5.2 La función logaritmo natural: integración

Transcripción

1 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5. La función logaritmo natural: integración Usar la regla e logaritmo e integración para integrar una función racional. Integrar funciones trigonométricas. E X PLORACIÓN Integración e funciones racionales En el capítulo se estuiaron las reglas a seguir para integrar cualquier función polinomial. La regla e logaritmo presentaa en esta sección facilita la integración e funciones racionales. Por ejemplo, caa una e las siguientes funciones puee ser integraa con la regla e logaritmo. Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo a Ejemplo c Ejemplo Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ha toavía muchas funciones racionales que no pueen ser integraas usano la regla e logaritmo. Dar ejemplos e estas funciones eplicar el razonamiento. Regla e logaritmo para integración Las reglas e erivación ln ln u u u que se estuiaron en la sección anterior proucen las siguientes reglas e integración. TEOREMA 5.5 REGLA DE LOGARITMO PARA INTEGRACIÓN Sea u una función erivable e... ln C Como u = u, la seguna fórmula también puee epresarse como u u ln u C. Forma alternativa para la regla e logaritmo. EJEMPLO Uso e la regla e logaritmo para integración ln C ln C Regla el múltiplo constante. Regla e logaritmo para integración. Propiea e los logaritmos. Como no puee ser negativa, el valor absoluto no es necesario en la forma final e la primitiva o antierivaa. EJEMPLO Uso e la regla e logaritmo con cambio e variables Hallar. u u lnu C Solución Si se toma u, entonces u. u u Multiplicar iviir entre. Sustituir u. ln u C Aplicar la regla e logaritmo. ln C Sustitución regresiva.

2 SECCIÓN 5. La función logaritmo natural: integración 5 En el ejemplo usar la forma alternativa e la regla e logaritmo. Para aplicar esta regla, buscar cocientes en los que el numeraor sea la erivaa el enominaor EJEMPLO Cálculo e un área con la regla e logaritmo Encontrar el área e la región limitaa por la gráfica e el eje la recta. Solución En la figura 5.8 se puee observar que el área está aa por la integral efinia Área 0 El área e la región limitaa por la gráfica e, el eje es ln 0 Figura 5.8 Si se toma u, entonces u. Para aplicar la regla e logaritmo, se ebe multiplicar iviir entre como se muestra. 0 0 u ln ln 0 ln ln Multiplicar iviir entre. u ln u C ln 0 EJEMPLO Integración e cocientes para la regla e logaritmo a) u b) ln C sec u tan tan ln tan C c) u ln C ) u ln C Con antierivaas o primitivas que contienen logaritmos es fácil obtener formas que parecen iferentes, pero que son equivalentes. Por ejemplo, las siguientes son equivalentes a la antierivaa o primitiva que aparece en el ejemplo. ln C ln C

3 6 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes Las integrales a las que se aplica la regla e logaritmo aparecen a menuo isfrazaas. Por ejemplo, si una función racional tiene un numeraor e grao maor o igual que el el enominaor, la ivisión puee revelar una forma a la que se puea aplicar la regla e logaritmo. Esto se muestra en el ejemplo 5. EJEMPLO 5 Usar ivisión larga antes e integrar Hallar. Solución Primero se utiliza la ivisión larga para reescribir el integrano. ) Ahora, se puee integrar para obtener ln C. Reescribir usano la ivisión larga. Reescribir como os integrales. Integrar. Verificar este resultao por erivación para obtener el integrano original. El siguiente ejemplo presenta otro caso en que el uso e la regla e logaritmo está isfrazao. En este caso, un cambio e la variable aua a reconocer la regla e logaritmo. EJEMPLO 6 Cambio e variable con la regla e logaritmo Hallar. TECNOLOGÍA Si se tiene acceso a un sistema algebraico por computaora, se puee usar para resolver las integrales inefinias e los ejemplos 5 6. Comparar las formas e las primitivas aas con los resultaos obtenios en los ejemplos 5 6. Solución Si se toma u, entonces u u. u u u u u u u u u u u lnu u C lnu u C ln C Sustituir. Reescribir como os fracciones. Reescribir como os integrales. Integrar. Simplificar. Sustitución regresiva. Comprobar este resultao por erivación para obtener el integrano original.

4 SECCIÓN 5. La función logaritmo natural: integración 7 Al estuiar los métoos mostraos en los ejemplos 5 6, está claro que ambos métoos involucran reescribir el integrano isfrazao ajustánolo a una o más fórmulas básicas e integración. En las próimas secciones el capítulo 5 en el capítulo 8, se estuiarán ampliamente las técnicas e integración. Para ominar estas técnicas, se requiere reconocer la naturaleza e probar errar e la integración. En este sentio, la integración no es tan irecta como la erivación. La erivación se plantea así: He aquí la pregunta; cuál es la respuesta? La integración viene a ser más bien He aquí la respuesta; cuál es la pregunta? Las siguientes son estrategias que se pueen usar para la integración. AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta que se puee comprobar la respuesta e un problema e integración al erivar la respuesta. Como se ve en el ejemplo 7, la erivaa e lnln C es ( ln ). Estrategias para la integración. Memorizar una lista básica e fórmulas e integración. (Inclueno las aas en esta sección, a isponemos e fórmulas: la regla e la potencia, la regla e logaritmo 0 reglas trigonométricas. Al final e la sección 5.7 la lista se ampliará a 0 reglas básicas.). Buscar una fórmula e integración que se parezca total o parcialmente al integrano, por prueba error elegir una u que ajuste el integrano a la fórmula.. Si no se puee hallar una sustitución u aecuaa, intentar transformar el integrano, meiante ientiaes trigonométricas, multiplicación ivisión por la misma cantia, o suma resta e una misma cantia. Se requiere ingenio.. Si se tiene acceso a un software e computaora que resuelva antierivaas, es conveniente usarlo. EJEMPLO 7 Sustitución u la regla e logaritmo Resolver la ecuación iferencial ln. Solución La solución se puee escribir como una integral inefinia. ln Como el integrano es un cociente con enominaor e potencia, se puee intentar utilizar la regla e logaritmo. Ha tres formas posibles para u. La forma u u ln, no logra ajustarse a la forma uu e la regla e logaritmo, sin embargo, la tercera forma sí se ajusta. Si u ln, entonces u, se obtiene lo siguiente. ln ln u u lnu C ln ln C Diviir numeraor enominaor por. Sustituir u ln. Aplicar regla e logaritmo. Sustitución regresiva. Por tanto, la solución es lnln C.

5 8 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes Integrales e funciones trigonométricas En la sección. se estuiaron seis reglas e integración trigonométrica, las seis que corresponen irectamente a reglas e erivación. Con la regla e logaritmo, se puee completar el conjunto e reglas básicas e integración trigonométrica. EJEMPLO 8 Uso e ientia trigonométrica Hallar tan. Solución Esta integral no parece ajustarse a ninguna e las reglas básicas e la lista. Sin embargo, al utilizar una ientia trigonométrica se tiene sen tan cos. Sabieno que D [cos ] sen, tenemos u cos escribimos sen tan cos u u lnu C ln cos C. Ientia trigonométrica. Sustituir u = cos. Aplicar regla e logaritmo. Sustitución regresiva. En el ejemplo 8 se usó una ientia trigonométrica para erivar una regla e integración e la función tangente. En el siguiente ejemplo, se efectúa un paso algo inusual (multiplicar iviir entre una misma cantia) para llegar a una fórmula e integración para la función secante. EJEMPLO 9 Obtención e la fórmula para secante Hallar sec. Solución Consierar el siguiente proceimiento. sec sec sec tan sec tan sec sec tan sec tan Al tomar u como el enominaor e este cociente se obtiene u sec tan u sec tan sec. Así, se puee concluir que sec sec sec tan sec tan u u lnu C lnsec tan C. Reescribir el integrano. Sustituir u sec tan. Aplicar regla e logaritmo. Sustitución regresiva.

6 SECCIÓN 5. La función logaritmo natural: integración 9 Con los resultaos e los ejemplos 8 9, se ispone e las fórmulas e integración e sen, cos, tan sec. Las seis reglas trigonométricas se resumen a continuación. (Las emostraciones e cot u csc u se ejan como ejercicios 9 9.) NOTA Al utilizar las ientiaes trigonométricas las propieaes e los logaritmos, se pueen reescribir esas seis reglas e integración e otras maneras. Por ejemplo, Integrales e las seis funciones trigonométricas básicas sen u u cos u C cos u u sen u C csc u u lncsc u cot u C. (Ver los ejercicios 9 a 96.) tan u u lncos u C sec u u lnsec u tan u C cot u u lnsen u C csc u u lncsc u cot u C Figura 5.9 f() = tan Valor promeio 0. EJEMPLO 0 Integración e funciones trigonométricas Evaluar tan. 0 Solución Si tan sec, se puee escribir tan sec 0 0 sec sec 0 para EJEMPLO Encontrar un valor promeio Encontrar el valor promeio e ƒ() tan en el intervalo 0, Solución Valor promeio 0 lnsec tan 0 ln ln ln cos ln 0. tan ln ln. Simplificar. Integrar. 0. El valor promeio está alreeor e 0., como se muestra en la figura tan Valor promeio b b a a f.

7 0 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5. Ejercicios En los ejercicios a 6, encontrar la integral inefinia ln ln En los ejercicios 7 a 0, hallar la integral inefinia por sustitución u. (Sugerencia: Tomar u como el enominaor el integrano.) En los ejercicios a 0, encontrar la integral inefinia. En los ejercicios a 6, resolver la ecuación iferencial. Usar una herramienta e graficación para representar tres soluciones, una e las cuales tiene que pasar por el punto inicao..,.,., 0., s tan, r t sec t tan t, 7. Determinar la función ƒ si f f,, f, > 0. 0,, 9, 0, 8. Determinar la función ƒ si f, f, f 0, >. Campos e penientes En los ejercicios 9 a 5, se a una ecuación iferencial, un punto un campo e penientes. a) Trazar os soluciones aproimaas e la ecuación iferencial el campo e penientes, una e las cuales pase por el punto inicao. b) Hallar por integración la solución particular e la ecuación iferencial representarla en una herramienta e graficación. Comparar el resultao con los trazos el apartao a). 9. 0,, 50. ln,,,, 0 5. cot. tan 5 5.,, 5. sec, 0,. csc. 5. cos 6. cos t sen sin t t sec tan 9. sec 0. sec tan sec tan csc t cot t t 6

8 SECCIÓN 5. La función logaritmo natural: integración CAS En los ejercicios 5 a 60, calcular la integral. Verificar el resultao con una herramienta e graficación e 0 ln cos En los ejercicios 6 a 66, usar un sistema algebraico por computaora para hallar o evaluar la integral csc sen 66. Aproimación En los ejercicios 7 7, eterminar el valor que mejor aproima el área e la región entre el eje la gráfica e la función en el intervalo ao. (Basar la elección en un esbozo e la región no en cálculos.) 7. f sec, 0, a) 6 b) 6 c) ).5 e) 7. f 0,, a) b) 7 c) ) 5 e) Área En los ejercicios 7 a 76, calcular el área e la región aa. Verificar el resultao con una herramienta e graficación sen e e ln 7. ln csc cot En los ejercicios 67 a 70, encontrar F(). 67. F 68. t t F F 70. t t F sen cos cos tan t t t t 75. tan 76. sen cos Área En los ejercicios 77 a 80, calcular el área e la región elimitaa por la gráfica e las ecuaciones. Verificar el resultao con una herramienta e graficación ,,, 0 Integración numérica En los ejercicios 8 a 8 usar la regla e los trapecios la regla e Simpson para aproimar el valor e la integral efinia. Tomar n reonear la respuesta a ecimales. Verificar el resultao con una herramienta e graficación ln 8. Desarrollo e conceptos En los ejercicios 85 a 88, especificar la fórmula e integración aecuaa. No integrar sec tan 89. Encontrar un valor e, tal que sec 0,, 0 6, tan 0.,,, 0 6,, 5, sec t t t t. 6 6 Para iscusión 90. Encontrar un valor e tal que t t es igual a a) ln 5 b).

9 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 9. Mostrar que cot u u lnsin senu C. 9. Mostrar que csc u u lncsc u cot u C. En los ejercicios 9 a 96, mostrar que las os fórmulas son equivalentes tan lncos C tan lnsec C cot lnsen C 0. Precio promeio La ecuación para la emana e un proucto es p Calcular su precio promeio en el intervalo Ventas La razón e cambio en las ventas S es inversamente proporcional al tiempo t (t ) meio en semanas. Encontrar S en función e t, si las ventas espués e semanas son uniaes, respectivamente. Veraero o falso? En los ejercicios 05 a 08, eterminar si la afirmación es veraera o falsa. Si es falsa, eplicar por qué o ar un ejemplo que confirme que es falsa. 95. cot lncsc C sec lnsec tan C sec lnsec tan C ln ln ln C lnc, c 0 ln ln ln ln 96. csc lncsc cot C csc lncsc cot C 09. Traectoria ortogonal a) Usar una herramienta e graficación para la ecuación 8. b) Evaluar la integral para encontrar en términos e. En los ejercicios 97 a 00, encontrar el valor promeio e la función sobre el intervalo ao. 97. f 8,, 98. f,, 99. f ln,, e 00. f sec 0, 6, 0. Crecimiento e una población Una población e bacterias cambia a una razón P 000 t 0.5t one t es el tiempo en ías. La población inicial (cuano t 0) era 000. Escribir una ecuación que escriba la población en cualquier instante t calcular la población cuano t ías. 0. Transferencia e calor Calcular el tiempo requerio para enfriar un objeto e 00 a 50 F al evaluar t ln 50 Valor promeio T 00 T one t es el tiempo en minutos. Valor promeio e Para un valor particular e la constante e integración, graficar el resultao en la misma ventana usaa en el apartao a). c) Verificar que las tangentes para las gráficas en los apartaos a) b) son perpeniculares a los puntos e intersección. 0. Graficar la función f en el intervalo [0, ). a) Encontrar el área elimitaa por la gráfica e ƒ la recta. b) Determinar los valores e la peniente m en los que la recta m la gráfica e f están incluios en la región finita. c) Calcular el área e esta región como una función e m.. Desiguala e Napier Para 0, mostrar que ln ln < <.. Probar que la función F t t es constante en el intervalo (0, ).

10 SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa e otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la erivaa e una función inversa. f Funciones inversas Recorar e la sección P. que una función se puee representar por un conjunto e pares orenaos. Por ejemplo, la función ƒ() e A {,,, } en B {, 5, 6, 7}, se puee escribir como ƒ : {(, ), (, 5), (, 6), (, 7)}. f Dominio e ƒ recorrio o rango e ƒ Dominio e ƒ recorrio o rango e ƒ Figura 5.0 Por el intercambio e la primera seguna coorenaas e caa par orenao se puee formar la función inversa e ƒ. Esta función se enota por ƒ. Ésta es una función e B en A, se escribe como ƒ : {(, ), (5, ), (6, ), (7, )}. Notar que el ominio e ƒ es el recorrio o rango e ƒ, viceversa, como se ilustra en la figura 5.0. Las funciones ƒ ƒ tienen el efecto e eshacer caa una a la otra. Esto es, al componer f con ƒ o la composición e ƒ con ƒ, se obtiene la función ientia. ƒ(ƒ ()) ƒ (ƒ()) EXPLORACIÓN Cálculo e las funciones inversas Eplicar cómo eshacer lo que hace caa una e las siguientes funciones. Usar la eplicación para escribir la función inversa e ƒ. a) b) c) ) e) f) f 5 f 6 f f f f Usar una herramienta e graficación para representar caa función junto con su inversa. Qué observación se puee hacer acerca e caa par e gráficas? DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA Una función g es la función inversa e la función ƒ si ƒ(g()) = para too en el ominio e g g(ƒ()) para too en el ominio e ƒ. La función g se enota por ƒ (se lee como inversa e f ). NOTA Aunque la notación utilizaa para la función inversa se parece a la notación eponencial, es un uso istinto el como superínice. Esto es, en general, ƒ () ƒ(). He aquí algunas observaciones relevantes acerca e las funciones inversas.. Si g es la función inversa e ƒ, entonces ƒ es la función inversa e g.. El ominio e ƒ es igual al recorrio o rango e ƒ el recorrio o rango ƒ es igual que el ominio e ƒ.. Una función puee no tener función inversa, pero si la tiene, la función inversa es única (ver el ejercicio 08). Se puee pensar en ƒ como una operación que eshace lo hecho por ƒ. Por ejemplo, la resta eshace lo que la suma hace, la ivisión eshace lo que hace la multiplicación. Usar la efinición e función inversa para comprobar: ƒ() c ƒ () c son funciones inversas una e la otra. ƒ() c f, c 0, son funciones inversas una e la otra. c

11 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes EJEMPLO Comprobación e funciones inversas Demostrar que las funciones siguientes son mutuamente inversas. f g Solución Como el ominio el recorrio o rango e ƒ g son toos los números reales, se puee concluir que las os funciones compuestas eisten para too. La composición e ƒ con g se a por g() = + = f() = f g son funciones inversas una e la otra Figura 5. f g. La composición e g con f es g f. Puesto que ƒ(g()) g (ƒ()), se puee concluir que ƒ g son inversas una e otra (ver la figura 5.). AYUDA DE ESTUDIO En el ejemplo, comparar las funciones ƒ g en forma verbal. Para ƒ: Primero elevar al cubo, luego multiplicar por, espués restar. Para g: Primero sumar, espués iviir entre, luego sacar raíz cúbica. Se ve cómo se eshace el proceso? = f() (a, b) = En la figura 5., las gráficas e ƒ g ƒ parecen el reflejo una e la otra respecto a la recta. La gráfica e ƒ se obtiene reflejano la e ƒ en la línea. Esta iea generaliza el siguiente teorema. (b, a) TEOREMA 5.6 PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LAS FUNCIONES INVERSAS = f () La gráfica e ƒ contiene el punto (a, b) si sólo si la gráfica e ƒ contiene el punto (b, a). La gráfica e ƒ es un reflejo e la gráfica e ƒ en la recta Figura 5. DEMOSTRACIÓN Si (a, b) está en la gráfica e ƒ, entonces es ƒ(a) b se puee escribir f b f f a a. De forma que (b, a) está en la gráfica e ƒ, como se muestra en la figura 5.. Un argumento similar emuestra el teorema en la otra irección.

12 SECCIÓN 5. Funciones inversas 5 a f(a) = f(b) = f() b Eistencia e una función inversa No toas las funciones tienen función inversa; el teorema 5.6 sugiere un criterio gráfico para aquellas que lo son: el criterio e la recta horizontal para una función inversa. Esta prueba establece que la función f tiene inversa si sólo si toa recta horizontal corta a la gráfica e ƒ a lo más en sólo un punto (figura 5.). El siguiente teorema eplica por qué la prueba e la recta horizontal es vália. (Recorar e la sección. que la función es estrictamente monótona si ésta es creciente o ecreciente en too su ominio.) Si una recta horizontal corta os veces la gráfica e ƒ, entonces ƒ no es inectiva Figura 5. TEOREMA 5.7 EXISTENCIA DE LA FUNCIÓN INVERSA. Una función tiene función inversa si sólo si es inectiva.. Si f es estrictamente monótona en too su ominio, entonces ésta es inectiva, por tanto, tiene inversa. DEMOSTRACIÓN Para emostrar la seguna parte el teorema, recorar e la sección P. que f es inectiva si para en su ominio f f Ahora, se escoge en el ominio e ƒ. Si, entonces, como ƒ es estrictamente monótona, se euce que f < f o f > f. En cualquier caso, ƒ( ) ƒ( ). Por tanto, ƒ es inectiva en el intervalo. La emostración e la primera parte el teorema se eja como ejercicio (ver el ejercicio 09). f() = + EJEMPLO Eistencia e la función inversa a) Dao que ƒ es creciente en too su ominio, tiene función inversa Cuál e las funciones tiene inversa? a) f b) f Solución f() = + (, ) (0, ) (, ) a) En la figura 5.a se observa una gráfica e ƒ, que aparenta que ƒ es creciente en too su ominio. Para verificar esto, notar que su erivaa, ƒ(), es positiva para toos los valores reales e. Por tanto, ƒ es estrictamente monótona ebe tener una función inversa. b) En la figura 5.b se observa una gráfica e ƒ, en la que se puee ver que la función no satisface el criterio e la recta horizontal. En otras palabras, no es inectiva. Por ejemplo, ƒ toma el mismo valor cuano, 0. ƒ() ƒ() ƒ(0) No inectiva. b) Dao que ƒ no es inectiva, no tiene una función inversa Figura 5. En consecuencia, por el teorema 5.7, ƒ no amite inversa. NOTA Suele ser más fácil probar que una función tiene función inversa que hallarla. Por ejemplo, sería algebraicamente ifícil hallar la función inversa el ejemplo a.

