Resumen de deducción natural

Transcripción

1 Resumen de deducción natural F. Javier Gil Chica Orientación de estas notas El cálculo de argumentos mediante tablas de verdad es un método rápido y seguro. También mecánico, puesto que se puede programar. Pero, por esa misma razón, deja poco espacio al razonamiento. Una objección que también se le ha hecho es el excesivo espacio necesario para almacenar las tablas de verdad, que crece como 2 n, siendo n el número de sentencias atómicas de un argumento. En realidad, no es precio almacenar la tabla entera para decidir después si el argumento es válido o no, y, además, la capacidad de los ordenadores actuales cubre más allá que cualquier necesidad práctica. Queda en pie entonces el hecho de que, siendo un procedimiento mecánico, deja sin ejercitar en el estudiante precisamente el razonamiento lógico. Por eso la conveniencia de un método alternativo. A este método se le llama deducción natural porque se basa en unas pocas reglas evidentes por sí mismas, o bien demostrables con facilidad mediante el método de las tablas de verdad. A partir de estas reglas simples pueden demostrarse argumentos más complejos. El tema está desarrollado paso a paso, con abundancia de ejemplos y todas las explicaciones necesarias, en el texto de Hardegree, capítulo 5, a lo largo de unas 50 páginas. Es perfecto para un primer estudio del tema, pero se vuelve farragoso cuando lo que se quiere es un refresco rápido del tema. Entonces el ritmo pausado se vuelve excesivamente parsimonioso. De ahí estas pocas notas, que, siguiendo el texto citado, adoptan un estilo más conciso y una exposición más informal. 2. Reglas, notación, estrategias Dos aspectos son importantes: qué conjunto de reglas básicas elegir y qué notación adoptar en las demostraciones. Respecto a lo primero, propondremos unas pocas reglas básicas que ampliaremos con otras cuando sea 1

2 necesario, para completar el cuadro. Respecto a lo segundo, no seremos excesivamente formales: adoptaremos una notación que sea visualmente adecuada a lo que hacemos y en lugar de definirla formalmente simplemente proponemos el principio de mira cómo se hace e imítalo. Hay un tercer aspecto, y es el de las estrategias adecuadas para según qué demostraciones. Procederemos desde las más sencillas a las más complejas, ilustrando estas notas con alguno de los muchos ejemplos y ejercicios contenidos en nuestro texto de referencia. Téngase presente que las conectivas forman sentencias a partir de sentencias. Por consiguiente, tienen la misma forma los argumentos (por ejemplo) P Q; P/ Q y (P Q) (P R);P Q/P R. Por este motivo usaremos letras mayúsculas para sentencias simples o compuestas. Es decir, una letra representa o una sentencia simple o una fórmula. 3. Reglas básicas Las reglas básicas, es decir, los argumentos básicos a partir de los cuales se demuestran argumentos más complejos son los tres siguientes: Modus ponens: P Q;P/ Q Modus tollens: P Q; Q/ P Modus tollendo ponens: P Q; P/Q o bien P Q; Q/P Veamos algunos ejemplos, para lo cual introduciremos una notación a tres columnas: la primera columna contiene el número de línea. La segunda columna contiene propiamente las líneas de la demostración. La tercera columna es un comentario a cada línea, que indica cómo se produjo esa línea. Ejemplo: demostrar P;P Q;Q R/R. (1) P Premisa (2) P Q Premisa (3) Q R Premisa (4) R?? (5) Q 1,2,MP (6) R 3,5,MP Las tres primeras líneas son premisas, como se indica en la tercera columna. La cuarta establece qué es lo que hay que demostrar. La línea (5) se obtiene de la (1) y la (2) aplicando modus ponens (1,2,MP); La línea (6) 2

3 proviene de (3) y (5) por aplicación de modus ponens. Obtenida la conclusión, R, termina la demostración. Apliquemos ahora el método mira e imita escribiendo algunas demostraciones más. Demostrar 1 P Q;Q R;R S; S/ P: Demostrar 2 P Q; P;Q R/R: (1) P Q Pr (2) Q R Pr (3) R S Pr (4) S Pr (5) P?? (6) R 3,4,MT (7) Q 2,6,MT (8) P 1,7,MT (1) P Q Pr (2) P Pr (3) Q R Pr (4) R?? (5) Q 1,2,MTP (6) R 3,5,MP Demostrar 3 P Q; P;R Q; R S/S: (1) P Q Pr (2) P Pr (3) R Q Pr (4) R S Pr (5) S?? (6) Q 1,2,MTP (7) R 3,6,MT (8) S 4,7,MP 1 pág. 206, ejerc. 2 2 pág. 206, ejerc. 4 3 pág. 206, ejerc. 6 3

