Simulación numérica. Modelo Malthusiano. Modelo simplificado de pesca. Modelo de Verhulst. Ecuación logística. dp dt = rp, P(0) = P 0

Transcripción

1 Moelo Malthusiano Simulación numérica Aner Murua Donostia, UPV/EHU P = rp, P(0) = P 0 one r es la iferencia entre la tasa e natalia y la tasa e mortana por unia e tiempo. La solución exacta es P(t) =P 0 e rt. Si r > 0, la población crece e forma ilimitaa, y si r < 0, ecae exponencialmente hacia cero. Este moelo no es naa realista, pues no tiene en cuenta la limitación e recursos naturales. Moelo simplificao e pesca Moelo e Verhulst. Ecuación logística one r > 0. P = r (1 P/K) P, P(0) = P 0, Si P 0 = K, entonces P(t) =K para too t. Se puee comprobar que la solución general es e la forma P(t) = KP 0 P 0 +(K P 0 )e rt, e moo que en cualquier caso (para P 0 0 arbitrario), la población tiene hacia K cuano t. P = r(1 P/K)P H(t) one t el tiempo meio en meses, y H(t) es la cantia e tonelaas que se pesca por unia e tiempo. Consieremos os casos: Se pesca un número fijo L e tonelaas al mes urante too el año. En ese caso, H(t) es una función constante H(t) =L. Solo se pesca urante tres meses al año, con una cantia fija L e tonelaas al mes, y urante el resto el año no se pesca. En tal caso, H(t) será una función perióica { L si 12n t < 12n +3 H(t) = 0 si 12n +3 t < 13n

2 Velocia e caia e un paracaiista m v = mg + cv2, v(0) = 0. one m es la masa el paracaiista en kilogramos, g =9.8 m/s 2, y c > 0 es un parametro relativo a la fricción el aire con respecto al cuerpo que cae. Tiene icho problema solución única? De hecho, se puee comprobar que la solución v(t) es v(t) = v t 1 exp( 2gt/v t ) 1 + exp( 2gt/v t ) one v t = mg/c. Observar que lim t v(t) =v t. Ecuación el pénulo ml 2 θ θ = mg sin(θ) c 2 Este es un ejemplo e ecuación e seguno oren. Si introucimos una nueva variable ω para la velocia angular θ, obtenemos un sistema e ecuaciones iferenciales e primer oren ω θ = g L sin(θ) c ml ω = ω Para eterminar una solución concreta, hay que conocer θ(t 0 )y ω(t 0 ) para un instante t 0 inicial. Fijaos estos valores, la solución es única. Un moelo epreaor-presa: El sistema e Lotka-Volterra u v = (a bv) u, = (cu ) v, one u representa la población e presas y v la e epreaores, y a, b, c, > 0 son parámetros el problema previamente fijaos. Es un sistema autónomo. Se puee ver que sus soluciones son perióicas. Si se conocen u(0) y v(0) (aemás e los valores e los parámetros a, b, c, > 0), la solución (u(t), v(t)) se puee eterminar e forma única. Consieremos la función I (u, v) = ln u + a ln v cu bv. Para cualquier solución (u(t), v(t)) el sistema y por tanto I (u(t), v(t)) = 0 para too t, I (u(t), v(t)) = I (u(0), v(0)) para too t, es ecir, I (u, v) is un invariante el sistema. A partir e ello, se puee eucir que (u(t), v(t)) es perióica respecto e t.

3 Simulación e un satélite artificial El movimiento e un satélite artificial alreeor e la tierra: 2 x 2 = x r 3 + ɛ F x(x, y), 2 y 2 = y r 3 + ɛ F y (x, y), one ɛ es una constante positiva, r = x 2 + y 2,y F x (x, y) = 1 ( x 2 ) x 2 r 2 r 5, F y (x, y) = 1 ( x 2 ) y 2 r 2 r 5. Valor típico el parḿetro: ɛ = Ejemplo e valores iniciales con solución casi perióica: x(0) = 1, y(0) = 0, x (0) = 0, y (0) = 1. El sistema e Lorenz El siguiente sistema es un ejemplo e sistema caótico (fué propuesto por Lorenz como un moelo simplificao para la evolución e variables atmosféricas). x y z = ax + ay, = rx y xz, = bz+ xy, one a, b, y r son constantes positivas. Valores típicos e los parámetros: a = 10, b =8/3, y r = 28. Ejemplo e coniciones iniciales: x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3. Supongamos que tenemos una barra fina aislaa térmicamente el exterior, excepto posiblemente por los extremos. La ecuación el calor uniimensional one 2 u(x, t) =a u(x, t). t x 2 a > 0 es la constante e ifusión, u(x, t) es la temperatura en el tiempo t el punto con coorenaa espacial x. Para eterminar e forma única la solución, necesitamos más información: Qué ocurre en los extremos? (i.e. coniciones e contorno?) Coniciones iniciales: u(x, 0) =? para caa x.

