Tema 1: Sintaxis y Semántica de la Lógica Proposicional

Transcripción

1 Tema 1: Sintaxis y Semántica de la Lógica Proposicional Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica y Computabilidad Curso LC, Lógica Proposicional 1.1

2 Contenido Sintaxis Fórmulas Inducción sobre fórmulas Semántica Valoraciones Consecuencia Lógica y satisfactibilidad Problemas de decisión LC, Lógica Proposicional 1.2

3 Problema básico (PB) Dado un conjunto de enunciados, BC, y un enunciado φ decidir si φ ha de ser necesariamente cierto, suponiendo que todos los enunciados de BC lo son. La Lógica nos proporciona formulaciones precisas de este problema y diferentes soluciones. Dos aspectos esenciales del problema son: Un lenguaje para expresar (representar) los enunciados, y Algoritmos para la Deducción. Discutiremos estas cuestiones en un caso sencillo: la Lógica Proposicional. LC, Lógica Proposicional 1.3

4 Sintaxis (I) Características generales de la Lógica proposicional: Una lógica de oraciones y/o propiedades No distingue entre elementos no expĺıcitos en el lenguaje Semántica: Verdadero/falso El lenguaje proposicional consta de: 1. Un conjunto numerable, Var, de variables proposicionales: p 0, p 1, Las conectivas lógicas: (negación) y (disyunción). 3. Símbolos auxiliares: ( y ). Los símbolos p, q, r,... representarán variables proposicionales, y los símbolos F, G, H,... representarán fórmulas. LC, Lógica Proposicional 1.4

5 Sintaxis (II) El conjunto PROP de las fórmulas proposicionales es el menor conjunto de expresiones C tal que: Var C, F C = F C F, G C = (F G) C La sintaxis debe evitar la ambigüedad en la interpretación de las fórmulas. LC, Lógica Proposicional 1.5

6 Árboles de formación Podemos asociar de manera única un árbol a cada fórmula. Ejemplo: ( (p q) ( r s)) ( (p q) ( r s)) (p q) ( r s) (p q) r s p q r Las fórmulas que aparecen en el árbol de formación de una fórmula F se denominan subfórmulas de F. LC, Lógica Proposicional 1.6

7 Principio de Inducción sobre fórmulas Gracias a la definición de PROP si deseamos probar que toda fórmula proposicional satisface cierta propiedad Φ, podemos probarlo por inducción sobre fórmulas. Para ello probamos: 1. Caso base: Si F Var, entonces F tiene la propiedad Φ. 2. Paso de inducción: 2.1 Si F PROP tiene la propiedad Φ, entonces F tiene la propiedad Φ. 2.2 Si F, G PROP tienen la propiedad Φ, entonces (F G) tiene la propiedad Φ. LC, Lógica Proposicional 1.7

8 Notación Para facilitar la lectura de las fórmulas, se usará: 1. F G en lugar de ( F G). 2. (F G) en lugar de ( F G), y (F G) en lugar de ((F G) (G F )). 3. Para reducir el número de paréntesis Omitiremos los paréntesis externos. Daremos a las conectivas una precedencia de asociación. De mayor a menor, están ordenadas por:,,,,. Ejemplo: F G F G es ((F G) ( F G)). 4. Cuando una conectiva se usa repetidamente, se asocia por la derecha: F G H es (F (G H)). LC, Lógica Proposicional 1.8

9 Semántica (I) Los elementos del conjunto {0, 1} se llaman valores de verdad. Se dice que 0 es el valor falso y el 1 es el valor verdadero. El significado de una conectiva se determina mediante su función de verdad: { 1, si i = 0; Para la negación es la función H (i) = 0, si i = 1. La función{ de verdad de la disyunción es la función 0, si i = j = 0; H (i, j) = 1, en otro caso. Las variables proposicionales se interpretan mediante una valoración de verdad, es decir, una aplicación v : Var {0, 1} LC, Lógica Proposicional 1.9

10 Semántica (II) Podemos extender cada valoración, v, al conjunto de todas las fórmulas de manera que para cada fórmula F se verifique: v( F ) = H (v(f )). v((f G)) = H (v(f ), v(g)). Fijada v estas ecuaciones permiten asignar de manera única un valor v(f ) a cada fórmula. Se dice que v(f ) es el valor de verdad de F respecto de v. Para las demás conectivas podemos usar las funciones de verdad: { 1, si i = j = 1; H (i, j) = 0, en otro caso. { 0, si i = 1, j = 0; H (i, j) = 1, en otro caso. { 1, si i = j; H (i, j) = 0, en otro caso. LC, Lógica Proposicional 1.10