13 6 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes A continuación se sugiere un proceimiento para encontrar la función inversa e una función. Estrategia para hallar la inversa e una función. Utilizar el teorema 5.7 para eterminar si la función aa ƒ() tiene inversa.. Despejar como función e : = g() = ƒ ().. Intercambiar. La ecuación resultante es ƒ ().. Definir como ominio e f el recorrio e f. 5. Verificar que ƒ(ƒ ()) = ƒ (ƒ()). EJEMPLO Cálculo e la inversa e una función Hallar la función inversa e f. f () (, ) 0, ) ( (, 0 ) + (, ) = f() El ominio e ƒ, [0, ) es el recorrio o rango e ƒ Figura 5.5 Solución De la gráfica e f en la figura 5.5, aparece que f se incrementa sobre su ominio entero,. Para verificar esto, observar que f es positivo sobre el ominio e f. Así, f es estrictamente monótona ebe tener una función inversa. Para encontrar una ecuación para la función inversa, sea f espejar en términos e. f Hacer ƒ(). Elevar al cuarao. Despejar. Intercambiar. Sustituir por ƒ (). El ominio e ƒ es el recorrio o rango e ƒ, que es [0, ). Se puee verificar este resultao como sigue. f f, f f NOTA Recorar que se puee utilizar cualquier letra para representar la variable inepeniente. Así, f f f s s representan la misma función., 0

14 SECCIÓN 5. Funciones inversas 7 El teorema 5.7 es útil en el siguiente tipo e problemas. Supóngase una función que no es inectiva en su ominio. Al restringir el ominio a un intervalo en que la función sea estrictamente monótona, se obtiene una nueva función que a es inectiva en el ominio restringio. ( ), EJEMPLO Analizar si una función es inectiva Demostrar que la función ƒ() sen no es inectiva en toa la recta real. Después emostrar que [, ] es el intervalo más grane, centrao en el origen, en el que ƒ es estrictamente monótona. Solución Es claro que ƒ no es inectiva, a que muchos valores iferentes e an un mismo valor e. Por ejemplo, sen(0) 0 sen(). ( ), f() = sen f es inectiva en el intervalo [, ] Figura 5.6 Aemás, ƒ es creciente en el intervalo abierto (, ), porque su erivaa f cos es positiva en él. Por último, como en los puntos terminales a la erecha a la izquiera ha etremos relativos e la función seno, se puee concluir que la función ƒ es creciente en el intervalo cerrao [, ] que en cualquier otro intervalo maor, la función no es estrictamente monótona (ver la figura 5.6). Derivaa e la función inversa Los os teoremas siguientes iscuten la erivaa e las funciones inversas. El razonamiento el teorema 8 se sigue e la propiea refleiva e la función inversa, como se muestra en la figura 5.. En el apénice A pueen verse las emostraciones e los os teoremas. TEOREMA 5.8 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES INVERSAS Sea f una función cuo ominio es un intervalo I. Si ƒ tiene una función inversa, entonces los siguientes enunciaos son veraeros. EXPLORACIÓN Graficar las funciones inversas f g. Calcular la peniente e f en (, ), (, 8) (, 7), la peniente e g en (, ), (8, ) (7, ). Qué se observa? Qué ocurre en (0, 0)?. Si ƒ es continua en su ominio, entonces ƒ es continua en su ominio.. Si ƒ es creciente en su ominio, entonces ƒ es creciente en su ominio.. Si ƒ es ecreciente en su ominio, entonces ƒ es ecreciente en su ominio.. Si ƒ es erivable en c ƒ(c) 0, entonces f es erivable en ƒ(c). TEOREMA 5.9 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA Sea ƒ una función erivable en un intervalo I. Si ƒ tiene una función inversa g, entonces g es erivable para too tal que ƒ(g()) 0. Aemás, g fg, fg 0.

15 8 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes EJEMPLO 5 Cálculo e la erivaa e una función inversa Sea f. a) Cuál es el valor e ƒ () para? b) Cuál es el valor e (ƒ )() para? Solución Notar que ƒ es una función inectiva, así que tiene una función inversa. a) Como ƒ() cuano, se sabe que ƒ (). b) Como la función ƒ es erivable tiene inversa, se puee aplicar el teorema 5.9 (con g ƒ ) se escribe f f f f. (, ) f () f() m = m = (, ) Las gráficas e las funciones inversas ƒ ƒ tienen penientes recíprocas en los puntos (a, b) (b, a) Figura 5.7 Aemás, usano ƒ() =, se conclue que f f. En el ejemplo 5, notar que la peniente en el punto (, ) e la gráfica e ƒ es la peniente e ƒ en el punto (, ) es (ver la figura 5.7). Esta relación recíproca (que se sigue el teorema 5.9) puee escribirse como se muestra. Si g f, entonces f f. El teorema 5.9 ice que g fg f. Así que,. EJEMPLO 6 Las gráficas e las funciones inversas tienen penientes recíprocas Sea ƒ() (para 0) f. Probar que las penientes e las gráficas e f f son recíprocas en los puntos siguientes. a) (, ) (, ) b) (, 9) (9, ) m = 6 (, ) m = (, ) (, 9) f() = m = f () = 6 m = 6 8 (9, ) En (0, 0), la erivaa e ƒ es 0, la erivaa e ƒ no eiste Figura Solución Las erivaas e ƒ ƒ están aas por f f. a) En (, ), la peniente e la gráfica e ƒ es ƒ() (). En (, ) la peniente e la gráfica e ƒ es f. b) En el punto (, 9), la peniente e la gráfica e ƒ es ƒ() () 6. En (9, ), la peniente e la gráfica e ƒ es f Así, en ambos casos, las penientes son recíprocas, como ilustra la figura 5.8.

16 SECCIÓN 5. Funciones inversas 9 5. Ejercicios En los ejercicios a 8, mostrar que ƒ g son funciones inversas a) analíticamente b) gráficamente.. f 5, g f, f, f, f, f 6, f, f, En los ejercicios 9 a, relacionar la gráfica e la función con la gráfica e su inversa. [Las gráficas e las funciones inversas están rotulaas a), b), c) ).] a) b) 5 c) ) , 0, g g g g, g 6 g g, < En los ejercicios a, usar una herramienta e graficación para representar la función. Entonces, usar la prueba e la recta horizontal para eterminar si la función es inectiva en su ominio entero así tiene una función inversa.. f f sen sin hs 8. s 9. f ln 0.. g 5. En los ejercicios a 0, a) encontrar la función inversa e f, b) graficar f f sobre la misma configuración e ejes coorenaos, c) escribir la relación entre las gráficas ) establecer el ominio el rango e f f En los ejercicios a 6, a) encontrar la función inversa e ƒ. b) Usar una herramienta e graficación para representar ƒ ƒ en la misma pantalla. c) Describir la relación entre las gráficas ) establecer el ominio así como el recorrio o rango e ƒ ƒ.. f.. f, f f f 5 f f f, 0 f, f, f 7 f 0 f 5 f gt t f 5 h f 5 f 5 En los ejercicios 7 8, usar la gráfica e la función f para hacer una tabla e valores para los puntos aos. Entonces, hacer una seguna tabla que puea usarse para encontrar f bosquejar la gráfica e f f 6 f 5 6

17 50 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 9. Costo Supóngase que se necesitan 50 libras e os prouctos que cuestan $.5 $.60 por libra. a) Verificar que el costo total es.5.60(50 ), one es el número e libras el proucto más barato. b) Encontrar la función inversa e la función costo. Qué representa caa variable en la función inversa? c) Cuál es el ominio e la función inversa? Valiar o eplicar el resultao a partir el conteto el problema. ) Determinar el número e libras el proucto más barato si el costo total es e $7. 0. Temperatura La temperatura C (F ), one F 59.6, representa la temperatura C en graos Celsius como una función e la temperatura F en graos Fahrenheit. a) Encontrar la función inversa e C. b) Qué representa la función inversa? c) Determinar el ominio e la función inversa. Valiar o eplicar el resultao con el conteto el problema. ) La temperatura es e C. Cuál es la temperatura corresponiente en graos Fahrenheit? En los ejercicios a 6, usar la erivaa para eterminar si la función es estrictamente monótona en su ominio completo, por tanto, tiene una función inversa.. f.. f. 5. f ln 6. En los ejercicios 7 a 5, mostrar que ƒ es estrictamente monótona en el intervalo ao, por tanto, tiene una función inversa en ese intervalo. 7. f,, f 0, 50., 5. f cos, 0, 5. En los ejercicios 5 5, encontrar la inversa e ƒ en el intervalo inicao. Usar una herramienta e graficación para representar ƒ ƒ en una misma pantalla. Describir la relación entre ambas gráficas. 5. f, 5., Razonamiento gráfico En los ejercicios 55 a 58, a) usar una herramienta e graficación para representar la función, b) representar su función inversa utilizano la herramienta e graficación c) eterminar si la gráfica e la relación inversa es una función inversa. Eplicar la respuesta. 55. f 56. f 6 f a b f cos f, f cot, f sec, f, 0, h, 0, 0, g 58. En los ejercicios 59 a 6, eterminar si la función es inectiva. Si lo es, encontrar su función inversa. 59. f f, 6. En los ejercicios 6 a 66, esechar la parte el ominio con el fin e que la función restringia sea inectiva. Encontrar la función inversa e la función resultante ar su ominio. (Nota: Ha más e una respuesta correcta.) 6. f f 66. Para pensar En los ejercicios 67 a 70, eterminar si la función amite inversa. Si es así, cuál es la función inversa? 67. g(t) es el volumen e agua que ha pasao por una tubería a t minutos e abrir la llave e paso. 68. h(t) es el nivel e la marea t horas pasaa la meianoche, one 0 t. 69. C(t) es el costo e una llamaa telefónica e t minutos. 70. A(r) es el área e un círculo e raio r. En los ejercicios 7 a 80, verificar si f tiene una inversa. Entonces usar la función f el número real ao a para encontrar (f ) (a). (Sugerencia: Ver el ejemplo 5.) 7. f, a f, f 7 5, f cos, f 6, >, a a f sen sin,,, a f f 5 f a b, f f 5 a a f 5, a 0 5 a 7

18 SECCIÓN 5. Funciones inversas f, f, f, >, > 0, a a a 6 Para iscusión 00. Para pensar El punto (, ) se encuentra en la gráfica e f, la peniente e la recta tangente por este punto es m. Suponer que f eiste. Cuál es la peniente e la recta tangente para la gráfica e f en el punto (, )? En los ejercicios 8 a 8, a) hallar el ominio e ƒ e ƒ, b) encontrar los recorrios o rangos e ƒ ƒ, c) graficar ƒ ƒ, ) emostrar que las penientes e las gráficas e ƒ ƒ son recíprocas en los puntos aos Funciones f f f f f f, f, f 0 0 En los ejercicios 85 86, encontrar en los puntos aos para la ecuación , (, ) 86. ln( ), (0, ) En los ejercicios 87 a 90, usar las funciones ƒ() g() para encontrar los valores aos. 87. f g f f En los ejercicios 9 a 9, usar las funciones f() g() 5 para encontrar las funciones aas. 9. g f f g 9. Desarrollo e conceptos Punto, 8 8,,, 5,, 5,, g f g g f g g f 95. Describir cómo encontrar la función inversa e una función inectiva aa por una ecuación en. Dar un ejemplo. 96. Describir la relación entre la gráfica e una función la gráfica e su función inversa. En los ejercicios 97 98, la erivaa e la función tiene el mismo signo para too en su ominio, pero la función no es inectiva. Eplicar. 97. f tan 98. f 99. Para pensar La función ƒ() k( ) es inectiva ƒ (). Encontrar k. Veraero o falso? En los ejercicios 0 a 0, eterminar cuál e las sentencias es veraera o falsa. Si es falsa, eplicar por qué o ar un ejemplo que muestre que es falsa. 0. Si ƒ es una función par entonces ƒ eiste. 0. Si la función inversa e f eiste, entonces la intersección en e ƒ es una intersección en e ƒ. 0. Si ƒ() n one n es impar, entonces ƒ eiste. 0. No eiste ninguna función f tal que ƒ ƒ. 05. a) Mostrar que ƒ() 6 no es inectiva en (, ). b) Determinar el maor valor e c e forma que ƒ sea inectiva en (c, c). 06. Sean ƒ g funciones inectivas. Probar que a) ƒ g es inectiva b) (ƒ g) () (g ƒ )(). 07. Probar que si ƒ tiene una función inversa, entonces (ƒ ) ƒ. 08. Demostrar que si una función tiene una función inversa, la función inversa es única. 09. Demostrar que una función tiene inversa si sólo si es inectiva. 0. Es cierto el recíproco e la seguna parte el teorema 5.7? Esto es, si una función es inectiva ( tiene una función inversa), entonces ebe ser, por tanto, una función estrictamente monótona? Si es cierto, emostrarlo. Si no lo es, ar un contraejemplo.. Sea ƒ os veces erivable e inectiva en un intervalo abierto I. Probar que su función inversa g satisface g fg fg. Si ƒ es creciente cóncava hacia abajo, cómo es la concavia e ƒ g? t. Si f encontrar f 0. t,. Demostrar que f t t es inectiva encontrar (ƒ ) (0).. Sea. Demostrar que es su propia función inversa. Qué se puee concluir acerca e la gráfica e ƒ? Eplicar. 5. Sea f a b c. a) Mostrar que f es inectiva si sólo si bc a 0. b) Dao bc a 0, encontrar f. c) Determinar los valores e a, b, c tal que f f.

19 5 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5. Funciones eponenciales: erivación e integración Desarrollar las propieaes e la función eponencial natural. Derivar las funciones eponenciales naturales. Integrar las funciones eponenciales naturales. f () e La función eponencial natural La función ƒ() ln es creciente en too su ominio, por tanto tiene una función inversa f. El ominio e ƒ es el conjunto e toos los reales, el recorrio o rango es el conjunto e toos los reales positivos, como se muestra en la figura 5.9. Así pues, para cualquier número real, f f ln f. es cualquier número real. f() ln La función inversa e la función logaritmo natural es la función eponencial natural Figura 5.9 Si es racional, entonces lne ln e. es un número racional. Como la función logaritmo natural es inectiva, se puee concluir que ƒ () e son iguales en valores racionales e. La siguiente efinición etiene el significao e e para incluir toos los valores reales e. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL La función inversa e la función logaritmo natural ƒ() ln se llama función eponencial natural se enota por Esto es, f e. e si sólo si ln. EL NÚMERO e El símbolo e fue utilizao por primera vez para representar la base e los logaritmos naturales por el matemático Leonhar Euler en una carta a otro matemático, Christian Golbach, en 7. La relación inversa entre las funciones logaritmo natural eponencial natural se puee resumir como sigue: lne e ln Relación inversa. EJEMPLO Resolución e ecuaciones eponenciales Resolver 7 e. Solución Se puee pasar e la forma eponencial a la forma logarítmica con sólo aplicar el logaritmo natural en ambos miembros e la ecuación. 7 e ln 7 lne ln 7 ln Ecuación original. Aplicar logaritmo natural a caa lao. Aplicar la propiea e inversa. Despejar. Usar la calculaora. Verificar esta solución en la ecuación original.

20 SECCIÓN 5. Funciones eponenciales: erivación e integración 5 EJEMPLO Resolución e una ecuación logarítmica Resolver ln( ) 5. Solución Para convertir la forma logarítmica en la forma eponencial aplicar la función eponencial e ambos miembros e la ecuación logarítmica. ln 5 e ln e 5 e 5 e Ecuación original. Aplicar eponenciales a caa lao. Aplicar la propiea inversa. Despejar. Usar la calculaora. Las reglas usuales para operar con eponentes racionales pueen ser etenias a la función eponencial natural, como se muestra en el siguiente teorema. TEOREMA 5.0 OPERACIONES CON FUNCIONES EXPONENCIALES Sean a b os números reales arbitrarios... e a e b e ab e a eb eab DEMOSTRACIÓN Para emostrar la propiea, se puee escribir lne a e b lne a lne b a b lne ab. Como la función logaritmo natural es inectiva, se puee concluir como e a e b e ab. La emostración e la seguna propiea se a en el apénice A. (, e) En la sección 5. se aprenió que una función inversa ƒ comparte muchas propieaes con ƒ. Así, la función eponencial natural herea las siguientes propieaes e la función logaritmo natural (ver la figura 5.0). (, e ) (, e ) (0, ) = e La función eponencial natural es creciente su gráfica es cóncava hacia arriba Figura 5.0 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL. El ominio e ƒ() e es (, ), el rango es (0, ).. La función ƒ() e es continua, creciente e inectiva en too su ominio.. La gráfica e ƒ() e es cóncava hacia arriba en too su ominio.. lím e 0 lím e.

21 5 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes Derivaas e las funciones eponenciales Una e las características más intrigantes ( más útiles) e la función eponencial natural es que su erivaa es ella misma. En otras palabras, es solución e la ecuación iferencial. Este resultao se enuncia en el siguiente teorema. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para encontrar más información acerca e erivaas e funciones eponenciales e oren, ver el artículo A Chil s Garen of Fractional Derivates, e Marcia Kleinz Thomas J. Osler en The College Mathematics Journal. TEOREMA 5. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL Si u es una función erivable e... e e eu e u u DEMOSTRACIÓN Para probar la propiea, usar el hecho e que ln e, erivar caa lao e la ecuación. ln e ln e e e e e Definición e la función eponencial. Derivar ambos laos con respecto a. La erivaa e u se euce e la regla e la caena. NOTA Se puee interpretar este teorema geométricamente icieno que la peniente e la gráfica e ƒ() e en cualquier punto (, e ) es igual a la coorenaa el punto. EJEMPLO Derivación e funciones eponenciales a) e e u u e u b) e e u u e e u f() = e EJEMPLO Localización e etremos relativos Encontrar los etremos relativos e ƒ() e. Solución La erivaa e ƒ está aa por (, e ) Mínimo relativo La erivaa e ƒ cambia e negativo a positivo en Figura 5. f e e e. Regla el proucto. Como e nunca es 0, la erivaa es 0 sólo cuano. Aemás, el criterio e la primera erivaa permite eterminar que en ese punto ha un mínimo relativo, como se muestra en la figura 5.. Como la erivaa ƒ() e ( ) está efinia para too, no ha otros puntos críticos.

22 SECCIÓN 5. Funciones eponenciales: erivación e integración 55 EJEMPLO 5 La función ensia e probabilia normal estánar Probar que la función ensia e probabilia normal estánar f e tiene puntos e infleión cuano. Dos puntos e infleión f() = e / La curva en forma e campana aa por una función e ensia e probabilia estánar normal Figura 5. Solución Para localizar los posibles puntos e infleión, se eben buscar los valores e para los cuales la seguna erivaa es cero. f f f e e e e e Función original. Primera erivaa. Regla el proucto. Seguna erivaa. Por tanto, ƒ() 0 cuano, se pueen aplicar las técnicas el capítulo para concluir que estos valores son los os puntos e infleión mostraos en la figura 5.. NOTA La forma general e una función e ensia e probabilia normal (cua meia es 0) está aa por f e one es la esviación estánar ( es la letra griega minúscula sigma). Esta curva en forma e campana tiene puntos e infleión cuano. EJEMPLO 6 Transacciones comerciales El número e transacciones comerciales (en millones) en la bolsa e valores e Nueva York ese 990 hasta 005 puee ser moelao por Transacciones comerciales (en millones) = 9 8e 0.75t t = Año (0 990) t 9 8e 0.75t one t representa el año, t 0 correspone a 990. A qué ritmo o velocia cambió el número e transacciones comerciales en 000? (Fuente: New York Stock Echange, Inc.) Solución La erivaa el moelo ao es (0.75)(9 8)e 0.75t 6 88e 0.75t. Al evaluar la erivaa cuano t 0, se puee concluir que el ritmo o velocia e cambio en 000 fue cerca e 7 9 millones e transacciones por año. Figura 5. La gráfica e este moelo se muestra en la figura 5..

23 56 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes Integrales e funciones eponenciales Caa fórmula e erivación en el teorema 5. tiene su corresponiente fórmula e integración. TEOREMA 5. REGLAS DE INTEGRACIÓN PARA FUNCIONES EXPONENCIALES Si u es una función erivable e.. e e. C e u u e u C EJEMPLO 7 Integración e funciones eponenciales Encontrar Solución e. Si u, entonces u. e e e u u Multiplicar iviir entre. Sustituir u. eu C Aplicar la regla eponencial. e C Sustituir nuevamente. NOTA En el ejemplo 7, el factor constante faltante se ha introucio para crear u. Sin embargo, recoremos que no se puee introucir un factor variable faltante en el integrano. Por ejemplo, e e. EJEMPLO 8 Integración e funciones eponenciales Encontrar 5e. Solución Si se tiene u, entonces u o u. 5e 5e 5e u u 5 e u u Reagrupar el integrano. Sustituir u. Regla el múltiplo constante. 5 eu C Aplicar la regla eponencial. 5 e C Sustitución regresiva.

24 SECCIÓN 5. Funciones eponenciales: erivación e integración 57 EJEMPLO 9 Integración e funciones eponenciales a) e e e C u e u u b) e sen ecos u u ecos sen e cos C u cos EJEMPLO 0 Cálculo e áreas acotaas o elimitaas por funciones eponenciales Evaluar caa una e las integrales efinias. 0 a) e b) c) e Solución 0 e 0 e cose a) e e Ver la figura 5.a. 0 0 e e 0.6 e b) Ver la figura 5.b. 0 e ln e 0 ln e ln c) e cose sene Ver la figura 5.c. sen sene 0.8 = e e = + e = e cos(e ) a) b) c) Figura 5.