4 Problema e valor inicial e EDOs y = f (t, y), y(t 0 ) = y 0. Datos el problema: 1. Tiempo inicial t 0, 2. Valor inicial y 0, 3. Lao erecho e la equación iferencial: f (t, y). Solución: La función y(t). Métoo e Euler Para k =0, 1,..., n 1 y k+1 = y k + hf(t k, y k ) Importante: En el caso e un sistema e EDOs e imensión, Caa y k es un vector e componentes ( y k R ), Para caa (t, y) R +1, tenemos f (t, y) R. Resolución numérica: Discretización el tiempo: Consierar t 0, t 1, t 2,..., t n, one t k = t k 1 + h, con h relativamente pequeño, Calcular aproximaciones y k y(t k ) para k =1, 2, 3,..., n. Métoo e Euler mejorao Para k =0, 1,..., n 1 y k+1 = y k + hf(t k + h 2, y k + h 2 f (t k, y k )) Métoo el punto meio expĺıcito y para k =1,..., n 1, y 1 = y 0 + hf(t 0 + h 2, y 0 + h 2 f (t 0, y 0 )) y k+1 = y k 1 +2hf(t k, y k ). Para sistemas autónomos, es ecir e la forma y = f (y), Métoo e Euler mejorao Para k =0, 1,..., n 1 y k+1 = y k + hf(y k + h 2 f (y k)) Métoo el punto meio expĺıcito y para k =1,..., n 1, y 1 = y 0 + hf(y 0 + h 2 f (y 0)) y k+1 = y k 1 +2hf(y k ).

5 Ejercicio La EDO e la velocia el paracaiista m v = mg + cv2, v(0) = 0, one g =9.8 m/s 2, m = 70Kg y c =0.3, y que queremos aproximar la solución v(t) para t [0, 30]. Aproximar la solucion v(t) para t = t 0, t 1, t 2,..., t n = 30 (one t k = hk y h = 30/n) utilizano el métoo e Euler con istintos valores e h. Nuestro objetivo es analizar como se reuce el error cometio según reucimos h. Para ello, calcular para h =0.3, h =0.15, h =0.075 Error = max 1 k n v(t k) v k. Repetir el experimento para el métoo e Euler mejorao. Definición e oren e un métoo Supongamos que aplicamos un métoo numérico a un problema e valor inicial y = f (t, y), y(t 0)=y 0 para aproximar la solución y(t) para t [t 0, T ], e moo que obtenemos y k y(t k ), k =0, 1, 2,..., n, one t k = t 0 + khy h =(T t 0 )/n. El métoo es e oren r si existe C > 0 tal que para cualquier iscretización suficientemente fina 1 h r Error = 1 h r max y(t k) y k C. 1 k n Ejercicio Las ecuaciones el pénulo θ = ω, mlω = mg sin(θ) cω, one g =9.8 m/s 2, L =1m, m =1Kg y c =0.0003, y que queremos aproximar la solución y(t) =(θ(t), ω(t)) para t [0, T ] con T = 10. Aproximar la solucion y(t) para t = t 0, t 1, t 2,..., t n = T (one t k = hk y h = T /n) utilizano el métoo e Euler mejorao con istintos valores e h. Comprobar experimentalmente que el métoo es e oren 2. Para ello, calcular para h =0.01, h =0.005, h = h 2 Error = 1 h 2 max y(t k) y k. 1 k n Repetir el experimento para T = 20. Repetir el experimento para T = 40. Implementación Supongamos que tenemos efinia en Matlab una función (por ejemplo, eofun ) tal que, aos t R un vector y R, eofun(t, y) evuelve un vector f (t, y) R. Dicha función etermina un sistema e ecuaciones ifferenciales e la forma y = f (t, y). Sabemos que, aos t 0 R y y 0 R, existe una única solución el sistema que satisfaga la conición inicial y(t 0 )=y 0.

