2.4 La regla de la cadena

Transcripción

1 0 CAPÍTULO Derivación. La regla e la caena Encontrar la erivaa e una función compuesta por la regla e la caena. Encontrar la erivaa e una función por la regla general e la potencia. Simplificar la erivaa e una función por técnicas algebraicas. Aplicar la regla e la caena a funciones trigonométricas. La regla e la caena Ahora es tiempo e analizar una e las reglas e erivación más potentes: la regla e la caena. Ésta se aplica a las funciones compuestas añae versatilia a las reglas analizaas en las os secciones preceentes. Como ejemplo, comparar las funciones que se muestran a continuación; las e la izquiera se pueen erivar sin la regla e la caena, mientras que a las e la erecha conviene aplicarles icha regla. Sin la regla e la caena Con la regla e la caena sen sen 6 ( ) 5 tan tan En esencia, la regla e la caena establece que si cambia u veces más rápio que u, mientras que u cambia u veces más rápio que, entonces cambia (u)(u) veces más rápio que. EJEMPLO La erivaa e una función compuesta Ruea Eje Eje Ruea Ruea Eje : revoluciones por minuto Eje : u revoluciones por minuto Eje : revoluciones por minuto Figura. Ruea Eje Un juego e rueas entaas está construio, como muestra la figura., e forma que la seguna la tercera giran sobre un eje común. Cuano la primera gira, impulsa a la seguna ésta a su vez a la tercera. Sean, u los números e revoluciones por minuto el primero, seguno tercer ejes. Encontrar u, u, verificar que u u. Solución Puesto que la circunferencia el seguno engranaje es tres veces maor que la e la primera, el primer eje ebe ar tres vueltas para que el seguno complete una. Del mismo moo, el seguno eje ha e ar os vueltas para que el tercero complete una, por tanto, se ebe escribir u u. Combinano ambos resultaos, el primer eje ebe ar seis vueltas para hacer girar una vez al tercer eje. De tal manera: Razón e cambio el primer eje con respecto al seguno u 6 u Razón e cambio el seguno eje con respecto al tercero Razón e cambio el primer eje con respecto al tercero. En otras palabras, la razón e cambio e respecto a es igual al proucto e la razón e cambio e con respecto a u multiplicao por el e u con respecto a.

2 SECCIÓN. La regla e la caena EXPLORACIÓN Aplicación e la regla e la caena Caa una e las funciones que se encuentran a continuación se pueen erivar utilizano las reglas e erivación estuiaas en las secciones... Calcular la erivaa e caa función utilizano ichas reglas; luego encontrar la erivaa utilizano la regla e la caena. Comparar los resultaos. Cuál e los os métoos es más sencillo? a) ( ) c) sen El ejemplo ilustra un caso simple e la regla e la caena. Su enunciao general es el siguiente. TEOREMA.0 LA REGLA DE LA CADENA Si f(u) es una función erivable e u aemás u g() es una función erivable e, entonces f(g()) es una función erivable e u u o su equivalente f g fgg. DEMOSTRACIÓN Sea h() f(g()). Usano la forma alternativa e la erivaa, es necesario emostrar que, para c, h(c) f(g(c))g(c). Un aspecto importante en esta emostración es el comportamiento e g cuano tiene a c. Se presentan ificultaes cuano eisten valores e, istintos e c, tales que g() g(c). En el apénice A se eplica cómo utilizar la erivabilia e ƒ g para superar este problema. Por ahora, supóngase que g() g(c) para valores e istintos e c. En las emostraciones e las reglas el proucto el cociente se sumó restó una misma cantia. Ahora se recurrirá a un truco similar, multiplicar iviir por una misma cantia (istinta e cero). Observar que, como g es erivable, también es continua, por lo que g() g(c) cuano c. hc lím c f g f gc c f g f gc g gc lím c g gc c,g gc f g f gc lím c g gc lím c fgcgc g gc c Al aplicar la regla e la caena, es útil consierar que la función compuesta ƒ g está constituia por os partes: una interior otra eterior. Función eterior f g f u Función interior La erivaa e ƒ(u) es la erivaa e la función eterior (en la función interior u) multiplicaa por la erivaa e la función interior. fu u

3 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO Descomposición e una función compuesta ƒ(g()) u g() ƒ(u) a) u u sen u sen u c) u l u ) tan u tan u EJEMPLO Aplicación e la regla e la caena Encontrar para ( ). AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo también se puee resolver sin hacer uso e la regla e la caena, si se observa que 6, por tanto, Comprobar que esta erivaa es la misma que la el ejemplo. Qué métoo sería preferible para encontrar 50? Solución Para esta función, consierar que la función interior es u. Por meio e la regla e la caena, se obtiene 6. u u La regla general e la potencia La función el ejemplo es uno e los tipos más comunes e funciones compuestas, [u()] n. La regla para erivar tales funciones se llama regla general e la potencia, no es sino un caso particular e la regla e la caena. TEOREMA. LA REGLA GENERAL DE LA POTENCIA Si [u()] n, one u es una función erivable e n es un número racional, entonces u nun o su equivalente un nu n u. DEMOSTRACIÓN Puesto que u n, aplicar la regla e la caena para obtener u u u un u. Por meio e la regla (simple) e la potencia estuiaa en la sección., se tiene D u [u n ] nu n se sigue que u nun.

