4.1 Antiderivadas o primitivas e integración indefinida

Transcripción

1 48 CAPÍTULO 4 Integración 4. Antierivaas o primitivas e integración inefinia Escribir la solución general e una ecuación iferencial. Usar la notación e la integral inefinia para las antierivaas o primitivas. Utilizar las reglas e la integración básicas para encontrar antierivaas. Encontrar una solución particular e una ecuación iferencial. EXPLORACIÓN Determinación e antierivaas o primitivas Para caa erivaa, escribir la función original F. a) F b) F c) F Antierivaas o primitivas Suponer que se ecie encontrar una función F cua erivaa es ƒ(). Por lo que se sabe e erivaas, es posible afirmar que F porque. La función F es una antierivaa e ƒ. ) F DEFINICIÓN DE UNA ANTIDERIVADA O PRIMITIVA e) f) F F cos Qué estrategia se usó para eterminar F? Se ice que una función F es una antierivaa o primitiva e ƒ, en un intervalo I si F () f() para too en I. Nótese que F es una antierivaa e f, en vez e la antierivaa e ƒ. Para entener por qué, observar que F, F 5 F 97 son toas antierivaas e ƒ(). De hecho, para cualquier constante C, la función aa por F() Ces una antierivaa e ƒ. TEOREMA 4. REPRESENTACIÓN DE ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS Si F es una antierivaa e ƒ en un intervalo I, entonces G es una antierivaa e f en el intervalo I si sólo si G es e la forma G() F() C, para too en I, one C es una constante. DEMOSTRACIÓN La prueba el teorema 4. en un sentio es irecta. Esto es, si G() F() C, F () ƒ(), C es constante, entonces G F C F 0 f. Para probar este teorema en otro sentio, se supone que G es una antierivaa e f. Se efine una función H tal que H G( F. Para cualesquiera os puntos a b (a b) en el intervalo, H es continua entro e [a, b] iferenciable entro e (a, b). Meiante el teorema el valor meio, H c H b H a. b a para algún c en (a, b). Sin embargo, H (c) 0, por consiguiente H(a) H(b). Dao que a b son puntos arbitrarios en el intervalo, se sabe que H es una función constante C. Así, G() F() C esto conlleva a que G() F() C.

2 SECCIÓN 4. Antierivaas o primitivas e integración inefinia 49 Si utiliza el teorema 4., puee representarse la familia completa e antierivaas e una función agregano una constante a una antierivaa conocia. Por ejemplo, sabieno que D [ ], es posible representar la familia e toas las antierivaas e ƒ() por G C Familia e toas las antierivaas e f(). one C es constante. La constante C recibe el nombre e constante e integración. La familia e funciones representaas por G es la antierivaa general e ƒ, G() C es la solución general e la ecuación iferencial. G. Ecuación iferencial. Una ecuación iferencial en es una ecuación que inclue a, a las erivaas e. Por ejemplo, son ejemplos e ecuaciones iferenciales. EJEMPLO Resolución e una ecuación iferencial C 0 Determinar la solución general e la ecuación iferencial. C C Solución Para empezar, eterminar una función cua erivaa es. Una función e esta característica es. es una antierivaa e. Ahora bien, utilizar el teorema 4. para concluir que la solución general e la ecuación iferencial es C. Solución general. Funciones e la forma = + C Figura 4. Las gráficas e varias funciones e la forma C se muestran en la figura 4.. Notación para antierivaas o primitivas Cuano se resuelve una ecuación iferencial e la forma f es conveniente escribirla en la forma iferencial equivalente f. La operación para eterminar toas las soluciones e esta ecuación se enomina antierivación (o integración inefinia) se enota meiante un signo integral. La solución general se enota meiante Variable e integración Constante e integración f F C. Integrano Una antierivaa e f NOTA En este teto, la notación f() F() C significa que F es una antierivaa o primitiva e f en un intervalo. La epresión ƒ() se lee como la antierivaa o primitiva e ƒ con respecto a. De tal manera, la iferencial e sirve para ientificar a como la variable e integración. El término integral inefinia es sinónimo e antierivaa.