6 Dao el problema e valor inicial Ejercicio Definir una nueva función, igamos EulerMoif, que aos t 0 R,y 0 R, h > 0, y n N, evuelve un vector columna T R y una matriz Y R n, tales que T = one t k = t 0 + kh. t 0 t 1. t n 1, Y y(t 0 ) T y(t 1 ) T. y(t n 1 ) T, y = f (t, y), y(t 0)=y 0, Para obtener para j =0, 1, 2,... las aproximaciones y j y(t j ) (t j = t 0 + jh), Métoo e Runge-Kutta e oren 4 k 1 = hf(t j, y j ), k 2 = hf(t j + h 2, y j k 1), k 3 = hf(t j + h 2, y j k 2), k 4 = hf(t j + h, y j + k 3 ), y j+1 = y j (k 1 +2k 2 +2k 3 + k 4 ). Dao un sistema autónomo con conicion inicial y = f (y), y(t 0)=y 0, Para obtener las aproximaciones y j y(t j )(t j = t 0 + jh, j =0, 1, 2,...), Métoo e Runge-Kutta e oren 4 para sistemas autónomos k 1 = hf(y j ), k 2 = hf(y j k 1), k 3 = hf(y j k 2), k 4 = hf(y j + k 3 ), y j+1 = y j (k 1 +2k 2 +2k 3 + k 4 ). RK e oren 5 e Dorman & Prince (oe45) Para t j = t 0 + jh(j =0, 1, 2,...), y(t j ) y j, one k 1 = hf(y j ) k 2 = hf(y j + k 1 5 ) k 3 = hf(y j + 3k k 2 40 ) k 4 = hf(y j + 44k k k 3 9 ) k 5 = hf(y j k k k k ) k 6 = hf(y j k k k k k ) y j+1 = y j + 35k k k k k 6 84.

7 Ejemplo e ecaimiento raiactivo y La solución exacta es = 100y, y(0) = 1, y(t) =e 100 t. Queremos aproximar la solución para t [0, 100]. Aplicar el métoo e Euler, primero con h =0.019, y espués con h = Comparar gráficamente los resultaos. Aplicar el integraor oe45 con longitu e paso constante, primero con h =0.02, y espués con h =0.04, y representarlas gráficamente en una misma figura. Aplicar el integraor oe45 con tolerancia absoluta y relativa tol, primero con tol = 10 3, Y espués con tol = Comparar el coste computacional y el error cometio. Problema test e estabilia lineal one λ es una constante. y = λ y, y(0) = 1, La solución exacta es y(t) =e λ t, y si λ < 0, lim y(t) =0. t Aplicación el métoo e Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es ecir y n = (1 + h λ) n Ejemplo e muelle rígio con masa puntual (oscilaor armónico) Aplicación el métoo e Euler x = (x 1), x(0) = 1.1, x (0) = 0. y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es ecir y n = (1 + h λ) n. Inestabilia: Si 1 + λ h > 1, entonces lim n y n =. Por ejemplo, si λ = 100 y h =0.009, 1+h λ =1.1, y por tanto lim y n = lim n n (1.1)n =. La solución exacta es x(t) = 1 + cos(1000 t). Queremos aproximar la solución para t [0, 1]. Aplicar el métoo e Euler, primero con h =0.01, y espués con h = Comparar gráficamente los resultaos. Aplicar el integraor oe45 con longitu e paso constante, primero con h =0.0009, y espués con h =0.0011, y representarlas gráficamente en una misma figura. Aplicar el integraor oe45 con tolerancia absoluta y relativa tol, primero con tol = 10 4, Y espués con tol = Comparar el coste computacional y el error cometio.

8 La ecuación e seguno oren el oscilaor armónico se puee reescribir, con el cambio e variable u = x 1, y añaieno la variable v = x = u, como u = v, v = u, u(0) = 0.1, v(0) = 0. (1) Ejercicio Encontrar un cambio e variable e la forma u = a 1,1 y + a 1,2 z, v = a 2,1 y + a 2,2 z, que transforma el sistema (1) en os ecuaciones inepenientes y = λ y, z = µ z. Cuales son concretamente los valores λ,µ? Versión general el test e estabilia lineal one λ C. y = λ y, y(0) = 1, La solución exacta es y(t) =e λ t,y Si Re(λ) < 0, lim t y(t) = 0, Si Re(λ) > 0, lim t y(t) =, Si Re(λ) = 0 (λ imaginario puro), entonces y(t) 1( t). Aplicación el métoo e Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es ecir y n = (1 + h λ) n. Aplicación el métoo e Euler y(nh) y n = (1 + h λ) y n 1, y 0 =1. Es ecir y n = (1 + h λ) n. Inestabilia: Si 1 + λ h > 1, entonces lim y n =. n Por ejemplo, si λ = 100i y h =0.009, 1+h λ = i, y por tanto, puesto que 1+0.9i = 1.81 > 1, lim y n = lim ( 1.81) n =. n n Si aplicamos el métoo e Runge-Kutta e oren 5 e Dorman & Prince (Dopri5, oe45) al problema test y = λ y, y(0) = 1, one λ C, las aproximaciones y n y(nh)=e λn,h que se obtienen son y n = R(h λ) n Función e estabilia lineal e DOPRI5 (oe45) R(z) = 1 + z + z2 2 + z3 6 + z z z6 600