11 Semántica (III) Veamos el cálculo de v( ( (p q) ( r s)) en el árbol de formación. ( (p q) ( r s)) (0) (p q) ( r s) (1) (p q) ( r s) (0) (1) (p q) (1) p (1) q (1) r (1) r (0) s (0) LC, Lógica Proposicional 1.11

12 Semántica (IV) El valor v(f ) está bien definido gracias al siguiente resultado: Teorema. Para cada valoración de verdad, v, existe única a una aplicación V : PROP {0, 1} tal que v(a) si A Var V (A) = H (V (B), V (C)) si A es (B C) H (V (B)) si A es B LC, Lógica Proposicional 1.12

13 Tablas de verdad Dada una valoración v, el valor de verdad de F respecto de v está determinado por los valores de verdad de las subfórmulas de F Ejemplo: si v(p) = v(q) = 0 y v(r) = 1, entonces v( ((p q) r)) = H (H (v(p q), v(r))) = = H (H (H (p, q), 1)) = 0 Fijada v podemos presentar el cálculo de F mediante una tabla: p q r p q (p q) r ((p q) r) Una tabla de verdad para F es una tabla similar que contiene una fila por cada valoración que asigne valores distintos a las variables proposicionales que aparecen en F. LC, Lógica Proposicional 1.13

14 Validez y consistencia F es válida para v (o v modelo de F, v = F ) si v(f ) = 1. v es modelo de un conjunto U, v = U, si v es modelo de toda fórmula de U. F es lógicamente válida (tautología) si es válida para toda valoración (notación = F ). Un conjunto de fórmulas U es satisfactible (o consistente) si existe una valoración que es modelo de U. En caso contrario diremos que es insatisfactible (o inconsistente). Relación entre estos conceptos: Lema. Para cada F PROP se verifica: F lógicamente válida = F satisfactible. F lógicamente válida F insatisfactible. LC, Lógica Proposicional 1.14

15 Consecuencia Lógica Una fórmula F es consecuencia lógica de un conjunto de fórmulas U, U = F, si todo modelo de U es modelo de F. Es decir, Para toda valoración, v, v = U = v = F La relación de consecuencia lógica permite formular el problema básico (PB) en el marco de la lógica proposicional. Relación entre consecuencia lógica, consistencia y validez: Proposición. Sea {F 1,... F n } PROP. Son equivalentes: {F 1,..., F n } = F = F 1 F n F {F 1,..., F n, F } es inconsistente. LC, Lógica Proposicional 1.15

16 Algoritmos de decisión Dado un conjunto de fórmulas proposicionales, U, un algoritmo de decisión para U es un algoritmo que dada A PROP, devuelve SI cuando A U y NO si A U. Casos especialmente interesantes: SAT = {A PROP : A es satisfactible} TAUT = {A PROP : A es una tautología} Fijado U PROP, la teoría de U es T (U) = {A PROP : U = A} Un algoritmo de decisión para T (U) propociona una respuesta al Problema Básico considerado al principio del tema. LC, Lógica Proposicional 1.16

17 Algoritmos de decisión (II) Problema Básico: Obtener un algoritmo que dado un conjunto finito de fórmulas proposicionales, U, y una fórmula F decida si U = F. El problema anterior se reduce a decidir la satisfactibilidad de una cierta fórmula (o si se prefiere, la validez de otra). Por tanto, La construcción de tablas de verdad proporciona un algoritmo (ineficiente) para decidir la consecuencia lógica. El Problema Básico es resoluble algorítmicamente, aunque no se conoce ninguna solución eficiente y se duda de la existencia de algoritmos de decisión eficientes para este problema, ya que Determinar la satisfactibilidad de una fórmula proposicional es un problema NP-completo. LC, Lógica Proposicional 1.17

18 Algoritmos de decisión (III) Problema Básico (bis): Obtener un algoritmo eficiente que dado un conjunto finito de fórmulas proposicionales, U, y una fórmula F decida si U = F. Observaciones: Este problema es equivalente al de obtener un algortimo eficiente para determinar la satisfactibilidad de una fórmula proposicional. Se trata de un problema abierto, que posiblemente tendrá una respuesta negativa (se sospecha que no existen algoritmos eficientes para resolver SAT). Para propósitos prácticos puede bastar con algoritmos eficientes para alguna clase especial de fórmulas. LC, Lógica Proposicional 1.18