3 50 CAPÍTULO 4 Integración Reglas básicas e integración La naturaleza inversa e la integración la erivación puee verificarse sustitueno F () por ƒ() en la efinición e integración inefinia para obtener F F C. La integración es la inversa e la erivación. Aemás, si f() F() C entonces f f. La erivación es la inversa e la integración. Estas os ecuaciones permiten obtener irectamente fórmulas e integración a partir e fórmulas e erivación, como se muestra en el siguiente resumen. Reglas básicas e integración Fórmula e erivación C 0 k k kf kf f ± g f ± g n n n sen cos cos sen tan sec sec sec tan cot csc csc csc cot Fórmula e integración 0 C k k C kf k f f ± g f ± g n n C, n cos sen C sen cos C sec tan C sec tan sec C csc cot C n csc cot csc C Regla e la potencia. NOTA La regla e la potencia para la integración tiene la restricción n. El cálculo e ebe esperar hasta el análisis e la función logaritmo natural en el capítulo 5.

4 SECCIÓN 4. Antierivaas o primitivas e integración inefinia 5 EJEMPLO Aplicación e las reglas básicas e integración Describir las antierivaas o primitivas e. Solución Regla el múltiplo constante. C C Reescribir como. Regla e potencia (n ). Simplificar. De tal manera, las antierivaas o primitivas e son e la forma C, one C es cualquier constante. Cuano se evalúan integrales inefinias, una aplicación estricta e las reglas básicas e integración tiene a proucir complicaas constantes e integración. En el caso el ejemplo, se poría haber escrito C C. Sin embargo, como C representa cualquier constante, es tanto problemático como innecesario escribir C como la constante e integración. De tal moo, C se escribe en la forma más simple, C. En el ejemplo, avertir que el patrón general e integración es similar al e la erivación. Integral original Reescribir Integrar Simplificar EJEMPLO Reescribir antes e integrar TECNOLOGÍA Algunos programas e software tales como Maple, Mathematica el TI-89, son capaces e efectuar simbólicamente la integración. Si se tiene acceso a estas herramientas e integración simbólica, utilizarlas para calcular las integrales inefinias el ejemplo. a) b) Integral original Reescribir Integrar C C Simplificar C C c) sen sen cos C cos C Recorar que, por simple erivación, puee comprobarse si una primitiva es correcta. Así, en el ejemplo b, para saber si la primitiva C es correcta, basta con erivarla para obtener D C. Usar la erivación para verificar la antierivaa.

5 5 CAPÍTULO 4 Integración Las reglas básicas e integración listaas antes en esta sección permiten integrar cualquier función polinomial, como se muestra en el ejemplo 4. EJEMPLO 4 Integración e funciones polinomiales a) Se entiene que el integrano es uno. C b) c) C C C La seguna línea en la solución suele omitirse C C C C C. Simplificar. AYUDA DE ESTUDIO Recorar que la respuesta puee verificarse por erivación. EJEMPLO 5 Reescribir antes e integrar C C C Reescribir como os fracciones. Reescribir con eponentes fraccionarios. Simplificar. NOTA Cuano se integren los cocientes, no ebe integrarse numeraor enominaor por separao. Esto es incorrecto tanto en la integración como en la erivación. Al respecto, obsérvese el ejemplo 5. no es lo mismo que C C. C EJEMPLO 6 Reescribir antes e integrar sen cos cos sen cos sec tan sec C Reescribir como un proucto. Reescribir utilizano ientiaes trigonométricas.

