Tema 6: Máquina de Turing

Transcripción

1 Tema 6: Máquina de Turing Departamento de Sistemas Informáticos y Computación p.1/28

2 Tema 6: Máquina de Turing La Máquina de Turing. Máquinas de Turing como aceptores Otros modelos de máquina de Turing Máquinas de Turing como computadores de funciones Máquinas de Turing como enumeradores Propiedades de cierre p.2/28

3 La Máquina de Turing Vión descriptiva Cinta semi-infinita dividida en celdas Control finito Cabezal de lectura/escritura En cada momento, cada celda contiene un símbolo del alfabeto de cinta Los símbolos de la palabra inicial pertenecen al alfabeto de entrada. El resto de la cinta contiene Movimientos: En función del estado del C.F. y del símbolo accedido por el cabezal, la máquina puede: Cambiar de estado Cambiar el símbolo contenido en la calla accedida Desplazar el cabezal una poción a derecha o izquierda p.3/28

4 La Máquina de Turing Vión descriptiva Los movimientos se repiten hasta que: La máquina entra en estado final (se detiene aceptando la entrada) La máquina intenta acceder a la celda a la izquierda de la celda inicial (se detiene rechazando la entrada) La máquina entra en una tuación para la que no hay definido movimiento (se detiene rechazando la entrada) Puede ocurrir que ante determinada entrada, la máquina ga realizando movimientos indefinidamente n aceptar ni rechazar dicha entrada p.4/28

5 La Máquina de Turing Ejemplo: 0 1 q 0 (q 0,0,R) (q 0,1,R) (q 1,,L) q 1 (q 2,1,R) F = {q 2 } q q q q q q q 2 p.5/28

6 La Máquina de Turing Descripción formal M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, F ) donde: Q: conjunto de estados Σ: alfabeto de entrada Γ: alfabeto de cinta (Σ Γ) δ: función de tranción δ : Q Γ Q Γ {L, R} q 0 : estado inicial : mbolo blanco ( Γ Σ) F : conjunto de estados finales Descripción instantánea: secuencia de la forma α 1 qα 2 donde a 1, α 2 Γ y q Q. Describe la tuación de una MT La cinta contiene la cadena α 1 α 2 seguida de infinitos blancos. El cabezal señala el primer símbolo de α 2 p.6/28

7 La Máquina de Turing Definiciones Sobre el conjunto de descripciones instantáneas se define la relación movimiento ( ): Suponiendo que en un instante, la descripción de una MT es: x 1 x 2... x i 1 qx i x i+1... x n, Si δ(q, x i ) = (p, y, L) x 1 x 2... px i 1 yx i+1... x n, (i > 1) Si δ(q, x i ) = (p, y, R) x 1 x 2... x i 1 ypx i+1... x n Si D 1, D 2 son dos descripciones instantáneas: D 1 D 2 el hecho que D 1 pasa a D 2 en un movimiento D 1 D2 el hecho que D 1 pasa a D 2 en cero o más movimientos p.7/28

8 Máquinas de Turing como aceptores Una palabra x es aceptada por una máquina de Turing M i a partir de la descripción inicial se llega a una con estado final x L(M) q 0 x α 1 qα 2 con α 1, α 2 Γ y q F L(M) = {x Σ q 0 x α 1 qα 2, α 1, α 2 Γ, q F } Un lenguaje es recurvamente enumerable es aceptado por una máquina de Turing Un lenguaje es recurvo es aceptado por una máquina de Turing que se detiene ante todas las entradas p.8/28

9 Máquinas de Turing como aceptores Ejemplo 1: Sea el lenguaje L formado por las palabras sobre Σ = {0, 1} que contienen al menos un 1: M q 0 (q 0,0,R) (q 1,1,R) q 1 F = {q 1 } M q 0 (q 0,0,R) (q 1,1,R) (q 0,,L) q 1 F = {q 1 } Ambas máquinas reconocen L M 2 no se detiene para 0 M 1 se detiene ante cualquier entrada. L es recurvo p.9/28