25 58 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5. Ejercicios En los ejercicios a 6, calcular reoneano a tres ecimales.. e ln.. e e e e 0.. ln.. ln. 5. ln 6. En los ejercicios 7 a, ibujar la gráfica e la función 7. e e 0.. e.. Usar una herramienta e graficación para representar ƒ() e la función aa en la misma pantalla. Cómo es la relación e las os gráficas?. Usar una herramienta e graficación para representar la función. Usar la gráfica para eterminar las asíntotas e la función. a) b) En los ejercicios 5 a 8, asociar caa ecuación con su gráfica. Suponer que a C son números reales positivos. [Las gráficas están etiquetaas con a), b), c) ).] a) b) 00e e ln 0 ln ln a) g e b) h e c) q e f g 8 e e 0.5 e ln e 8 6 e 8 e e e En los ejercicios 9 a, confirmar que las funciones son inversas una e la otra al representar ambas funciones sobre el mismo sistema e coorenaas. 9. f e 0.. f e.. Análisis gráfico Usar una herramienta e graficación para representar f 0.5 g e 0.5 en la misma pantalla. Cuál es la relación entre f g cuano?. Conjetura Usar el resultao el ejercicio para hacer una conjetura acerca el valor e r como. En los ejercicios 5 6, comparar los números aos con el número e. Es el número maor o menor que e? g ln g ln En los ejercicios 7 8, encontrar una ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en el punto (0, ). 7. a) e b) f e g ln f e g ln (ver el ejercicio.) e (0, ) (0, ) c) ) 8. a) e b) e (0, ) (0, ) 5. Ce a C e a 8. Ce a C e a

26 SECCIÓN 5. Funciones eponenciales: erivación e integración 59 En los ejercicios 9 a 60, encontrar la erivaa. 9. f e 0.. e.. e. 5. e ln e gt e t e t ln e e e 55. e 56. e 57. e sen cos 58. ln 59. F cos e t t 60. En los ejercicios 6 a 68, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en el punto ao. 6. f e,, lne,, e e e,, e 66. e e,, f e ln,, e 5 e f e e e gt e t ln e e e e e e ln e e F lnt t 0 e, ln e e, f e ln,, 0, 0, 0 8. g e f e gt te t Área Calcular el área el rectángulo más grane que puee ser inscrito bajo la curva e en el primer seguno cuarantes. 88. Área Efectuar los pasos siguientes para encontrar el área máima el rectángulo mostrao en la figura. a) Despejar c en la ecuación ƒ(c) ƒ(c ). b) Usar el resultao el apartao a), para epresar el área A como función e. [Sugerencia: A ƒ(c).] c) Usar una herramienta e graficación para representar la función área. Usar la gráfica para aproimar las imensiones el rectángulo e área máima. Determinar el área máima. ) Usar una herramienta e graficación para representar la epresión e c encontraa en a). Usar la gráfica para aproimar. lím c 0 lím c. Usar este resultao para escribir los cambios en las imensiones posición el rectángulo para 0. f() = 0e g f e e f e En los ejercicios 69 70, hallar por erivación implícita. 69. e e 0 c c En los ejercicios 7 7, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en el punto ao. 7. e e, 0, 7. En los ejercicios 7 7, encontrar la seguna erivaa e la función. 7. f e 7. En los ejercicios 75 a 78, probar que la función ƒ() es una solución e la ecuación iferencial. 75. e 76. e e e cos sen 78. e cos sen 0 En los ejercicios 79 a 86, encontrar los etremos puntos e infleión (si eisten) e la función. Utilizar una herramienta e graficación para representar la función confirmar los resultaos. 79. f e e 80. ln e,, g e ln f e e 89. Encontrar un punto en la gráfica e la función ƒ() e tal que la recta tangente a la gráfica en este punto pase por el origen. Usar una herramienta e graficación para representar ƒ la recta tangente en la misma pantalla. 90. Localizar el punto en la gráfica e e one la recta normal a la curva pasa por el origen. (Usar el métoo e Newton o cálculo e raíces en la herramienta e graficación.) 9. Depreciación El valor V e un objeto a t años e su aquisición es V 5 000e 0.686t, 0 t 0. a) Usar una herramienta e graficación para representar la función. b) Encontrar la razón e cambio e V respecto e t cuano t t 5. c) Usar una herramienta e graficación para representar la recta tangente a la función cuano t t Movimiento armónico El esplazamiento ese el equilibrio e una masa que oscila en el etremo e un resorte suspenio el techo es.56e 0.t cos.9t, one es el esplazamiento en pies t el tiempo en segunos. Representar la función e esplazamiento en el intervalo [0, 0] con la herramienta e graficación. Hallar el valor e t en el que el esplazamiento es menor que pulgaas ese la posición e equilibrio.

27 60 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 9. Moelao matemático Un meteorólogo mie la presión atmosférica P (en kg por m ) a la altitu h (en km). La tabla muestra los resultaos. h P a) Utilizar una herramienta e graficación para representar los puntos (h, ln P), usar la función e regresión e la misma para encontrar un moelo lineal para los puntos. b) La recta en a) tiene la forma ln P ah b. Escribir la ecuación en forma eponencial. c) Usar una herramienta e graficación para representar los atos originales representar el moelo eponencial e b). ) Calcular la razón e cambio e la presión cuano h 5 h Moelao matemático La tabla muestra los valores aproimaos V e un seán e tamaño meiano para los años 00 a 009. La variable t representa el tiempo en años, con t corresponieno a 00. t 5 6 V t V $ 06 $0 596 $8 85 $7 00 $5 6 $ 0 $ 8 a) Usar la función e regresión e una herramienta e graficación para encontrar los moelos lineal cuarático para los atos. Representar el moelo. b) Qué representa la peniente en el moelo lineal en a)? c) Usar la función e regresión e una herramienta e graficación para encontrar un moelo eponencial e los atos. ) Determinar la asíntota horizontal el moelo eponencial el apartao c). Interpretar su significao en el conteto el problema. e) Hallar el ritmo e epreciación en el valor el vehículo cuano t t 8 usano el moelo eponencial. Aproimaciones lineal cuarática En los ejercicios 95 96, usar una herramienta e graficación para representar la función. Después, trazar la gráfica En los ejercicios 97 98, encontrar el valor eacto e n! entonces aproimar n!, utilizano la fórmula e Stirling. 97. n 98. n 5 En los ejercicios 99 a 6, hallar la integral inefinia. 99. e e 0. e 0. e 0. e e e e e e 09. e e 0.. e e. e e e e e 5 e.. e e e e 5. e e tane 6. lne En los ejercicios 7 a 6, evaluar la integral efinia. Usar una herramienta e graficación para verificar el resultao. 7. e e e 5. esen 6. 0 e e cos e e e e e e e e e e e 5 e e sec sec tan P () ƒ(0) ƒ(0)( 0) P () ƒ(0) ƒ(0)( 0) ƒ(0)( 0) Ecuaciones iferenciales ecuación iferencial. En los ejercicios 7 8, resolver la en la misma pantalla. Comparar los valores e ƒ, P P e sus primeras erivaas en ƒ() e 96. ƒ() e Fórmula e Stirling Para granes valores e n, n!... n n puee aproimarse meiante la fórmula e Stirling, n! n e n n ea e e Ecuaciones iferenciales En los ejercicios 9 0, encontrar la solución particular que satisface las coniciones iniciales. 9. f e e, 0. f 0, f0 0 f sen e f 0, f0

28 SECCIÓN 5. Funciones eponenciales: erivación e integración 6 Campos e penientes En los ejercicios se a una ecuación iferencial, un punto un campo e penientes. a) Esbozar os soluciones e la ecuación iferencial en el campo e penientes, una e las cuales pase por el punto inicao. b) Por integración encontrar la solución particular e la ecuación iferencial usar una herramienta e graficación para representarla. Comparar el resultao con los esbozos el apartao a).. 0, e,., 0, e0. Área En los ejercicios a 6, calcular el área e la región elimitaa por las gráficas e las ecuaciones. Usar una herramienta e graficación para representar la región verificar los resultaos e, 0, 0, 5 e, 0, a, b e, 0, 0, 6 e, 0, 0, Integración numérica En los ejercicios 7 8, aproimar la integral usano la regla el punto meio, la e los trapecios la regla e Simpson con n. Usar una herramienta e graficación para verificar los resultaos e Probabilia Ciertas baterías para automóvil tienen una via meia e 8 meses con una esviación estánar e 6 meses. Las vias e las baterías siguen una istribución normal. La probabilia e que una batería ure entre 8 60 meses es e 0.09t8 t. Usar la función e integración e una herramienta e graficación para aproimar la integral. Interpretar los resultaos. 0. Probabilia El tiempo meio e espera (en minutos) en una tiena está ao por la solución e la ecuación 0 0.e0.t t. Resolver la ecuación.. Movimiento horizontal La función posición e una partícula que se mueve a lo largo el eje es t) Ae kt Be kt one A, B k son constantes positivas. a) Durante qué tiempo t la partícula está más cercana al origen? b) Mostrar que la aceleración e la partícula es proporcional a la posición e la partícula. Cuál es la constante e proporcionalia?. Moelao matemático Una válvula e un epósito se abre urante horas para ejar salir un proucto químico en un proceso e manufactura. El ritmo o velocia e flujo e salia R (en litros por hora) en el instante t (en horas) está ao en la siguiente tabla. e 0 t 0 R Tabla para a) Usar la función e regresión en la herramienta e graficación para calcular un moelo lineal para los puntos (t, ln R). Escribir la ecuación resultante e la forma ln R at b, e manera eponencial. b) Usar una herramienta e graficación para representar los atos el moelo eponencial. c) Usar la integral efinia para aproimar el número e litros el proucto químico que han salio urante esas cuatro horas. Desarrollo e conceptos. Con sus propias palabras, enunciar las propieaes e la función eponencial natural.. Eiste una función ƒ tal que ƒ() ƒ()? Si es así, cuál es? 5. Sin integrar, enunciar la fórmula que poría utilizarse para efectuar las integrales siguientes. a) e e b) e 6. Consierar la función n f e. a) Usar una herramienta e graficación para graficar f. b) Escribir un párrafo corto eplicano por qué la gráfica tiene una asíntota horizontal en por qué la función tiene una iscontinuia no esmontable en Al ser e para 0, se tiene que 0 et t t. Efectuar 0 esta integración para eucir la esiguala e para 0. Para iscusión 8. Describir la relación entre las gráficas e f ln g e. 9. Encontrar, con tres ecimales, el valor e tal que e. (Usar el métoo e Newton.) 50. Encontrar el valor e a el área comprenia entre e, el eje, a a es. 5. Verificar que la función L a > 0, b > 0, L > 0 ae, b se incrementa a una razón máima cuano L. 5. Sea f ln. a) Representar gráficamente ƒ en (0, ) probar que ƒ es estrictamente ecreciente en (e, ). b) Demostrar que si e A B, entonces A B B A. c) Usar el apartao b) para emostrar que e > e.

29 6 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5.5 Otras bases istintas e e aplicaciones Definir funciones eponenciales con bases istintas e e. Derivar e integrar funciones eponenciales con bases istintas e e. Usar las funciones eponenciales como moelos para el interés compuesto el crecimiento eponencial. Otras bases e e La base e la función eponencial natural es e. Esta base natural se puee utilizar para ar el significao e cualquier base general a. DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL BASE a Si a es un número real positivo (a ) es cualquier número real, entonces la función eponencial base a se enota por a se efine como a e ln a. Si a, entonces es una función constante. Estas funciones obeecen las lees usuales e los eponentes. Éstas son algunas propieaes familiares.. a 0. a. a a. a a a a a Cuano se esea plantear un moelo eponencial para la semivia o via meia e un elemento raiactivo, por ejemplo, es conveniente usar como base el moelo. (La via meia es el número e años requerio para que la mita e los átomos en una muestra e material raiactivo ecaigan.) EJEMPLO Moelo e la semivia (o via meia) e un elemento raiactivo La semivia o via meia el carbono- es aproimaamente 5 75 años. Si se tiene una muestra e g e carbono-, qué cantia eistirá entro e años? Carbono- (en gramos) ( ) = t/5 75 (5 75, 0.50) (0 000, 0.0) Tiempo (en años) La via meia el carbono- es e aproimaamente 5 75 años Figura 5.5 t Solución Sean t 0 el momento actual la cantia e carbono- (en gramos) en la muestra. Al usar como base, se puee plantear el moelo ao meiante la ecuación t5 75. Notar que cuano t 5 75, la cantia se ha reucio a la mita e la original gramo Cuano t 0, se ha reucio a un cuarto e la cantia inicial así sucesivamente. Para hallar la cantia e carbono- que quea espués e años, sustituir t gramo La gráfica e se muestra en la figura 5.5.

30 SECCIÓN 5.5 Otras bases istintas e e aplicaciones 6 Las funciones logarítmicas con base iferente e e se efinen e manera mu similar a las funciones eponenciales con otras bases. NOTA En los cursos previos e DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA DE BASE a cálculo, se ha aprenio que log a es el valor al que ha que elevar a para obtener. Esto concuera con la efinición la función logarítmica base a se enota log a se efine como Si a es un número real positivo (a ) es cualquier número real positivo, entonces aa a que a log a a ln aln log a ln. ln a e ln a ln aln ln aln aln e e ln. Las funciones logarítmicas base a tienen las mismas propieaes que la función logaritmo natural, aas en el teorema 5.. (Suponer que son números positivos n es un racional.) log a 0. Logaritmo e. log a log a log a. Logaritmo e un proucto. log a n n log a. Logaritmo e una potencia. log a log a log a. Logaritmo e un cociente. De las efiniciones e funciones eponenciales logarítmicas base a, se sigue que ƒ() a g() log a son funciones inversas una e otra. PROPIEDADES DE FUNCIONES INVERSAS. a si sólo si log a. a log a, para 0. log a a, para too La función logaritmo base 0 se llama función logarítmica común o ecimal. Así, 0 si sólo si log 0. EJEMPLO Otras bases istintas e e Despejar en las siguientes ecuaciones. a) b) 8 log Solución a) Resolver la ecuación aplicano la b) Resolver la ecuación aplicano la función logaritmo base en ambos función eponencial base en ambos laos e la ecuación. laos e la ecuación. 8 log log 8 log log log 6

31 6 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes Derivación e integración Para erivar funciones eponenciales logarítmicas e base arbitraria, eisten tres opciones: ) usar las efiniciones e a log a obtener la erivaa meiante las reglas válias para las funciones eponencial natural logarítmica, ) usar erivación logarítmica o ) usar las siguientes reglas e erivación para bases iferentes e e. TEOREMA 5. DERIVADAS PARA OTRAS BASES DE e Sean a un número real positivo (a ) u una función erivable e.. a ln aa.. log a ln a. au ln aa u u log a u u ln au DEMOSTRACIÓN Por efinición, a e (ln a). Por tanto, se puee emostrar la primera regla si u (ln a), al erivar con base e se obtiene a eln a e u u eln a ln a ln aa. Para emostrar la tercera regla, se puee escribir log a ln a ln ln a ln a. La seguna la cuarta fórmulas simplemente son versiones e la regla e la caena e la primera la tercera reglas. NOTA Estas reglas e erivación son análogas a las e la función eponencial natural logaritmo natural. De hecho, sólo ifieren en los factores constantes ln a /ln a. He aquí una e las razones que hacen e e la base más conveniente para el cálculo. EJEMPLO Derivación e funciones e base istinta Encontrar la erivaa e caa una e estas funciones. a) b) c) log 0 cos Solución a) b) ln ln ln Escribir como 8 erivar para comprobar que se obtiene el mismo resultao. c) log 0 cos sen ln 0cos ln 0 tan

32 SECCIÓN 5.5 Otras bases istintas e e aplicaciones 65 En ocasiones, un integrano contiene una función eponencial en una base istinta e e. En tal caso, ha os opciones: ) pasar a base e usano la fórmula a e (ln a) entonces integrar, o ) integrar irectamente, usano la fórmula e integración a ln a a C (que se euce el teorema 5.). EJEMPLO Integración e una función eponencial en una base istinta Hallar. Solución ln C Cuano fue introucia la regla e la potencia D [ n ] n n en el capítulo, se eigió que n fuese racional. Ahora la regla se etiene a cualquier valor real e n. Intentar probar este teorema usano erivación logarítmica. TEOREMA 5. REGLA DE LA POTENCIA PARA EXPONENTES REALES Sea n cualquier número real sea u una función erivable e... n n n un nun u El siguiente ejemplo compara las erivaas e cuatro tipos e funciones. Caa función requiere una fórmula e erivación iferente para la obtención e la erivaa, epenieno e si la base el eponente son constantes o variables. EJEMPLO 5 Comparación e variables constantes NOTA Asegurarse e ver que no eiste una regla sencilla e erivación para. En general, si u() v(), se necesita recurrir a la erivación logarítmica. ee 0 a) Regla e la constante. e e b) Regla eponencial. e e e c) Regla e la potencia. ) Derivación logarítmica. ln ln ln ln ln ln ln ln

33 66 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes n 65 A $ $ $ 08. $ $ 08.8 Aplicaciones e las funciones eponenciales Si se epositan P ólares en una cuenta a una tasa anual e interés r (en forma ecimal) los intereses se acumulan en la cuenta, cuál es el balance en la cuenta al cabo e año? La respuesta epene el número n e veces que el interés se compone e acuero con la fórmula A P r n n. Por ejemplo, el resultao para un epósito e $ 000 a 8% e interés compuesto n veces al año se muestra en la tabla e la izquiera. Al crecer n, el balance A tiene a un límite. Para hallarlo, utilizar el siguiente teorema. Para comprobar las razones e su contenio, calcular [( )] para varios valores e, como se puee ver en la tabla inferior izquiera. (Una emostración el teorema se puee consultar en el apénice A.) TEOREMA 5.5 lím lím UN LÍMITE QUE INVOLUCRA AL NÚMERO e e Ahora, regresar a la fórmula el balance A en una cuenta con interés compuesto n veces por año. Al tomar el límite cuano n tiene a infinito, se obtiene A lím n P r n n P lím n nr nr r P lím r Pe r. Tomar el límite cuano n. Reescribir. Hacer nr. Entonces cuano n. Aplicar el teorema 5.5. Este límite prouce el balance espués e año e interés compuesto continuo. Así, para un epósito inicial e $ 000 a 8% e interés compuesto continuo, el balance al fin e año sería A 000e 0.08 $ 08.9 Estos resultaos se resumen a continuación. Resumen e las fórmulas e interés compuesto Sea P cantia a epositar, t número e años, A balance espués e t años, r tasa e interés anual (forma ecimal) n número e veces que se compone por año.. Compuesto n veces por año: A P r n nt. Compuesto continuamente: A Pe rt

34 SECCIÓN 5.5 Otras bases istintas e e aplicaciones 67 EJEMPLO 6 Comparación e interés compuesto continuo, mensual trimestral Se hace un epósito e $ 500 en una cuenta que paga un interés anual e 5%. Calcular el balance en la cuenta al final e 5 años si el interés se compone a) trimestralmente, b) mensualmente c) continuamente. Balance e la cuenta (en ólares) A 5 Tiempo (en años) El balance en una cuenta e ahorros crece eponencialmente Figura 5.6 A t Solución A P r n nt a) Compuesto trimestralmente. $ A P r n nt b) Compuesto mensualmente. $ 08.0 A Pe rt 500e c) Compuesto continuamente. 500e 0.5 $ La figura 5.6 muestra cómo se incrementa el balance urante el perioo e 5 años. Notar que se ebe hacer constar que la escala e la figura no istingue gráficamente entre los tres tipos e crecimiento eponencial en a), b) c). EJEMPLO 7 Crecimiento e un cultivo e bacterias Un cultivo e bacterias crece según la función logística e crecimiento.5 0.5e 0.t, t 0 one es el peso el cultivo en gramos t es el tiempo en horas. Calcular el peso el cultivo espués e a) 0 horas, b) hora c) 0 horas. ) Cuál es el límite cuano t tiene a infinito?.5 Solución a) Cuano t 0,.5 0.5e 0.0 Peso el cultivo (en gramos) = e 0.t b) Cuano t, c) Cuano t 0, gramo gramos e e 0.0. gramos Tiempo (en horas) El límite e peso el cultivo cuano t es.5 gramos Figura 5.7 t ) Por último, al tomar el límite para t tenieno a infinito, se obtiene lím t t.5 gramos. 0.5e 0 La figura 5.7 muestra la gráfica e la función.

35 68 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5.5 Ejercicios En los ejercicios a, evaluar la epresión sin usar calculaora.. log 8.. log 7. En los ejercicios 5 a 8, escribir la ecuación eponencial en forma logarítmica o viceversa. 5. a) 8 6. a) b) b) 7. a) log a) b) log b) En los ejercicios 9 a, ibujar a mano la gráfica e la función h 5. log 7 9 log a a log En los ejercicios 5 a 8, encontrar la función e la gráfica. [Las gráficas son marcaas como a), b), c) ).]. a) b) En los ejercicios 5 a, resolver la ecuación aproimarla a tres ecimales z t. log 5.. log.5. En los ejercicios 5 a 8, usar una herramienta e graficación para representar la función aproimar su(s) cero(s) hasta tres ecimales log log log 0 log 0 g 6 5 ft t 75. hs log 0 s 5 g log t log 0 t.6 log 5. a) b) 6 6 En los ejercicios 9 0 ilustrar cuáles e las funciones son inversas una e otra al ibujar sus gráficas en unos mismos ejes e coorenaas. c) ) 5. f 6. f) En los ejercicios 9 a, espejar o b. 9. a) log a) b) log 0 0. b). a) log. a). a) b) log b) b) 6 log log 6 log 8 log 6 6 log b 7 7. f 8. f) 6 log b 5 9. f 0. g log En los ejercicios a 6, encontrar las erivaas e la función. (Sugerencia: En algunos ejercicios, puee ser e aua aplicar las propieaes e los logaritmos antes e erivar.). f f gt t t h cos log 5 ) ht log 5 t log f log h log gt 0 log t 6. t En los ejercicios 6 a 66, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en los puntos aos. 6.,, log, 7, 66. f g log f 7 6 ft t t g 5 sen log gt log t 7 f log log 0 g log 5 ft t log t 5, log 0,, 5,

36 SECCIÓN 5.5 Otras bases istintas e e aplicaciones 69 En los ejercicios 67 a 70, usar erivación logarítmica para hallar. Desarrollo e conceptos En los ejercicios 7 a 7, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en los puntos siguientes En los ejercicios 75 a 8, hallar la integral sen cos En los ejercicios 8 a 86, evaluar la integral Área En los ejercicios 87 88, calcular el área e la región elimitaa por las gráficas e la ecuación sen, sen, ln cos,,, 0, 0, cos sen, 0, 0, Campos e penientes En los ejercicios 89 90, se proporcionan una ecuación iferencial, un punto un campo e penientes. a) Esbozar os soluciones aproimaas e la ecuación iferencial sobre el campo e penientes, una e las cuales pase por el punto inicao. b) Usar la integración para encontrar la solución particular e la ecuación iferencial con una herramienta e graficación representar la solución. Comparar el resultao con los esbozos el apartao a) , 90., esen cos, 0.,,,, e, 6 7 e 9. Consierar la función ƒ() log 0. a) Cuál es el ominio e ƒ? b) Encontrar ƒ. c) Si es un número real entre , eterminar el intervalo en el cual ƒ() puee ser encontrao. ) Determinar el intervalo en el cual se encuentra si ƒ() es negativo. e) Si ƒ() aumenta en una unia, por qué factor ha que multiplicar? ƒ) Hallar el cociente entre a sabieno que ƒ( ) n ƒ( ) n. 9. Orenar las funciones f log, ese la que tiene maor ritmo e crecimiento hasta la que tiene el menor, para valores granes e. 9. Calcular la erivaa e caa función, para a constante. a) a b) c) ) Para iscusión 0 6 g, h 9. La tabla e valores se obtuvo para evaluación e una función. Determinar cuáles e los enunciaos pueen ser ciertos o falsos eplicar la razón. 8 0 a) es una función eponencial e. b) es una función logarítmica e. c) es una función eponencial e. ) es una función lineal e. 95. Inflación Si el ritmo o tasa e inflación anual es, en promeio, e 5% para los próimos 0 años, el costo aproimao C e bienes o servicios urante una écaa es Ct P.05 t a a a one t es el tiempo en años P es el costo actual. k 0 a) Si el cambio e aceite el automóvil cuesta ho $.95, estimar el precio entro e 0 años. b) Calcular el ritmo o velocia e cambio e C respecto a t para t t 8. c) Verificar que el ritmo e cambio e C es proporcional a C. Cuál es la constante e proporcionalia?

