Matemáticas Discretas Tc1003 Lógica Matemática. Lógica Matemática

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1 OBJETIVOS Unidad Tema Subtema Objetivos II 2.1 Lógica Proosicional 2.2 Lógica de Predicados 2.3 Métodos de Demostración El establecimiento de cualuier teoría o conceto se hace mediante declaraciones y/o afirmaciones llamadas enunciados o roosiciones ue tienen un valor de verdad o falsedad ero no ambos. Conocer y manejar estas roosiciones es el objetivo de este tema. Para ello se definen dos rinciales concetos: roosición y conectivo. Conocer, entender y alicar los concetos de: Lenguaje roosicional: Proosición rimitiva Proosición comuesta Conectivo lógico: o Conjunción o Disyunción o Imlicación o Bicondición o Tautología o Contradicción o Contingencia o Euivalencia lógica En muchas ocasiones es necesario conocer si dos situaciones son iguales o euivalentes. En matemáticas necesitamos saber cuando dos entidades son iguales o esencialmente lo mismo. En la lógica matemática se conoce como el álgebra de las roosiciones en donde or medio de euivalencias se establece cuando dos roosiciones son esencialmente la misma Es objetivo de este tema conocer las leyes de la lógica ara oder establecer euivalencias. Conocer, entender y arender las siguientes leyes de la lógica: Semántica de lógica roosicional: Ley de la doble negación Leyes de Morgan Leyes Conmutativas Leyes asociativas Leyes distributivas 1

2 Leyes idemotencia Leyes de neutro Leyes de dominación Leyes inversa Leyes de absorción Para analizar la demostración de teoremas dentro de las matemáticas discretas se estudia el conceto de argumento y de cuándo un argumento es válido. Conocer, entender y arender las reglas de inferencia de: Imlicación Regla de Searación: Modus Ponens Método de negación: Modus Tollens Ley del silogismo: Imlicación lógica Regla de conjunción Regla de contradicción Regla de amlificación Métodos de demostración Método del absurdo 2

3 2 Lógica matemática INTRODUCCIÓN Lógica es el estudio del razonamiento; se refiere esecíficamente a si el razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y no en el contenido de una afirmación en articular. Los métodos lógicos se usan en matemáticas ara demostrar teoremas y en las ciencias de la comutación, ara robar ue los rogramas ejecutan lo ue deben de hacer. [Johnsonbaugh, 1] El lenguaje natural es un instrumento de comunicación humana, ue se caracteriza or su gran flexibilidad y uede estar lleno de redundancias y ambigüedades. Estas características hacen ue la lógica formal no esté interesada en el lenguaje natural. La lógica retende ser una ciencia rigurosa y universal ue ermita realizar cálculos exactos. Para ello, la lógica reuiere el diseño de un lenguaje artificial ue sea formal, donde lo ue imorte sea la forma o asecto externo, y no el significado de las frases y donde sólo los mensajes ue cumlan rigurosamente las normas sintácticas sean acetados como correctos. La lógica se ocua básicamente de declaraciones o enunciados ue se caracterizan orue sus afirmaciones tienen un valor de verdad. Esto es, la lógica trata a las roosiciones ue se ueden definir como enunciados simles, ya sean falsos o verdaderos, son roosiciones. La lógica formal es una ciencia ue estudia el conocimiento ue genera un conocimiento y este conocimiento uede roducirse de dos formas, or constatación, de hechos o ideas o or deducción, a artir de un conocimiento se obtiene otro conocimiento. Esto es, la lógica formal estudia la deducción o razonamiento como roceso mental caaz de generar nuevos elementos de conocimiento a artir de otros. Finalmente, la lógica formal es una ciencia. Una ciencia formal. Es el estudio del razonamiento formalmente válido, es la ciencia de la inferencia deductiva. La rincial aortación ue la lógica hace a las ciencias está en la ordenación, estructuración y análisis de las verdades conocidas.. [Arenas, 3] 3