10 Máquinas de Turing como aceptores Ejemplo 2: Máquina que acepta el lenguaje de palabras sobre {0, 1} que comienzan y acaban con el mismo símbolo (0/0/R) (1/1/R) (0/0/R) q 1 ( / /L) q 3 (0/0/R) q 0 (0/0/R) (1/1/R) q 5 (1/1/R) q 2 ( / /L) q 4 (1/1/R) p.10/28

11 Máquinas de Turing como aceptores Ejemplo 3: Máquina que acepta el lenguaje de palíndromos sobre {0, 1} (0/0/R) (1/1/R) q 1 (0/ /R) (1/ /R) ( / /R) q 0 ( / /L) q 6 ( / /R) ( / /R) q 3 (0/ /L) q 5 (0/0/L) (1/1/L) (0/0/R) (1/1/R) q 2 ( / /R) ( / /L) q 4 (1/ /L) p.11/28

12 Otros modelos de máquinas de Turing Máquina con cinta infinita en ambos sentidos M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, F ) Respecto el modelo báco, ante la descripción instantánea qaα y disponiendo de la tranción δ(q, a) = (p, b, L): El modelo báco para Este modelo conduce a la D.I. p bα Teorema: Un lenguaje L es reconocido por una máquina de Turing con cinta infinita y solo L es reconocido por una máquina de Turing con cinta semiinfinita p.12/28

13 Otros modelos de máquinas de Turing Máquina multicinta La máquina dispone de tantos cabezales independientes como cintas Una cinta (la primera) contiene la entrada. Las demás están en blanco Cada movimiento viene determinado por el estado y por los símbolos leidos por los distintos cabezales: Cambiando de estado Sustituyendo los símbolos en las cintas accedidas Desplazando (L, R) o no (S) la poción del cabezal de cada cinta (nueva opción) ejemplo de movimiento en una máquina con tres cintas: δ(q, x 1, x 2, x }{{} 3 ) = (p, y 1, y 2, y 3, m }{{} 1, m 2, m 3 ), m }{{} i {L, R, S} símbolos símbolos movimientos p.13/28

14 Otros modelos de máquinas de Turing Máquina multicinta M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, F ) δ : Q Γ k Q (Γ { 1, 0, 1}) k Desc. Intantanea: (α 1 qβ 1, α 2 qβ 2,..., α k qβ k ) Lenguaje aceptado: (α i, β i Γ, q F ) L(M) = {x Σ : q 0 x, q 0,..., q 0 (α 1 qβ 1,..., α k qβ k )} Teorema: Un lenguaje L es reconocido por una máquina de Turing multicinta y solo L es reconocido por una máquina de Turing estandar p.14/28

15 Otros modelos de máquinas de Turing Máquina no determinista Máquina de Turing con una única cinta y control finito único δ : Q Γ P(Q Γ {L, R}) δ(q, a) = {(p 1, a 1, z 1 ), (p 2, a 2, z 2 ),..., (p n, a n, z n )} donde: p i Q, a i Γ y z i {L, R} Teorema: Un lenguaje L es reconocido por una máquina de Turing no detereminista y solo L es reconocido por una máquina de Turing estandar p.15/28

16 Otros modelos de máquinas de Turing Máquina multicabezal Un único movimiento permite desplazar independientemente las n cabezas de la máquina sobre la única cinta. Máquina multidimenonal Máquina con una matriz de celdas k dimenonal infinita como cinta. En función del estado y el símbolo analizado, la máquina cambia de estado y desplaza el cabezal de lectura en una de las 2k direcciones. p.16/28

17 Máquinas de Turing como computadores de funciones La máquina de Turing puede verse como un computador de funciones enteras f : Z n Z m Función parcial vs. función total Para codificar los valores de entrada y salida adoptamos la guiente convención: cod(x 1, x 2,..., x n ) = 0 x 1 10x x n p.e: cod(2, 1, 3, 2) = ; cod(0, 3) = 1000; cod(2, 0, 1) = 00110; cod(0, 0, 1) = 110 Se dice que una máquina de Turing M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) calcula la función f : Z n Z m y solo M para tras la computación: q 0 cod(x 1, x 2,..., x n ) M αqβ donde: αβ = cod(f(x 1, x 2,..., x n )) p.17/28