9 La solución numérica será estable si h λ pertenece a la Región e estabilia lineal e DOPRI5 (oe45) {z C / R(z) 1} Dao un problema e valor inicial e EDOs y = f (t, y), y(t 0)=y 0, y fijaa una iscretizazión t n = t 0 + nh el tiempo, para n =0, 1, 2,..., se pueen obtener las aproximaciones por meio el Métoo e Euler impĺıcito y n y(t n ) -2 y n = y n 1 + hf(t n, y n ) Precisión: Es un métoo e oren 1. El métoo e Euler impĺıcito aplicao al problema test y = λ y, y(0) = 1, (one λ C), a la solución numérica y n = R(hλ) n, one R(z) = 1 1 z. Región e estabilia lineal {z C / R(z) 1} = {z C / z 1 1} Métoo el trapecio y n = y n 1 + h 2 (f (t n 1, y n 1 )+f (t n, y n )) Precisión: Es un métoo e oren 2. Aplicao al problema test e estabilia lineal, se obtiene y n = R(hλ) n, one R(z) = z z. Región e estabilia lineal {z C / R(z) 1} = {z C / Re(z) 0}.

10 Métoo e BDF e oren y n 2y n y n 2 = hf(t n, y n ). Métoo e BDF e oren y n 3y n y n y n 3 = hf(t n, y n ). Métoo e BDF e oren y n 4y n 1 +3y n y n y n 4 = hf(t n, y n ). Supongamos que tenemos una barra fina aislaa térmicamente el exterior, excepto posiblemente por los extremos. La ecuación el calor uniimensional one 2 u(x, t) =a u(x, t). t x 2 a > 0 es la constante e ifusión, u(x, t) es la temperatura en el tiempo t el punto con coorenaa espacial x. Qué ocurre en los extremos? Es ecir, cuales son las coniciones e contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) para too t. Coniciones iniciales: u(x, 0) =? para caa x. La ecuación el calor one ( ) 2 2 u(x, y, t) =a u(x, y, t)+ u(x, y, t). t x 2 y 2 a > 0 es la constante e ifusión, u(x, y, t) es la temperatura en el tiempo t el punto con coorenaas cartesianas (x, y). Qué forma tiene la placa? Es ecir, como es su contorno? Qué ocurre en los puntos el contorno? Es ecir, cuales son las coniciones e contorno? Ejemplo: u(x, y, t) = 0 para too t en cualquier punto (x, y) e su contorno. Coniciones iniciales: u(x, y, 0) =? para caa (x, y). Siguieno con el ejemplo anterior: El conjunto Ω e puntos (x, y) e la placa se conoce como el ominio el problema. La frontera e Ω se enota como Ω. Una conición e contorno típica es u(x, y, t) =Cte para too x Ω. Ejemplo Ω = {(x, y) R 2 / 0 x 1, 0 y 1} Coniciones e contorno: u(x, y, t) = 0 si (x, y) Ω Coniciones iniciales: { 1 si x 2 + y 2 < 2/5, u(x, y, 0) = 0 si x 2 + y 2 2/5,

11 Familias e métoos para la iscretización espacial Diferencias finitas (basaos en fórmulas e erivación), Elementos finitos (FEM), Métoos e tipo espectral,... Formulas e erivación numérica Para aproximar erivaas primeras f (x) f (x + x) f (x x) 2 x Para aproximar erivaas segunas f (x) = f (x)+o( x 2 ) f (x + x) 2f (x)+f (x x) x 2 = f (x)+o( x 2 ) La ecuación e onas lineal one 2 ( ) 2 2 u(x, y, t) =a u(x, y, t)+ u(x, y, t). t2 x 2 y 2 a > 0 es la constante e elasticia, u(x, y, t) es la altura e la placa en el punto con coorenaas cartesianas (x, y). Coniciones iniciales: u(x, y, 0) = u 0 (x, y), t u(x, y, 0) = v 0(x, y) Coniciones e contorno típica: u(x, y, t) = 0 para (x, y) Ω La ecuación e onas no-lineal 2 ( ) 2 2 u(x, y, t) =a u(x, y, t)+ u(x, y, t) t2 x 2 y 2 one a > 0 es la constante e elasticia, + f (u). u(x, y, t) es la altura e la placa en el punto con coorenaas cartesianas (x, y), f (u) es el término no lineal. Ejemplos: bu 2, b sin(u) (b R), Coniciones iniciales y e contorno como en la ecuación lineal. Ejemplo Ω = {(x, y) R 2 / 0 x 1, 0 y 1} Coniciones e contorno: u(x, y, t) = 0 si (x, y) Ω Coniciones iniciales: u(x, y, 0) = arctan(sin(πx) sin(πy)), v(x, y, 0) = 3 sin(πx) sin(πy)e sin(πy).