Lógica y Programación

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Juan José Vega Reyes
hace 6 años
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1 Lógica y Programación Sintaxis y semántica de la lógica proposicional Antonia M. Chávez, Carmen Graciani, Agustín Riscos Dpto. Ciencias de la Computacion e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

2 Aplicaciones de la Lógica Proposicional La Lógica es a los informáticos como la matemática a los arquitectos o físicos. Es el cálculo de la informática (M. Y. Vardi). Análisis de las propiedades de los sitemas en su diseño, desarrollo, mantenimiento. Planificación: manufactura automática, robótica, programación de vuelos en aeroĺıneas,... Diseño y verificación de circuitos... Deducción: resolución de problemas SAT Resolución de problemas de la vida real: horarios, rutas de transporte planificación de obras,...

3 Elementos de una lógica Elementos de una lógica: Sintaxis: qué expresiones son fórmulas? Semántica: qué significa que una fórmula F es consecuencia de un conjunto de fórmulas S?: S = F Cálculo: qué significa que una fórmula F puede deducirse a partir de un conjunto de fórmulas S?: S F Propiedades: Potencia expresiva Adecuación: S F = S = F Completitud: S = F = S F Decidibilidad Complejidad

4 Sintaxis de la lógica proposicional Alfabeto proposicional: Símbolos proposicionales: p, p 0, p 1,..., q, q 0, q 1,... Constantes:, Conectivas lógicas: Negación: Condicional: Conjunción: Equivalencia: Disyunción: Símbolos auxiliares: (, ).

5 Sintaxis de la lógica proposicional Dado un conjunto SP de símbolos proposicionales, se puede definir un lenguaje proposicional L(SP), que contiene todas las fórmulas posibles según la siguiente definición: Una fórmula proposicional es: Un elemento de SP: (Fórmula atómica) Si F y G son fórmulas, entonces: ( F), (F G), (F G), (F G), (F G) también lo son. Ejemplos: ((p q) (q p)) (p (q ( r)))

6 Sintaxis de la lógica proposicional Metavariables: SP: conjunto de símbolos proposicionales FProp: conjunto de fórmulas proposicionales Símbolos proposicionales: p, p 0, p 1,..., q, q 0, q 1,..., r,... Fórmulas proposicionales: F, F 0, F 1,..., G, G 0, G 1,... Eliminación de paréntesis: Paréntesis externos: (p q) = p q Prioridad:,,,, (p ( q r)) (s t) = p q r s t ((p q) r) s = p q r s Asociatividad: y asocian por la derecha p (q r) = p q r

7 Símbolos de una fórmula Símbolos proposicionales de una fórmula: sp(p) = {p} sp( F) = sp(f) sp(f G) = sp(f) sp(g) sp(f G) = sp(f) sp(g) sp(f G) = sp(f) sp(g) sp(f G) = sp(f) sp(g)

8 Semántica de la lógica proposicional La semántica debe proporcionarnos: Noción de verdad: función de verdad Significado de las fórmulas: especificación Noción de consecuencia lógica: conclusiones Valores de verdad: y (utilizaremos False y True)

9 Semántica de la lógica proposicional Funciones de verdad fv : {False, { True} {False, True} True si i = False fv (i) = False si i = True fv : {False, { True} 2 {False, True} True si i = j = True fv (i, j) = False en otro caso fv : {False, { True} 2 {False, True} False si i = j = False fv (i, j) = True en otro caso

10 Semántica de la lógica proposicional Funciones de verdad fv : {False, { True} 2 {False, True} False si i = True y j = False fv (i, j) = True en otro caso fv : {False, { True} 2 {False, True} True si i = j fv (i, j) = False en otro caso

11 Semántica de la lógica proposicional Interpretación: Una interpretación I es un conjunto de símbolos proposicionales Interpretaciones: Conjunto de todas las interpretaciones sig : FProp Interpretaciones {False, True} { True si p I sig(p, I) = False en otro caso sig( F, I) = fv (sig(f, I)) sig(f G, I) = fv (sig(f, I), sig(g, I)) sig(f G, I) = fv (sig(f, I), sig(g, I)) sig(f G, I) = fv (sig(f, I), sig(g, I)) sig(f G, I) = fv (sig(f, I), sig(g, I))

12 Semántica de la lógica proposicional Ejemplo: F = (p q) ( q r) I = {p,r} sig(f,i) = sig((p q) ( q r),i) = fv (sig(p q,i),sig( q r,i)) = fv (sig(p q,i),sig( q r,i)) = fv (fv (sig(p,i),sig(q,i)), fv (sig( q,i),sig(r,i))) = fv (fv (True,False),fv (fv (sig(q,i)),true)) = fv (True,fv (fv (False),True)) = fv (True,fv (True,True)) = fv (True,True) = True

13 Semántica de la lógica proposicional I = {p,r} F = (p q) ( q r) (True False) ( False True) True (True True) True True True I = {r} F = (p q) ( q r) (False False) ( False True) False (True True) False True False