37 70 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 96. Depreciación Después e t años, el valor e un automóvil aquirio por $5 000 es a) Usar una herramienta e graficación para representar la función eterminar el valor el automóvil años espués e su compra. b) Calcular la razón e cambio e V respecto a t para t t. c) Usar una herramienta e graficación para representar V(t) eterminar la asíntota horizontal. Interpretar su significao en el conteto el problema. Interés compuesto En los ejercicios 97 a 00, completar la tabla al eterminar el balance A para P ólares invertios a una tasa e interés r, urante t años, n veces al año. n A Interés compuesto En los ejercicios 0 a 0, completar la tabla al eterminar la cantia e inero P (valor presente) que ebe ser epositaa a una tasa r e interés anual para proucir un balance e $ en t años. t P Vt) t. 0. r 5% Interés compuesto continuo 0. r 6% Interés compuesto continuo 0. r 5% Interés compuesto mensual 0. r 7% 65 Intereses continuos P $ 000 r % t 0 años P $ 500 r 6% t 0 años P $ 000 r 5% t 0 años P $5 000 r 7% t 5 años Interés compuesto iario 05. Interés compuesto Se tiene una inversión e una renta e 6% compuesto iariamente. Cuál e las siguientes opciones prouciría un balance maor espués e 8 años? a) $0 000 ahora b) $0 000 espués e 8 años c) $8 000 ahora $0 000 espués e años ) $9 000 ahora, $9 000 espués e años $9 000 espués e 8 años. 06. Interés compuesto Consierar un epósito e $00 a r% e interés compuesto continuo urante 0 años. Usar una herramienta e graficación para representar las funciones eponenciales que escriben el crecimiento el capital en los siguientes veinte años para caa una e las tasas e interés que se especifican. Comparar los balances finales e caa una e las tasas. a) r % b) r 5% c) r 6% 07. Proucción e maera El renimiento V (en millones e pies cúbicos por acre) e un bosque e t años e ea es V 6.7e 8.t one t es meio en años. a) Calcular el volumen límite e maera por acre cuano t tiene a infinito. b) Encontrar el ritmo o velocia e cambio e V cuano t 0 años cuano t 60 años. 08. Teoría el aprenizaje Un moelo matemático para la proporción P e respuestas correctas tras n ensaos, en un eperimento sobre aprenizaje, resultó seguir el moelo P a) Calcular la proporción límite e respuestas correctas cuano n tiene a infinito. b) Calcular el ritmo e cambio P espués e n pruebas e n 0 pruebas. 09. Defoliación forestal Para estimar la efoliación proucia por las lagartas urante un año, un ingeniero forestal cuenta el número e montones e huevos en e acre en el otoño anterior. El porcentaje e efoliación está ao aproimaamente por 0.86 e 0.5n. 00 7e one es el número e montones en miles. (Fuente: USDA Forest Service.) a) Usar una herramienta e graficación para representar la función. b) Estimar el porcentaje e efoliación si se cuentan 000 montones e huevos. c) Estimar el número e montones e huevos que eisten si se observa que aproimaamente el bosque se han efoliao. ) Meiante el cálculo, estimar el valor e para el que crece más rápiamente.

38 SECCIÓN 5.5 Otras bases istintas e e aplicaciones 7 0. Crecimiento poblacional Un lago se repuebla con 500 peces, su población crece e acuero con la curva logística pt e t5 one t se mie en meses. a) Usar la función e regresión e una herramienta e graficación para representar la función. b) Cuál es el tamaño límite e la población e peces? c) A qué ritmo o velocia crece la población e peces al final e mes al final el écimo mes? ) Después e cuántos meses crece más e prisa la población?. Moelao matemático La tabla muestra la resistencia B (en tonelaas) a la ruptura e un cable e acero e varios iámetros (en pulgaas) c) Usar los resultaos e los apartaos a) b) para formular una conjetura acerca e las tres funciones. Poría haber realizao una conjetura usano sólo el apartao a)? Eplicar. Demostrar la conjetura analíticamente.. Completar la tabla para emostrar que e puee efinirse también como lím 0. En los ejercicios 5 6, encontrar una función eponencial que se ajuste a los atos eperimentales tomaos en los tiempos t inicaos / t B t 0 a) Usar la función e regresión e la herramienta e graficación para ajustar un moelo eponencial a los atos. b) Usar una herramienta e graficación para representar los atos el moelo. c) Calcular el retorno o la tasa e crecimiento el moelo cuano Comparación e moelos Los números (en miles) e trasplantes e órganos en Estaos Unios e 00 a 006 se muestran en la tabla, con = corresponieno a 00. (Fuente: Organ Procurement an Transplantation Network) a) Usar la habilia e regresión e una herramienta e graficación para encontrar los siguientes moelos para los atos. b) Usar una herramienta e graficación para representar los atos graficar caa uno e los moelos. Qué moelo se ajusta mejor a los atos? c) Interpretar la peniente el moelo lineal en el conteto el problema. ) Encontrar la razón e cambio e caa uno e los moelos para el año 00. Qué moelo se incrementa a la más grane razón en 00?. Conjetura a b ab a) Usar una herramienta e graficación que aproime las integrales e las funciones ft 8 t, gt 9 a b ln a b en el intervalo [0, ]. b) Usar una herramienta e graficación para representar las tres funciones. En los ejercicios 7 a 0, encontrar el valor eacto e la epresión ln ln Veraero o falso? En los ejercicios a 6, eterminar si la afirmación es veraera o falsa. Si es falsa, eplicar la razón o ar un ejemplo que muestre su falsea e Si ƒ() ln, entonces ƒ(e n ) ƒ(e n ) para cualquier valor e n.. Las funciones ƒ() e g() ln ( ) son inversas una e otra.. La función eponencial Ce es la solución e la ecuación iferencial n n, n,,, 5. Las gráficas ƒ() e g() e se cortan en ángulo recto. 6. Si ƒ() g() e, los únicos ceros e ƒ son los ceros e g. 7. a) Mostrar que. b) Son f g) la misma función? Por qué sí o por qué no? c) Encontrar f g. para a > 0, a. Mostrar que f tiene 8. Sea f a a una función inversa. Entonces encontrar f. 9. Demostrar que al resolver la ecuación iferencial logística ht e t, t t 8 se obtiene la función e crecimiento logístico el ejemplo ln 5 5 Sugerencia: ln 0ln 6

39 7 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 0. Daa la función eponencial ƒ() a, emostrar que a) ƒ(u v) ƒ(u) ƒ(v) b) ƒ() [ƒ()].. a) Determinar ao. b) Encontrar la peniente e la recta tangente a la gráfica e en caa uno e los siguientes puntos. i) (c, c) ii) (, ) iii) (, ) c) En cuáles puntos e la gráfica e no eiste la recta tangente?. Consierar la función ƒ() g() b, b. a) Sea b, usar la herramienta e graficación para representar ƒ g en la misma pantalla. Ientificar los puntos e intersección. b) Repetir el apartao a) usano b. c) Calcular toos los valores e b tales que g() ƒ() para too. Preparación el eamen Putnam. Cuál es maor n n o n n one n 8?. Demostrar que si es positivo, entonces log e >. Estos problemas fueron preparaos por el Committee on the Putnam Prize Competition. The Mathematical Association of America. Toos los erechos reservaos. PROYECTO DE TRABAJO Estimación gráfica e penientes Sea f,, 0 0. a) Usar una herramienta e graficación para representar ƒ en la ventana,. Cuál es el ominio e ƒ? b) Usar las funciones trace zoom e la herramienta e graficación para estimar lím f. 0 c) Eplicar brevemente por qué la función ƒ es continua en toos los números reales. ) Estimar a simple vista la peniente e ƒ en el punto (0, ). e) Eplicar por qué la erivaa e una función se puee aproimar meiante la fórmula. f f para valores pequeños e. Usar esta fórmula para aproimar la peniente e ƒ en el punto (0, ). f0 f0 f0 Cuál es la peniente e ƒ en (0, )? ƒ) Hallar una fórmula para la erivaa e ƒ eterminar ƒ(0). Eplicar por escrito por qué una herramienta e graficación puee proporcionar un valor incorrecto e la peniente e una gráfica. g) Usar esa fórmula para la erivaa e ƒ con el fin e encontrar los etremos relativos e ƒ. Verificar su respuesta con la herramienta e graficación. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para saber más sobre el uso e herramientas e graficación para estimar penientes, ver el artículo Computer-Aie Delusions, e Richar L. Hall en The College Mathematics Journal. f f

40 SECCIÓN 5.6 Funciones trigonométricas inversas: erivación Funciones trigonométricas inversas: erivación Desarrollar propieaes e las seis funciones trigonométricas inversas. Derivar las funciones trigonométricas inversas. Repasar las reglas básicas e erivación e las funciones elementales. Funciones trigonométricas inversas sen Dominio: [, ] Recorrio o rango: [, ] Esta sección comienza con una afirmación sorprenente: ninguna e las seis funciones trigonométricas tienen inversa. Y es cierto, a que las seis funciones trigonométricas son perióicas, en consecuencia, no son inectivas. En esta sección se analizan esas seis funciones para ver si es posible reefinir su ominio e manera tal que, en el ominio restringio, tengan funciones inversas. En el ejemplo e la sección 5. se vio que la función seno es creciente ( por tanto inectiva) en el intervalo [, ] (ver la figura 5.8). En ese intervalo se puee efinir la inversa e la función seno restringia como arcsen si sólo si sen La función seno es inectiva en [, ] Figura 5.8 one arcsen. Bajo restricciones aecuaas, caa una e las seis funciones trigonométricas es inectiva amite inversa, como se muestra en las siguientes efiniciones. DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Función Dominio Recorrio o rango arcsen si sólo si sen arccos si sólo si cos 0 arctan si sólo si tan arccot si sólo si cot < < < < < < 0 < < arcsec si sólo si sec arccsc si sólo si csc 0,, 0 NOTA El término arcsen se lee el arco seno e o algunas veces el ángulo cuo seno es. Una notación alternativa e la función inversa el seno es sen. EXPLORACIÓN La función inversa e la secante En la efinición anterior, la función inversa e la secante se ha efinio restringieno el ominio e la función secante a los intervalos 0,,. La maoría e los libros coincie en la restricción elegia, pero algunos iscrepan. Qué otros ominios porían aoptarse? Eplicar el razonamiento gráficamente. La maoría e las calculaoras no ispone e la función inversa e la secante. Cómo se puee evaluar la función inversa e la secante con la calculaora?

41 7 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes Las gráficas e las seis funciones trigonométricas inversas se muestran en la figura 5.9. = arcsen = arccos = arctan Dominio:, Recorrio o rango:, Dominio:, Recorrio o rango: 0, Dominio:, Recorrio o rango:, = arccsc = arcsec = arccot Dominio:,, Recorrio o rango:, 0 0, Figura 5.9 Dominio:,, Recorrio o rango: 0,, Dominio:, Recorrio o rango: 0, EJEMPLO Evaluación e las funciones trigonométricas inversas Evaluar caa una e las funciones. NOTA Al evaluar funciones trigonométricas inversas es importante recorar que los ángulos están meios en raianes. a) arcsen b) arccos 0 c) arctan ) arcsen(0.) Solución a) Por efinición, arcsen ( ) implica que sen. En el intervalo [, ] el valor correcto e es 6. arcsen 6 b) Por efinición arccos 0 implica que cos 0. En el intervalo [0, ] se tiene. arccos 0 c) Por efinición, arctan implica que tan. En el intervalo (, ), se tiene. arctan ) Al utilizar la calculaora en moo raianes se obtiene arcsen

42 SECCIÓN 5.6 Funciones trigonométricas inversas: erivación 75 EXPLORACIÓN Graficar arccos (cos ) para. Por qué la gráfica no es la misma que la gráfica e? Las funciones inversas tienen las propieaes ƒ(ƒ ()) ƒ (ƒ()) Cuano se aplican estas relaciones a las funciones trigonométricas inversas, ebe tenerse en cuenta que las funciones trigonométricas tienen inversas sólo en ominios restringios. Para valores e fuera e esos ominios, esas os propieaes no son válias. Por ejemplo, arcsen (sen ) es 0, no. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Si, entonces sen(arcsen ) arcsen(sen ). Si, entonces tan(arctan ) arctan(tan ). Si 0 < o, entonces sec(arcsec ) arcsec(sec ). Propieaes análogas son válias para otras funciones trigonométricas inversas. EJEMPLO Resolución e una ecuación arctan tanarctan tan Ecuación original. Tomar tangentes en ambos laos. tan(arctan ). Despejar. Algunos problemas e cálculo requieren la evaluación e epresiones el tipo cos(arcsen ), como se muestra en el ejemplo. arcsen Figura 5.0 EJEMPLO Uso e triángulos rectángulos a) Dao arcsen, one 0, encontrar cos. b) Dao arcsec( 5), encontrar tan. Solución arcsec 5 Figura 5. 5 a) Como arcsen, se sabe que sen. Esta relación entre puee representarse en un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura 5.0. cos cosarcsen aj. hip. (Este resultao es también válio para 0.) b) Al utilizar el triángulo rectángulo mostrao en la figura 5. se obtiene tan tan arcsec 5 op. aj.

43 76 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes NOTA No ha acuero universal sobre la efinición e arcsec (o e arccsc ) para valores negativos e. Cuano se efinió aquí el recorrio o rango e arco secante, se eligió preservar la ientia recíproca. arcsec arccos. Por ejemplo, para evaluar arcsec (), se puee escribir arcsec arccos Derivaas e las funciones trigonométricas inversas En la sección 5. se vio que la erivaa e la función trascenente ƒ() ln es la función algebraica ƒ(). A continuación se verá que las erivaas e las funciones trigonométricas inversas son también algebraicas (aunque las funciones trigonométricas inversas son trascenentes). El próimo teorema presenta las erivaas e las seis funciones trigonométricas inversas. En el apénice A se presentan las emostraciones para arcsen u arccos u, el resto se eja como ejercicio (ver el ejercicio 0). Notar que las erivaas e arccos u, arccot u arccsc u son las negativas e la erivaa e arcsen u, arctan u arcsec u, respectivamente. TEOREMA 5.6 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Una e las consecuencias e la efinición e la inversa e la función secante aa en este teto es que su gráfica tiene peniente positiva en too valor e e su ominio. (Ver la figura 5.9.) Ello se refleja en el signo e valor absoluto en la fórmula e la erivaa e arcsec. Si u es una función erivable e. arcsen u u u u arctan u u arcsec u u u u u arccos u u u arccot u u arccsc u u u u EJEMPLO Derivación e funciones trigonométricas inversas TECNOLOGÍA Si la herramienta e graficación no tiene la función arco secante, se puee obtener la gráfica usano f arcsec arccos. a) b) c) ) arcsen arctan 9 arcsen arcsec e e e e e e e e El signo e valor absoluto no es necesario, porque e 0. EJEMPLO 5 Una erivaa que puee ser simplificaa arcsen NOTA En el ejemplo 5, se aprecia una e las ventajas e las funciones trigonométricas inversas: pueen utilizarse para integrar funciones algebraicas comunes. Por ejemplo, el resultao mostrao en el ejemplo se esprene que arcsen.

44 SECCIÓN 5.6 Funciones trigonométricas inversas: erivación 77 = (arctan ) = Puntos e infleión La gráfica e (arctan ) tiene una asíntota horizontal a Figura 5. EJEMPLO 6 Análisis e la gráfica e una función trigonométrica inversa Analizar la gráfica e (arctan ). Solución De la erivaa arctan arctan se puee observar que el único punto crítico es 0. Por el criterio e la primera erivaa, este valor correspone a un mínimo relativo. De la seguna erivaa se obtiene arctan arctan se conclue que los puntos e infleión se presentan one arctan. Al utilizar el métoo e Newton, esos puntos son Por último, como lím arctan se conclue que la gráfica tiene a como asíntota horizontal. La figura 5. muestra la gráfica. EJEMPLO 7 Obtener un ángulo máimo Un fotógrafo está fotografiano un cuaro e pies e altura colgao en una pare e una galería e arte. La lente e la cámara está a pie bajo el etremo inferior el cuaro como se muestra en la figura 5.. A qué istancia e la pare ebe colocarse la cámara para conseguir que el ángulo subtenio por la lente e la cámara sea máimo? Solución En la figura 5., sea el ángulo que se esea maimizar arccot arccot 5 Al erivar se obtiene pies pie No está ibujao a escala La cámara ebe estar a.6 pies e la pare para maimizar el ángulo Figura 5. como 0 cuano 5, se puee concluir por el criterio e la primera erivaa que esta istancia hace maimizar el ángulo. Así pues, la istancia es.6 pies el ángulo máimo es raianes.8.

45 78 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes The Granger Collection GALILEO GALILEI (56-6) La visión e la ciencia e Galileo ifería e la aceptaa perspectiva aristotélica e que la Naturaleza tiene magnitues susceptibles e escripción, tales como fluiez o potencialia. Él quiso escribir el muno físico en términos e cantiaes meibles, como el tiempo, la istancia, la fuerza la masa. Resumen e las reglas básicas e erivación A principios el siglo XVII, Europa se vio inmersa en una era científica representaa por granes pensaores como Descartes, Galileo, Hugens, Newton Kepler. Estos hombres creían en una naturaleza gobernaa por lees básicas, epresables en gran parte en términos matemáticos. Una e las publicaciones más influentes e la época el Dialogo soprai ie massimi sistemi el mono e Galileo Galilei se ha convertio en una escripción clásica el pensamiento científico moerno. Conforme las matemáticas se han io esarrollano en los siglos posteriores, se ha visto que unas cuantas funciones elementales son suficientes para moelar la maoría* e los fenómenos e la física, la química, la biología, la ingeniería, la economía otros campos. Una función elemental es una función e la lista siguiente o una que puee obtenerse con éstas meiante sumas, prouctos, cocientes o composiciones. Funciones algebraicas Funciones polinomiales Funciones racionales Funciones con raicales Funciones trascenentes Funciones logarítmicas Funciones eponenciales Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Con las reglas e erivación introucias hasta ahora en el teto es posible erivar cualquier función elemental. Por conveniencia, se resumen esas reglas a continuación. Reglas básicas e erivación e funciones elementales. cu cu. u v u v.. 5. c 0 6. u v vu uv v u u u u, u log a u u eu e u u ln au. sen u cos uu. cos u sen uu sec u sec u tan uu 8. cot u csc uu u arccos u. arcsen u u u u u... arcsec u u arccot u u u u uv uv vu un nu n u u ln u u au ln aa u u tan u sec uu csc u csc u cot uu u arctan u u arccsc u u u u * Algunas funciones importantes usaas en ingeniería ciencias (como las funciones e Bessel la función gamma) no son funciones elementales.

46 SECCIÓN 5.6 Funciones trigonométricas inversas: erivación Ejercicios Análisis numérico gráfico En los ejercicios, a) usar una herramienta e graficación para completar la tabla, b) representar a mano los puntos e la tabla la función, c) usar una herramienta e graficación para representar la función comparar con el ibujo el apartao b) ) hallar las intersecciones con los ejes las simetrías e la gráfica arcsen. arccos En los ejercicios, eterminar las coorenaas faltantes e los puntos sobre la gráfica e la función... = arccos, ),, ) ) En los ejercicios 5 a, evaluar la epresión sin usar calculaora. 5. arcsen arccos arctan 0.. arccsc. En los ejercicios a 6, usar la calculaora para aproimar el valor. Reonear la respuesta a os ecimales.. arccos arcsec En los ejercicios 7 a 0, evaluar la epresión sin usar calculaora. (Sugerencia: Ver el ejercicio.) 7. a) 8. a) sen arctan b) b) sec arcsen 5 9. a) 0. a) cot arcsen b) b) csc arctan 5 arcsen0.9 arctan5, tan arccos cos arcsen 5 sec arctan 5 tan arcsen 5 6 ) ) ) ) ), 6 ), arcsen 0 arccos arccot arcsec ) = arctan ) ) En los ejercicios a 6, usar la figura para escribir la epresión en forma algebraica aa arccos, one 0 < <.. cos. sen. tan. cot 5. sec 6. csc En los ejercicios 7 a, escribir la epresión en la forma algebraica. [Sugerencia: Trazar un triángulo rectángulo, como se emostró en el ejemplo.] 7. cosarcsen senarcsec csc arctan. En los ejercicios 5 6, a) utilizar una herramienta e graficación para representar ƒ g en la misma pantalla para verificar si son iguales, b) usar álgebra para verificar que ƒ g son iguales c) ientificar las asíntotas horizontales e las gráficas En los ejercicios 7 a 0, espejar. 7. arcsen ) arcsen arccos 0. En los ejercicios, verificar caa ientia.. a) b). a) tan arcsec b) f senarctan, f tan arccos, g arccsc arcsen, secarctan cosarccot secarcsen cos arcsen h r g arctan arctan, > 0 arcsen arcsen, arccos arccos, arctan 5 arccos arcsec En los ejercicios a 6, hallar la erivaa e la función.. f arcsen. f t arcsen t 5. g arccos 6. f arcsec 7. f arctan e 8. f arctan arcsen 9. g 50. h arctan 5 5. ht senarccos t 5. f arcsen arccos

47 80 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes arccos lnt arctan t ln arctan arcsen arcsen arctan ln Derivación implícita En los ejercicios 8 a 8, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la ecuación en el punto ao. 8., arctan, arctan arcsen, 0, 0 arcsen arcsen,, arctan, 0, En los ejercicios 6 a 68, encontrar una ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en un punto ao CAS Aproimación lineal cuarática En los ejercicios 69 a 7, usar un sistema algebraico por computaora para hallar la aproimación lineal P f a fa a la aproimación cuarática P f a fa) a fa a e la función ƒ en a. Dibujar la gráfica e la función sus aproimaciones lineal cuarática. 69. f arctan, a f arcsen, a 7. En los ejercicios 7 a 76, encontrar los etremos relativos e la función arcsen 6 5 arcsen 5 5 arctan arctan arcsen,, arccos, arctan,, f arcsec f arcsen, 8 arccos,, ) arcsen,, f arctan arctan h arcsen arctan 66. arcsec, f arccos, f arctan,, a 0 a En los ejercicios 77 a 80, analizar bosquejar una gráfica e la función. Ientificar algún etremo relativo, puntos e infleión, asíntotas. Usar una herramienta e graficación para verificar sus resultaos. 77. f) arcsen 78. f arctan 79. f arcsec 80. f arccos Desarrollo e conceptos 85. Eplicar por qué los ominios e las funciones trigonométricas están restringios cuano se calcula la función trigonométrica inversa. 86. Eplicar por qué tan 0 no implica que arctan Eplicar cómo ibujar arccot en una herramienta e graficación que no tiene la función arco cotangente. 88. Son las erivaas e las funciones trigonométricas inversas algebraicas o trascenentales? Mencionar las erivaas e las funciones trigonométricas inversas. 89. a) Usar una herramienta e graficación para evaluar arcsen (arcsen 0.5) arcsen (arcsen ). b) Sea f() arcsen(arcsen ). Hallar el valor e en el intervalo tal que f() es un número real. 90. El punto, 0 está en la gráfica e cos. 0, se encuentra en la gráfica e arccos? Si no es así, esto contraice la efinición e la función inversa? Veraero o falso? En los ejercicios 9 a 96, eterminar si la epresión es veraera o falsa. Si es falsa, eplicar por qué o ar un ejemplo que lo emuestre. 9. Dao que cos,, se tiene que arccos.. 9. arcsen. 9. La peniente e la gráfica e la función tangente inversa es positiva para too. 9. El ominio e arcsen es [0, ]. 95. Para iscusión [arctan(tan )] para too en su ominio. 96. arcsen arccos. 97. Razón e cambio angular Un aeroplano vuela a una altitu e 5 millas hacia un punto irectamente sobre un observaor. Consierar como se muestra en la figura siguiente.

