Derivación e vectorial

Transcripción

1 1. Vectores variables Derivación e vectorial Los vectores porán ser constantes o variables. Ahora bien, esa característica se verificará tanto en las componentes como en la base. Esto quiere ecir que cuano un vector es variable porán variar su móulo, su irección, su sentio o too junto o separao. Obviamente esta variabilia el vector epenerá e la base en la cual se exprese A (t A k (t e k (t A k e k (t Nótese que hemos utilizao una base {e k (t} e vectores variables a iferencia e la traicional base e vectores cartesianos, los cuales son constantes en móulo irección y sentio (ver los cuarantes I y II e la Figura 1. Más aún, tal y como se muestra en cuarante IIc e la Figura 1 too vector variable porá ser expresao como la suma e uno variable, A (t, mas otro constante c A (t A (t + c 2. Derivación De esta manera, cuano uno piensa en un vector variable A (t uno rápiamente piensa en establecer un cociente incremental tal y como se muestra en A (t + t A (t lím t 0 t A (t lím t 0 t A (t el cuarante IV e la Figura 1 ilustra gráficamente este cociente incremental. Como siempre, las propieaes e esta operación erivación serán [A (t + B (t A (t + B (t (1 [ [ [α (t A (t α (t A + α (t A (t (2 [ [ [A (t B (t A (t B + A (t B (t (3 [ [ [A (t B (t A (t B + A (t B (t (4 Ahora bien, esto implica que A (t A k (t e k (t [A (t [ A k (t e k (t [ A k (t e k (t + A k (t [e k (t Héctor Hernánez / Luis Núñez 1 Universia e Los Anes, Méria

2 Figura 1: Vectores variables con lo cual hay que tener cuiao al erivar vectores y cerciorarse e la epenencia funcional e base y componentes. Habrá sistemas e coorenaas (bases e vectores que serán constantes y otros en los cuales sus vectores bases cambiarán en su irección. El primer término representa la variación el móulo y el seguno muestra la contribución e los cambios en irección el vector. Más aún, mostraremos apoyánonos en la ilustración el cuarante el cuarante III e la Figura 1 que, inepenientemente el sistema e coorenaa el cambio en el móulo apunta en la irección el vector, mientras que las contribuciones en irección apuntan en la irección perpenicular al vector. Esto es [A (t A (t û + A (t û con û û 0 Es fácil convencernos e la forma el primer término. Siempre poemos representar un vector como su móulo y un vector unitario en la irección apropiaa. Esto es A (t A (t û [A (t [ A (t û (t A (t [û (t û (t + A (t Héctor Hernánez / Luis Núñez 2 Universia e Los Anes, Méria

3 aicionalmente A (t 2 A (t A (t con lo cual A (t A (t 2 2 A (t [A (t 2 A (t }{{} û(t para que finalmente poamos obtener [A (t û (t ( A (t û (t û (t + A (t [A (t A (t [û (t 2 A (t A (t û (t A (t û (t [A (t [A (t 2A (t [A (t û (t [û (t A (t Es ecir que el cambio en el móulo e un vector se manifiesta en la irección el mismo vector, tal y como era intuitivo suponer. Aicionalmente vemos que el vector siempre será perpenicular a su erivaa. Gráficamente poemos apreciarlo en el cuarante IV e la Figura 1, pero también surge analíticamente e si erivamos el vector unitario en la irección e A (t Si mejoramos la notación hacieno hacieno los siguiente 0 A(t A(t, A (t Ȧ(t, 2 A (t 2 Ä(t,... entonces, [û (t û (t û (t 2 (1 0 û (t û(t û (t û(t es ecir [ A (t û (t Ȧ A(tû (t + A(t û (t A(tû + A(tû Supongamos que efinimos un vector û n û û û n û φ φ û n con û û n û û n û û û û n Héctor Hernánez / Luis Núñez 3 Universia e Los Anes, Méria

