q = p El conjunto de todas las fracciones racionales se designará en este caso por R(X) y se considerará R[X] R(X).

Transcripción

1 Fracciones Racionales. Introucción. El conjunto R[X] e los olinomios con coeficientes reales, rovisto e la aición y multilicación ue ya conocemos, es un anillo conmutativo con elemento unia. Es ecir, ambas oeraciones son conmutativas, asociativas y oseen elemento neutro: el cero y el uno, resectivamente. En la aición, caa elemento tiene un ouesto aitivo, lo ue significa ue ara caa R[X], existe R[X] tal ue + = 0 (i.e. = ). Por último, la multilicación es istributiva resecto e la aición. Toas estas roieaes son las mismas ue ocurren en el caso el conjunto e los números enteros Z, con sus resectivas aición y multilicación. En el caso e Z, la ausencia e inversos multilicativos se resuelve con la construcción e los números racionales Q, ue contiene los elementos e la forma a, con a, b Z, b 0 y b consieramos Z Q. Esto hace e Q un cuero conmutativo, es ecir, un anillo conmutativo one too elemento istinto e cero es invertible ara la multilicación. Para el caso e R[X] se rocee e un moo similar. Si, R[X], 0, se llama una fracción racional a un elemento e la forma. Es imortante consierar la siguiente efinición e iguala entre fracciones racionales, tal como en el caso en Q : = =,,,, R[X], 0, 0. El conjunto e toas las fracciones racionales se esignará en este caso or R(X) y se consierará R[X] R(X). En R(X) se efine una aición y una multilicación e la misma forma como se han efinio esas mismas oeraciones en Q y las roieaes e estas oeraciones coincien con lo ya icho ara Q. Es ecir, R(X) resulta ser un cuero conmutativo. Ejemlos e fracciones racionales son: 3x 3 2x +, x 2 + x, x 2x 2 3, 5x3 2x + 3, 003 En lo ue sigue, nos reocuaremos sólo e un asecto referente a fracciones racionales: su escomosición. Esto es, aa una fracción racional, se uiere encontrar una

2 2 escomosición e ella como suma e fracciones racionales más simles, en algún sentio. Ello, orue estas escomosiciones facilitan algunos asectos el Cálculo Integral, como cuano se reuiere la integración e funciones reales rovenientes e funciones racionales, or ejemlo. 2. Descomosición e Fracciones Racionales. Consieremos tales ue R(X). Si gr gr, sabemos ue existen únicos, r R[X] De one = + r, con r = 0 ó gr r < gr = + r, gr r < gr () Es ecir, se uee escomoner una fracción racional en la suma e un olinomio (su arte entera ) y una fracción en ue el grao e su numeraor es inferior al grao el enominaor. En lo sucesivo nos reocuaremos e fracciones con esta última conición. Sea R(X), con gr < gr. Suongamos, aemás, ue =, con y relativamente rimos. Por lo tanto existen h, h 2 R[X] tales ue = h + h 2 = h + h 2 = = h + h 2 Nos interesa encontrar una escomosición tal ue ara caa sumano tenga un numeraor e grao inferior a su enominaor.

3 3 Diviieno h or y h 2 or se obtiene h = 2 + r 2, con r 2 = 0 o gr r 2 < gr Entonces h 2 = + r, con r = 0 o gr r < gr = ( 2 + r 2 ) + ( + r ) = 2 + r r = ( + 2 ) + r 2 + r Como gr( r 2 ) < gr y gr( r ) < gr, tenría ue ser gr = gr(( + 2 )). Pero gr < gr, or lo ue la última iguala no uee ocurrir, salvo ue + 2 = 0. De lo anterior, = r 2 + r = = r 2 + r con gr r i < gr i Por otra arte, suongamos ue hemos encontrao os escomosiciones = r + r 2 = r + r 2 con gr r i < gr i, gr r i < gr i. De auí, r r = r 2 r 2 (r r ) = (r 2 r 2 ) y como es rimo con, luego /(r 2 r 2 ). Pero gr(r 2 r 2 ) < gr, or lo ue ebe ser r 2 r 2 = 0. Del mismo moo r = r. Too esto nos asegura la unicia e la escomosición en estas coniciones.