4 2.1.1 Lenguaje formal de la lógica roosicional (sintaxis) El lenguaje formal de la lógica roosicional está formado or dos elementos: roosiciones y conectivos. Proosiciones Proosición o enunciado: oración declarativa ue es verdadera o falsa ero no ambas [Grimaldi, 51] Proosiciones, frases declarativas simles: son la mínima unidad del lenguaje con contenido de información sobre la ue es osible enunciarse con un verdadero o con un falso como valor de verdad. [Arenas, 5] Las roosiciones se reresentan con letras minúsculas a artir de la :,, r, s, t, u, v Las roosiciones ueden ser de tres tios: Proosiciones de acción con sujeto no determinado: o Hace calor o Es jueves Proosiciones de atribución de roiedades a sujetos determinados: o Alberto estudia ingeniería o Beatriz vive en Cuernavaca o Carlos nació en México Proosiciones de relación: o Alberto es rimo de Beatriz o Cuernavaca es la caital del estado de Morelos o Para ir a Monterrey or carretera se asa or los estados de Distrito Federal, Querétaro, Estado de México, Guanajuato, San Luis Potosí y Coahuila. No son roosiciones auellas declaraciones de tio interrogativo e imerativo: o Habla usted inglés? o Cierra la ventana Por favor, aaga la luz Las roosiciones son oraciones declarativas Pueden ser FALSAS: F o 0 VERDADERAS: V o 1 Valor de verdad Proosición rimitiva: no se uede descomoner [Grimaldi, 52]. 4

5 Conectivos: son los elementos del lenguaje ue ermiten construir frases nuevas a artir de las existentes obteniendo nuevos significados. [Arenas, 5] Conectivos conectivo Símbolo lógico Exresión en lenguaje natural Ejemlos Negación Conjunción ( y ) Disyunción ( 0 ) Condicional imlicación Bicondicional doble imlicación No No ocurre ue No es cierto ue Es falso ue y aunue ero sin embargo no obstante a esar de o o ambos O bien o bien Al menos o Como mínimo o si entonces sólo si entonces es suficiente ara es necesaria ara No a menos ue si y solo si necesario y suficiente ara Hoy no hace calor No llegaré tarde Eso no es verdad Vamos al cine y a cenar también Luis trabaja aunue estudia de noche Llegué a tiemo no obstante haber salido tarde O vamos al cine o vamos a cenar O me saco un 7 o me saco un 8 Si saco 8 entonces mi romedio arobatorio Si saco 8 en el arcial tendré el romedio arobado Para tener el romedio arobado debe de sacar 8 Voy de vacaciones si y solo si aruebo todas mis materias Proosición comuesta: combinación de roosiciones or medio de conectivos lógicos [Kolmar, 47]. 5

6 Euivalencia entre conectivos 13 : 1. Imlicación disyunción: es euivalente a. Ejemlo: si llueve entonces me mojo, es euivalente a decir, o no llueve o me mojo. 2. Imlicación conjunción: es euivalente a ( ). Ejemlo: si llueve entonces me mojo, es euivalente a decir, no ocurre ue llueva y no me moje. 3. Disyunción conjunción: es euivalente a ( ). 4. Bicondicional imlicación: es euivalente a ( ) ( ) Sintaxis Definición formal del lenguaje roosicional La definición formal de un lenguaje reuiere la esecificación de su alfabeto y de sus reglas de sintaxis Alfabeto: los símbolos ue se utilizan son a. Símbolos de roosiciones:,, r, s, t, u, v b. Símbolos de conectivos:,,,, c. Símbolos de aréntesis: { [ ( ) ] } 2. Reglas de sintaxis: 1ª Las fórmulas bien construidas (fbc) del lenguaje roosicional se definen de la siguiente manera: a. Las letras,, r, s, t, u, v son fbc b. Si y son fbc también lo son y c. Sólo son fbc las ue se obtienen de las definiciones anteriores (a y b) 2ª Para la correcta relación entre roosiciones y conectivos las fbc: a. No deben aarecer dos conectivos adyacentes, exceto en la negación. b. Es reciso definir la relación conectivo-roosición cuando hay más de un conectivo en la fórmula: Un conectivo ertenece a la roosición inmediata o al conjunto de roosiciones encerradas en un aréntesis, corchete o llaves. Para evitar exceso de aréntesis, se define una jeraruía de rioridades entre conectivos: o Nivel 1 : negación o Nivel 2: conjunción y disyunción o Nivel 3: imlicación y bicondicional 13 En el tema demostración de euivalencias se demostrará las siguientes euivalencias 14 Sintaxis son las reglas ue define cualuier lenguaje. 6