4 one φ es el ángulo e rotación el vector A (t (ver cuarante V e la Figura 1. Claramente A A (t + t sen ( φ û A (t + t φ û A φ A (t A t ( A t A A φ t A (t ( [A (t û û [φ (t û n A (t w A (t [φ (t one hemos ientificao w û n. Entonces poemos ir más allá. Observano el cuarante V e la Figura 1 vemos que si suponemos que el móulo el vector es constante, entonces ( A (t [A (t [A (t 0 A (t û û û w A (t 3. Velociaes y aceleraciones El raio vector posición e una partícula genera los vectores velocia y aceleración. ahora bien r r (t v (t ṙ a (t v r r r P (t û r xi + yj + zk con û r cos θ i + sen θ j si suponemos que la partícula escribe un movimiento entonces r P r P (t x x (t y y (t ; û r û r (t ; θ θ (t z z (t con lo cual ya que [û r [û r [cos θ (t i + sen θ(tj θ[ (sen θ (t i + cos θ (t j }{{} θû θ û θ i const j const k const (sen θ θ i + (cos θ θ j û r û r û r [cos θ (t i + sen θ (t j [cos θ (t i + sen θ (t j 1 û θ û θ û θ [ (sen θ (t i + cos θ (t j [ (sen θ (t i + cos θ (t j 1 Héctor Hernánez / Luis Núñez 4 Universia e Los Anes, Méria

5 y Más aún û θ û r û r û θ [ (sen θ (t i + cos θ (t j [cos θ (t i + sen θ (t j 0 [û θ [ (sen θ (t i + cos θ (t j (cos θ (t i + sen θ (t j θû r Con lo cual, una partícula que escribe un movimiento genérico venrá escrita en coorenaas cartesianas por r x (t i + y (t j + z (t k y su velocia será [x (t i + y (t j + z (t k v (t ṙ v x (t i + v y (t j + v z (t k ẋi + ẏj + żk y la aceleración a (t v x i + v y j + v z k a x (t i + a y (t j + a z (t k Mientras que en coorenaas polares será con lo cual la velocia y la aceleración r (t r (t û r (t v (t [r (t û r (t v (t ṙ (t û r (t + r (t θ û θ (t ṙû r + r [û r (t [ṙû r + r θ û θ a (t v [ṙû [r r θ û θ + rû r + ṙ [û r + ṙ θ û θ + r θû θ + r θ [û θ { r r θ } { 2 û r + 2ṙ θ } + r θ Claramente para el caso e un movimiento circular r (t Rû r r R const R 0 v (t R θû θ a (t R θ 2 û r (t + R θû θ Héctor Hernánez / Luis Núñez 5 Universia e Los Anes, Méria û θ

6 De aquí poemos ver claramente que velocia v (t y posición r (t son ortogonales. La velocia, v (t, siempre es tangente a la trayectoria r (t y en este caso la trayectoria es una circunferencia. En general el vector r me r (t i (r (t i + t i r (t i lím r (t i r (t r (t t 0 i i i es ecir r (t lím t 0 i r (t i es tangente a la trayectoria. Es claro que r (t [x (t i + y (t j + z (t k x (t i + t y (t j + t z (t k t Tal y como mencionamos arriba, para el sistema e coorenaas cartesiano poemos efinir un vector (en este caso velocia angular w w û r û v w û v w w û r û r û v w w v (t w r (t Supongamos por que, simplicia, elegimos el sistema e coorenaas cartesiano tal que r esté el plano x, y. En este caso es inmeiato comprobar que v i ε ijk w j x k y ao que r y v tienen únicamente componentes 1, 2 entonces, necesariamente w tiene componente 3. Es ecir como r r i i i v v i i i v 1 ε 1j2 w j x 2 v 2 ε 2j1 w j x 1 r x (t i + y (t j w w3 i 3 w i 3 w k v (t ṙ v x (t i + v y (t j w r θk (x (t i + y (t j como se ve más claro es en coorenaas polares, esto es v (t ṙ r θ û θ ( w û n (rû r r const }{{} r θ û θ w r û θ θ w v Héctor Hernánez / Luis Núñez 6 Universia e Los Anes, Méria

7 3.1. Vectores y funciones Antes e continuar con la integración repensemos algunas funciones e tipo φ (x, y, z y v (x, y, z. Son, sin ua funciones e varias variables φ φ (x, y, z V V (x, y, z V x (x, y, z i + V y (x, y, z j + V z (x, y, z k un par e reflexiones se pueen hacer en este punto. Primeramente, ao que hemos relacionao un punto el espacio con un raio vector posición, entonces φ φ (x, y, z φ (r P (x,y,z (x, y, z r x i + y j + zk v v (x, y, z v (r La primera función, φ (r será una función escalar e argumento vectorial o, simplemente un campo escalar y la seguna se conoce como una función vectorial e argumento vectorial o campo vectorial. Como hemos icho este tipo e funciones y las operaciones que pueen ser realizaas con ellas, así como también su significao, será analizaa en etalle más aelante en este mismo curso. En seguno lugar, siempre poremos parametrizar las coorenaas y tenremos φ φ (t φ (x (t, y (t, z (t V V (t V (x (t, y (t, z (t V V x (x (t, y (t, z (t i + V y (x (t, y (t, z (t j + V z (x (t, y (t, z (t k Este caso lo hemos encontrao en montones e situaciones. El movimiento parabólico viene escrito por un vectores velocia y posición v x v 0x v gt k + v 0 gt k + (v 0x i + v 0y j + v 0z k v y v 0x v z v 0z gt r g 2 t2 k + v 0 t g t2 2 k + (v 0xi + v 0y j + v 0z k t x v 0x t y v 0x t z v 0z t g t2 2 Héctor Hernánez / Luis Núñez 7 Universia e Los Anes, Méria