48 SECCIÓN 5.6 Funciones trigonométricas inversas: erivación 8 Figura para 97 a) Escribir como una función e. b) La velocia el aeroplano es 00 millas por hora. Encontrar t cuano 0 millas cuano millas. 98. Reactar Repetir el ejercicio 97 si la altitu el aeroplano es millas escribir cómo la altitu afecta la razón e cambio e. 99. Ritmo o velocia e cambio angular En un eperimento sobre caía libre, se eja caer un objeto ese una altura e 56 pies. Una cámara situaa en el suelo istante 500 pies el punto e impacto, toma imágenes e la caía (ver la figura). a) Hallar la función posición que escribe la altura el objeto en caa instante t, suponer que se eja caer en t 0. En qué momento el objeto llega al suelo? b) Calcular la razón e cambio el ángulo e elevación e la cámara cuano t t. 500 pies 56 pies 00. Razón e cambio angular Una cámara e televisión a nivel el suelo graba el espegue vertical e un cohete ese un punto a 800 metros el punto e lanzamiento. Sea el ángulo e elevación el cohete s la istancia entre la cámara el cohete (ver la figura). Epresar como función e s urante el ascenso el cohete. Diferenciar el resultao para hallar t en términos e s e st. 0. Maimización e un ángulo Una cartelera e 85 pies e istancia e separación es perpenicular a un camino recto está a 0 pies el camino (ver la figura). Encontrar el punto sobre el camino en el cual el ángulo subtenio por la carretera es un máimo. Figura para 0 Figura para 0 5 millas No está ibujao a escala s 800 m Figura para 99 Figura para 00 No está ibujao a escala 0 pies 85 pies No está ibujao a escala POLICIA 50 pies h No está ibujao a escala 0. Velocia angular Un carro patrulla está estacionao a 50 pies e un almacén grane (ver la figura). La luz giratoria en la parte superior el carro gira a una razón e 0 revoluciones por minuto. Escribir como una función e. Qué tan lejos está el rao e luz moviénose a lo largo e la pare cuano el rao hace un ángulo e 5 con la línea perpenicular ese la luz hasta la pare? 0. a) Demostrar que arctan arctan arctan,. b) Usar la fórmula el apartao a) para probar que arctan arctan. 0. Verificar las siguientes fórmulas e erivación. a) b) c) ) 05. Eistencia e una inversa Determinar los valores e k para los que la función ƒ() k sen tiene función inversa. 06. Para pensar Usar una herramienta e graficación para representar ƒ() sen g() arcsen (sen ). a) Por qué la gráfica e g no es la recta? b) Hallar los etremos e g. 07. a) Representar la función ƒ() arccos arcsen sobre el intervalo [, ]. b) Describir la gráfica e ƒ. c) Comprobar el resultao el apartao b) analíticamente. arctan, 08. Comprobar que arcsen <. 09. Calcular el valor e c en el intervalo [0, ] sobre el eje que maimiza el ángulo. (0, ) (, ) c u arctan u u u arccot u u arcsec u u u u arccsc u u u u Figura para 09 Figura para 0 0. Encontrar PR tal que 0 PR m sea un máimo.. Algunos tetos e cálculo efinen la inversa e la función secante usano el ominio [0, ) [, ). a) Hacer un boceto e la gráfica arcsec usano este rango. b) Mostrar que. Q R P 5

49 8 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5.7 Funciones trigonométricas inversas: integración Integrar funciones cuas primitivas o antierivaas contienen funciones trigonométricas inversas. Integrar funciones completano un cuarao. Resumir las reglas básicas e integración e funciones elementales. Integrales que contienen funciones trigonométricas inversas Las erivaas e las seis funciones trigonométricas inversas se agrupan en tres pares. En caa par, la erivaa e una es la negativa e la otra. Por ejemplo, arcsen arccos. Cuano se hace una lista e las antierivaas o primitivas que corresponen a caa una e las funciones trigonométricas inversas, es suficiente citar una e caa par. Es conveniente usar arcsen como primitiva e, en lugar e arccos. El siguiente teorema a una fórmula para la primitiva e caa una e las tres parejas. La emostración e estas reglas e integración se eja como ejercicio (ver ejercicios 87 a 89). PARA MAYOR INFORMACIÓN En el artículo A Direct Proof of the Integral Formula for Arctangent, e Arnol J. Insel, en The College Mathematics Journal, se puee encontrar una etallaa emostración e la parte el teorema 5.7. TEOREMA 5.7 INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Sea u una función erivable e, sea a 0.. u. a u arcsen u a C. u uu a a arcsec u a C u a u a arctan u a C EJEMPLO Integrales con funciones trigonométricas inversas a) b) c) arcsen C 9 9 arctan C arcsec C u, a u, a Las integrales el ejemplo son aplicaciones a simple vista e las fórmulas e integración. Desafortunaamente, no es lo frecuente. Las fórmulas e integración que involucran funciones trigonométricas inversas pueen aparecer e mu iversas formas.

50 SECCIÓN 5.7 Funciones trigonométricas inversas: integración 8 CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Integrales como la el ejemplo son fáciles con aua e programas e integración simbólica en computaora. No obstante, al usarlos ha que recorar que pueen no ser capaces e encontrar una primitiva ebio a os razones. En primer lugar, algunas funciones elementales tienen primitivas no elementales. En seguno lugar, toos esos programas tienen limitaciones, así que puee arse una función para cua integración no está preparao el programa. Recorar, asimismo, que las primitivas o antierivaas que involucran funciones trigonométricas o logarítmicas se pueen epresar e maneras mu iversas. Por ejemplo, al utilizar uno e esos programas para la integral el ejemplo se obtiene e arctan e C. Demostrar que esta antierivaa es equivalente a la obtenia en el ejemplo. EJEMPLO Integración por sustitución Encontrar e. Solución Tal como está, la integral no se ajusta a ninguna e las tres fórmulas para las funciones trigonométricas inversas. Pero hacieno la sustitución e u e, se obtiene u e u e u u e u. Con esta sustitución, a se puee integrar como sigue: e e Escribir e como (e ). Sustituir. Reescribir para que se ajuste a la regla arcsec. Aplicar la regla arcsec. Sustitución regresiva. EJEMPLO Reescribir como suma e os cocientes Hallar. uu u u uu arcsec u C arcsec e C Solución Esta integral tampoco parece ajustarse a las fórmulas. Sin embargo, esoblano el integrano en os partes, la primera es integrable por la regla e la potencia la seguna a una función seno inversa. arcsen C arcsen C Completar el cuarao Cuano ha funciones cuaráticas en el integrano, completar el cuarao aua a resolver la integral. Por ejemplo, la epresión cuarática b c puee escribirse como iferencia e os cuaraos al sumar restar (b). b c b b b c b b c

51 8 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes EJEMPLO Completar el cuarao Encontrar 7. Solución Se puee escribir el enominaor como la suma e os cuaraos como se muestra. 7 7 u a En esta forma e cuaraos completaos, al tomar u a. 7 arctan C Si el coeficiente ominante no es, conviene sacarlo como factor común el cuarao. Por ejemplo, se puee completar el cuarao en la epresión 8 0 factorizano primero f() = Para completar el cuarao cuano el coeficiente e es negativo, el mismo proceso e factorización sirve. Por ejemplo, se puee completar el cuarao en la epresión como se muestra. EJEMPLO 5 Completar el cuarao (coeficiente ominante negativo) TECNOLOGÍA Ante integrales como la el ejemplo 5 siempre quea el recurso e una solución numérica. Así, aplicano la regla e Simpson (con n ) a la integral e este ejemplo, se obtiene 9 = = 9 El área e la gráfica en la región elimitaa por la gráfica e f, el eje,, 9 es 6 Figura Este valor ifiere el valor eacto e la integral ( ) en menos e una millonésima. Calcular el área e la región elimitaa por la gráfica e f el eje, las rectas. Solución En la figura 5. se ve que el área está aa por 9 Área. Al utilizar la epresión con el cuarao completo antes obtenio, se puee integrar como sigue: 9 9 arcsen arcsen arcsen

52 SECCIÓN 5.7 Funciones trigonométricas inversas: integración 85 Repaso a las reglas básicas e integración Ya se ha terminao la introucción a las reglas básicas e integración. Si se quiere llegar a un uso eficaz e tales fórmulas, es conveniente practicarlas hasta que se consiga aprenerlas e memoria. Reglas básicas e integración a > 0. k fu u kfu u. fu gu u fu u gu u. u u C. 5. u 6. u lnu C un u un C, n e u u e u C n 7. a u u 8. ln a au C sen u u cos u C 9. cos u u sen u C 0. tan u u lncos u C. cot u u lnsen u C. sec u u lnsec u tan u C. csc u u lncsc u cot u C. sec u u tan u C 5. csc u u cot u C 6. sec u tan u u sec u C 7. csc u cot u u csc u C 8. u a u arcsen u a C u 9. u 0. uu a a arcsec u a a C u a arctan u a C Se aprene mucho acerca e la naturaleza e la integración comparano esta lista con la e las reglas e erivación aas en la sección anterior. Se ispone a e suficientes reglas e erivación para erivar cualquier función elemental. Sin embargo, la situación en la integración no es la misma. Las reglas recogias en la lista e arriba son esencialmente las que se han poio eucir e las reglas e erivación. Hasta ahora, no se han esarrollao reglas para integrar un proucto o un cociente general, o la función logaritmo natural o las funciones trigonométricas inversas. Lo que es más importante, ninguna e las reglas e la lista es aplicable si no se logra ar el u apropiao corresponiente a la u e la fórmula. La cuestión es que se necesita trabajar más sobre técnicas e integración, lo cual se hará en el capítulo 8. Los os ejemplos siguientes an una iea más clara e lo que se puee e lo que no se puee hacer con las técnicas isponibles hasta este momento.

53 86 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes EJEMPLO 6 Comparación e problemas e integración De las siguientes integrales encontrar tantas como sea posible, al utilizar las fórmulas técnicas estuiaas hasta ahora en este teto. a) b) c) Solución a) Se puee encontrar la integral (se emplea la regla el arco secante). arcsec C b) Se puee encontrar la integral (se emplea la regla e la potencia). C C c) No se pueen integrar con las técnicas estuiaas. (Verificar esta conclusión revisano las fórmulas e la lista.) EJEMPLO 7 Comparación e problemas e integración Hallar tantas e las integrales siguientes como sea posible meiante las técnicas fórmulas estuiaas hasta ahora en este teto. a) ln b) c) ln ln Solución a) Se puee calcular la integral (se emplea la regla para el logaritmo). ln ln lnln C b) Se puee calcular la integral (se emplea la regla e la potencia). ln ln ln C c) No se puee integrar con las técnicas estuiaas. NOTA Observar que en los ejemplos 6 7 son precisamente las funciones más simples las que no se pueen integrar toavía.

54 SECCIÓN 5.7 Funciones trigonométricas inversas: integración En los ejercicios a, hallar la integral t t t. t. t 5 t e.. e sec tan En los ejercicios 5 a 8, evaluar la integral ln 5.. e sen cos arcsen arccos En los ejercicios 9 a 50, calcular o evaluar la integral (completano el cuarao cuano sea necesario). 0 0 e Ejercicios t t 6 t ln sen 7 cos ln ln e e cos sen En los ejercicios 5 a 5, hallar o evaluar la integral meiante sustitución especificaa. 5. et t 5. u e t u Desarrollo e conceptos En los ejercicios 55 a 57, eterminar cuáles e las integrales pueen hallarse usano las reglas básicas estuiaas hasta ahora en el teto. 55. a) b) c) 56. a) e b) e c) 57. a) b) c) 58. Determinar qué valor aproima mejor el área e la región entre el eje la función. f en el intervalo [0.5, 0.5]. (Basar la elección en un ibujo e la región, no en cálculos.) a) b) c) ) e) 59. Deciir si se puee calcular la integral al utilizar las fórmulas técnicas estuiaas. Eplicar el razonamiento. 9 8 u 0 u e

55 88 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes Para iscusión 60. Determinar cuál e las integrales puee encontrarse usano las fórmulas e integración básicas que se han estuiao hasta ahora en el teto. a) b) c) Ecuación iferencial En los ejercicios 6 6, usar la ecuación iferencial las coniciones especificaas para encontrar Campos e penientes En los ejercicios 6 a 66 se an una ecuación iferencial, un punto un campo e penientes. a) Dibujar os soluciones aproimaas e la ecuación iferencial sobre el campo e penientes, una e las cuales pase por el punto especificao. b) Usar la integración para encontrar la solución particular e la ecuación iferencial usar una herramienta e graficación para representar la solución. Comparar los resultaos con los ibujos el apartao a). 6. 0, 0, 6. 0, 9, Área En los ejercicios 7 a 76, encontrar el área e la región cos sen 7. = e e CAS ,, 66. 5, 5, Campo e penientes En los ejercicios 67 a 70, usar un sistema algebraico por computaora para graficar el campo e penientes e la ecuación iferencial representar la solución que satisface la conición inicial , , ,, 0 En los ejercicios 77 78, a) verificar la fórmula e integración, espués b) usar ésta para encontrar el área e la región. 77. arctan ln ln arctan C 78. = arctan = Figura para 77 Figura para 78 arcsen arcsen arcsen C = ln = (arcsen )

56 SECCIÓN 5.7 Funciones trigonométricas inversas: integración a) Dibujar la región representaa por arcsen. 0 b) Usar la función e integración e una herramienta e graficación para aproimar el área. c) Encontrar analíticamente el área eacta. 80. a) Mostrar que. 0 b) Estimar el número usano la regla e Simpson (con n 6) la integral en el apartao a). c) Estimar el número usano la capacia e integración e una herramienta e graficación. 8. Investigación Consierar la función F t t. a) Escribir una breve interpretación geométrica e F() con relación a la función f. Empleano la eplicación, estimar el valor e one F es máima. b) Efectuar la integración para hallar una forma alternativa e F(). Usar el cálculo para localizar el valor e que hace a F máima comparar los resultaos con lo estimao en el apartao a). 8. Consierar la integral 6. a) Hallar la integral completano el cuarao en el raicano. b) Hallarla al sustituir u. c) Las primitivas o antierivaas obtenias en a) b) parecen mu iferentes. Usar una herramienta e graficación para representar caa primitiva en la misma pantalla eterminar la relación entre ellas. Determinar sus ominios. Veraero o falso? En los ejercicios 8 a 86, eterminar si la epresión es veraera o falsa. Si es falsa, eplicar por qué o ar un ejemplo que lo emuestre e 86. Una forma e hallar 9 e es meiante la regla el arcoseno. Verificación e las reglas e integración En los ejercicios 87 a 89, verificar caa regla por iferenciación. Sea a > arcsec C 5 5 arctan 5 C arccos C u a u arcsen u a C u a u a arctan u a C 89. u uu a a arcsec u a C 90. Integración numérica a) Escribir una integral que represente el área e la región. b) Después usar la regla e los trapecios con n 8 para estimar el área e la región. c) Eplicar cómo se pueen usar los resultaos e los apartaos a) b) para estimar. = + 9. Movimiento vertical Un objeto es lanzao ese el suelo hacia arriba con velocia inicial e 500 pies por seguno. En este ejercicio, el objetivo es analizar el movimiento mientras asciene. a) Despreciano la resistencia al aire, epresar la velocia en función el tiempo. Representar esta función en la herramienta e graficación. b) Usano los resultaos el apartao a) encontrar la función posición eterminar la altura máima alcanzaa por el objeto. c) Si la resistencia el aire es proporcional al cuarao e la velocia, la ecuación obtenia es v t kv one piess en la aceleración e la gravea k una constante. Hallar la velocia en función el tiempo al resolver la ecuación. v kv t. ) Usar una herramienta e graficación para representar la función velocia v(t) el apartao c) si k Usar la gráfica para estimar el instante t 0 en el que el objeto alcanza la máima altura. e) Usar la función integración e la herramienta e graficación para aproimar el valor e t 0 vt t 0 one v(t) t 0 son los obtenios en el apartao ). Ésta es la aproimación e la máima altura el objeto. ƒ) Eplicar la iferencia entre los resultaos e los apartaos b) e). PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre este tópico, ver el artículo What Goes Up Must Come Down; Will Air Resistance Make It Return Sooner, or Later?, e John Lekner, en Mathematics Magazine. 9. Representar arctan,, sobre [0, 0]. Demostrar que < arctan < para > 0.

57 90 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5.8 Funciones hiperbólicas Desarrollar las propieaes e las funciones hiperbólicas. Derivar e integrar funciones hiperbólicas. Desarrollar las propieaes e las funciones hiperbólicas inversas. Derivar e integrar funciones que contienen funciones hiperbólicas inversas. American Institute of PhsicsEmilio Segre Visual Archives, Phsics Toa Collection JOHANN HEINRICH LAMBERT (78-777) La primera persona que publicó un estuio acerca e las funciones hiperbólicas fue Johann Heinrich Lambert, un matemático germano-suizo colega e Euler. Funciones hiperbólicas En esta sección se verá brevemente una clase especial e funciones eponenciales llamaas funciones hiperbólicas. El nombre e funciones hiperbólicas proviene e la comparación entre el área e una región semicircular, como se muestra en la figura 5.5, con el área e una región bajo una hipérbola, como se muestra en la figura 5.6. La integral que a el área el semicírculo emplea una función trigonométrica (circular) inversa: arcsen.57. La integral que a el área e la región hiperbólica emplea una función hiperbólica inversa: senh.96. Ésta es sólo una e las muchas analogías eistentes entre las funciones hiperbólicas las trigonométricas. = + = Círculo: Figura 5.5 Hipérbola: Figura 5.6 PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre el esarrollo e funciones hiperbólicas, ver el artículo An Introuction to Hperbolic Functions in Elementar Calculus, e Jerome Rosenthal en Mathematics Teacher. DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS senh e e cosh e e senh tanh cosh csch senh, sech cosh coth tanh, 0 0 NOTA senh se lee seno hiperbólico e, cosh se lee coseno hiperbólico e, etcétera.

58 SECCIÓN 5.8 Funciones hiperbólicas 9 La figura 5.7 muestra las gráficas e las seis funciones hiperbólicas, así como sus ominios recorrios o rangos. Nótese que la gráfica e senh se puee obtener al sumar la coorenaa que correspone a las funciones eponenciales ƒ() e g() e. De manera semejante, la gráfica e cosh puee ser obtenia al sumar la coorenaa que correspone a las funciones eponenciales ƒ() e h() e. = cosh f() = e g() = e = senh h() = e f() = e = tanh Dominio: (, ) Dominio: (, ) Dominio: (, ) Recorrio o rango: (, ) Recorrio o rango: [, ) Recorrio o rango: (, ) = csch = senh = sech = cosh = coth = tanh Dominio: (, 0) (0, ) Dominio: (, ) Dominio: (, 0) (0, ) Recorrio o rango: (, 0) (0, ) Recorrio o rango: (0, ] Recorrio o rango: (, ) (, ) Figura 5.7 Muchas ientiaes trigonométricas tienen sus corresponientes ientiaes hiperbólicas. Por ejemplo, cosh senh e e e e e e e e PARA MAYOR INFORMACIÓN Para entener geométricamente la relación entre las funciones hiperbólica eponencial, ver el artículo A Short Proof. Linking the Hperbolic an Eponential Functions, e Michael J. Seer en The AMATYC Review. senh cosh e e e e e e senh.

59 9 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes Ientiaes hiperbólicas cosh senh tanh sech coth csch senh cosh senh senh cosh senh senh cosh cosh senh senh senh cosh cosh senh cosh cosh cosh senh senh cosh cosh cosh senh senh cosh cosh cosh cosh senh Derivación e integración e funciones hiperbólicas Debio a que las funciones hiperbólicas se epresan en términos e e e, es fácil obtener reglas e erivación para sus erivaas. El siguiente teorema presenta estas erivaas con las reglas e integración corresponientes. TEOREMA 5.8 DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Sea u una función erivable e. senh u cosh uu cosh u senh uu tanh u sech uu coth u csch uu sech u sech u tanh uu csch u csch u coth uu cosh u u senh u C senh u u cosh u C sech u u tanh u C csch u u coth u C sech u tanh u u sech u C csch u coth u u csch u C DEMOSTRACIÓN senh e e e e cosh tanh senh cosh cosh cosh senh senh cosh cosh sech En los ejercicios a, se pie la emostración e algunas e las reglas e erivación.