4 Demostrar 4 P Q; R Q;R S; S/P: (1) P Q Pr (2) R Q Pr (3) R S Pr (4) S Pr (5) P?? (6) R 3,4,MT (7) Q 2,6,MP (8) P 1,7,MTP Demostrar 5 (P Q) (R S);(R T) (P Q); (R T) /R S: (1) (P Q) (R S) Pr (2) (R T) (P Q) Pr (3) (R T) Pr (4) R S?? (5) P Q 2,3,MTP (6) R S 1,5,MP Demostrar 6 (P Q) R;[(P Q) R] R; (P Q) (Q R)/ Q: 4. Más reglas (1) (P Q) R Pr (2) [(P Q) R] R Pr (3) (P Q) (Q R) Pr (4) Q?? (5) R 1,2,MP (6) P Q 1,5,MTP (7) Q R 3,6,MP (8) Q 5,7,MT Introduciremos más reglas, que permiten demostrar argumentos más complejos. De nuevo estas reglas, o bien son evidentes por sí mismas, o bien se demuestran sin dificultad mediante tablas de verdad. Usaremos la notación ac, donde a puede ser o bien i, de introducir o bien e, de eliminar y o es una conectiva. Por ejemplo, i& es la regla introducir la conjunción y e es la regla eliminar la disyunción. Pues bien, estas son las nuevas reglas: 4 pág. 206, ejerc pág. 206, ejerc pág. 206, ejerc. 20 4

5 i&: A;B/A&B e&; A&B/A o A&B/B i : A/A B e : A B; A/B o A B; B/A e : A B;A/B i : A B;B A/A B e : A B/A B o A B/B A : A/ A o A/A La última regla tiene nombre especial: es la introducción o eliminación de la doble negación. Del resto de reglas, e es nuestra conocida MTP; e es nuestra conocida MP. 5. Más ejemplos que ilustran las reglas recién dadas Demostrar 7 P&Q;(P R) S/P&S: (1) P&Q Pr (2) (P R) S Pr (3) P&S?? (4) P 1,e& (5) P R 4,i (6) S 2,5,MP (7) P&S 4,6,i& Demostrar 8 P Q;P R; Q/R& P: 7 pág. 207, ejerc pág. 207, ejerc. 24 (1) P Q Pr (2) P R Pr (3) Q Pr (4) P& P?? (5) P 1,4,MT (6) R 2,5,MTP (7) R& P 5,6,i& 5

6 Demostrar 9 P Q;R Q; R S;( P&S) T/T: Demostrar 10 P Q;Q;P S/S: (1) P Q Pr (2) R Q Pr (3) R&S Pr (4) ( P&S) T Pr (5) T?? (6) R 3,e& (7) Q 2,6,MTP (8) P 1,7,MT (9) S 3,e& (10) P&S 8,4,i& (11) T 4,10,MP (1) P Q Pr (2) Q Pr (3) P S Pr (4) S?? (5) P Q 1,e (6) Q 2, (7) P 5,6,MT (8) S P 3,e (9) S 7,8,MT (10) S 9, Demostrar 11 P Q;(P Q) (Q P);(P Q) P/P&Q: 9 pág. 207, ejerc pág. 207, ejerc pág. 207, ejerc. 38 (1) P Q Pr (2) (P Q) (Q P) Pr (3) (P Q) P Pr (4) P&Q?? (5) Q P 1,2,MP (6) P Q 1,5,i (7) P 3,6,MP (8) Q 1,7,MP (9) P&Q 7,8,i& 6

