Lógica y Programación

Transcripción

1 Lógica y Programación Cálculo de Secuentes Antonia M. Chávez, Agustín Riscos, Carmen Graciani Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

2 Definiciones Objetivo: Resolver problemas de satisfacibilidad para Lógica Proposicional Descomposición de objetivo incial en subobjetivos más simples Definición: Un secuente es un par formado por dos conjuntos de fórmulas: F 1,...,F n G 1,...,G m {F 1,...,F n } se denomina antecedente del secuente {G 1,...,G n } se denomina consecuente del secuente

3 Definiciones Objetivo: Resolver problemas de satisfacibilidad para Lógica Proposicional Descomposición de objetivo incial en subobjetivos más simples Definición: Un secuente es un par formado por dos conjuntos de fórmulas: F 1,...,F n G 1,...,G m Idea: Si todas las fórmulas del antecedente son ciertas, entonces alguna del consecuente lo es también Equivale a: F 1 F 2 F n G 1 G 2 G m

4 Reglas de cálculo Objetivo: Establecer qué secuentes (subobjetivos) tienen que ser ciertos para que un determinado secuente (objetivo) también lo sea Representación de reglas: Subobjetivos Objetivo

5 Reglas de cálculo Definición: Un axioma es un secuente en el que aparece una misma fórmula en el antecedente y en el consecuente Regla del Axioma: Γ 1,F,Γ 2 1,F, 2 Ax donde Γ 1,Γ 2, 1 y 2 son secuencias finitas de fórmulas La Regla del axioma se lee: Cualquier secuente en el que una misma fórmula F aparezca tanto en el antecedente como en el consecuente es cierto y no genera ningún subobjetivo

6 Reglas de cálculo El resto de las reglas del cálculo de secuentes indican cómo descomponer una fórmula del secuente objetivo (parte inferior de la regla) obteniendo un conjunto de secuentes subobjetivos (parte superior de la regla). Las reglas se clasifican según el tipo de fórmula en cuestión y si ésta se encuentra en el antecedente o en el consecuente del objetivo.

7 Reglas de la negación Γ 1,Γ 2 F, Γ 1, F,Γ 2 I F,Γ 1, 2 Γ 1, F, 2 D donde Γ,Γ 1,Γ 2,, 1 y 2 son secuencias finitas de fórmulas

8 Reglas de la disyunción Γ 1,F,Γ 2 Γ 1,G,Γ 2 I Γ 1,F G,Γ 2 Γ 1,F,G, 2 Γ 1,F G, 2 D donde Γ,Γ 1,Γ 2,, 1 y 2 son secuencias finitas de fórmulas

9 Reglas de la conjunción Γ 1,F,G,Γ 2 Γ 1,F G,Γ 2 I Γ 1,F, 2 Γ 1,G, 2 Γ 1,F G, 2 D donde Γ,Γ 1,Γ 2,, 1 y 2 son secuencias finitas de fórmulas

10 Reglas de la implicación Γ 1,G,Γ 2 Γ 1,Γ 2 F, Γ 1,F G,Γ 2 I F,Γ 1,G, 2 Γ 1,F G, 2 D donde Γ,Γ 1,Γ 2,, 1 y 2 son secuencias finitas de fórmulas

11 Reglas de la equivalencia Γ 1,F G,G F,Γ 2 Γ 1,F G,Γ 2 I Γ 1,F G, 2 Γ 1,G F, 2 Γ 1,F G, 2 D donde Γ,Γ 1,Γ 2,, 1 y 2 son secuencias finitas de fórmulas

12 Procedimiento Para demostrar la validez de una fórmula F mediante el cálculo de secuentes: Considerar F como secuente objetivo inicial Se van aplicando las reglas dando lugar a nuevos subobjetivos El proceso se repite hasta que todos los subobjetivos han sido eliminados mediante la Regla del Axioma. En ese caso, la fórmula F es válida. Si se alcanza un subobjetivo al que no puede aplicarse ninguna regla, entonces F no es válida

13 Ejemplo I Demostrar la validez de la fórmula F p (q p) mediante el cálculo de secuentes:

14 Ejemplo I Demostrar la validez de la fórmula F p (q p) mediante el cálculo de secuentes: Considerar F como secuente objetivo inicial

15 Ejemplo I Demostrar la validez de la fórmula F p (q p) mediante el cálculo de secuentes: Considerar F como secuente objetivo inicial Aplicamos la regla D a p: p q p p (q p) D

16 Ejemplo I Demostrar la validez de la fórmula F p (q p) mediante el cálculo de secuentes: Considerar F como secuente objetivo inicial Aplicamos la regla D a p: Aplicamos la regla D al consecuente del subobjetivo q p: p q p p (q p) D p q,p p q p D

17 Ejemplo I Demostrar la validez de la fórmula F p (q p) mediante el cálculo de secuentes: Considerar F como secuente objetivo inicial Aplicamos la regla D a p: Aplicamos la regla D al consecuente del subobjetivo q p: Aplicamos la regla del Axioma: p q p p (q p) D p q,p p q p D p q,p Ax

18 Ejemplo I Demostrar la validez de la fórmula F p (q p) mediante el cálculo de secuentes: Considerar F como secuente objetivo inicial Aplicamos la regla D a p: Aplicamos la regla D al consecuente del subobjetivo q p: Aplicamos la regla del Axioma: p q p p (q p) D p q,p p q p D p q,p Ax No quedan objetivos pendientes, por tanto F es válida

19 Ejemplo II Demostrar la validez de la fórmula F (p (p q)) q

20 Ejemplo II Demostrar la validez de la fórmula F (p (p q)) q Considerar F como secuente objetivo inicial

21 Ejemplo II Demostrar la validez de la fórmula F (p (p q)) q Considerar F como secuente objetivo inicial Aplicamos la regla D p (p q) q (p (p q)) q D

22 Ejemplo II Demostrar la validez de la fórmula F (p (p q)) q Considerar F como secuente objetivo inicial Aplicamos la regla D Aplicamos la regla I p (p q) q (p (p q)) q D p,p q q p (p q) q I

23 Ejemplo II Demostrar la validez de la fórmula F (p (p q)) q Considerar F como secuente objetivo inicial Aplicamos la regla D Aplicamos la regla I p (p q) q (p (p q)) q D p,p q q p (p q) q I Aplicamos la regla I p p, q p, q q p,p q q I

24 Ejemplo II Demostrar la validez de la fórmula F (p (p q)) q Considerar F como secuente objetivo inicial Aplicamos la regla D Aplicamos la regla I p (p q) q (p (p q)) q D p,p q q p (p q) q I Aplicamos la regla I p p, q p, q q p,p q q I Aplicamos la regla del axioma a los dos subobjetivos: p p,q Ax p,q q Ax

25 Ejemplo II Demostrar la validez de la fórmula F (p (p q)) q Considerar F como secuente objetivo inicial Aplicamos la regla D Aplicamos la regla I p (p q) q (p (p q)) q D p,p q q p (p q) q I Aplicamos la regla I p p, q p, q q p,p q q I Aplicamos la regla del axioma a los dos subobjetivos: p p,q Ax p,q q Ax No quedan objetivos pendientes: la fórmula es válida

26 A qué fórmula corresponde el secuente: p,p q,q q, p r? Utilizando el cálculo de secuentes, encuentra una demostración de los siguientes secuentes: p, p q, q q, p r p q p q (q r) (( q p) (p r)) p q, p q p q Ejercicios