4 4 En efinitiva, hemos emostrao la siguiente: Proosición: Si R(X), gr < gr, = con y relativamente rimos, entonces se uee escribir, e una única manera Corolario: = r + r 2, con gr r i < gr i (2) Usano la roosición anterior reiterativamente, se obtiene... k = k k, gr i < gr i (3) sieno i relativamente rimo con j, too i j. Recoremos ue los olinomios irreucibles en R[X] son sólo olinomios e grao ó grao 2. Consieremos ahora fracciones racionales cuyo enominaor son otencias e icho tio e olinomios. Sea = (x a) n, a R, R[X] con gr < n. Diviieno or (x a) se tiene = (x a) + a, con a R. Entonces (x a) n = (x a) n + a (x a) n. Del mismo moo (x a) n = (x a) n 2 + a 2 (x a) n, gr < n 2, a 2 R Se reitera el roceimiento hasta obtener (x a) n = a (x a) n + a 2 (x a) n a n (x a), a i R (4)

5 5 Consieremos ahora el caso = (ax 2 + bx + c) n, one ax 2 + bx + c R(X) es irreucible. Diviieno or ax 2 + bx + c, resulta y = (ax 2 + bx + c) + (a x + b ), con a, b R (ax 2 + bx + c) n = (ax 2 + bx + c) n + a x + b (ax 2 + bx + c) n Se reitera el roceimiento, con finalmente (ax 2 +bx+c) n y asi sucesivamente, hasta ue resulta (ax 2 + bx + c) = a x + b n (ax 2 + bx + c) + a 2 x + b 2 n (ax 2 + bx + c) a n x + b n n (ax 2 + bx + c), a i, b i R. Obs: Too el tratamiento anterior se efectua el mismo moo ara las fracciones racionales C(X) e C[X]. Basta llegar a la escomosición (4), ues los únicos olinomios irreucibles en C[X] son e grao. (5) 3. Ejemlos. a) Descomoner la fracción racional 2x 3 x 2 3x+2 R(X). Auí x 2 3x + 2 = (x 2)(x ) es reucible. Por lo tanto 2x 3 (x 2)(x ) = a x 2 + = (a+b)x (a+2b) (x 2)(x ) b = a(x )+b(x 2) x (x 2)(x ) Comarano coeficientes: a + 2b = 3, a + b = 2. También, si se uiere: x = = b x = 2 = a En too caso, 2x 3 x 2 3x+2 = x 2 + x

6 6 b) Descomoner x(x 2 +x+) 2 La forma e la escomosición eberá ser: R(X) (x 2 + x + ) es irreucible en R[X]. = a + bx+c + x+e x(x 2 +x+) 2 x (x 2 +x+) 2 x 2 +x+ = a(x2 +x+) 2 +x(bx+c)+(x+e)(x 2 +x+)x x(x 2 +x+) 2 Entonces: x = 0 a = El coeficiente e x 4 en el numeraor e la erecha es a + y como ebe ser a + = 0, entonces =. El coeficiente e x 3 es 2a + + e = 0 e = x = a + b c + e = b = c. Si z C es tal ue z 2 + z + = 0, entonces z 2 b + zc =, e one z 2 b + zb = b(z 2 + z) = b( ) = b = = c. Un roceimiento más natural consiste en orenar el olinomio el numeraor e la erecha resecto a las otencias e x y luego comarar sus coeficientes con el olinomio el numeraor e la izuiera. Esto lleva a un sistema e ecuaciones, ue en este caso es e cinco incógnitas y cinco ecuaciones. En too caso x(x 2 + x + ) = x x + (x 2 + x + ) x + 2 (x 2 + x + ) iii) Descomoner la fracción racional 2x 2 +x+ (x ) 3 R(X). La escomosición será e la forma 2x 2 +x+ (x ) 3 = a (x ) 3 + b + (x ) 2 c, (x ) con a, b, c R = a+b(x )+c(x )2 (x ) 3 Si onemos y = x, es ecir, x = y +, resulta 2x 2 + x + = 2(y + ) 2 + (y + ) + = 2y 2 + 4y y + 2 = 2y 2 + 5y + 4

7 7 Igualano los numeraores e la fracción, se tiene e one y or lo tanto 2y = a + by + cy 2, a = 4, b = 5, c = 2 2x 2 + x + (x ) 2 = 4 (x ) (x ) (x ) Lo anterior es euivalente a esarrollar el numeraor e la erecha como olinomio en x a igualar coeficientes con el numeraor e la izuiera.