Minimización de Aútomatas Finitos

Transcripción

1 Minimización de Aútomatas Finitos Supongamos que para un AFD M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) definimos la siguiente relación R M : xr M y ssi δ(q 0, x) = δ(q 0, y) Claramente, podemos notar que esta relación es de equivalencia e invariante por la derecha con respecto a concatenación. Esto último quiere decir que xr M y xzr M yz para todo z Σ. Intuitivamente, xr M y significa que M no puede distinguir a x de y. Cuántas clases de equivalencia tiene esta relación? Respuesta: El número de estados que posee el autómata. Jorge Baier Aranda, PUC 38

2 La idea de la minimización de autómatas finitos es obtener una relación de equivalencia con las características de la anterior, pero de un índice lo más pequeño posible. Por ejemplo, si para un AFD arbitrario M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) tenemos que δ(q 1, x) F ssi δ(q 2, x) F, para todo x Σ Sabemos que esencialmente los estados q 1 están cumpliendo la misma función; es decir, son indistinguibles. Formalmente, diremos que dos estados p y q del autómata M son distinguibles ssi existe w Σ tal que δ(p, w) F y δ(q, w) F Supongamos el siguiente AFD: Jorge Baier Aranda, PUC 39

3 1 q q ,1 Claramente aquí los estados q 1 y q 2 son indistinguibles. Retomando la idea de las relaciones de equivalencia, supongamos que pudiésemos definir para un lenguaje regular cualquiera L, una relación de equivalencia: xr L y ssi xz L yz L, para todo z Σ Es posible imaginar que cada una de las clases de equivalencia de esta relación representan estados de algún autómata. Jorge Baier Aranda, PUC 40

4 De esta manera, si x pertenece a la clase de equivalencia representada por q e y pertenece a una clase de equivalencia q distinta entonces x R L y y por lo tanto q y q son indistinguibles. Jorge Baier Aranda, PUC 41

5 Teorema de Myhill Nerode El teorema de Myhill-Nerode dice que las siguientes afirmaciones son equivalentes. (1) L Σ es aceptado por un autómata finito. (2) L es la unión de algunas de las clases de equivalencia de una relación R M de índice finito. (3) Si una relación de equivalencia R L está definida por xr L y ssi xz L yz L, para todo z Σ Entonces el número de clases de equivalencia de R L (índice de R L ) es finito. La demostración del teorema tiene que ver con la relación R M definido. que ya hemos (1) (2) Sea L aceptado por M = (Q, Σ, δ, q 0, F ). L es la unión de las clases de equivalencia a las que pertenecen los x Σ tales que δ(q 0, x) F. Como ya hemos dicho, R M tiene índice finito. (2) (3) En efecto, R L tiene índice finito puesto que Jorge Baier Aranda, PUC 42

6 xr M y xr L y Es decir, cada clase de equivalencia de R M está contenida en una de R L. (3) (1) Queda como ejercicio. La idea es construr un AFD a partir de R L que acepte L. Jorge Baier Aranda, PUC 43

7 Algoritmo de Minimización El algoritmo de minimización recibe un AFD como entrada y encuentra los estados de éste que son distinguibles (e indistinguibles) entre sí. El algoritmo es el siguiente: Minimice(M) 1 for p F and q Q F 2 do marque(p, q) 3 for each (p, q) in F F (Q F ) (Q F ) 4 do if para algún a, (δ(p, a), δ(q, a)) está marcado 5 then marque(p, q) 6 marque recursivamente todos los pares que están en L[p, q] 7 y en las listas de los pares marcados en este paso 8 else for each a in Σ 9 do agregue (p, q) a la lista para L[δ(p, a), δ(q, a)] 10 a menos que δ(p, a) = δ(q, a) Jorge Baier Aranda, PUC 44

8 En este algoritmo está impĺıcito el hecho que cada par de estados (p, q) tiene asociada una lista L[p, q] que contiene a los pares que estados que serán distinguibles si en algún momento se demuestra que p y q son distinguibles. El funcionamiento del algoritmo se puede resumir en lo siguiente: ĺıneas 1 2 Si p es un estado final y q es un estado no final, entonces debemos marcarlos como distinguibles. ĺınea 3 De aquí en adelante consideramos pares de estados que son sólo finales o sólo no finales. ĺıneas 4 7 Si a partir de (p, q) se llega, procesando el símbolo a, a un par de estados que ya se sabe que son distinguibles, entonces p y q son distinguibles, pero también todos los pares que están en la lista de L[p, q] y (recursivamente) todos los que están en las listas de aquéllos. Se marcan todos estos estados. ĺıneas 8 10 En caso contrario (no hemos podido demostrar que p y q son distinguibles) agregamos (p, q) a las listas L[δ(p, a), δ(q, a)], para cada a Σ. Esto se realiza porque p y q son distinguibles si algún par (δ(p, a), δ(q, a)) lo es. Jorge Baier Aranda, PUC 45

9 Corrección del Algoritmo Demostraremos que si dos estados del AFD son distinguibles, entonces, el algoritmo los encuentra. Supongamos que p y q son distinguibles y que x es la palabra más corta que los distingue. Demostraremos por inducción en el largo de x que el par (p, q) es marcado por el algoritmo. Caso base (x = ε). Necesariamente, exactamente un estado entre p y q es final y por lo tanto, (p, q) es marcado en las ĺıneas 1 2. Inducción. Suponemos que la hipótesis se cumple para todo x k. Sea w = ay tal que w = k. Sea t = δ(p, a) y u = δ(q, a). Necesariamente, el string y distingue a (t, u). Por hipótesis inductiva, entonces, el par (t, u) es eventualmente marcado por el algoritmo. Jorge Baier Aranda, PUC 46

10 Cuando el algoritmo revisa el par (p, q) tenemos 2 casos posibles: 1. El algoritmo ya marcó a (t, u). En este caso, el par (p, q) es marcado en las ĺıneas El algoritmo aún no ha marcado al par (t, u). En este caso, por las ĺıneas 8 9, (p, q) es agregado a la lista L[t, u]. Cuando el par (t, u) sea marcado entonces (p, q) también será marcado (por las ĺıneas 4 7), porque se encuentra en la lista asociada a (t, u). Teorema. El AFD construido por el algoritmo de minimización a partir de M, sin los estados inaccesibles, es el AFD mínimo para L(M). Jorge Baier Aranda, PUC 47