4 SECCIÓN. La regla e la caena EJEMPLO Aplicación e la regla general e la potencia Encontrar la erivaa e ƒ() ( ). Solución Sea u. Entonces f() ( ) u, meiante la regla general e la potencia, se euce que n u n u f. Aplicar la regla general e la potencia. Derivar. f() ( ) EJEMPLO 5 Derivación e funciones con raicales Encontrar los puntos e la gráfica e ƒ() ( ) en los que ƒ() 0 aquellos en los que ƒ() no eiste. Solución Reescribir e nuevo la función como ƒ() ( ). Aplicar ahora la regla general e las potencias (con u ); se obtiene n u n u f Aplicar la regla general e las potencias. f () La erivaa e ƒ es 0 en 0 no está efinia en l Figura.5. Epresar en forma raical. De tal manera, ƒ() 0 en 0 ƒ() no eiste en, como se muestra en la figura.5. EJEMPLO 6 Derivación e cocientes con numeraores constantes Derivar gt 7 t.. Solución Para empezar, reescribir la función como g(t) 7(t ). NOTA Derivar la función el ejemplo 6 usano la regla el cociente. El resultao será el mismo, pero el métoo es menos eficiente que la regla general e la potencia. Después, con la regla general e la potencia se tiene n u n gt 7t u Aplicar la regla general e la potencia. Regla el múltiplo constante 8t 8 t. Epresar con eponente positivo.

5 CAPÍTULO Derivación Simplificación e erivaas Los siguientes tres ejemplos ponen e manifiesto algunas técnicas para simplificar las erivaas e funciones que involucran prouctos, cocientes composiciones. EJEMPLO 7 Simplificación por factorización e la potencia mínima f f Reescribir. Regla el proucto. Regla general e la potencia. Factorizar. EJEMPLO 8 Simplificación e la erivaa e un cociente TECNOLOGÍA Las herramientas e graficación con erivación simbólica son capaces e erivar funciones mu complicaas. No obstante, suelen presentar el resultao en forma no simplificaa. Si se cuenta con una e ese tipo, usarla para calcular las erivaas e las funciones e los ejemplos 7, 8 9, comparar espués los resultaos. f f Reescribir. Regla el cociente. Factorizar. EJEMPLO 9 Simplificación e la erivaa e una potencia n u n u Regla general e la potencia. Regla el cociente. Multiplicar.

6 SECCIÓN. La regla e la caena 5 Funciones trigonométricas la regla e la caena A continuación se muestran las versiones e la regla e la caena corresponientes a las erivaas e las funciones trigonométricas: sen u cos u u tan u sec u u sec u sec u tan u u cos u sen u u cot u csc uu csc u csc u cot u u EJEMPLO 0 Aplicación e la regla e la caena a funciones trigonométricas u cos u u a) c) sen cos tan cos sen sec cos cos Ha que asegurarse e entener los convenios matemáticos que afectan a paréntesis funciones trigonométricas. Así, en el ejemplo 0a, se escribe sen que significa sen (). EJEMPLO Paréntesis funciones trigonométricas a) c) ) e) cos cos sen 6 6 sen cos cos cos cos cos cos cos9 sen sen 9 cos cos cos sen cos sen cos sen sen cos Para calcular la erivaa e una función con la forma k() ƒ(g(h())) es necesario aplicar la regla e la caena os veces, como se ilustra en el ejemplo. EJEMPLO Aplicación reiteraa e la regla e la caena ft sen t sen t ft sen t sen t t sen t cos t t t sen t cos t sen t cos t Reescribir. Aplicar la regla e la caena por primera vez. Aplicar la regla e la caena por seguna vez.

