Introducción a la Lógica Modal

Transcripción

1 Introducción a la Lógica Modal Pedro Cabalar Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN 4 de mayo de Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

2 Outline 1 Introducción 2 Modal proposicional: sintaxis y axiomatización Sintaxis Axiomatización 3 Semántica. Marcos de Kripke. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

3 Introducción Modalidad: cuál es la idea? Capturar algún aspecto del conocimiento más frecuente en el entorno bajo estudio. Ejemplos: instantes de tiempo siempre P(x), a_veces P(x),... estados de conocimiento de un agente a_sabe_que (b_sabe_que P(x)) procesos, estados de un programa, interpretaciones de una palabra o una frase,.... Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

4 Introducción Relación con Primer Orden Podríamos usar Lógica de Primer Orden? Sí, aunque con cierto trabajo. Ejemplo: siempre P(x, y) = t(instante(t) P(x, y, tt)) Fíjate cómo indexamos los predicados respecto a t. (reificación)... de hecho, las lógicas modales son traducibles a primer orden entonces para qué sirven? Notación y métodos de deducción: mucho más cómodos Perdemos expresividad, ganamos al restringir el tipo de razonamiento Normalmente, la versión proposicional es decidible. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

5 Sintaxis Modal proposicional: sintaxis y axiomatización Sintaxis Cálculo Proposicional: conjunto finito de átomos o proposiciones Σ = {p, q, r,... } operador unario operadores binarios,,, constantes,... a eso añadimos 2 op. binarios: = necesario (también representado como L) = posible (también representado como M) Prioridad de operadores:, L, M,,,,. L y M son duales (podemos definir uno en func. del otro) Mp def = L p. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

6 Modal proposicional: sintaxis y axiomatización Axiomatización: definiciones Axiomatización La sintaxis define un lenguaje L = cjto. fórmulas bien formadas Una lógica S no es más que S L S serán las fórmulas válidas o los teoremas Método de deducción: axiomas + reglas de inferencia Teorema: un axioma o una fórmula obtenida por aplicación de reglas a otros teoremas.. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

7 Modal proposicional: sintaxis y axiomatización Axiomatización Axiomatización: reglas de inferencia Reglas que usaremos: Modus Ponens (MP) Sustitución Uniforme (SU) Necesitación (N) α, α β β α α[β 1 /p 1,..., β n /p n ] α Lα. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

8 Modal proposicional: sintaxis y axiomatización Axiomatización Algunos axiomas básicos Axiomas más frecuentes: K L(p q) (Lp Lq) T Lp p D Lp Mp 4 Lp LLp B p LMp. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

9 Modal proposicional: sintaxis y axiomatización Axiomatización Ejemplo: sistema K Es el más elemental, y está incluido en los demás. Se define a partir del axioma K K L(p q) (Lp Lq) Ejercicio: probar los teoremas K1 L(p q) Lp Lq K2 Lp Lq L(p q) Regla derivada: DR1 α β Lα Lβ P. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

10 Mundos posibles Semántica. Marcos de Kripke En cálculo proposicional, tenemos interpretaciones v : Σ {0, 1} que nos dan el valor de certeza de cada átomo y que ampliamos para evaluar fórmulas. Ej: v(p q) Idea clave: manejar varios mundos, cada uno con su interpretación proposicional. Tendremos un mundo actual de referencia además de una relación que dice qué otros mundos son visibles desde este.. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

11 Semántica. Marcos de Kripke Marco Kripke (Kripke frame) Definition (Marco Kripke) Es un par W, R donde W = {w 1, w 2,... } es un conjunto de mundos y R W W una relación entre mundos. Definition (Modelo) Es un triple W, R, v donde W, R es un marco, y v : W Σ {0, 1} una valoración de átomos para cada mundo.. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14

12 Satisfactibilidad Semántica. Marcos de Kripke Sea M = W, R, v un modelo. Escribimos M, w = α para indicar que M satisface la fórmula α en el mundo w W.. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN Lógica ) Modal 4 de mayo de / 14