7 2.1.2 Semántica de lógica roosicional Un sistema de fórmulas y razonamientos válidos se construye a artir del significado (verdadero o falso) de las roosiciones comuestas, esto es, a artir de la forma de dar un valor al contenido de la información de cada roosición. Se llama semántico 15 al método de demostración de los valores del significado de una roosición comuesta. La forma en cada conectivo genera los valores de una roosición comuesta es or medio de una tabla de verdad en donde se definen todas las combinaciones osibles de los valores ue ueden tener el conjunto de roosiciones simles ue hacen una roosición comuesta. Cálculo roosicional Tablas de verdad de conectivos 15 Semántica define el significado de los signos de un lenguaje. 7

8 En resumen: Tautología, contradicción y contingencia TAUTOLOGÍA T 0 : Cuando una roosición comuesta es verdadera ara todos los valores de verdad. CONTRADICCIÓN F o : Cuando una roosición comuesta es falsa ara todos los valores de verdad. CONTINGENCIA: Proosición ue uede ser falsa o verdadera deendiendo de los valores de verdad. Ejemlos: ( ) ( ) Tautología ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Contradicción Contingencia 8

9 Euivalencias lógicas Proosición euivalente: Cuando todos los valores son siemre verdadero o falso. Ejemlo: euivalentes ( ) ( ) ( ) ( ) euivalentes Dos roosiciones S 1 y S 2 son lógicamente euivalentes (se escribe S 1 S 2 ) cuando la roosición S1 es verdadera (resectivamente falsa) si y solo si la roosición S2 es verdadera (resectivamente falsa). 9

10 Leyes de la lógica ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( r ) ( ) r ( r ) ( ) r ( r ) ( ) ( r) ( r ) ( ) ( r) F 0 T 0 T 0 T 0 F 0 F 0 T 0 F 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Ley de la doble negación Leyes de Morgan Leyes conmutativas Leyes asociativas Leyes distributivas Leyes ídem otentes Leyes de neutro Leyes de dominación Leyes inversa Leyes de absorción 10

11 Reglas de sustitución 1) Si P (una roosición comuesta) es una tautología y (una roosición rimitiva) aarece en P. Si se reemlaza or otra roosición y resulta P1 entonces P 1 también es una tautología. Ejemlo: P: es una tautología Reemlazar or r s r s r s también es una tautología P 1 : [ ( ) ] [( ) ] 2) Sea P una roosición comuesta donde es una roosición arbitraria ue aarece en P, y sea una roosición tal ue. Si se reemlaza or resulta la roosición P1. Entonces P1 P. Ejemlo: F 0 F P: ( ) 0 Si se reemlaza or ( r) s P1: [ [ ( r) s] F 0 ] F0 Alicación: [ ( r s) [ ( r s) ( t u) ] ] ( t u) si r s y t u [ ( ) ] [ ( ) ] ( )

12 NAND ( ) Otras euivalencias ( ) ( ) se lee como: nand. Tabla de verdad NAND NOR ( ) ( ) ( ) se lee como: nor. Tabla de verdad NOR