60 SECCIÓN 5.8 Funciones hiperbólicas 9 EJEMPLO Derivación e funciones hiperbólicas a) b) senh cosh c) senh lncosh tanh cosh senh cosh cosh senh senh cosh EJEMPLO Localización e los etremos relativos f() ( ) cosh senh (0, ) senh f (0) < 0, entonces (0, ) es un máimo relativo. f () > 0, para (, senh ) es un mínimo relativo Figura 5.8 Localizar los etremos relativos e ƒ() ( ) cosh senh. Solución Se comienza por igualar a cero la erivaa e ƒ. f senh cosh cosh 0 senh 0 Así pues, los puntos críticos son 0. Con el criterio e la seguna erivaa es fácil comprobar que el punto (0, ) a un máimo relativo el punto (, senh ) a un mínimo relativo, como muestra la figura 5.8. Confirmar este resultao gráficamente usano una herramienta e graficación. Si no se ispone e las funciones hiperbólicas en la herramienta e graficación, se pueen utilizar funciones eponenciales como a continuación. f e e e e e e e e e e e e e Cuano un cable fleible uniforme, como un cable telefónico, está suspenio entre os puntos, aopta la forma e una catenaria, que se estuia en el ejemplo. EJEMPLO Cables colgantes Los cables e un tenio eléctrico están suspenios entre os torres, formano la catenaria que se muestra en la figura 5.9. La ecuación e la catenaria es = a cosh a a cosh a. a La istancia entre las os torres es b. Calcular la peniente e la catenaria en el punto e sujeción el cable en la torre e la erecha. Solución Derivano se obtiene b b a asenh a senh a. Catenaria Figura 5.9 En el punto (b, a cosh(ba)), la peniente (ese la izquiera) viene aa por m senh b a. PARA MAYOR INFORMACIÓN En el ejemplo, el cable es una curva catenaria entre os soportes e la misma altura. Para aprener acerca e la forma el cable sostenio entre os soportes e iferente altura, ver el artículo Reeamining the Catenar, e Paul Cella en The College Mathematics Journal.

61 9 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes EJEMPLO Integración e una función hiperbólica Calcular cosh senh. Solución cosh senh senh cosh senh C senh 6 C u senh Funciones hiperbólicas inversas A iferencia e las funciones trigonométricas, las funciones hiperbólicas no son perióicas. De hecho, volvieno a la figura 5.7 se ve que cuatro e las seis funciones hiperbólicas son inectivas (el seno, la tangente, la cosecante la cotangente hiperbólicos). Así, se puee aplicar el teorema 5.7, el cual afirma que esas cuatro funciones tienen funciones inversas. Las otras os (las funciones coseno secante hiperbólicas) son inectivas si se restringe su ominio a los números reales positivos, es en este ominio restringio one tienen función inversa. Debio a que las funciones hiperbólicas se efinen en términos e las funciones eponenciales, no es e etrañar que las funciones hiperbólicas inversas puean epresarse en términos e funciones logarítmicas, como se muestra en el teorema 5.9. TEOREMA 5.9 FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Función senh ln cosh ln tanh coth sech ln csch ln ln ln Dominio,,,,, 0,, 0 0, DEMOSTRACIÓN La emostración e este teorema es una aplicación irecta e las propieaes e las funciones eponencial logarítmica. Por ejemplo, si f senh e e g ln se puee ver que ƒ(g()) g(ƒ()), lo cual implica que g es la función inversa e ƒ.

62 SECCIÓN 5.8 Funciones hiperbólicas 95 = TECNOLOGÍA Se puee utilizar una herramienta e graficación para verificar gráficamente los resultaos el teorema 5.9. Por ejemplo, ibujano las gráficas e las funciones siguientes. = Gráfica e la función tangente hiperbólica la función tangente hiperbólica inversa Figura 5.0 tanh e e e e tanh ln Tangente hiperbólica. Definición e la tangente hiperbólica. Tangente hiperbólica inversa. Definición e la tangente hiperbólica inversa. Los resultaos se muestran en la figura 5.0. En ella se aprecia que. También se puee ver que la gráfica e es el reflejo e la e en la recta. Las gráficas e las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la figura 5.. = senh = cosh = tanh Dominio: (, ) Dominio: [, ) Dominio: (, ) Recorrio o rango: (, ) Recorrio o rango: [0, ) Recorrio o rango: (, ) = csch = sech = coth Dominio: (, 0) (0, ) Dominio: (0, ] Dominio: (, ) (, ) Recorrio o rango: (, 0) (0, ) Recorrio o rango: [0, ) Recorrio o rango: (, 0) (0, ) Figura 5. La secante hiperbólica inversa se puee utilizar para efinir la curva llamaa tractriz o curva e persecución, que se analiza en el ejemplo 5.

63 96 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes EJEMPLO 5 Tractriz Persona (0, ) (, ) 0 0 Una persona sostiene una cuera que está ataa a un bote, como se muestra en la figura 5.. Mientras la persona camina por el muelle, el bote recorre una tractriz, aa por la ecuación a sech a a one a es la longitu e la cuera. Si a 0 pies, calcular la istancia que la persona ebe caminar para llevar el bote a 5 pies el muelle. Solución En la figura 5., notar que la istancia recorria por la persona se a por 0 0 = 0 sech 0 0 Una persona tiene que caminar.7 pies para acercar el bote a 5 pies el muelle Figura sech Cuano 5, esta istancia es 0 sech 0. 0 sech 5 0 ln 0 0 ln 5.7 pies. Derivación e integración e funciones hiperbólicas inversas Las erivaas e las funciones hiperbólicas inversas, que recueran las e las funciones trigonométricas inversas, se enumeran en el teorema 5.0, junto con las corresponientes fórmulas e integración (en forma logarítmica). Se puee comprobar caa una e ellas al aplicar las efiniciones logarítmicas e las funciones hiperbólicas inversas. (Ver los ejercicios 9 a.) TEOREMA 5.0 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Sea u una función erivable e. senh u u u tanh u u u sech u u u u u C u a lnu u a u a u a ln a u a u C cosh u csch u u ua u a ln a a u C u coth u u u u u u u u

64 SECCIÓN 5.8 Funciones hiperbólicas 97 EJEMPLO 6 Más sobre la tractriz Para la tractriz el ejemplo 5, mostrar que el bote apunta siempre hacia la persona que tira e él. Solución En un punto (, ) e la tractriz, la peniente e la gráfica marca la irección el bote, como se muestra en la figura sech Sin embargo, en la figura 5. se puee ver que la peniente el segmento e recta que une el punto (0, ) con el punto (, ) es también m 0. Así pues, el bote apunta hacia la persona en too momento. (Por esta razón se llama curva e persecución.) EJEMPLO 7 Integración usano funciones hiperbólicas inversas Calcular 9. Solución Sea a u. 9 9 ln 9 C u ua u a ln a a u u C EJEMPLO 8 Integración usano funciones hiperbólicas inversas Calcular 5. Solución Sea a 5 u ln 5 5 C 5 ln 5 5 C u a u a ln a u a u C

65 98 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5.8 Ejercicios En los ejercicios a 6, evaluar la función. Si el valor no es un número racional, ar la respuesta con tres ecimales. En los ejercicios 9 0, emostrar que la función satisface la ecuación iferencial.. a) senh. a) b) tanh b). a) cschln. a) b) cothln 5 b) 5. a) cosh 6. a) b) sech b) En los ejercicios 7 a 6, verificar la ientia. 7. e senh cosh tanh sech 0.. cosh cosh cosh. senh. senh senh cosh cosh senh senh senh cosh senh senh senh En los ejercicios 7 8, usar el valor e la función hiperbólica aa para hallar los valores e las otras funciones hiperbólicas en. 7. senh 8. En los ejercicios 9 a 0, encontrar la erivaa e la función. 9. f() senh 0. f() cosh( ). sech5.. f lnsenh h 8. senh 9. ft arctansenh t 0. En los ejercicios a, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en el punto ao.. senh,, 0).. cosh senh, 0, ). cosh 0 sech senh 0 tanh 0 csch coth cosh cosh cosh cosh ln tanh e senh cosh coth csch tanh tanh ( ) g lncosh cosh senh ht t coth t g sech cosh,, ) senh e, 0, ) En los ejercicios 5 a 8, hallar los etremos relativos e la función. Usar una herramienta e graficación para confirmar los resultaos f sen senh cos cosh, f senh cosh 7. g sech 8. h tanh CAS Función Ecuación iferencial Aproimaciones lineal cuarática En los ejercicios, usar un sistema algebraico por computaora para encontrar la aproimación lineal. P () ƒ(a) ƒ(a)( a) la aproimación cuarática P () ƒ(a) ƒ(a)( a) ƒ(a)( a) e la función ƒ en a. Usar una herramienta e graficación para representar la función las aproimaciones lineal cuarática.. f tanh, a 0. f cosh, a 0 Catenarias En los ejercicios, se proporciona un moelo e cables e alta tensión suspenios entre os torres. a) Representar gráficamente el moelo, b) calcular la altura el cable en los puntos e sujeción en el punto meio entre las torres c) encontrar la peniente el moelo en el punto one el cable está sujeto a la torre e la erecha... a senh a cosh En los ejercicios 5 a 58, hallar la integral. 5. cosh 6. sech cosh 7. senh 8. senh 9. cosh senh 50. senh cosh sech senh 5. csch 5. csch coth En los ejercicios 59 a 6, evaluar la integral. 59. tanh cosh, cosh, ln ln sech tanh cosh 9 senh cosh 5 e cosh

66 SECCIÓN 5.8 Funciones hiperbólicas 99 En los ejercicios 65 a 7, calcular la erivaa e la función. 65. cosh tanh senh tan csch sech cos, senh tanh ln Desarrollo e conceptos 75. Discutir en qué son similares las funciones hiperbólicas las funciones trigonométricas. 76. Dibujar la gráfica e caa una e las funciones hiperbólicas. Después ientificar el ominio el recorrio o rango e caa función. 77. Cuál e las fórmulas e erivaas hiperbólicas ifiere e sus contrapartes trigonométricas por un signo menos? Para iscusión 78. Qué función hiperbólica toma sólo valores positivos? Qué funciones hiperbólicas se incrementan en sus ominios? Límites En los ejercicios 79 a 86, encontrar los límites. 79. lím senh < < 8. lím senh lím En los ejercicios 87 a 96, calcular la integral inefinia usano las fórmulas el teorema e En los ejercicios 97 a 00, evaluar la integral usano las fórmulas el teorema tanh f coth tanh sen 8. lím tanh 8. lím tanh 7 lím lím csch lím coth 0 senh En los ejercicios 0 a 0, resolver la ecuación iferencial Área En los ejercicios 05 a 08, encontrar el área e la región. 05. sech tanh En los ejercicios 09 0, evaluar la integral en términos e a) logaritmos naturales b) funciones hiperbólicas inversas Reacciones químicas Las sustancias químicas A B se combinan en razón e a para formar un compuesto. La cantia e compuesto proucia hasta el instante t es proporcional a las cantiaes que quean sin transformar e A B en la isolución. Así pues, si se mezclan kilogramos e A con kilogramos e B, se tiene t k k 6. Un kilogramo el compuesto se ha formao en 0 minutos. Calcular la cantia formaa en 0 minutos resolver la ecuación k 6 t

67 00 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes. Movimiento vertical Un objeto es arrojao ese una altura e 00 pies. a) Epresar la velocia el objeto en función el tiempo (espreciano la resistencia al aire sobre el objeto). b) Utilizano el resultao el apartao a) encontrar la función posición. c) Si la resistencia el aire es proporcional al cuarao e la velocia, entonces vt kv, one piess es la aceleración e la gravea k es una constante. Mostrar que la velocia v es la función el tiempo vt tanhk t k al efectuar la siguiente integración simplificano el resultao: v ( kv ) ) Usano el resultao el apartao c) calcular lím t vt e interpretarlo. e) Integrar la función velocia el apartao c) hallar la posición s el objeto en función e t. Usar una herramienta e graficación para representar la función posición k 0.0 la función posición el apartao b) en la misma pantalla. Estimar el tiempo aicional requerio para que el objeto alcance el suelo, cuano se tiene en cuenta la resistencia al aire. f) Describir qué suceería si se aumenta el valor e k. A continuación, comprobar la afirmación con un valor particular e k. Tractriz En los ejercicios, usar la ecuación e la tractriz a sech a > 0. a a,. Encontrar.. Sea L la recta tangente a la tractriz en el punto P. Si L corta al eje en el punto Q, probar que la istancia entre P Q es a. 5. Demostrar que tanh ln,. 6. Demostrar que senh t lnt t. 7. Demostrar que arctan (senh ) arcsen(tanh ). 8. Sean 0 b 0. Demostrar que b e t senh b t. b En los ejercicios 9 a, verificar la fórmula e erivación. 9. sech 0.. senh.. coth csch. sech sech tanh Preparación el eamen Putnam cosh cosh senh 5. Dese el vértice (0, c) e la catenaria c cosh (c), se ibuja una recta L perpenicular a la tangente e la catenaria en el punto P. Demostrar que la longitu e L intersecaa por los ejes es igual a la orenaa el punto P. 6. Aprobar o rechazar que eiste al menos una recta normal a la gráfica e cosh en un punto (a, cosh a) también normal a la gráfica e senh en un punto (c, senh c). [En un punto e la gráfica, una recta normal es la perpenicular a la recta tangente al punto. También, (e e ) senh (e e ).] Estos problemas fueron preparaos por el Committee on the Putnam Prize Competition. The Mathematical Association of America. Toos los erechos reservaos. PROYECTO DE TRABAJO Arco e San Luis National Geographic/Gett Images El arco e entraa a San Luis, Missouri, fue iseñaa utilizano la función coseno hiperbólico. La ecuación utilizaa para la construcción el arco es cosh 0.000, one se mien en pies. Las secciones el arco son triángulos equiláteros, (, ) escribe la traectoria e los centros e masas e esos triángulos. Para caa valor e, el área el triángulo e la sección transversal es A 5.06 cosh (Fuente: Owner s Manual for the Gatewa Arch, Saint Louis, MO, e William Thaer) a) A qué altura sobre el suelo está el centro el triángulo más alto? (Al nivel el suelo es 0.) b) Cuál es la altura el arco? (Sugerencia: En un triángulo equilátero, A c, one c es la mita e la base el triángulo el centro e masa el triángulo está situao a os tercios e la altura el triángulo.) c) Qué anchura tiene el arco en su base?

68 Ejercicios e repaso 0 En los ejercicios, esbozar a mano la gráfica e la función. Ientificar sus asíntotas.. f ln. En los ejercicios, usar las propieaes e los logaritmos para esarrollar la función logarítmica.. ln 5. En los ejercicios 5 6, escribir la epresión como el logaritmo e una única cantia Ejercicios e repaso ln ln ln ln ln ln 5 En los ejercicios 7 8, espejar. 7. ln 8. En los ejercicios 9 a, hallar la erivaa e la función. 9. g ln 0.. f ln. f ln ln ln ln 0 h ln f ln. sec. En los ejercicios 5 a 0, a) hallar la inversa e ƒ, b) usar una herramienta e graficación para representar ƒ ƒ en una misma pantalla, c) comprobar que ƒ (ƒ()) ƒ(ƒ ()) ) establecer los ominios rangos e f f. 5. f f f 0. En los ejercicios a, verificar que f tiene una inversa. Entonces usar la función f el número real ao a para encontrar ( f )(a). (Sugerencia: Usar el teorema 5.9.). f, a... 0 f tan, f cos,, 0, tan 0 a a 0 f 5 7 f f 5, 0 f f,, aa En los ejercicios 5 6, a) hallar la función inversa e ƒ, b) usar una herramienta e graficación para representar f ƒ en una misma pantalla, c) comprobar que ƒ (ƒ ()) ƒ (ƒ ()) ) establecer los ominios rangos e f f... a b a lna b b a b a b ln a 5. f ln 6. f e En los ejercicios 7 8, ibujar sin aua e una herramienta e graficación la gráfica e la función. En los ejercicios 5 6, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en el punto ao. 5. ln (, ) 6. ln En los ejercicios 7 a, hallar o evaluar la integral sen ln cos.. e ln (, ln ) 7. e 8. e En los ejercicios 9 a, encontrar la erivaa e la función. 9. gt t e t 0.. e e.. g. En los ejercicios 5 6, encontrar una ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en el punto ao. f lne, 6. 0, esen, 5., f En los ejercicios 7 8, hallar por erivación implícita. 7. ln 0 8. cos e En los ejercicios 9 a 56, encontrar o evaluar la integral. 0 e e 9. e 50. e e g ln e hz e z e t e e e e e e

69 0 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 5. e e 57. Demostrar que e (a cos b sen ) satisface la ecuación iferencial Depreciación El valor V e un artículo espués e t años es comparao por V 9 000e 0.6t, 0 t 5. a) Usar una herramienta e graficación para representar la función. b) Encontrar la razón e cambio e V respecto e t cuano t t. c) Usar una herramienta e graficación para representar las líneas tangentes a la función cuano t t. En los ejercicios 59 60, calcular el área e la región limitaa por las gráficas e las ecuaciones e e, e, 0, 0, En los ejercicios 6 a 6, ibujar a mano la gráfica e la función log 6. En los ejercicios 65 a 70, encontrar la erivaa e la función. 65. f g log 70. En los ejercicios 7 7, encontrar la integral inefinia t t t 7. Ritmo o velocia e ascenso El tiempo t (en minutos) que tara un avión pequeño en subir a una altitu e h pies es t 50 log h one pies es el tope e altitu alcanzable por el avión. a) Determinar el ominio e la función apropiaa al conteto el problema. b) Usar una herramienta e graficación para la función tiempo e ientificar las asíntotas. c) Encontrar el instante en el que la altitu crece a maor ritmo o velocia. 7. Interés compuesto 0, 0, e 0 e e 6 log f e h log 5 a) Qué capital ha que invertir continuamente a 5% e interés compuesto para que, al cabo e 5 años, el balance final sea $0 000? b) Un epósito a una tasa e r% e interés compuesto continuo uplica su valor en 0 años. Calcular r. En los ejercicios 75 76, representar la gráfica e la función. 75. f arctan 76. En los ejercicios 77 78, evaluar la epresión sin usar una calculaora. (Sugerencia: Dibujar un triángulo rectángulo.) 77. a) sen(arcsen ) 78. a) tan(arccot ) b) cos(arcsen ) b) cos(arcsec 5) En los ejercicios 79 a 8, encontrar la erivaa e la función. 79. tanarcsen arcsec arcsec, En los ejercicios 85 a 90, encontrar la integral inefinia e e arctan 90. En los ejercicios 9 9, encontrar el área e la región Movimiento armónico Un peso e masa m está sujeto al etremo e un resorte que oscila con movimiento armónico simple. Según la le e Hooke, se puee eterminar que A k m t one A es el esplazamiento máimo, t el tiempo k una constante. Epresar en función e t, tenieno que 0 cuano t 0. En los ejercicios 9 95, encontrar la erivaa e la función. 9. cosh 95. h arcsen arctan arctan e arcsen arcsen < < 6 arcsen En los ejercicios 96 97, encontrar la integral inefinia sech tanh

70 Solución e problemas 0 SP Solución e problemas. Encontrar el valor e a que maimiza el ángulo mostrao en la figura. Cuál es el valor aproimao e este ángulo? 0 a 0. Recorar que la gráfica e una función ƒ() es simétrica respecto al origen si (, ) es un punto e la gráfica, (, ) lo es también. La gráfica e la función ƒ() es simétrica respecto al punto (a, b) siempre que (a, b ) es un punto e la gráfica, (a, b ) lo es también, como se muestra en la figura. a) Trazar la gráfica e sen en el intervalo [0, ]. Escribir un párrafo breve eplicano cómo la simetría e la gráfica respecto al punto (0, ) permite concluir que 0 sen 0. b) Trazar la gráfica e sen en el intervalo [0, ]. Usar la simetría e la gráfica respecto al punto (, ) para evaluar la integral 0 (a, b) (a, b ) sen. c) Trazar la gráfica e arccos en el intervalo [, ]. Usar la simetría e la gráfica para evaluar la integral arccos ) Evaluar la integral (a, b ) 0. tan. a) Usar una herramienta e graficación para representar ln f sobre el intervalo [, ]. b) Usar la gráfica para estimar lím f. 0 c) Usar la efinición e erivaa para justificar la respuesta el apartao b). 6. Sea ƒ() sen (ln ). a) Determinar el ominio e la función ƒ. b) Encontrar os valores e que satisfagan ƒ(). c) Encontrar os valores e que satisfagan ƒ(). ) Cuál es el recorrio o rango e la función ƒ? e) Calcular ƒ() usar el cálculo para encontrar el valor máimo e f en el intervalo [, 0]. f ) Usar una herramienta e graficación para representar ƒ en la pantalla [0, 5] [, ] estimar lím f, si es que 0 eiste. g) Determinar lím 0 f analíticamente, si es que eiste. 5. Graficar la función eponencial a para a 0.5,..0. Cuál e estas curvas interseca la recta? Determinar toos los valores positivos e a para los cuales la curva a hace intersección con la recta. 6. a) Sea P(cos t, sen t) un punto sobre el círculo unitario en el primer cuarante (ver la figura). Mostrar que t es igual a os veces el área el sector circular sombreao AOP. b) Sea P(cosh t, senh t) un punto sobre la hipérbola unitaria en el primer cuarante (ver la figura). Mostrar que t es igual a os veces el área e la región sombreaa AOP. Empezar por mostrar que el área AOP está aa por la fórmula At cosh t cosh t senh t. 7. Aplicar el teorema el valor meio a la función f() ln sobre el intervalo cerrao [, e]. Encontrar el valor e c en el intervalo abierto (, e) tal que fc fe f. e 8. Mostrar que f > e n > 0. O O t P t A(, 0) A(, 0) P ln n es una función ecreciente para

71 0 CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, eponencial otras funciones trascenentes 9. Consierar las tres regiones A, B C eterminaas por la gráfica e ƒ() arcsen, como se muestra en la figura.. Usar integración por sustitución para encontrar el área bajo la curva 6 A B C entre.. Usar la integración por sustitución para encontrar el área bajo la curva sen cos entre 0. a) Calcular las áreas e las regiones A B. b) Usar la respuesta el apartao a) para evaluar la integral arcsen. c) Usar la respuesta el apartao a) para evaluar la integral ln. ) Usar la respuesta el apartao a) para evaluar la integral arctan. 0. Sea L la recta tangente e la gráfica e la función ln en el punto (a, b). Demostrar que la istancia entre b c siempre es igual a uno. b c Figura para 0 Figura para. Sea L la línea tangente e la gráfica e la función e en el punto (a, b). Demostrar que la istancia entre a c siempre es igual a uno.. La función guermanniana e es g() arctan(senh ) a) Graficar g usano una herramienta e graficación. b) Mostrar que g es una función impar. c) Mostrar que g es monótona, por tanto, tiene una inversa. ) Encontrar el punto e infleión e g. e) Verificar que g() arcsen(tanh ). f ) Verificar que g a L 0 cosh t. b c L a 5. a) Usar una herramienta e graficación para comparar la gráfica e la función e con las gráficas e caa una e las funciones aas. i) ii)!! iii)!!!! b) Ientificar el patrón e las funciones polinomiales sucesivas en el apartao a), etener el patrón un término más comparar la gráfica e la función polinomial resultante con la gráfica e e. c) Qué implica este patrón? 6. Una hipoteca e una casa por $0 000 por 5 años a un 9 % tiene un pago mensual e $ Parte e este pago mensual va al interés sobre el balance no pagao el resto el pago se utiliza para reucir el capital principal. La cantia que va para el interés es u M M Pr r t la cantia que va irectamente hacia la reucción el capital principal es v M Pr r t. En esas fórmulas P es la cantia e la hipoteca, r la tasa e interés, M el pago mensual t el tiempo en años. a) Usar una herramienta e graficación para representar caa función en la misma pantalla. (La pantalla ebe mostrar los 5 años e pagos e la hipoteca.) b) En los primeros años, a qué correspone la maor parte e la mensualia? Estimar el momento en que se eican cantiaes iguales a los intereses a la amortización. c) Usar las gráficas el apartao a) para formular una conjetura acerca e la relación entre las penientes e las rectas tangentes e las os curvas para un valor específico e t. Proporcionar un argumento analítico para verificar la conjetura. Encontrar u(5) v(5). ) Repetir los apartaos a) b) para un plazo e 0 años (M $ 8.56). Qué se puee concluir?