6 SECCIÓN 4. Antierivaas o primitivas e integración inefinia 5 4 C = 4 C = C = C = C = 0 C C C F() C C La solución particular que satisface la conición inicial F() = 4 es F() = Figura 4. (, 4) Coniciones iniciales soluciones particulares Se ha visto que la ecuación ƒ() tiene muchas soluciones (caa una ifirieno e las otras en una constante). Eso significa que las gráficas e cualesquiera os antierivaas o primitivas e ƒ son traslaciones verticales una e otra. Por ejemplo, la figura 4. muestra las gráficas e varias e las antierivaas o primitivas e la forma C Solución general. para iversos valores enteros e C. Caa una e estas antierivaas o primitivas es una solución e la ecuación iferencial. En muchas aplicaciones e la integración, se a suficiente información para eterminar una solución particular. Para hacer esto, sólo se necesita conocer el valor e F() para un valor e. Esta información recibe el nombre e conición inicial. Por ejemplo, en la figura 4., sólo una e las curvas pasa por el punto (, 4). Para encontrar esta curva, se utiliza la siguiente información. F C Solución general. F 4 Conición inicial. Utilizano la conición inicial en la solución general, es posible eterminar que F() 8 C, lo que implica que C. De tal moo, se obtiene F. Solución particular. EJEMPLO 7 Determinación e una solución particular Encontrar la solución general e F, > 0 (, 0) C = 4 C = C = C = C = 0 C eterminar la solución particular que satisface la conición inicial F() 0. Solución Para encontrar la solución general, se integra para obtener F C C, > 0. F() F (). Reescribir como una potencia. Solución general. C F() C C Utilizano la conición inicial F() 0, resolver para C e la manera siguiente. F C 0 C La solución particular que satisface la conición inicial F () 0 es F() ( ), 0 Figura 4. De tal moo, la solución particular, como se muestra en la figura 4., es F, > 0. Solución particular.

7 54 CAPÍTULO 4 Integración Hasta ahora, en esta sección se ha utilizao como variable e integración. En las aplicaciones, es a menuo conveniente utilizar una variable istinta. Así, en el siguiente ejemplo, la variable e integración es el tiempo t. EJEMPLO 8 Solución e un problema e movimiento vertical Una pelota se lanza hacia arriba con una velocia inicial e 64 pies por seguno a partir e una altura inicial e 80 pies. a) Encontrar la función posición que epresa la altura s en una función el tiempo t. b) Cuáno llegará la pelota al suelo? Altura (en pies) s t = 0 s(t) = 6t + 64t + 80 t = t = t = NOTA En el ejemplo 8, obsérvese que la función posición tiene la forma s t gt v 0 t s 0 t = Tiempo (en segunos) Altura e una pelota en el tiempo t Figura 4.4 t = 4 one g =, v 0 es la velocia inicial s 0 es la altura inicial, como se presentó en la sección.. t Solución a) Consierar que t 0 representa el tiempo inicial. Las os coniciones iniciales inicaas pueen escribirse e la siguiente manera. s 0 80 s 0 64 La altura inicial es 80 pies. La velocia inicial es e 64 pies por seguno. Utilizano pies s como la aceleración e la gravea, se tiene s t s t s t t t t C. Empleano la velocia inicial, se obtiene s (0) 64 (0) C, lo cual implica que C = 64. Después, integrano s (t), se obtiene s t s t t t 64 t 6t 64t C. Al utilizar la altura inicial, se encuentra que s C lo que implica que C 80. De ese moo, la función posición es s t 6t 64t 80. Ver la figura 4.4. b) Utilizano la función posición que se encontró en el apartao a), es posible eterminar el tiempo en que la pelota pega en el suelo al resolver la ecuación s(t) 0. s t 6t 64t t t 5 0 t, 5 Como t ebe ser positivo, se puee concluir que la pelota golpea el suelo 5 segunos espués e haber sio lanzaa. El ejemplo 8 muestra cómo utilizar el cálculo para analizar problemas e movimiento vertical en los que la aceleración es eterminaa por una fuerza gravitacional. Se puee utilizar una estrategia similar para analizar otros problemas e movimiento rectilíneo (vertical u horizontal) en los que la aceleración (o esaceleración) es el resultao e alguna otra fuerza, como se verá en los ejercicios 8 a 89.