8 Derivaa e funciones φ (r (t Al erivar una función e argumento vectorial también aplica la regla e la caena. Esto es φ (r (t g (x (t, y (t, z (t φ (r (t φ (x (t, y (t, z (t x (t + x φ (x (t, y (t, z (t y (t + y φ (x (t, y (t, z (t z (t z ( φ (x, y, z φ (r (t i + x φ (x, y, z j + y ( φ (x, y, z x (t k i + z y (t j + z (t k φ (r (t φ (x (t, y (t, z (t r (t t one hemos representao φ (r (t φ (x, y, z i + x φ (x, y, z j + y φ (x, y, z k i φ (x, y, z i i φ,i (x, y, z i i z y lo llamaremos el graiente e la función. El graiente e un campo escalar es uno e los objetos más útiles, el cual lo utilizaremos, por ahora e manera operacional y recoraremos que emerge como consecuencia e una erivación contra un parámetro. El graiente mie el cambio el la función φ (x, y, z. La iea e graiente nos lleva a consierar al como un operaor vectorial que actúa sobre la función escalar e variable vectorial φ (r (t. Es ecir con un poquito e imaginación ( φ (r (t x i + y ĵ+ z k φ (x, y, z (i m m φ (x, y, z ( ( ( x i + ( ( ĵ+ y z k i m m ( Derivaa e funciones vectoriales c (r (t De moo que inspiraos en la regla e la caena e una función escalar e variable vectorial comprobamos que c c x (x, y, z i + c y (x, y, z j + c z (x, y, z k cm (x, y, z i m Héctor Hernánez / Luis Núñez 8 Universia e Los Anes, Méria

9 por consiguiente, si c, ( tiene por componentes cartesianas (c x, c y, c z las componentes el c vector erivao serán x, cy, cz. Con lo cual caa componente c m (x (t, y (t, z (t cm (x n (t cm (x n x l (t x l ( r (t t c m (x, y, z es ecir, en términos vectoriales ( c r (t t c ( v c ( ( v ( v i i ( con v la erivaa el raiovector posición r (t, es ecir, la velocia. Es ecir, estamos vieno el cambio el vector c respecto al tiempo es el cambio e sus componentes en la irección e la velocia. Si se nos ocurre calcular la erivaa el vector velocia para encontrar la aceleración tenremos que nos quea expresaa como a v ( v ( v a i v v i one las componentes cartesianas e los vectores velocia y aceleración son v i v i (x (t, y (t, z (t y a i a i (x (t, y (t, z (t, respectivamente. 4. El vector graiente El operaor vectorial ( merece un poco e atención en este nivel. Tal y como hemos visto φ ( x j 1 φ ( x j i φ ( x j i φ ( x j i 3 Recoremos que la notación utilizaa en este curso implica que 1 x,... Con el operaor nabla ( realizaremos operaciones igual como un vector común y corriente. Así en el caso E se enomina rotor e E y viene efinio por ( E x i + y j + z k (E x i + E y j + E z k E ( Ez y E ( y Ex i + z z E ( z Ey j + x x E x k ε ijk j E k i i y Héctor Hernánez / Luis Núñez 9 Universia e Los Anes, Méria

