FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Transcripción

1 Unia os Geometría Trigonometría 8. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. El círculo trigonométrico o unitario En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con razones, es ecir con cocientes e los laos e un triángulo rectángulo, pero también es posible representar esas funciones como segmentos e recta. Para ello es necesario efinir el círculo trigonométrico. Un círculo trigonométrico es aquel que se construe sobre un sistema e coorenaas cartesiano, e manera que el centro el círculo coincia con el origen el sistema su raio mia una unia e longitu. (,) Es conveniente señalar que el círculo trigonométrico quea iviio en cuatro partes por los ejes π coorenaos; caa parte abarca 9, recibe el nombre e cuarante se esigna con un número romano; la numeración va en sentio contrario al movimiento e las manecillas el reloj a partir el eje. 9 CUADRANTE RANGO I De a 9 II De 9 a 8 III De 8 a 7 IV De 7 a 6 8 II III I IV 4 7

2 Geometría Trigonometría Funciones trigonométricas 8. Ientificación e las funciones trigonométricas en los cuatro cuarantes Para generalizar el estuio e las relaciones trigonométricas, empezaremos por ubicar los ángulos en el plano e coorenaas cartesianas. Lao terminal Lao inicial En las siguientes figuras se representa a los ángulos que tienen su lao terminal en el primero, seguno, tercer cuarto cuarante, consierano sus coorenaas horizontal vertical así como la istancia e un punto en el lao terminal hacia el origen, ano lugar a la formación e un triángulo e referencia para caa ángulo. PRIMER CUADRANTE Función Signo sen Abscisa () Orenaa () cos tan cot sec csc 5

3 Unia os Geometría Trigonometría SEGUNDO CUADRANTE () () Función sen cos tan cot sec csc Signo TERCER CUADRANTE () () Función sen cos tan cot sec csc Signo 6

4 Geometría Trigonometría Funciones trigonométricas CUARTO CUADRANTE () () Función sen cos tan cot sec csc Signo 8.. Signos e las funciones trigonométricas Para eterminar los signos e las funciones trigonométricas representaas por rectas, tomamos en consieración el concepto referente al sistema coorenao cartesiano siguiente: Toos los segmentos perpeniculares al eje e las abscisas son positivos si están arriba e él negativos si están abajo. Toos los segmentos perpeniculares al eje e las orenaas son positivos si están a la erecha e él negativos si están a la izquiera. De acuero a la ientificación e las funciones trigonométricas en los cuarantes los signos resultantes son: I II III IV SEN COS TAN COT SEC CSC 7

5 Unia os Geometría Trigonometría 8.. Funciones trigonométricas e ángulos e cuarante Se establece que un ángulo pertenece a un eterminao cuarante cuano su lao terminal etiene su giro en icho cuarante; en el caso en que coincia con los ejes e 9, 8, 7, 6, se establece que el ángulo es límite e os cuarantes. Del ángulo e Consieremos el triángulo rectángulo: El mismo triángulo con el ángulo, quea, en consecuencia:, De one: sen cot ± cos sec tan csc ± Del ángulo e 9 Consieremos el triángulo rectángulo: El mismo triángulo con el ángulo 9, quea, en consecuencia:, De one: 9 sen 9 cot 9 cos 9 sec9 ± tan 9 ± csc 9 8

6 Geometría Trigonometría Funciones trigonométricas Del ángulo e 8 Consieremos el triángulo rectángulo: El mismo triángulo con el ángulo 8, quea, en consecuencia:, 8 () De one: sen 8 cot8 ± cos8 sec8 tan 8 csc8 ± Del ángulo e 7 Consieremos el triángulo rectángulo: El mismo triángulo con el ángulo 7, quea, en consecuencia:, 7 () () De one: sen 7 cot 7 cos 7 sec 7 ± tan 7 ± csc 7 9

7 Unia os Geometría Trigonometría Del ángulo e 6 Consieremos el triángulo rectángulo: El mismo triángulo con el ángulo 6, quea, en consecuencia:, 6 () De one: sen 6 cot 6 ± cos 6 sec 6 tan 6 csc6 ±