18 Máquinas de Turing como computadores de funciones Ejemplo: diferencia propia: m n = { m n m n 0 en otro caso M = ({q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6 }, {0, 1}, {0, 1, }, δ, q 0,, ) M q 0 (q 1,, R) (q 5,, R) q 1 (q 1, 0, R) (q 2, 1, R) q 2 (q 3, 1, L) (q 2, 1, R) (q 4,, L) q 3 (q 3, 0, L) (q 3, 1, L) (q 0,, R) q 4 (q 4, 0, L) (q 4,, L) (q 6, 0, R) q 5 (q 5,, R) (q 5,, R) (q 6,, R) q 6 p.18/28

19 Máquinas de Turing como transductores Podemos conderar que una máquina de Turing computa una determinada función sobre una cadena (o un conjunto de ellas) en lugar de computarla sobre un conjunto de enteros En este caso hablamos de transducción ejemplos sencillos son: Dividir una palabra en dos Aplicar un homomorfismo Desplazar (rotar) los mbolos un número de veces a derecha o izquierda p.19/28

20 Máquinas de Turing como enumeradores Sea una máquina de Turing M multicinta que posee una cinta de solo escritura (salida) cuyo cabezal no se desplaza nunca a la izquierda. M escribe cadenas sobre la cinta de salida separadas por un símbolo especial de separación #. contenido de la cinta de salida: x 1 #x 2 #... #x n #... donde x i Σ Lenguaje generado por M: G(M) = {x 1 #x 2 #... #x n #...} Notese que L = G(M) es finito a no ser que M no pare nunca Todo lenguaje recurvo puede ser generado por una máquina de Turing en orden lexicográfico p.20/28

21 Construcción de máquinas de Turing Una vez definida la máquina de Turing y sus variaciones, puede estudiarse que problemas pueden resolverse mediante una máquina de Turing Podemos conderar máquinas de Turing como subrutinas para la construcción de otras máquinas más complejas. Podemos conderar máquinas mples: Máquinas generadoras de un lenguaje Máquinas que aceptan lenguajes recurvos (paran para toda entrada) Máquinas que aceptan lenguajes r.e. (paran para toda palabra que pertenece al lenguaje) Máquinas que computan alguna función o transducción Podemos representar estas máquinas como cajas negras, pudiendo utilizar el resultado que devuelven como entrada o señal de activación de otras máquinas. p.21/28

22 Construcción de máquinas de Turing Ejemplo: w M 1 no start M 2 no no p.22/28

23 Propiedades de cierre Dado un lenguaje recurvo L, su complementario es recurvo Sea M 1 una máquina de Turing que reconoce L w M 1 no no p.23/28

24 Propiedades de cierre La clase de los lenguajes recurvos es cerrada bajo unión Sean dos lenguajes rec. L 1, L 2 y dos máquinas de Turing M 1 y M 2, tales que L 1 = L(M 1 ) y L 2 = L(M 2 ) w M 1 no start M 2 no no p.24/28

25 Propiedades de cierre La clase de los lenguajes recurvos es cerrada bajo intersección Sean dos lenguajes rec. L 1, L 2 y dos máquinas de Turing M 1 y M 2, tales que L 1 = L(M 1 ) y L 2 = L(M 2 ) w no no M 1 start M 2 no p.25/28

26 Propiedades de cierre La clase de los lengujes recurvamente enumerables es cerrada bajo unión Sean dos lenguajes r.e. L 1, L 2 y dos máquinas de Turing M 1 y M 2, tales que L 1 = L(M 1 ) y L 2 = L(M 2 ). (M 1 y M 2 únicamente aseguran el fin de la computación la entrada pertenece al lenguaje) w M 1 M 2 p.26/28

27 Propiedades de cierre Si L es recurvamente enumerable y L es recurvamente enumerable, entonces L es recurvo Sean dos máquinas de Turing M 1 y M 2, tales que L = L(M 1 ) y L = L(M 2 ). w M 1 M 2 no p.27/28

28 Propiedades de cierre Dados un lenguaje L y su complementario L, únicamente pueden darse las guientes tuaciones: Tanto L como L son recurvos El lenguaje L es recurvamente enumerable (no recurvo) y L no es recurvamente enumerable Los lenguajes L y L no son recurvamente enumerables p.28/28