10 También tenremos el proucto escalar e nabla por un vector. Esta operación la llamaremos ivergencia E [Ei (x j x i i E ( i x j E x (x j + E y (x j + E z (x j x y z pero por ahora consieremos nabla como un vector. De este moo habrá cantia e relaciones vectoriales que involucren a las cuales se porán emostrar. Veamos 1. (a b (a b + (b a + a ( b + b ( a El resultao es un graiente, es ecir un vector. El lao izquiero será [ (a b i i (a b i ( a j b j ( i a j b j + ( i b j a j mientras que el lao erecho [ (a b i ( a j j b i + ( b j j ( a i + ε ijk a j b + ε ijk b j ( a k k ( a j j b i + ( b j j a i + ε ijk a j ε kmn m b n + ε ijk b j ε kmn m a n ( a j j b i + ( b j j a i + ε ijk ε mnk a j m b n + ε ijk ε mnk b j m a n ( a j j b i + ( b j j a i + ( δmδ i n j δmδn j i aj m b n + + ( δmδ i n j δmδ j n i bj m a n a j j b i + b j j a i + δmδ i na j j m b n δmδ j na i j m b n + + δ i mδ j nb j m a n δ j mδ i nb j m a n a j j b i + b j j a i + a n i b n a m m b i + b n i a n b m m a i a j j b i a m m b i + b }{{} j j a i b m m a i + a }{{} n i b n + b n i a n 0 0 a n i b n + b n i a n ( i a j b j i (a b 2. (a a ( a ( a [ ( a a + (a ( a [( a a Iniciamos la traucción a ínices por el lao izquiero e la ecuación así (a a ɛ ijk j (a m m a k ɛ ijk ( j a m m a k + ɛ ijk a m j m a k ɛ ijk ( j a m m a k + a m m ( ɛ ijk j a k el lao erecho lo trauciremos término por término ( a ( a ( m a m ( ɛ ijk j a k [ ( a a [ m ɛ mjk j a k a i [ ɛ mjk m j a k a i 0 (a ( a a m m ( ɛ ijk j a k [( a a [( ɛ mjk j a k m a i Héctor Hernánez / Luis Núñez 10 Universia e Los Anes, Méria

11 el seguno término se anula por cuanto ɛ mjk es antisimétrico respecto a los ínices mj mientras que m j es simétrico. El tercer término el esarrollo el lao erecho correspone con el seguno el esarrollo el lao izquiero. Por cual llegamos a la siguiente iguala ɛ ijk ( j a m m a k ( m a m ( ɛ ijk j a k [( ɛ mjk j a k m a i Para verificar la iguala tenremos que evaluar componente a componente. Esto es para el lao izquiero ɛ 1jk ( j a m m a k ɛ 123 ( 2 a m m a 3 + ɛ 132 ( 3 a m m a 2 ( 2 a m m a 3 ( 3 a m m a 2 ( 2 a 1 1 a 3 + ( 2 a 2 2 a 3 + ( 2 a 3 3 a 3 ( 3 a 1 1 a 2 ( 3 a 2 2 a 2 ( 3 a 3 3 a 2 mientras que para el primer término el lao erecho ( m a m ( ɛ 1jk j a k ( m a m ( ɛ a 3 + ( m a m ( ɛ a 2 y el seguno término se escribe como 2 a 3 1 a }{{} a 3 2 a a 3 3 a 3 α 3 a 2 1 a }{{} 1 3 a 2 2 a 2 2 a 2 3 a 3 β [( ɛ mjk j a k m a i ( ɛ 1jk j a k 1 a 1 ( ɛ 2jk j a k 2 a 1 ( ɛ 3jk j a k 3 a 1 ( 2 a 3 3 a 2 1 a 1 ( 3 a 1 1 a 3 2 a 1 3 a 2 1 a }{{} 1 2 a 3 1 a }{{} 1 β α ( 1 a 2 2 a 1 3 a a 3 2 a 1 3 a 1 2 a 1 }{{} γ + 2 a 1 3 a }{{} 1 1 a 2 3 a 1 γ al sumar ambos términos se eliminan los sumanos inicaos con letras griegas, y quea como ( m a m ( ɛ 1jk j a k [( ɛ mjk j a k m a i 2 a 3 2 a 2 Ξ 3 a 2 2 a 2 Ω + 2 a 3 3 a 3 Υ 2 a 2 3 a 3 Ψ + 1 a 3 2 a 1 1 a 2 3 a 1 Λ Σ Héctor Hernánez / Luis Núñez 11 Universia e Los Anes, Méria

12 y al compararlo con el esarrollo el lao erecho e ientificar término a término quea emostrao ɛ 1jk ( j a m m a k ( 2 a 1 1 a 3 Λ ( 3 a 1 1 a 2 Σ De igual manera se procee con i 2 e i 3 + ( 2 a 2 2 a 3 Ξ ( 3 a 2 2 a 2 Ω + ( 2 a 3 3 a 3 Υ ( 3 a 3 3 a 2 Ψ Héctor Hernánez / Luis Núñez 12 Universia e Los Anes, Méria