Enunciados Abiertos y Enunciados Cerrados

Transcripción

1 I n g. L u z A d r i a n a M o n r o y M a r t í n e z L ó g i c a 1 Unidad II lógica proposicional Es probable que en el siglo IV antes de la Era Común, se iniciara con Aristóteles el estudio de la Lógica; pero no fue hasta a mediados del siglo XIX cuando George Boole ( ) inicia el estudio de lo que hoy se conoce como Lógica Matemática. Uno de los fines de la enseñanza matemática es disciplinar la inteligencia, de ahí el valor formativo de esta ciencia ya que necesita de exactitud y precisión en sus razonamientos. La inteligencia se disciplina a través de un tipo especial de pensamiento que es el razonamiento. El objetivo de la lógica es estudiar la validez de los razonamientos. La validez de la lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Por medio de un enunciado con sentido podemos emitir un juicio (actividad mental por medio de lo cual pensamos algo) o un razonamiento (evaluación mental por medio de lo cual obtenemos conclusiones). Concepto de la Lógica: La lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Para su estudio, se divide en: Lógica Formal, Lógica Aplicada y Lógica Simbólica. Lógica Formal: es la parte de la filosofía que estudia las formas y leyes generales del pensamiento tendiente al conocimiento de la verdad y el error. Lógica Aplicada: es la que estudia las formas o estructura del pensamiento adaptándose al objeto de su estudio de las distintas ciencias. Lógica Simbólica: es la que estudia sistemáticamente las proposiciones, los razonamientos y las demostraciones para lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos convencionales que representan estructuras. La lógica simbólica es aquella que se refiere a las proposiciones y que también se conoce con el nombre de CALCULO PROPOSICIONAL. Sistemas de Deducción Natural Introducidos por Gentzen en 1935, estos sistemas deductivos se refieren al hecho de moldear de manera tan cercana como sea posible el razonamiento humano, o al menos al razonamiento matemático hecho por personas mediante distintos juicios. Enunciados Abiertos y Enunciados Cerrados Un enunciado: es un conjunto de símbolos por medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya sea en forma oral o escrita. Enunciados Abiertos o Simples: son aquellos que tienen un único valor de verdad. Es el que no tiene otro enunciado como parte componente. Ejemplo: Las rosas son rojas.

2 I n g. L u z A d r i a n a M o n r o y M a r t í n e z L ó g i c a 2 Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente. Ejemplo: Las rosas son rojas y las violetas son azules. Concepto de Proposiciones Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez. Si no se puede concluir que es verdadero o falso no es una proposición. Tipos de proposiciones: Aquellas que son Proposiciones Proposiciones Ambiguas No proposiciones Clasificación de las Proposiciones Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo enunciado. Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivas lógicas. Conectivas Lógicas Las Conectivas Lógicas son aquellas que sirven para formar proposiciones compuestas. Simbólicamente las conectivas lógicas se representan del modo siguiente: Conectiva Nombre Lógico Símbolo No Negación,, Y Conjunción O Disyunción Inclusiva O O Disyunción Exclusiva Si entonces Implicación o Condicional Si y solo si Doble Implicación o Bicondicional

3 I n g. L u z A d r i a n a M o n r o y M a r t í n e z L ó g i c a 3 Clasificación de las proposiciones compuestas La negación: la conectiva no es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el símbolo o bien o bien. La conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo y, y se representa con el símbolo: La disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógico o, que se representa de la manera siguiente. La disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazadas por el conectivo o o y se representa así: V. La condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva si entonces, que se representa de la siguiente forma:. La proposición que aparece entre las palabras Si y Entonces, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra Entonces, se le llama consecuente o conclusión. La Bicondicional o Doble implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo si y solo si y se representa así:. Reglas de simbolización 1) Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirá por variables proposicionales simbolizadas por letras minúsculas: p, q, r, s, t, 2) Las expresiones de lenguaje natural tales como: No No es cierto No es el caso que Es falso Es imposible Y todas aquellas que sean equivalentes, se sustituirán por el símbolo:,, 3) Las expresiones del lenguaje natural tales como: Y Ni Pero Que Mas Y todas las que sean equivalentes, se sustituyen por el símbolo (conjunción). 4) Las expresiones de lenguaje natural tales como: o o bien bien ya ya y sus equivalentes se sustituyen por el símbolo (disyunción).

4 I n g. L u z A d r i a n a M o n r o y M a r t í n e z L ó g i c a 4 5) Las expresiones naturales tales como: Si entonces Luego Por tanto Por consiguiente Con tal que Se infiere Se deduce Y sus equivalentes se sustituirán por el símbolo (condicional). 6) Las expresiones del lenguaje natural tales como:. Si y solo si.. Equivale a.. Es igual a.. Es lo mismo que. Y sus equivalencias se sustituirán por el símbolo (bicondicional). Uso de paréntesis 1) No se utilizan paréntesis en aquellos casos en que los conectores afecten a enunciados simples o atómicos. 2) Se utiliza paréntesis cuando el conector afecte a toda una conjunción, disyunción condicional o bicondicional. 3) Se utiliza el paréntesis en las expresiones con juntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de un condicionador o bicondicionador. 4) Se utiliza el paréntesis en las expresiones que nos interese prese sisar la dominancia del conector, o bien porque los conectores posean la misma dominancia como es el caso del conjuntador y el disyuntor que son idepotentes o bien porque el sentido de la expresión exige la alteración de la dominancia de las conectivas fuentes el condicionador y el bicondicionador que son las conectivas fuertes. Una afirmación como 1+1=6 la cual puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez se llama proposición. VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS Y SU TABLA DE VERDAD Nombre La Negación La conjunción Descripción Si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su negación es falsa o viceversa. Ejemplo: si P es: Constanza es un municipio de la Vega, P se leerá: no es cierto que Constanza es un municipio de la Vega. Esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas y en los demás casos será falsa. Tabla de Verdad p v f p f v f v F f f F

