Introducción a la indecidibilidad

Transcripción

1 Introducción a la indecidibilidad José M. empere Departamento de istemas Informáticos y Computación Universidad Politécnica de Valencia Lenguajes y problemas Un problema será considerado cualquier cuestión formulada en términos formales (matemáticos. Diremos que un problema es de decisión si su resolución implica la afirmación o negación de un predicado lógico. Existen otros tipos de problemas que no son de decisión (p.ej. los problemas de optimización y los problemas de búsqueda. Un problema de decisión es decidible sii existe un algoritmo que lo resuelva (en caso contrario es indecidible

2 Podemos asociar a cualquier problema (de decisión un lenguaje formal de acuerdo con el siguiente esquema codificación en Σ problema (parametrizado instancia lenguaje asignación de parámetros codificación en un alfabeto predefinido Σ El lenguaje asociado al problema Π, que denotaremos por L Π, será formado por aquellas cadenas que codifican instancias del problema con solución afirmativa. i el lenguaje asociado a un problema es recursivo entonces existe una MT que acepta el lenguaje y siempre para. La MT es el algoritmo de resolución del problema y el problema es decidible. Todos los problemas con un número finito de instancias son decidibles (sus lenguajes asociados son finitos y, por lo tanto, recursivos. Propiedades de cierre de los lenguajes recursivamente enumerables y recursivos Teorema. Los lenguajes recursivos son cerrados bajo complementario L=L( L=L( ( L( N ( L( N ( L( N ( L(

3 Teorema. Los lenguajes recursivos son cerrados bajo unión L 1 =L( L 2 =L( ( L( ( L( N ( L( N ( L( ( L( N / activar N N ( L( L( = L( L( = L 1 L 2 Teorema. Los lenguajes recursivamente enumerables son cerrados bajo unión L 1 =L( L 2 =L( ( L( ( L( ( L( activar simultáneamente y finalizar cuando finalicen o L( = L( L( = L 1 L 2 i o paran y rechazan no para

4 Teorema. Los lenguajes recursivos son cerrados bajo intersección L 1 =L( L 2 =L( ( L( ( L( N ( L( N ( L( N N ( L( / activar N ( L( L( = L( L( = L 1 L 2 Teorema. Los lenguajes recursivamente enumerables son cerrados bajo intersección L 1 =L( L 2 =L( ( L( ( L( / activar ( L( L( = L( L( = L 1 L 2 i o paran y rechazan no para

5 Teorema. i un lenguaje L y su complementario son recursivamente enumerables entonces L es recursivo (y su complementario también L=L( ( L( L=L( ( L( ( L( N ( L( L( = L( = L para siempre y acepta L Corolario ea L un lenguaje arbitrario. iempre se cumplirá una de las tres siguientes afirmaciones (a L y su complentario son recursivos (b Ni L ni su complementario son recursivamente enumerables (c L o su complementario es recursivamente enumerable pero no es recursivo, mientras que el otro lenguaje no es recursivamente enumerable. C1 : Existen lenguajes que no sean recursivamente enumerables? C2 : Existen lenguajes que sean recursivamente enumerables pero no recursivos?

6 El problema universal ea M una máquina de Turing arbitraria y una cadena arbitraria. acepta M la cadena? Parámetros del problema: M, Restricciones del problema: M = (Q, Σ, Γ, δ 1, q 0, B, F F = { q 2 } Γ = { 0, 1, B } (0+1* (si el problema restringido es indecidible entonces el problema universal también lo es Codificación de máquinas de Turing: M = (Q, Σ, Γ, δ 1, q 1, B, F Q = {q 1, q 2,, q n } Γ = { 0, 1, B } = { x 1, x 2, x 3 } Movimientos de cabeza {L, R } = { d 1, d 2 } Codificación del siguiente movimiento δ(q i, x j = (q k, x l, d m (i,j,k,l,m = 0 i 10 j 10 k 10 l 10 m La codificación de la máquina de Turing basta con que contenga únicamente todos los valores de la función δ <M> = 111 <sig_mvto 1 > 11 <sig_mvto 2 > <sig_mvto p > 111 Valor de δ codificado Comienzo de la codificación eparación entre movimientos Fin de la codificación Codificación del problema universal: <M>

7 El lenguaje universal L U = { <M> (0+1* : M acepta } Teorema: El lenguaje universal L U es recursivamente enumerable pero no es recursivo El lenguaje diagonal ea M el conjunto (infinito de máquinas de Turing restringidas al modo del problema universal M es enumerable a partir del orden lexicográfico sobre las máquinas codificadas (0+1* también es enumerable a partir del orden lexicográfico M (0+1* M p p (i,j = 0 si i L(M j (i,j = 1 si i L(M j L d = {{ i : (i,i( i,i = 0 }

8 El lenguaje diagonal (i,j = 0 si i L(M j (i,j = 1 si i L(M j L d = {{ i : (i,i( i,i = 0 } Teorema: El lenguaje diagonal L d no es recursivamente enumerable La demostración se basa en un argumento por contradicción. uponiendo que L d sea recursivamente enumerable, existe M d tal que L d = L(M d. i d L d entonces (d,d = 0 y d L(M d!!! i d L d entonces (d,d = 1 y d L(M d!!! Conclusión: M d no puede existir y, por lo tanto, L d no puede ser recursivamente enumerable El lenguaje universal L U, es recursivamente enumerable <M> M U <M> L U L(M M U es una M.T. multicinta <M> cinta de entrada cinta de trabajo con q i control finito de M (0 i 1 M U copia a la cinta de trabajo 2 M U simula a M tomando la entrada en la cinta de trabajo 3 M U acepta <M> sii M acepta M U

9 El lenguaje universal L U, no es recursivo i existiera el siguiente esquema recursivo para L U <M> L U L(M <M> M U N <M> L U L(M podríamos construir el siguiente esquema recursivo para L d conv <M i > i M U ( L d ( i L(M i N N ( L d ( i L(M i conv es un módulo que establece el valor i para el que = i y proporciona como salida <M i > i lo cual nos llevaría a la contradicción de que L d es recursivo cuando no es ni siquiera recursivamente enumerable