14 Modelos y contramodelos interpretaciones(f) = {I Interpretaciones : I sp(f)} interpretaciones(f) = 2 sp(f) Modelo I es modelo de F sig(f, I) = True Representación: I = F Ejemplo: {p, r} = (p q) ( q r) Contramodelo I es contramodelo de F sig(f, I) = False Representación: I = F Ejemplo: {r} = (p q) ( q r) Modelos de una fórmula modelos(f) = {I interpretaciones(f) : I = F }

15 Tablas de verdad Comprobación de todas las interpretaciones p q r (p q) (q r) (p q) (q r) True True True True True True True True False True False True True False True False True True True False False False True True False True True True True True False True False True False True False False True True True True False False False True True True

16 Validez y satisfactibilidad Fórmulas válidas o tautologías F es válida toda interpretación de F es modelo de F Representación: = F Ejemplos: = (p p), = (p q) (q p), = (p q) Fórmulas satisfacibles F es satisfacible tiene algún modelo F es insatisfacible no tiene ningún modelo Ejemplos: (p q) (q r) es satisfacible (p ( p)) no es satisfacible (p ( p)) es insatisfacible (p q) (q r) no es insatisfacible

17 Validez y satisfactibilidad Problema de la satisfacibilidad: Dada F determinar si es satisfacible Problema de la validez: Dada F determinar si es válida Relaciones entre validez y satisfacibilidad F es válida F es insatisfacible F es válida F es satisfacible F es satisfacible F es insatisfacible El problema de la satisfacibilidad es NP completo

18 Conjuntos de fórmulas Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas sp(s) = {sp(f) : F S} Ejemplo: sp({p q r, p s}) = {p, q, r, s} Interpretaciones de un conjunto de fórmulas interpretaciones(s) = {I Interpretaciones : I sp(s)} Modelos de un conjunto de fórmulas I es modelo de S para toda F de S, I = F Representación I = S Ejemplo: {p, r} = {(p q) (( q) r), q r} Contramodelo de un conjunto de fórmulas I es contramodelo de S para alguna F de S, I = F Representación I = S Ejemplo: {p, r} = {(p q) (( q) r), r q}

19 Conjuntos de fórmulas Modelos de un conjunto de fórmulas modelos(s) = {I interpretaciones(s) : I = S} Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas S es consistente S tiene algún modelo S es inconsistente S no tiene ningún modelo Ejemplos: {(p q) (( q) r), p r} es consistente {(p q) (( q) r), p r, r} no es consistente {(p q) (( q) r), p r, r} es inconsistente {(p q) (( q) r), p r} no es inconsistente

20 Consecuencia lógica F es consecuencia lógica de S para toda interpretación I interpretaciones(s {F }), si I = S entonces I = F Representación: S = F Ejemplos: {p q,q r} = p r {p} = p q {p} = r Las siguientes condiciones son equivalentes: {F 1,..., F n } = G = (F 1... F n ) G {F 1,..., F n, G} es inconsistente

21 Ejercicios Sean S = {p (q r),p s,( q r) s} y F = s r. Se pide comprobar que S = F mediante la definición de consecuencia lógica. Sean S = {(p q) r,( p r),q r} y F = r s. Se pide comprobar que S = F mediante la definición de consecuencia lógica. Sean S = {a b, a (c b),b (d a),d c} y F = a d. Se pide comprobar que S = F mediante la definición de consecuencia lógica. Sean S = {a b, b (c d),c d,d (b a)} y F = b d. Se pide comprobar que S = F mediante la definición de consecuencia lógica.

22 Ejercicios Sean S = {p (q r),p s,( q r) s} y F = s r. Se pide comprobar que S = F mediante la definición de consecuencia lógica. p q r s {p (q r) p s ( q r) s} s r

23 Ejercicios Sean S = {p (q r),p s,( q r) s} y F = s r. Se pide comprobar que S = F mediante la definición de consecuencia lógica. (False = 0, True = 1) p q r s {p (q r) p s ( q r) s} s r

24 Ejercicios Sean S = {p (q r),p s,( q r) s} y F = s r. Se pide comprobar que S = F mediante la definición de consecuencia lógica. (False = 0, True = 1) p q r s {p (q r) p s ( q r) s} s r

25 Ejercicios Sean S = {p (q r),p s,( q r) s} y F = s r. Se pide comprobar que S = F mediante la definición de consecuencia lógica. (False = 0, True = 1) p q r s {p (q r) p s ( q r) s} s r

26 Referencias Chang, C.L. y Lee, R.C.T Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. (Academic Press, 1973) Cap. 2: The propositional logic Genesereth, M.R. Computational Logic Cap. 2: Propositional logic Nilsson, N.J. Inteligencia artificial (Una nueva síntesis). (McGraw Hill, 2000) Cap. 13: El cálculo proposicional Russell, S. y Norvig, P. Inteligencia artificial (un enfoque moderno). (Prentice Hall Hispanoamericana, 1996) Cap. 6.4: Lógica propositiva: un tipo de lógica muy sencillo

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