5 I n g. L u z A d r i a n a M o n r o y M a r t í n e z L ó g i c a 5 La disyunción Inclusiva Esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la forman son falsas, en caso contrario es verdadera. v f v f v v f f F La disyunción exclusiva Esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa. v v f v f v f v v f f f La Condicional o Implicación La Bicondicional o Doble Implicación Una condicional solo es falsa cuando su antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en los demás casos la condicional es verdadera. Está solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman tienen el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o ambas falsas. En caso contrario la Bicondicional es falsa. f v v f f v f v f f f v Concepto de Tautología Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica cuando es verdadera siempre, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman. Ejemplo: p q p v q p (p q) v v f v v f f f f v

6 I n g. L u z A d r i a n a M o n r o y M a r t í n e z L ó g i c a 6 Concepto de Contradicción La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la formen. Ejemplo: p p p q f v f Concepto de contingencia La contingencia: es la combinación de la tautología y la contradicción. Ejemplo: f v v f f v Ejemplos de Tablas de verdad con tres proposiciones 1) Formula 2 n, donde el 2 representa los dos valores posibles de una proposición (v o f) y la n el número de proposiciones. Por lo tanto para 3 proposiciones: 2 3, que es igual a 8 posibles combinaciones con 3 proposiciones. p q r p q (p q) r v v Ejemplo 2) v v f v f v f v f f v f v f v f f f f f f f f

7 I n g. L u z A d r i a n a M o n r o y M a r t í n e z L ó g i c a 7 p q r p q (p q) r v v v v f v f v f v f v f v f v v f v f v f f v f v f f f f v La lógica como sistema formal axiomático El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados. La principal característica de un sistema axiomático es que si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas, quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. Lo característico del sistema axiomático como realización de la idea de cálculo consiste en disponer de un conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostración y a partir de los cuales se obtienen todas las demás afirmaciones de la teoría, las cuales se llaman teoremas y las fórmulas aceptadas sin discusión son axiomas o postulados. Conocer y utilizar la lógica de proposiciones, la semántica, el cálculo axiomático, las propiedades formales, el cálculo de deducción natural y los árboles lógicos. La lógica proposicional pretende estudiar las frases declarativas simples, enunciados o proposiciones que son los elementos básicos de transmisión de conocimiento humano. El lenguaje de la lógica proposicional trabajará con los siguientes conjuntos de símbolos: Constantes v, f Variables o letras proposicionales: p, q, r, s, Símbolos de conectivas:,,,, Signos de puntuación: (, )

8 I n g. L u z A d r i a n a M o n r o y M a r t í n e z L ó g i c a 8 Sintaxis de la lógica proposicional Las reglas de formación de freses en el lenguaje de lógica proposicional son: 1.- Las constantes v (verdadero) y f (falso) pertenecen a la lógica proposicional. 2.- Las letras de proposiciones p, q, r, s, pertenecen a la lógica de proposiciones. 3.- Si A y B pertenecen a la lógica de proposiciones, entonces ( A), ( B), ( A B), ( A B) ( A B), ( A B) también pertenecen a la lógica de proposiciones. 4.- Solo pertenecen a la lógica de proposiciones las formulas que cumplan los requisitos 1,2 y 3. Con el fin de evitar el exceso de paréntesis se establece la siguiente jerarquía de prioridades: 1) Negación 2) Conjunción y disyunción, 3) Implicación y la doble implicación, Ejemplo: con dicha jerarquía la formula p q p r se reconoce como: (( p) q) (p r) Semántica de la lógica proposicional La siguiente teoría semántica de la lógica proposicional trata de atribuir significado verdadero o falso a las distintas fórmulas del lenguaje, Dichos significados dependen del contexto particular en el que se utilice la formula. Cada contexto se denomina interpretación. Definición: Una interpretación de una formula F en lógica proposicional es la asignación de valores v, f a cada una de las letras proposicionales de F. El valor de una proposición p bajo una interpretación I se denota por: VI(F) es: Si F es de la forma G entonces VI(F) = V (verdadero) si VI(G) = f f (falso ) si VI(G) = v Si F está formada por una proposición p, entonces VI(F) = VI(p) Si F es de la forma G H entonces Vi(F) es: V (verdadero) si VI(G) = VI(H) = v f (falso ) en caso contrario

9 I n g. L u z A d r i a n a M o n r o y M a r t í n e z L ó g i c a 9 Si F es de la forma G H entonces Vi(F) es: f (falso) si VI(G) = VI(H) = f v (Verdadero ) en caso contrario Si F es de la forma G H entonces Vi(F) es: f (falso) si VI(G) = v y VI(H) = f v (verdadero ) en caso contrario Si F es de la forma G H entonces Vi(F) es: V (verdadero) si VI(G) = VI(H) f (falso ) en caso contrario