7 Demostrar 12 P& Q;Q (R S); V P;V (S R);(R S) T; U ( Q&T)/U: (1) P& Q Pr (2) Q (R S) Pr (3) V P Pr (4) V (S R) Pr (5) (R S) T Pt (6) U ( Q&T) Pr (7) U?? (8) P 1,e& (9) P 8, (10) V 3,9,MT (11) V 10, (12) S R 4,11,MP (13) Q 1,e& (14) R S 2,13,MTP (15) S R 12,14,i (16) T 5,15,MP (17) T& Q 13,16,i& (18) (T& Q) U 6,e (19) U 17,18,MP 6. Derivación condicional Hay una clase de demostraciones donde se desea probar que A B. Esto no es probar A, ni probar B dado A mediante modus ponens. De hecho, en este tipo de problemas las premisas no permiten establecer A. Ahora bien: no es esto lo que se pide. Bien entendido, A B significa que si A fuese cierto, entonces B. Por tanto, es irrelevante si A es o no es cierto. La estrategia consiste en suponer A y entonces demostrar B. Veamos dos primeros ejemplos: Demostrar 13 (P Q) R/Q R: 12 pág. 207, ejerc pág. 208, ejerc. 41 (1) (P Q) R Pr (2) Q R Pr (3) Q Sup (4) P Q 3,i (5) R 1,4,MP 7

8 Demostrar 14 Q R/(P&Q) (P&R): (1) Q R Pr (2) (P&Q) (P&R)?? (3) P&Q Sup (4) P 3,e& (5) Q 3,e& (6) R 1,5,MP (7) P&R 4,6,i& En el siguiente ejemplo introduciremos subdemostraciones dentro de demostraciones. Una demostración comienza con una línea?? y termina con aquello que se quiere probar. Cuando sea preciso insertar una subdemostración dentro de una demostración, se escribirán las líneas de la subdemostración desplazadas a la derecha, en tanto dure la subdemostración, al modo del ejemplo siguiente 15 : (1) P Q Pr (2) (Q R) (P R)?? (3) Q R Sup (4) ** P R?? (5) ** P Sup (6) **** R?? (7) **** Q 1,5,MP (8) **** R 3,7,MP (9) ** P R 5,8,DC (10) (Q R) (P R) 3,9,DC La línea(2) muestra un condicional. Para demostrarlo, comenzamos suponiendoq RytratandodedemostrarqueP R.Peroestaesyaunademostración dentro de la demostración original, y por eso nos desplazamos a la derecha. A su vez, esta nueva demostración es condicional. Suponemos P y tratamos de demostrar R, lo que supone un nuevo nivel de sub-demostración, que indicamos con un nuevo desplazamiento. El inicio de cada nivel está señalado con?? en las líneas (2), (4) y (6). En cuanto al cierre de los subniveles, en la línea (5) suponemos P y en la (8) obtenemos R, de donde cerramos el nivel más interno escribiendo P R en la línea (9), en cuya tercera columna hemos anotado DC (demostración condicional). De la misma forma, la suposición de la línea (3) y la obtención de P R en la (9) permite cerrar el primer nivel y dar por probado el resultado que se pide, en la línea (10). El patrón entonces está claro 14 pág. 208, ejerc pág. 208, ejerc. 43 8

9 (1) A B?? (2) A Sup (3) ** B?? (4) ** (5) (6) ** B (7) A B DC Este no es el patrón seguido en los dos primeros ejemplos de esta sección, que son muy sencillos. Pero en lo sucesivo, para hacerlo de una forma sistemática apta tanto para los casos sencillos como para los complejos, seguiremos este esquema. Demostrar 16 (P&Q) (R S)/(P Q) [(P&R) S]: (1) (P&Q) (R S) Pr (2) (P Q) [(P&R) S]?? (3) P Q Sup (4) ** (P&R) S?? (5) ** P&R Sup (6) **** S?? (7) **** P 5,e& (8) **** Q 3,7,MP (9) **** P&Q 7,8,i& (10) **** R S 1,9,MP (11) **** R 5,e& (12) **** S 10,11,MP (13) ** (P&R) S 5,12,DC (14) (P Q) [(P&R) S] 2,13,DC 7. Demostración por contradicción Puede suceder que no esté a disposición regla alguna para demostrar una fórmula A. En ese caso, una posibilidad es suponer A y tratar de llegar a una contradicción. Una contradicción tiene la forma genérica de Q& Q. 16 pág. 208, ejerc. 48 9