72 6 Ecuaciones iferenciales En este capítulo se estuiará una e las más importantes aplicaciones el cálculo: las ecuaciones iferenciales. El lector aprenerá varios métoos para resolver iferentes tipos e ecuaciones iferenciales, como las homogéneas, las lineales e primer oren las e Bernoulli. Posteriormente aplicará esas reglas para resolver ecuaciones iferenciales en problemas e aplicación. En este capítulo, se aprenerá: n Cómo generar un campo e penientes e una ecuación iferencial encontrar una solución particular. (6.) n Cómo usar una función eponencial para moelos e crecimiento ecrecimiento. (6.) n Cómo usar el métoo e separación e variables para resolver ecuaciones iferenciales. (6.) n Cómo resolver ecuaciones iferenciales lineales e primer oren la ecuación iferencial e Bernoulli. (6.) Dr. Dennis Kunkel/Gett Images Según el tipo e bacteria, el tiempo que le toma uplicar su peso al cultivo puee variar mucho, ese varios minutos hasta varios ías. Cómo se usaría una ecuación iferencial para moelar la tasa e crecimiento el peso el cultivo e una bacteria? (Ver la sección 6., ejercicio 8.) Una función f() es una solución e una ecuación iferencial, si la ecuación se satisface cuano sus erivaas se reemplazan por f() sus erivaas. Una manera e resolver una ecuación iferencial es meiante los campos e penientes, los cuales muestran la forma e toas las soluciones e una ecuación iferencial. (Ver la sección 6..) 05

73 06 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales 6. Campos e penientes métoo e Euler Usar coniciones iniciales para encontrar soluciones particulares e ecuaciones iferenciales. Usar campos e penientes para aproimar soluciones e ecuaciones iferenciales. Usar el métoo e Euler para aproimar soluciones e ecuaciones iferenciales. Soluciones general particular En este teto se aprenerá que los fenómenos físicos se pueen escribir por meio e ecuaciones iferenciales. Ha que recorar que una ecuación iferencial en es una ecuación que inclue, erivaas e. En la sección 6. se observará que los problemas acerca e la escomposición raiactiva, el crecimiento poblacional las lees e enfriamiento e Newton se pueen formular en términos e ecuaciones iferenciales. Una función f () se enomina solución e una ecuación iferencial si la ecuación se satisface cuano sus erivaas se reemplazan por f () sus erivaas. Por ejemplo, la erivación sustitución emostrarán que e es una solución e la ecuación iferencial 0. Esto emuestra que caa solución e esta ecuación iferencial es e la forma Ce Solución general e 0. one C es cualquier número real. La solución se llama solución general. Algunas ecuaciones iferenciales tienen soluciones singulares que no se pueen escribir como casos especiales e la solución general. Sin embargo, tales soluciones no se consieran en este teto. El oren e una ecuación iferencial se etermina por la erivaa e maor oren en la ecuación. Como ejemplo, es una ecuación iferencial e primer oren. Las ecuaciones iferenciales lineales e primer oren se iscutirán en la sección 6.. En la sección., ejemplo 8, se observó que la ecuación iferencial e seguno oren s(t) tiene la solución general s(t) 6t C t C Solución general e s(t). que contiene os constantes arbitrarias. Se puee mostrar que una ecuación iferencial e oren n tiene una solución general con n constantes arbitrarias. EJEMPLO Verificación e soluciones Determinar si la función es una solución e la ecuación iferencial 0. a) sen b) e c) Ce Solución a) Dao que sen, cos, sen, se euce que sen sen sen 0. Así, sen no es una solución. b) Dao que e, e, e, se euce que e e 0. Así, e es una solución. c) Dao que Ce, Ce, Ce, se euce que Ce Ce 0. Así, Ce es una solución para cualquier valor e C.

74 SECCIÓN 6. Campos e penientes métoo e Euler 07 C Solución general: C Geométricamente, la solución general e una ecuación iferencial e primer oren representa una familia e curvas conocias como curvas solución, una para caa valor asignao a la constante arbitraria. Por ejemplo, se puee verificar que caa función e la forma C C C C C Curvas solución para 0 Figura 6. C C C Solución general e 0. es una solución e la ecuación iferencial 0. La figura 6. muestra cuatro e las curvas solución corresponientes a iferentes valores e C. Como se iscutió en la sección., las soluciones particulares e la ecuación iferencial se obtienen e las coniciones iniciales que a el valor e la variable epeniente o una e sus erivaas para un valor particular e la variable inepeniente. El término conición inicial eriva el hecho e que, con frecuencia en problemas que involucran tiempo, el valor e la variable epeniente o una e sus erivaas es conocia en el tiempo inicial t 0. Como ejemplo, la ecuación iferencial e seguno oren s(t) tiene la solución general s(t) 6t C t C Solución general e s (t). porá tener las siguientes coniciones iniciales. s(0) 80, s(0) 6 Coniciones iniciales. En este caso, las coniciones iniciales llevan a la solución particular s(t) 6t 6t 80. Solución particular. EJEMPLO Encontrar una solución particular Daa la ecuación iferencial 0, verificar que C es una solución, encontrar la solución particular eterminaa por la conición inicial cuano. Solución Se sabe que C es una solución ao que C (C ) (C ) 0. Aemás, la conición inicial cuano lleva a C C( ) C 7 Solución general. Sustitue la conición inicial. Solución para C. se puee concluir que la solución particular es. Solución particular. 7 Verificar esta solución al sustituir en la ecuación iferencial original. NOTA Para eterminar una solución particular, el número e coniciones iniciales ebe corresponer al número e constantes en la solución general.

75 08 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales Campos e penientes Resolver una ecuación iferencial analíticamente puee ser ifícil o casi imposible. Sin embargo, eiste una aproimación gráfica que se puee usar para aprener mucho acerca e la solución e una ecuación iferencial. Consierar una ecuación iferencial e la forma F(, ) Ecuación iferencial. one F(, ) es alguna epresión en. En caa punto (, ) en el plano one F está efinia la ecuación iferencial etermina la peniente F(, ) e la solución en ese punto. Si se ibuja una recta corta con peniente F(, ) en los puntos seleccionaos (, ) en el ominio e F, entonces esos segmentos forman un campo e penientes o un campo e irecciones para la ecuación iferencial F(, ). Caa segmento tiene la misma peniente que la curva e solución a través e ese punto. Un campo e penientes muestra la forma general e toas las soluciones puee ser útil en la obtención e una perspectiva visual e las irecciones e las soluciones e una ecuación iferencial. Figura 6. EJEMPLO Representación gráfica e un campo e penientes Representar un campo e penientes e la ecuación iferencial para los puntos (, ), (0, ) (, ). Solución La peniente e la curva solución en cualquier punto (, ) es F(, ). Así, la peniente en el punto (, ) es, la peniente en (0, ) es 0, la peniente en (, ) es 0. Dibujar segmentos cortos en los tres puntos con sus respectivas penientes, como se muestra en la figura 6.. EJEMPLO Ientificar campos e penientes para ecuaciones iferenciales Asociar a caa campo vectorial su ecuación iferencial. a) b) c) Figura 6. i) ii) iii) Solución a) En la figura 6.a se puee observar que la peniente e cualquier punto a lo largo el eje es 0. La única ecuación que satisface esta conición es. Así, la gráfica correspone con ii). b) En la figura 6.b se puee observar que la peniente en el punto (, ) es 0. La única ecuación que satisface esta conición es. Así, la gráfica correspone con i). c) En la figura 6.c se puee observar que la peniente e algún punto a lo largo el eje es 0. La única ecuación que satisface esta conición es. Así, la gráfica correspone con iii).

76 SECCIÓN 6. Campos e penientes métoo e Euler 09 Una curva solución e una ecuación iferencial F(, ) es simplemente una curva en el plano cua recta tangente en caa punto (, ) tiene peniente igual a F(, ). Esto se ilustra en el ejemplo 5. EJEMPLO 5 Trazao e una solución meiante un campo e penientes Trazar un campo e penientes para la ecuación iferencial. Usar un campo e penientes para representar gráficamente la solución que pasa por el punto (, ). Solución Hacer una tabla que muestre las penientes en varios puntos. La tabla siguiente es un pequeño ejemplo. Se eben calcular las penientes e muchos puntos para obtener un campo e penientes representativo A continuación, ibujar segmentos e rectas en los puntos con sus respectivas penientes, como se muestra en la figura 6.. Campo e penientes para Figura 6. Solución particular para que pasa a través e (, ) Figura 6.5 Después e ibujar el campo e penientes, se comienza en el punto inicial (, ) se mueve a la erecha en irección el segmento. A continuación, ibujar la curva solución tal que ésta se mueva paralela al segmento más cercano. Hacer lo mismo para la izquiera e (, ). La solución resultante se muestra en la figura 6.5. Del ejemplo 5, notar que el campo e penientes muestra que mientras aumenta, lo hace hasta el infinito. NOTA Dibujar un campo e penientes a mano es teioso. En la práctica, los campos e penientes usualmente se ibujan meiante un métoo gráfico.

77 0 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales 0 Curva e solución eacta (, ) hf( 0, 0 ) h Peniente F( 0, 0 ) 0 Figura h Aproimación e Euler (, ) Métoo e Euler El métoo e Euler es un métoo numérico para aproimar la solución particular e la ecuación iferencial F(, ) que pasa a través el punto ( 0, 0 ). Con esta información se sabe que la gráfica e esa solución pasa a través el punto ( 0, 0 ) tiene una peniente e F( 0, 0 ) en ese punto. Esto a un punto inicial para aproimar la solución. A partir el punto inicial, se sigue en la irección inicaa por la peniente. Meiante un pequeño paso h, se mueve a lo largo e la recta tangente hasta llegar al punto (, ), one 0 h 0 hf( 0, 0 ) como se muestra en la figura 6.6. Si se consiera (, ) como un nuevo punto inicial, se puee repetir el proceso para obtener un seguno punto (, ). Los valores e i i son los siguientes. 0 h h n n h 0 hf 0, 0 hf, n n hf n, n NOTA Se pueen obtener mejores aproimaciones e la solución eacta si se escogen tamaños e paso caa vez más pequeños. EJEMPLO 6 Aproimar una solución meiante el métoo e Euler Figura Solución eacta Solución aproimaa Usar el métoo e Euler para aproimar la solución particular e la ecuación iferencial que pasa a través el punto (0, ). Usar un paso e h 0.. Solución Meiante h 0., 0 0, 0 F(, ), se tiene 0 0, 0., 0., 0.,, 0 hf 0, hf, hf, Las primeras iez aproimaciones se muestran en la tabla. Se pueen representar esos valores para obtener una gráfica e la solución aproimaa, como se muestra en la figura 6.7. n n n NOTA Para la ecuación iferencial aplicaa en el ejemplo 6, se puee verificar que la solución eacta es e. La figura 6.7 compara esta solución eacta con la solución aproimaa obtenia en el ejemplo 6.

78 SECCIÓN 6. Campos e penientes métoo e Euler 6. Ejercicios En los ejercicios a 8, verificar la solución e la ecuación iferencial En los ejercicios 9 a, verificar la solución particular e la ecuación iferencial En los ejercicios a 0, eterminar si la función es una solución e la ecuación iferencial () Solución Ce e 5 C ln C sen C cos C e cos C e sen cos lnsec tan 5e e Solución sen cos cos cos e 6 En los ejercicios a 8, eterminar si la función es una solución e la ecuación iferencial e.... e. 5. sen ln 8. 0 sen 0 5 sen e cos 0 cos sen cos sen e 5 ln e sen Ecuación iferencial conición inicial sen Ecuación iferencial 0 0 tan e C e C e C sen C cos e cos e 5 e En los ejercicios 9 a se an algunas e las curvas corresponientes a los iferentes valores e C en la solución general e la ecuación iferencial. Encontrar la solución particular que pasa a través el punto mostrao en la gráfica (0, ) Figura para 9 Figura para 0 Solución Ce C 0 C C Figura para Figura para En los ejercicios, la solución general e la ecuación iferencial está aa. Usar una herramienta e graficación para graficar las soluciones particulares para los valores aos e C. 0 (, ).. C C 0, C, C En los ejercicios 5 a 0, verificar que la solución general satisface la ecuación iferencial. Después encontrar la solución particular que satisface la conición inicial. 5. Ce 6. 0 cuano 0 7. C sen C cos cuano 6 Ecuación iferencial C (0, ) (, ) C 0, C, C C 0 cuano C C ln 0 0 cuano cuano 6 cuano

79 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales 9. C C cuano e C C 9 0 cuano 0 cuano 0 cuano En los ejercicios a 5, encontrar la solución general e la ecuación iferencial por integración. En los ejercicios 57 a 60, ubicar la ecuación iferencial con su respectivo campo e penientes. [Los campos e penientes se etiquetaron como a), b), c) ).] a) b) sen e 5. e e cos tan 5e c) ) Campos e penientes En los ejercicios 5 a 56, se an una ecuación iferencial su campo e penientes. Determinar las penientes (si es posible) en el campo e penientes en los puntos aos en la tabla / sen e 60. Campos e penientes En los ejercicios 6 a 6, a) trazar la gráfica el campo e penientes para la ecuación iferencial, b) usar el campo e penientes para trazar la gráfica e la función que pasa a través el punto ao, c) iscutir la gráfica e la solución cuano. Usar una herramienta e graficación para verificar los resultaos ,,,,,,, 0, cos cos tan Campo e penientes Usar el campo e penientes para la ecuación iferencial, one > 0, para representar la gráfica e la solución que satisface caa conición inicial. Entonces realizar una conjetura acerca el comportamiento e una solución particular e cuano a) (, 0) b) (, )

80 SECCIÓN 6. Campos e penientes métoo e Euler 66. Campo e penientes Usar el campo e penientes para la ecuación iferencial, one > 0, para esbozar la gráfica e la solución que satisface caa conición inicial. Entonces realizar una conjetura acerca el comportamiento e una solución particular e cuano (eacta) h 0. h 0. Tabla para 79 a 8 CAS a) (0, ) b) (, ) Campos e penientes En los ejercicios 67 a 7, usar un sistema algebraico por computaora para a) trazar la gráfica el campo e penientes para la ecuación iferencial b) trazar la gráfica e la solución que satisface la conición inicial especificaa Métoo e Euler En los ejercicios 7 a 78, usar el métoo e Euler para hacer una tabla e valores para la solución aproimaa e la ecuación iferencial con un valor inicial específico. Usar n pasos e tamaño h ,, 0.00, 0., 0., e8 sen,,,, 0.5, e, , 0, 0, cos sen, 0, En los ejercicios 79 a 8, completar la tabla meiante la solución eacta e la ecuación iferencial os aproimaciones obtenias meiante el métoo e Euler para aproimar la solución particular e la ecuación iferencial. Usar h 0. h 0. calcular caa aproimación con cuatro ecimales , n 0, n 0, n 0, 0 5, n 0, n 5, h 0. h 0.05 h 0. n 0, h 0.05 h 0. h Ecuación iferencial cos 8. Comparar los valores e las aproimaciones en los ejercicios 79 a 8 con los valores aos por la solución eacta. Cómo cambia el error cuano se incrementa h? 8. Temperatura En el tiempo t 0 minutos, la temperatura e un objeto es 0 F. La temperatura el objeto cambia en un ritmo o velocia ao por la ecuación iferencial t 7. a) Usar una herramienta e graficación el métoo e Euler para aproimar las soluciones e esta ecuación iferencial en t,. Usar un tamaño e paso e h 0.. b) Comparar los resultaos con la solución eacta 7 68e t. c) Repetir los incisos a) b) con un tamaño e paso e h Comparar los resultaos. Para iscusión 8. La gráfica muestra una solución e una e las siguientes ecuaciones iferenciales. Determinar la ecuación correcta. Eplicar su razonamiento. a) b) c) ) Conición inicial 0, 0, 0, 0 Solución eacta e sen cos e

81 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales Desarrollo e conceptos 85. Describir la iferencia entre una solución general e una ecuación iferencial una solución particular. 86. Eplicar cómo interpretar un campo e penientes. 87. Describir cómo usar el métoo e Euler para aproimar la solución particular e una ecuación iferencial. 88. Se sabe que Ce k es una solución e la ecuación iferencial Es posible eterminar C o k con la información aa? Si es posible, encontrar sus valores. 9. Error métoo e Euler Repetir el ejercicio 9 cua solución eacta e la ecuación iferencial one (0), es e. 95. Circuitos eléctricos El iagrama muestra un circuito eléctrico simple que consiste e una fuente e potencia, un resistor un inuctor. R Veraero o falso? En los ejercicios 89 a 9, eterminar si los enunciaos son veraeros o falsos. Si son falsos, eplicar por qué o ar un ejemplo que lo emuestre. 89. Si f() es una solución e una ecuación iferencial e primer oren, entonces f() C es también una solución. 90. La solución general e una ecuación iferencial es.9 C C. Para encontrar la solución particular se eben tener os coniciones iniciales. 9. Los campos e penientes representan las soluciones generales e ecuaciones iferenciales. 9. Un campo e penientes muestra que la peniente en el punto (, ) es 6. Este campo e penientes representa la familia e soluciones para la ecuación iferencial. 9. Error métoo e Euler La solución eacta e la ecuación iferencial one (0), es e. a) Usar una herramienta e graficación para completar la tabla, one es el valor eacto e la solución, es la solución aproimaa que se tiene meiante el métoo e Euler con h 0., es la solución aproimaa obtenia meiante el métoo e Euler con h 0., e es el error absoluto, e es el error absoluto, r es la relación e e e e r b) Qué se puee concluir acerca e la razón r a meia que cambia h? c) Preecir el error absoluto cuano h E Un moelo e la corriente I, en amperes (A), en un tiempo t, está ao por la ecuación iferencial e primer oren L I RI Et t one E(t) es el voltaje (V) proucio por la fuente e potencia, R es la resistencia, en ohms (), L es la inuctancia, en henrs (H). Suponer que el circuito eléctrico consiste e una fuente e potencia e V, un resistor e un inuctor e H. a) Trazar la gráfica para el campo e penientes e la ecuación iferencial. b) Cuál es el valor limitante e la corriente? Eplicar. 96. Para pensar Se sabe que e k t es una solución e la ecuación iferencial 6 0. Encontrar los valores e k. 97. Para pensar Se sabe que A sen t es una solución e la ecuación iferencial 6 0. Encontrar los valores e. Preparación el eamen Putnam 98. Sea f una función e valor real os veces erivable que satisfaga f() f () g()f () one g() 0 para too real. Probar que f() está acotaa. 99. Probar si la familia e curvas integrales e la ecuación iferencial p q, p q 0 es cortaa por la recta k, las tangentes e los puntos e intersección son concurrentes. Estos problemas fueron preparaos por el Committee on the Putman Prize Competition. The Mathematical Association of America. Toos los erechos reservaos. L

82 SECCIÓN 6. Ecuaciones iferenciales: crecimiento ecrecimiento 5 6. Ecuaciones iferenciales: crecimiento ecrecimiento Usar la separación e variables para resolver una ecuación iferencial simple. Usar funciones eponenciales para moelar el crecimiento ecrecimiento en problemas e aplicación. Ecuaciones iferenciales En la sección anterior se aprenió a analizar e manera visual las soluciones e ecuaciones iferenciales meiante los campos e penientes, la solución aproimaa e forma numérica meiante el métoo e Euler. Analíticamente, se aprenió a resolver sólo os tipos e ecuaciones iferenciales, las e las formas f() f(). En esta sección, se aprenerá a resolver un tipo más general e ecuaciones iferenciales. La estrategia es reescribir la ecuación e manera tal que caa variable ocurre sólo en un lao e la ecuación. La estrategia se enomina separación e variables. (Se estuiará esa estrategia más a etalle en la sección 6..) EJEMPLO Resolver una ecuación iferencial Escribir la ecuación original. Multiplicar ambos miembros por. Integrar con respecto a.. AYUDA DE ESTUDIO Se puee usar erivación implícita para verificar la solución en el ejemplo. EXPLORACIÓN En el ejemplo, la solución general e la ecuación iferencial es C. Usar una herramienta e graficación para graficar varias soluciones particulares, éstas se an por C ±, C ± C 0. Describir las soluciones gráficamente. Es veraero o falso el enunciao e caa solución? La peniente e la gráfica en el punto (, ) es igual a os veces la razón e. Eplicar el razonamiento. Están toas las curvas para las cuales este enunciao es veraero representaas por la solución general? C Así, la solución general está aa por C. Aplicar la regla e la potencia. Reescribir, sea C C. Cuano se integran ambos miembros e la ecuación en el ejemplo, no se necesita agregar una constante e integración a ambos miembros e la ecuación. Si se hace, se obtenrá el mismo resultao que en el ejemplo. C C C C C C En la práctica, más personas prefieren usar la notación e Leibniz las iferenciales cuano se aplica separación e variables. La solución el ejemplo se muestra abajo por meio e esta notación. C C

83 6 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales Moelos e crecimiento ecrecimiento En muchas aplicaciones, el ritmo o velocia e cambio e una variable es proporcional al valor e. Si es una función el tiempo t, la proporción se puee escribir como se muestra. Razón e cambio e es proporcional a. k t La solución general e esta ecuación iferencial se proporciona en el siguiente teorema. TEOREMA 6. MODELO DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL Si es una función erivable e t tal que > 0 k, para alguna constante k, entonces Ce kt C es el valor inicial e, k es la constante e proporcionalia. El crecimiento eponencial se prouce cuano k > 0, el ecrecimiento cuano k < 0. Demostración (0, ) (, 5.657) (, ) = e 0.66t Si la razón e cambio e es proporcional a, entonces sigue un moelo eponencial Figura 6.8 AYUDA DE ESTUDIO Meiante propieaes logarítmicas, notar que el valor e k en el ejemplo puee también escribirse como ln. Así, el moelo (ln t se convierte en e ), el cual se t puee reescribir como. t k k t k t k t ln kt C e kt e C Ce kt Escribir la ecuación original. Separar variables. Integrar con respecto a t. t. Encontrar la antierivaa e caa miembro. Despejar. Sea C e C. Así, toas las soluciones e k son e la forma Ce kt. Diferenciar la función Ce kt con respecto a t, verificar que k. EJEMPLO Uso e un moelo e crecimiento eponencial La razón e cambio e es proporcional a. Cuano t 0,. Cuano t,. Cuál es el valor e cuano t? Solución Dao que k, se sabe que t se relacionan con la ecuación Ce kt. Al aplicar las coniciones iniciales se encuentran los valores e las constantes C k. Ce 0 ek C k ln 0.66 Cuano t 0,. Cuano t,. Así, el moelo es e 0.66t. Cuano t, el valor e es e 0.66() (Ver la figura 6.8.)

