NÚMEROS RACIONALES Q

Transcripción

1 NÚMEROS RACIONALES Q Es el número ue se uede exresar como el cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción 0. El conjunto se uede reresentar Q {, Z 0} {..., 2, 2, 1, 0, 1 8, 2 7, 1,... } CARACTERISTICAS Los números enteros son racionales, ues se ueden exresar como cociente de ellos mismos or la unidad: Si a Z a a 1 Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. Así como en el conjunto de los números enteros (Z) cada número tiene un sucesor (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no asa lo mismo con los racionales, ues entre cada dos números racionales existen infinitos números. Al exresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal eriódico. PROPIEDADES Este conjunto hereda todas las roiedades del conjunto de los números enteros (Z) ara las oeraciones de adición y multilicación. En la multilicación aarece la roiedad del INVERSO MULTIPLICATIVO ó RECIPROCO (a 1 ); la cual establece ue: Todo número racional multilicado or su reciroco da como resultado el neutro o módulo de la multilicación (1). a Q a 0, a 1 tales ue a. a 1 1 Ejemlo: El reciroco de 2 es Ejemlo: El reciroco 2 es 2, uesto ue ( 2 ). ( 2 ) 1 OBSERVE: - Los miembros de esta clase se escriben como números de la forma /, en donde y son cualesuiera números enteros. Donde 0 - Los elementos del conjunto de NÚMEROS RACIONALES están ordenados, en el sentido de ue si a/b y c/d son dos racionales, y si a/b c/d, entonces debe cumlirse ue a/b < c/d, o ue a/b > c/d.

2 - Dos números racionales cualesuiera, a/b y c/d, en los ue se cumle ue a/b < c/d, constituyen en si mismos un conjunto esecial llamado intervalo cerrado, el cual tiene la PROPIEDAD DE DENSIDAD. Dicha roiedad establece ue entre dos números racionales así definidos uede establecerse una infinidad de números racionales de la forma m/n, tales ue ara cualuiera de ellos se odrá establecer ue a/b m/n c/d. - En un intervalo cerrado cualuiera de números racionales uede establecerse un rimer y un último elemento, ero la cantidad de números definibles entre estos dos no odrá contarse. Dicho intervalo se definirá en forma extensiva asi I {a/b,..., c/d}, donde a/b y c/d serán el rimer y el último elemento resectivamente. - El conjunto de NÚMEROS RACIONALES no tiene un rimer elemento ue ueda llamarse el menor, ni un último elemento ue ueda llamarse el mayor, or lo ue será un conjunto infinito. Tal clase de elementos rimero y último no ueden definirse. - El conjunto de NÚMEROS RACIONALES y cualuier INTERVALO CERRADO definido entre dos de sus elementos comartirán la característica de no oder enumerarse, o de oder indicarse cuantos elementos tienen, ero no la característica de no tener mayor y menor elemento. De alguna manera, se uede hacer ue un intervalo cualuiera de números racionales se arezca al mismo conjunto de racionales, ero sin llegar a ser igual a éste. Los números racionales manifiestan la tendencia de acercarse el uno al otro indefinidamente, lo cual los hace buenos símbolos ara reresentar la recisión de una medida. - Los números racionales definidos en el intervalo abierto -1 < a/b < 0 o en el intervalo abierto 0 < a/b < 1 se reresentan con un numerador a de menor valor absoluto ue el valor absoluto de su denominador b, y recibirán el nombre de FRACCIONES PROPIAS o VERDADERAS FRACCIONES DE LA UNIDAD. - Todos los números racionales ue no estén definidos en cualuiera de estos intervalos serán llamados FRACCIONES IMPROPIAS. - En el conjunto de NÚMEROS RACIONALES estarán bien definidas las oeraciones binarias de SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DIVISION Y POTENCIACION, ero no la oeración de RADICACION. - Los elementos del conjunto de NUMEROS RACIONALES reresentan satisfactoriamente a cualuier elemento del conjunto de NÚMEROS ENTEROS y del conjunto de NÚMEROS NATURALES. En consecuencia el conjunto Q {, } se constituye en una reresentación del conjunto de NÚMEROS RACIONALES. Proiedad aruimediana: el conjunto es denso en or construcción misma de ; es decir, ara cualuier areja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos. FSC

3 REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA A cada unto en la recta se asocia un número racional. Entre cada ar de números racionales existe otro número racional. Se uede establecer el orden entre números racionales, ero no se uede decir cuál es el sucesor o antecesor de un número racional. OPERACIONES: SUMA - RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN IGUAL DENOMINADOR ± m ± m. m n. m. n m n. n. m DISTINTO DENOMINADOR También se uede realizar: m n. n. n m. m Otra forma (Algoritmo de la suma) ± m n n ± m. n Observe: Es lo mismo ue realizar

4 OTRA DEFINICIÓN DE NÚMERO RACIONAL Toda exresión decimal finita o eriódica reresenta un número racional. Teniendo en cuenta el siguiente cuadro: Se uede convertir un número racional de la forma ( ), 0 a su resectiva clase de euivalencia en forma decimal. Ejemlo: 1 2 0,5 ó 0, 0, El `roceso inverso ara convertir una exresión decimal finita, eriódica o mixta a una exresión de la forma ( ), 0, reuiere de unas técnicas ue se detallaran a continuación: FSC

5 CASO 1 CONVERSIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES EXACTOS A LA FORMA ( ), 0 Dado el caso del número decimal 0,5 Para ello decimos lo siguiente: Sea X 0,5 Como la exresión tiene un solo digito a artir del unto decimal, entonces multilicamos or. Si la exresión decimal tiene más dígitos a artir del unto decimal entonces multilicamos or múltilos de según el caso. Luego tenemos: Desués se deseja la variable: X 0,5. X 5 X 5 X 1 2 CASO 2 CONVERSIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES PERIÓDICOS PUROS A LA FORMA ( ), 0 Dado el caso del número decimal 0, 0, Sea X 0, Luego multilicamos or X 0,. () Asi tenemos: X,

6 Luego restamos las ecuaciones: Entonces X 9 X 1 CASO CONVERSIÓN DE EXPRESIONES DECIMALES PERIÓDICOS MIXTOS A LA Dado el caso del número decimal,2456 FORMA ( ), 0 Sea X,2456 Multilicando or la otencia de ue tenga la cantidad de cifras ue antes del eriódo; en este caso se multilica or 00 Luego tenemos 00 X,2456 (00) X 24, 56 Ahora se multilica la nueva igualdad or múltilos de de acuerdo a la cantidad de dígitos ue se obtengan en la nueva ecuación. 00 (0)X 24, 56 (0) 0.000X 2456, 56 Restamos las ecuaciones y desejamos la variable: X FSC