8 Geometría Trigonometría Funciones trigonométricas EJERCICIO 8 INSTRUCCIONES. Escribe el signo que le correspone al valor e las siguientes funciones el cuarante one se ubican. FUNCIÓN CUADRANTE SIGNO sen 8 cos 7 tan 9 cos 5 tan 45 sen 9 cos 8

9 Unia os Geometría Trigonometría 8.. Funciones trigonométricas e ángulos e, 45 6 Trazamos un triángulo equilátero ABC e uniaes por lao, bisectamos el ángulo C formamos os triángulos rectángulos iguales. Como la suma e los ángulos interiores e un triángulo es e 8, caa ángulo el triángulo mie 6. C C A 6 6 B 6 Calcularemos el segmento CD por el teorema e Pitágoras. CD CD () () 4 D B Las funciones trigonométricas para los ángulos e 6 son: sen cos sen 6 cos 6 tan tan 6 cot cot 6 sec sec 6 csc csc 6

10 Geometría Trigonometría Funciones trigonométricas Para eterminar los valores e las funciones trigonométricas para un ángulo e 45, se consiera un cuarao e unia, trazamos una iagonal. B D B C A C A Aplicano el teorema e Pitágoras para calcular el segmento AB. AB AB Entonces las funciones trigonométricas son: () () sen 45 cot 45 cos 45 sec 45 tan 45 csc 45

11 Unia os Geometría Trigonometría 8..4 Funciones trigonométricas e ángulos múltiplos e, 45 6 Utilizano las mismas figuras con que representamos los ángulos e, 45 6 poemos calcular cualquier múltiplo e ellos, siempre cuano el lao terminal no coincia con uno e los ejes coorenaos. Ejemplos Cálculo el ángulo e El ángulo e se encuentra en el seguno cuarante por lo tanto 8 6, e one el ángulo el triángulo que se forma es e 6. Por lo tanto las funciones son: 6 sen cot cos sec tan csc Cálculo el ángulo e 5 El ángulo e 5 se encuentra en el tercer cuarante por lo tanto , e one el ángulo el triángulo que se forma es e Por lo tanto las funciones son: sen 5 cot 5 cos 5 sec 5 tan 5 csc 5 4

12 Geometría Trigonometría Funciones trigonométricas Cálculo el ángulo e El ángulo e se encuentra en el cuarto cuarante por lo tanto 6, e one el ángulo el triángulo que se forma es e. Por lo tanto las funciones son: sen cot cos sec tan csc 5

13 Unia os Geometría Trigonometría EJERCICIO 8 INSTRUCCIONES. Grafica etermina los valores e las funciones trigonométricas e los ángulos inicaos a partir e los ángulos e,6 45. ) 5 ) 5 ) 6

14 Geometría Trigonometría Funciones trigonométricas 4) 4 5) 6) 5 7

15 Unia os Geometría Trigonometría EJERCICIO 8 INSTRUCCIONES. Grafica etermina los valores e las funciones trigonométricas e los ángulos inicaos a partir e los ángulos e,6 45. GRADOS F U N C I O N E S sen cos tan cot sec csc

16 Geometría Trigonometría Funciones trigonométricas

17 Unia os Geometría Trigonometría 8..5 Funciones para un ángulo cualquiera En el sistema e coorenaas rectangulares ha una relación que establece que a caa par e números reales (, ), correspone un punto efinio el plano, a caa punto el plano correspone un par único e coorenaas (, ). En el proceso e la gráfica ha que tomar en cuenta los signos e las coorenaas para ubicarse en caa cuarante. Aplicano lo anterior en los siguientes ejemplos, tenemos que: ) Localiza el punto (4, ) en un sistema coorenao etermina las funciones trigonométricas el ángulo que se forma. (4, ) Primero obtenemos la istancia por el teorema e Pitágoras: () (4) AB Por lo tanto las funciones trigonométricas son: 4 sen cot cos sec tan csc 4

18 Geometría Trigonometría Funciones trigonométricas EJERCICIO 84 INSTRUCCIONES. Determina las funciones trigonométricas el ángulo sabieno que guara relación con los siguientes puntos. )A(6,7) )B(4,5) )C(6,) 4)D(,5)

19 Unia os Geometría Trigonometría 5)E(,) 6)F(5,7) 7)G(6,) 8)H(,)