7 6 CAPÍTULO Derivación Figura.6 f() = sen + cos (, ) EJEMPLO Recta tangente a una función trigonométrica Encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ() sen cos en el punto (, ), como se muestra en la figura.6. A continuación eterminar toos los valores e en el intervalo (0, ) en los que la gráfica e ƒ tienen una tangente horizontal. Solución Comenzar por encontrar ƒ(). f sen cos f cos sen cos sen Aplicar la regla e la caena a cos. Para encontrar la ecuación e la recta tangente en (, ), evaluar ƒ(). f cos sen Sustituir. Peniente e la gráfica en (, ). Ahora, utilizano la forma punto-peniente e la ecuación e la recta, escribir m. Forma punto-peniente. Sustituir, m. Ecuación e la recta tangente en (, ). AYUDA DE ESTUDIO Para aquirir maor práctica en la erivación, se eben aprener toas las reglas. Como aua para la memoria, observar que las cofunciones (coseno, cotangente cosecante) tienen un signo negativo en sus erivaas. Se puee eterminar que ƒ() 0 cuano,,. De tal moo, ƒ tiene una 6 6 tangente horizontal en 6,, 6,. 5 Esta sección conclue con un compenio e las reglas e erivación estuiaas hasta este momento. 5 Compenio e reglas e erivación Reglas generales e erivación Sean ƒ, g u funciones erivables e. Regla el múltiplo constante: cf cf Regla e la suma o e la iferencia: f ± g f ± g Derivaas e funciones algebraicas Derivaas e funciones trigonométricas Regla e la caena Regla el proucto: fg fg gf Regla e la constante: c 0 sen cos cos sen Regla e la caena: fu fu u Regla el cociente: g f gf fg g Regla simple e la potencia: n n n, tan sec cot csc Regla general e la potencia: un nu n u sec sec tan csc csc cot

8 SECCIÓN. La regla e la caena 7. Ejercicios CAS En los ejercicios a 6, completar la tabla fg tan csc sen 5 u g En los ejercicios 7 a 6, encontrar la erivaa e la función g 9 0. f t 9t. f t 5 t. g g f f t 0. t... f. f g f v v. v. f f 6. En los ejercicios 7 a, utilizar un sistema algebraico por computaora para encontrar la erivaa e la función. Utilizar el mismo mecanismo para representar gráficamente la función su erivaa en el mismo plano cartesiano. Describir el comportamiento e la función que correspone a cualquier cero e la gráfica e la erivaa cos. st fu t t 5 t gt t ht t t g g gt t g tan En los ejercicios, calcular la peniente e la recta tangente a la función seno en el origen. Comparar este valor con el número e ciclos completos en el intervalo [0, ]. Cuál es la conclusión respecto a la peniente e una función sen a en el origen?. a). a) En los ejercicios 5 a 66, encontrar la erivaa e la función. 5. cos 6. sen 7. g 5 tan 8. h sec 9. sen 50. cos 5. h sen cos 5. g sec tan 5. f cot 5. sen 55. sec f tan f sen f t sec t 6. 5 cos 6. sen 6. sen sen 65. sen(tan ) 66. cossintan sen En los ejercicios 67 a 7, evaluar la erivaa e la función en el punto inicao. Utilizar una herramienta e graficación para verificar los resultaos. Función Punto sen 5 cos sen st t 6t f 5 f t f t t f 6 sec, 5, 0, 5, sen gv cos v csc v gt 5 cos t g cos 8,,, 6 0, sen ht cot t

9 8 CAPÍTULO Derivación En los ejercicios 75 a 8, a) encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ en el punto que se inica, utilizar una herramienta e graficación para representar la función la recta tangente en ese punto c) verificar los resultaos empleano la función erivative e su herramienta e graficación Función f 7 f 5 f 9 f sen cos f tan tan Punto, 5,,,,0 En los ejercicios 8 a 86, a) utilizar una herramienta e graficación para encontrar la erivaa e la función el punto ao, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función el punto ao c) utilizar la herramienta e graficación para representar la función su recta tangente en la misma ventana.,,, En los ejercicios 9 a 96, encontrar la seguna erivaa e la función. 9. f f f sen 96. En los ejercicios 97 a 00, evaluar la seguna erivaa e la función en el punto ao. Utilizar una herramienta e graficación para verificar los resultaos h 9, f, f cos, gt tan t, Desarrollo e conceptos 0, 6, 9 0, 6, f f f sec En los ejercicios 0 a 0, se muestran las gráficas e una función ƒ su erivaa ƒ. Clasificar las gráficas según corresponan a ƒ o ƒ escribir en un breve párrafo los criterios utilizaos para hacer la selección gt f, s t t t t, t t, t 9t,,, 8 0,, Curvas famosas En los ejercicios 87 88, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica el punto ao. Después utilizar una herramienta e graficación para ibujar la función su recta tangente en la misma ventana. 87. Semicírculo superior 88. Curva e bala 8 6 f() = 5 (, ) Recta tangente horizontal Determinar el o los puntos en el intervalo (0, ) en los que la gráfica e ƒ() cos sen tiene una tangente horizontal. 90. Recta tangente horizontal Determinar el o los puntos en los que la gráfica e f tiene una tangente horizontal. f() = (, ) En los ejercicios 05 06, se a la relación que eiste entre ƒ g. Eplicar la relación que eiste entre ƒ g. 05. g() f() 06. g() f( ) 07. Para pensar La tabla muestra algunos valores e la erivaa e una función esconocia f. Completar la tabla encontrano (si es posible) la erivaa e caa una e las siguientes transformaciones e f. a) c) ) g f h f r f s f