen expresiones epistémicas tales como: - yo sé que... - x sabe que... - a cree que... son enunciados epistémicos, que expresan conocimientos o creencias. - Las expresiones epistémicas están formadas por: - una constante o variable que refiere al agente que conoce ( yo, x, a ) - un operador epistémico: saber, creer - El comportamiento de cualquier sistema, natural o artificial, está determinado por el conjunto de las creencias que dicho sistema asume como verdaderas - acerca de sí mismo - acerca de su entorno - Cualquier modelización del comportamiento de un sistema debe representar sus creencias - Una característica fundamental de la manipulación cognitiva de un conjunto de creencias es la no-monotonicidad Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 89

14 Lógica Epistémica (2) - Si interpretamos el operador modal de necesidad como se sabe que, la lógica modal se convierte en una lógica epistémica o lógica de las creencias - Existen muchas lógicas epistémicas: - von Wright (1951) - Hintikka (1962) - Moore (1983, 1984) - Konolige (1986) - Halpern, Moses (1985): A guide to modal logics of knowledge and belief, Procs IJCAI, Lógica autoepistémica (Moore, Konolige): creencias de un agente idealmente racional que reflexiona sobre sus propias creencias - Sea S nuestro operador epistémico - Leeremos SA como yo se que A o se sabe que A - El comportamiento formal de SA es idéntico al de A - El operador de posibilidad se traduce epistémicamente por se cree que o es consistente creer que, de forma que: saber que A equivale a no se cree que no A - Si deseamos utilizar explícitamente el operador epistémico de posibilidad, utilizaremos C Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 90

15 Lógica Autoepistémica - Intuitivamente, en la manipulación de un conjunto de creencias Γ parece que deberían ser válidas los siguientes condiciones: 1. Si se sabe que A B, y también sabe que A, entonces también debería saber que B S (A B) (S A S B) (K) 2. Sólo se sabe lo que es verdadero S A A (T) 3. Todo el que sabe algo, sabe que lo sabe S A S S A (S4) 4. Todos saben los tres enunciados anteriores. (Consecuencia de la regla de necesariedad). - S4 es un buen candidato como sistema para modelizar conjuntos de creencias, y su manipulación cognitiva Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 91

16 No-monotonicidad de la Lógica Autoepistémica - Si además se cumple: 5. Si A no pertenece al conjunto de creencias Γ, entonces S A pertenece a Γ, entonces diremos que ese conjunto de creencias es un conjunto de creencias estable (Stalnaker, 1980) - Una extensión estable de un conjunto de creencias es el conjunto de las consecuencias de ese conjunto de creencias. - Cuando se produce el fenómeno de la nomonotonicidad, se sustituye una extensión estable de un conjunto de creencias por otra. - Ejemplo: 1. Creencia inicial: todos los pájaros vuelan 2. Información inicial: Truz es un pájaro 3. Podemos deducir que: Truz vuela 4. Información adicional: Truz es un avestruz 5. Creencia previa: Ningún avestruz vuela 6. Nueva deducción: Truz vuela era falso Observaciones: - La creencia inicial era inexacta, pero útil en las mayoría de los casos, los casos normales - La primera deducción era una deducción por defecto, en ausencia de información complementaria Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 92

17 No-Monotonicidad de la Lógica Autoepistémica (2) - La Lógica Autoepistémica permite la modelización del razonamiento no-monótono: - Esquema de razonamiento: Si no sé que A, entonces sé que no sé que A Si A, entonces sabría que A Pero no sé que A Luego no A - Ejemplo: Sé que el Papa vive todavía. No tengo ninguna prueba reciente de ello. Pero sé que si el Papa hubiese muerto, yo lo sabría. Pero no sé que (no tengo ninguna información de que) el Papa haya muerto Luego sé que el Papa está vivo - Formalización: 1. A S A 2. S A 3. A (Mtollens, 1,2) - Si sustituímos S A por A, eliminamos la posibilidad de derivar A, manteniendo consistente el conjunto de creencias - El razonamiento autoepistémico es no-monótono porque las reglas modales admiten el supuesto del mundo cerrado : lo que no está afirmado explícitamente en el conjunto de creencias es falso. Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 93