10 Demostrar 17 P Q;Q P/ P: (1) P Q Pr (2) Q P Pr (3) P?? (4) P Sup (5) Q 1,4,MP (6) P 2,5,MP (7) P& P 4,6,i& (8) P 4,7,Co Demostrar 18 P R;Q R/ (P&Q): Demostrar 19 P& Q/ (P Q): (1) P R Pr (2) Q R Pr (3) (P&Q)?? (4) P&Q Sup (5) P 4,e& (6) Q 4,e& (7) R 1,5,MP (8) R 2,6,MP (9) R& R 7,8,i& (10) (P&Q) 4,9,Co (1) P& Q Pr (2) (P Q)?? (3) P Q Sup (4) P 1,e& (5) Q 3,4,MP (6) Q 1,e& (7) Q& Q 5,6,i& (8) (P Q) 3,7,Co 17 pág. 209, ejerc pág. 209, ejerc pág. 209, ejerc

11 Demostrar 20 (P&Q) R/P (Q&R): (1) (P&Q) R Pr (2) P (Q&R)?? (3) P Sup (4) ** (Q&R)?? (5) ** Q&R Sup (6) ** Q 5,e& (7) ** P&Q 3,6,i& (8) ** R 1,7,MP (9) ** R 5,e& (10) ** R& R 8,9,i& (11) (Q&R) 5,10,Co Demostrar 21 P (Q&R)/(P&Q) R: (1) P (Q&R) Pr (2) (P&Q) R?? (3) P&Q Sup (4) ** R?? (5) ** R Sup (6) ** Q 3,e& (7) ** Q&R 5,6,i& (8) ** (Q&R) 7, (9) ** P 1,8,MT (10) ** P 3,e& (11) ** P& P 9,10,i& (12) R 5,11,Co (13) (P&Q) R 3,11,DC 20 pág. 209, ejerc pág. 209, ejerc

12 Demostrar 22 P (Q R)/(P R) (P Q): (1) P (Q R) Pr (2) (P R) (P Q)?? (3) P R Sup (4) ** P Q?? (5) ** P Sup (6) **** Q?? (7) **** Q Sup (8) **** Q R 1,5,MP (9) **** R 7,8,MP (10) **** R 9, (11) **** P 3,10,MT (12) **** P& P 5,11,i& (13) ** Q 7,12,Co (14) ** P Q 5,13,DC (15) (P R) (P Q) 3,14,DC 8. Demostración de disyunciones Una disyunción tiene la forma A B, y se demuestra por reducción al absurdo a partir de (A B), y con el auxilio de la siguiente regla (que llamamos e ): (A B)/ A (A B)/ B Demostrar 23 (P&Q)/ P Q: 22 pág. 209, ejerc pág. 210, ejerc. 81 (1) (P&Q) Pr (2) P Q?? (3) ( P Q) Sup (4) P 3,e (5) Q 3,e (6) P 4, (7) Q 5, (8) P&Q 6,7,i& (9) P Q 1,8,Co 12

13 Demostrar 24 (P Q) (P&Q)/(P&Q) ( P& Q): (1) (P Q) (P&Q) Pr (2) (P&Q) ( P & Q)?? (3) [(P&Q) ( P& Q)] Sup (4) (P&Q) 3,e (5) ( P& Q) 3,3 (6) (P Q) 1,4,MT (7) P 6,e (8) Q 6,e (9) P& Q 7,8,i& (10) (P&Q) ( P& Q) 5,9,Co Puede suceder que el objetivo no sea la demostración de una disyunción, sino que ésta se encuentre disponible como medio para probar otra cosa. En general, dada A B y siendo preciso demostrar C, la estrategia consiste en demostrar A, de donde se sigue B, que queda disponible para la demostración de C. La regla de eliminación de la disyunción (e ) es evidente, o si se desea se puede probar mediante tablas de verdad: A B; A/B A B; B/A 9. Conjunciones y bicondicionales La demostración de una conjunción A&B se traduce en la demostración de A seguida de la demostración de B. A su vez, estas demostraciones remiten a técnicas ya citadas, por lo que no incluyo ningún ejercicio al respecto. Ocurre igual con los bicondicionales A B que equivalen a la demostración de A B seguida de la demostración de B A. En cualquier caso, el texto de referencia contiene algunos ejemplos. 24 pág. 201, ejerc