8 SECCIÓN 4. Antierivaas o primitivas e integración inefinia 55 Antes e hacer los ejercicios, se ebe reconocer que uno e los pasos más importantes en la integración es reescribir el integrano en una forma que correspona con las reglas básicas e integración. Para ilustrar este punto, a continuación se presentan algunos ejemplos aicionales. Integral original Reescribir Integrar Simplificar C 4 C t t t 4 t t t 5 5 t t C C 5 t 5 t t C C C Ejercicios En los ejercicios a 4, verificar el enunciao emostrano que la erivaa el lao erecho es igual al integrano el lao izquiero En los ejercicios 5 a 8, encontrar la solución general e la ecuación iferencial verificar el resultao meiante erivación. 5. 9t 6. t En los ejercicios 9 a 4, completar la tabla C 8 4 C C C Integral original 4 Reescribir r Integrar Simplificar En los ejercicios 5 a 4, encontrar la integral inefinia verificar el resultao meiante erivación En los ejercicios 5 a 44, hallar la integral inefinia verificar el resultao meiante erivación cos 4 sen csc t cot t t sec sen t t t t t t t cos t t sec sec tan sec

9 56 CAPÍTULO 4 Integración 4. tan 4. csc 4. cos 44. cos sen sen 5.,, 5. 5,, En los ejercicios 45 a 48, se presenta la gráfica e la erivaa e una función. Dibujar las gráficas e os funciones que tengan la erivaa señalaa. (Ha más e una respuesta correcta.) En los ejercicios 49 50, eterminar la ecuación para, aa la erivaa el punto inicao sobre la curva f 4 f (, ) Campos e penientes En los ejercicios 5 a 54, se an una ecuación iferencial, un punto un campo e penientes. Un campo e penientes (o campo e irecciones) está compuesto por segmentos e recta con penientes aas por la ecuación iferencial. Estos segmentos e recta proporcionan una perspectiva visual e las penientes e las soluciones e la ecuación iferencial. a) Dibujar os soluciones aproimaas e la ecuación iferencial en el campo e penientes, una e las cuales pasa por el punto inicao. b) Utilizar la integración para eterminar la solución particular e la ecuación iferencial usar una herramienta e graficación para representar la solución. Comparar el resultao con los ibujos el apartao a). f f (, ) 4 5. cos, 0, Campos e penientes En los ejercicios 55 56, a) utilizar una herramienta e graficación para representar un campo e penientes para la ecuación iferencial, b) utilizar la integración el punto inicao para eterminar la solución particular e la ecuación iferencial c) hacer la gráfica e la solución el campo e penientes. 55.,, 56. En los ejercicios 57 a 64, resolver la ecuación iferencial. 57. f 6, f g 6, g h t 8t 5, h f s 0s s, f f, f 5, f 0 f, f 0 8, f 0 4 f, f, f 0 0 f sen, f 0, f Crecimiento e árboles Un vivero e plantas veres suele vener cierto arbusto espués e 6 años e crecimiento cuiao. La velocia e crecimiento urante esos 6 años es, aproimaamente, h t.5t 5, one t es el tiempo en años h es la altura en centímetros. Las plantas e semillero mien centímetros e altura cuano se plantan (t 0). a) Determinar la altura espués e t años. 5 4 b) Qué altura tienen los arbustos cuano se venen? 66. Crecimiento e población La tasa e crecimiento P t e una población e bacterias es proporcional a la raíz cuaraa e t, one P es el tamaño e la población t es el tiempo en ías (0 t 0). Esto es, P t k t. El tamaño inicial e la población es igual a 500. Después e un ía la población ha crecio hasta 600. Estimar el tamaño e la población espués e 7 ías., > 0,, 4,, 7