84 SECCIÓN 6. Ecuaciones iferenciales: crecimiento ecrecimiento 7 TECNOLOGÍA La maoría e las herramientas e graficación tiene funciones para ajustar curvas que se pueen usar para encontrar moelos que representen los atos. Usar la función e regresión eponencial la información el ejemplo para encontrar un moelo para los atos. Cómo se poría comparar el moelo obtenio con el moelo ao? El ecrecimiento raiactivo se mie en términos e la via meia que es el número e años requerios para reucir la muestra raiactiva a la mita. La tasa e esintegración es proporcional a la cantia presente. Las vias meias e algunos isótopos raiactivos comunes muestran: Uranio ( 8 U) Plutonio ( 9 Pu) Carbono ( C) Raio ( 6 Ra) Einstenio ( 5 Es) Nobelio ( 57 No) años 00 años 5 75 años 599 años 76 años 5 segunos EJEMPLO Desintegración raiactiva Suponer que 0 gramos el isótopo 9 Pu se liberaron en el acciente nuclear e Chernobl. Cuánto tiempo tomará a los 0 gramos isminuir a gramo? LAZARENKO NIKOLAI/ITAR-TASS/Lanov Solución Consierar que representa la masa (en gramos) el plutonio. Dao que la tasa e esintegración es proporcional a, se sabe que Ce kt one t es el tiempo en años. Para encontrar los valores e las constantes C k, aplicar las coniciones iniciales. Con base en que 0 cuano t 0, se puee escribir 0 Ce k(0) Ce 0 lo cual implica que C 0. Luego, con base en el hecho e que la via meia e 9 Pu es e 00 años se puee tener 0 5 cuano t 00, se puee escribir 00 ln k k. k 5 0e 00 e 00k Así, el moelo es 0e t. Moelo e via meia. Para encontrar el tiempo en que 0 gramos ecrecen a gramo, se puee espejar para t en la ecuación NOTA El moelo e ecrecimiento eponencial en el ejemplo se puo escribir como 0( ) t 00. Este moelo es más fácil e erivar, pero para algunas aplicaciones no es conveniente usarlo. 0e t. La solución es aproimaamente años. Del ejemplo, notar que en un crecimiento o ecrecimiento eponencial es fácil obtener el valor e C cuano se a el valor e para t 0. El siguiente ejemplo emuestra un proceimiento para resolver C k cuano no se conoce el valor e en t 0.

85 8 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales EJEMPLO Crecimiento e población Suponer que una población eperimental e moscas se incrementa conforme a la le e crecimiento eponencial. Había 00 moscas antes el seguno ía el eperimento 00 moscas espués el cuarto ía. Cuántas moscas, aproimaamente, había en la población original? Solución Sea Ce kt el número e moscas al momento t, one t se mie en ías. Notar que es continua one el número e moscas es iscreto. Dao que 00 cuano t 00 cuano t, se puee escribir 00 Ce k 00 Ce k Por la primera ecuación, se sabe que C 00e k. Al sustituir este valor en la seguna ecuación, se obtiene lo siguiente. Número e moscas Figura 6.9 Uniaes venias (en miles) Figura 6.0 (0, ) = e 0.59t (0, ) (, 00) (, 00) Tiempo (en ías) (, ) (6, 7 500) = e t Tiempo (en meses) t t 00 00e k e k 00 00e k ln k ln k 0.59 k Así, el moelo e crecimiento eponencial es Ce 0.59t. Para resolver C, reaplicar la conición 00 cuano t obtener 00 Ce 0.59 C 00e Así, la población original (cuano t 0) consistía en aproimaamente C moscas, como se muestra en la figura 6.9. EJEMPLO 5 Ventas ecrecientes Cuatro meses espués e que se etuviera la publicia, una compañía fabricante notifica que sus ventas han caío e uniaes por mes a Si las ventas siguen un patrón e ecrecimiento eponencial, qué uniaes habrá espués e los siguientes os meses? Solución Usar el moelo e ecrecimiento eponencial Ce kt, one t se mie en meses. De la conición inicial (t 0), se sabe que C Aemás, ao que cuano t, se tiene e k 0.8 e k ln0.8 k k. Así, espués e meses más (t 6), se puee especular que la tasa e ventas mensuales será e uniaes.. Ver la figura 6.0.

86 SECCIÓN 6. Ecuaciones iferenciales: crecimiento ecrecimiento 9 En los ejemplos al 5, en realia no se tuvo que resolver la ecuación iferencial k. (Esto se hizo una vez en la prueba el teorema 6..) El siguiente ejemplo ilustra un problema cua solución involucra la técnica e separación e variables. El ejemplo concierne a la le e enfriamiento e Newton, la cual establece que la razón e cambio en la temperatura e un objeto es proporcional a la iferencia entre la temperatura el objeto la temperatura el meio circunante. Temperatura (en F) (0, 00) (0, 90) (.09, 80) = e t Tiempo (en minutos) Figura 6. t EJEMPLO 6 Le e enfriamiento e Newton Sea la temperatura (en F) e un objeto en una habitación cua temperatura se conserva constante a 60. Si la temperatura el objeto baja e 00 a 90 en 0 minutos, cuánto tiempo se requerirá para bajar la temperatura a 80? Solución Por la le e enfriamiento e Newton, se sabe que la razón e cambio en es proporcional a la iferencia entre 60. Esto se puee escribir como k( 60), Para resolver esta ecuación iferencial, usar la separación e variables, como se muestra. k t k t ln 60 kt C Ecuación iferencial. Separar variables. Integrar caa miembro. Encontrar la antierivaa o primitiva e caa miembro. Dao que > 60, 60 60, se pueen omitir los signos el valor absoluto. Meiante notación eponencial, se tiene 60 e ktc Meiante 00 cuano t 0, se obtiene Ce k(0) 60 C, lo cual implica que C 0. Dao que 90 cuano t 0, 0 0e 0k Así, el moelo es k 60 t e k0 k 0 ln e t 60 Ce kt. finalmente, cuano 80, se obtiene e t 0 0e t e0.0877t ln t t.09 minutos. C e C Moelo e enfriamiento. Así, se requerirán alreeor e.09 minutos más para enfriar el objeto a una temperatura e 80 (ver la figura 6.).

87 0 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales 6. Ejercicios En los ejercicios a 0, resolver la ecuación iferencial En los ejercicios a, escribir resolver la ecuación iferencial que moela el enunciao verbal.. La razón e cambio e Q con respecto a t es inversamente proporcional al cuarao e t.. La razón e cambio e P con respecto a t es proporcional a 5 t.. La razón e cambio e N con respecto a s es proporcional a 500 s.. La razón e cambio e con respecto a varía juntamente con L. Campos e penientes En los ejercicios 5 6, una ecuación iferencial, un punto un campo e penientes son aos. a) Trazar la gráfica e os soluciones aproimaas e la ecuación iferencial sobre el campo e penientes, uno e los cuales pasa a través el punto ao. b) Usar la integración para encontrar la solución particular e la ecuación iferencial usar una herramienta e graficación para representar la solución. Comparar el resultao con la gráfica en el apartao a). 5. 6, 0, , 0, En los ejercicios a, escribir resolver la ecuación iferencial que moele el enunciao verbal. Evaluar la solución en los valores específicos e la variable inepeniente.. La razón e cambio e es proporcional a. Cuano 0, 6 cuano, 5. Cuál es el valor e cuano 8?. La razón e cambio e N es proporcional a N. Cuano t 0, N 50 cuano t, N 00. Cuál es el valor e N cuano t?. La razón e cambio e V es proporcional a V. Cuano t 0, V 0 000, cuano t, V 500. Cuál es el valor e V cuano t 6?. La razón e cambio e P es proporcional a P. Cuano t 0, P 5 000, cuano t, P 750. Cuál es el valor e P cuano t 5? En los ejercicios 5 a 8, encontrar la función eponencial Ce kt que pase a través e los os puntos aos ( 0, ) (, 5) (5, 5) (5, ) 5 6 t t 5 (0, ) 5 ( ), (, 5) 5 ( 5, ) t t 5 En los ejercicios 7 a 0, encontrar la función f(t) que pasa a través el punto (0, 0) con la primera erivaa aa. Usar una herramienta e graficación para representar la solución t t t 5 t t t Desarrollo e conceptos 9. Describir qué representan los valores e C k en el moelo e crecimiento ecrecimiento eponencial, Ce kt. 0. Proporcionar una ecuación iferencial que moele el crecimiento ecrecimiento eponencial. En los ejercicios, eterminar los cuarantes en los cuales la solución e la ecuación iferencial es una función creciente. Eplicar. (No resolver la ecuación iferencial.)..

88 SECCIÓN 6. Ecuaciones iferenciales: crecimiento ecrecimiento Desintegración raiactiva En los ejercicios a 0, completar la tabla e los isótopos raiactivos Desintegración raiactiva El raio raiactivo tiene una semivia o via meia e aproimaamente 599 años. Qué porcentaje e una cantia aa permanece espués e 00 años?. La prueba el carbono La prueba el carbono supone que el contenio e ióio e carbono sobre la Tierra ho tiene el mismo contenio raiactivo que el e hace siglos. Si esto es cierto, la cantia e C absorbio por un árbol que creció hace varios siglos ebe tener la misma cantia e C absorbia por un árbol que crece ho. Una pieza e carbón viejo contiene sólo 5% e la cantia e carbono e una pieza e carbón actual. Hace cuánto tiempo fue quemao el árbol para formar la pieza antigua e leño? (La via meia el C es 5 75 años.) Interés compuesto En los ejercicios a 8, completar la tabla para una cuenta e ahorros en la que se tiene un interés continuo Isótopo 6 Ra 6 Ra 6 Ra C C C 9 Pu 9 Pu Inversión inicial Semivia o via meia (en años) g g g 5 75 g g $ 000 6% $8 000 $ g 00. g g Tasa anual 5 % Cantia inicial Interés compuesto En los ejercicios 9 a 5, encontrar el capital principal P que ebe invertirse a una tasa r, a un interés mensual compuesto, tal que $ garanticen la jubilación en t años. 9. r 7 %, t r 8%, t 5 5. Interés compuesto En los ejercicios 5 a 56, encontrar el tiempo necesario para que $ 000 se upliquen si se invierten a una tasa e r compuesta a) anual, b) mensual, c) iaria ) continua. 5. r 7% r 8.5% 56. Cantia espués e 000 años Tiempo para uplicar 7 años $ años $500 $ 9.85 $ 000 $ r 6%, r 9%, r 6% r 5.5% Cantia espués e 0 años Cantia espués e años t 0 t 5 Población En los ejercicios 57 a 6, se an la población (en millones) e un país en 007 la razón e cambio continua anual especulaa k e la población. (Fuente: U.S. Census Bureau, International Data Base.) a) Encontrar el moelo e crecimiento eponencial P Ce kt e la población con t 0 corresponiente a 000. b) Usar el moelo para preecir la población el país en 05. c) Discutir la relación entre el signo e k el cambio en la población para el país País Letonia. Egipto Paragua Hungría Ugana Para iscusión Población e a) Suponieno un incremento en la población e insectos en un número constante caa mes, eplicar por qué el número e insectos puee ser representao por función lineal. b) Suponieno un incremento en la población e insectos en un porcentaje constante caa mes, eplicar por qué el número e insectos puee ser representao por función eponencial. 6. Moelo matemático Sea un cultivo con una cantia inicial e cien bacterias N el número e bacterias que se cuentan caa hora urante 5 horas. Los resultaos se muestran en la tabla, one t es el tiempo en horas. t 0 5 N a) Usar la función e regresión e una herramienta e graficación para encontrar un moelo eponencial para los atos. b) Usar el moelo para estimar el tiempo requerio para que la población se cuariplique. 6. Crecimiento e bacterias El número e bacterias en un cultivo se incrementó e acuero con la le e crecimiento eponencial. Después e horas se tienen 5 bacterias en el cultivo 50 bacterias espués e horas. a) Encontrar la población inicial. b) Escribir un moelo e crecimiento eponencial e la población bacteriana. Sea t el tiempo en horas. c) Usar el moelo para eterminar el número e bacterias espués e 8 horas. ) Después e cuántas horas la cantia e bacterias será e 5 000? 65. Curva e aprenizaje El gerente e una fábrica ha calculao que un trabajaor puee proucir más e 0 uniaes en un ía. La curva e aprenizaje el número N e uniaes proucias por ía espués e que un nuevo empleao haa trabajao t ías es N 0( e kt ). Después e 0 ías en el trabajo, un trabajaor prouce 9 uniaes. k

89 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales a) Encontrar la curva e aprenizaje e este trabajaor. b) Cuántos ías pasarían antes e que este trabajaor prouzca 5 uniaes por ía? 66. Curva e aprenizaje Si en el ejercicio 65 el gerente requiere que un nuevo empleao prouzca al menos 0 uniaes por ía espués e 0 ías en el trabajo, encontrar a) la curva e aprenizaje que escribe este requisito mínimo b) los ías necesarios antes e que un trabajaor prouzca, como mínimo, 5 uniaes por ía. 67. Análisis e atos La tabla muestra la población P (en millones) e Estaos Unios ese 960 hasta 000. (Fuente: U.S. Census Bureau) Año Poblaci ón, P a) Usar los atos e para encontrar un moelo eponencial P para los atos. Consierar t 0 en 960. b) Usar una herramienta e graficación para representar un moelo eponencial P para los atos. Consierar t 0 en 960. c) Usar una herramienta e graficación para trazar los atos los moelos P P en la misma pantalla. Comparar el ato real con las preicciones. Qué moelo se ajusta mejor a los atos? ) Estimar cuáno la población será e 0 millones. 68. Análisis e atos La tabla muestra los ingresos netos las cantiaes requerias para satisfacer la eua nacional (fonos e garantía e los intereses aecuaos por la Tesorería) e Estaos Unios ese 00 hasta 00. Los años e 007 a 00 son estimaos las cantiaes monetarias se an en miles e millones e ólares. (Fuente: U.S. Office of Management an Buget) Año Ingresos Intereses Año Ingresos Intereses a) Usar la capacia e regresión e una herramienta e graficación para encontrar un moelo eponencial R para los ingresos un moelo cuártico I para la cantia necesaria para satisfacer la eua. Consierar t como el tiempo en años, con t que correspone a 00. b) Usar una herramienta e graficación para trazar los puntos corresponientes a los ingresos, trazar el corresponiente moelo. Con base en el moelo, cuál es la tasa e crecimiento continuo e los ingresos? c) Usar una herramienta e graficación para representar los puntos que corresponen a la cantia necesaria para satisfacer la eua, trazar el moelo cuártico. ) Encontrar una función P(t) que aproime el porcentaje e los ingresos necesarios para satisfacer la eua nacional. Usar una herramienta e graficación para representar esta función. 69. Intensia el sonio El nivel el sonio (en ecibeles), con una intensia e I es I 0 log I 0 one I 0 es una intensia e 0 6 watts por centímetro cuarao, que correspone a la intensia el sonio más ébil que se puee escuchar. Determinar (I) para a) I 0 watts por centímetro cuarao (susurro) b) I 0 9 watts por centímetro cuarao (esquina e calle ruiosa) c) I watts por centímetro cuarao (golpe e martillo) ) I 0 watts por centímetro cuarao (umbral e olor) 70. Nivel e ruio Con la instalación e materiales e aislamiento sonoro, el nivel e ruio en un auitorio se reujo e 9 a 80 ecibeles. Usar la función eponencial el ejercicio 69 para encontrar el porcentaje e ecrecimiento en el nivel e intensia el ruio como un resultao e la instalación e esos materiales. 7. Silvicultura El valor e un terreno e árboles maerables es. t Vt () e 08 one t es el tiempo en años, con t 0 corresponiente a 008. Si el inero gana intereses continuamente e 0%, el actual valor el bosque maerero en cualquier tiempo t es A(t) V(t)e 0.0t. Encontrar el año en el cual el bosque se talará para maimizar la presente función valor. 7. Intensia el terremoto En la escala e Richter, la magnitu R e un terremoto e intensia I es R ln I ln I 0 ln 0 one I 0 es la intensia mínima usaa como comparación. Suponer que I 0. a) Encontrar la intensia el terremoto e San Francisco en 906 (R 8.). b) Encontrar el factor para el cual la intensia aumente si la meia en la escala Richter es el oble. c) Encontrar RI. 7. Le e enfriamiento e Newton Cuano un objeto se etrae el horno se coloca en un entorno con una temperatura constante e 80 F, la temperatura en el centro es 500 F. Una hora espués e etraerlo, la temperatura el centro es 0 F. Encontrar la temperatura el centro 5 horas espués e etraer el objeto el horno. 7. Le e enfriamiento e Newton Un conteneor e líquio caliente se coloca en un congelaor que se mantiene a una temperatura constante e 0 F. La temperatura inicial el líquio es 60 F. Después e 5 minutos, la temperatura el líquio es 60 F. Cuánto tiempo se necesitará para que su temperatura isminua a 0 F? Veraero o falso? En los ejercicios 75 a 78, eterminar si el enunciao es veraero o falso. Si es falso, eplicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo emuestre. 75. En el crecimiento eponencial, la tasa e crecimiento es constante. 76. En el crecimiento lineal, la tasa e crecimiento es constante. 77. Si los precios aumentan a una tasa e 0.5% mensual, entonces éstos aumentan a una tasa e 6% por año. 78. El moelo eponencial e la ecuación iferencial e crecimiento es k, one k es una constante. I 0

90 SECCIÓN 6. Separación e variables la ecuación logística 6. Separación e variables la ecuación logística Reconocer resolver las ecuaciones iferenciales que se pueen resolver meiante separación e variables. Reconocer resolver ecuaciones iferenciales homogéneas. Usar ecuaciones iferenciales para moelar resolver problemas e aplicación. Resolver analizar las ecuaciones iferenciales logísticas. Separación e variables Consierar una ecuación iferencial que puea escribirse e la forma M( ) N( ) 0 one M es una función continua sólo e N es una función continua sólo e. Como se observó en la sección anterior, para este tipo e ecuación, toos los términos se pueen agrupar con toos los e con, se puee obtener una solución por integración. Tales ecuaciones se ice que son separables, el proceimiento e solución se enomina separación e variables. Abajo se muestran algunos ejemplos e ecuaciones iferenciales que son separables. Ecuación iferencial original 0 sen cos e Reescrita con variables separables cot e EJEMPLO Separación e variables Encontrar la solución general e ( ). Solución Para iniciar, observar que 0 es una solución. Para encontrar otras soluciones, suponer que 0 separar las variables como se muestra. NOTA Asegurarse e verificar las soluciones e este capítulo. En el ejemplo, se ebe verificar la solución C por erivación sustitución en la ecuación original. C? C C C Así, la solución concuera. Ahora, integrar para obtener ln ln C ln ln C e C ±e C. Forma iferencial. Separar variables. Integrar. Dao que 0 es también una solución, se puee escribir la solución general como C. Solución general (C e C )

91 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales En algunos casos, no es factible escribir la solución general en la forma eplícita f(). El siguiente ejemplo ilustra tal situación. La erivación implícita se puee usar para verificar esta solución. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para un ejemplo (e ingeniería) e una ecuación iferencial que es separable, ver el artículo Designing a Rose Cutter, e J. S. Hartzler en The College Mathematics Journal. EJEMPLO Encontrar una solución particular Daa la conición inicial (0), encontrar la solución particular e la ecuación e 0. Solución Notar que 0 es una solución e la ecuación iferencial, pero esta solución no satisface la conición inicial. Así, se puee suponer que 0. Para separar variables, se ebe espejar el primer término e el seguno término e e. Así, se ebe multiplicar por e obtener lo siguiente. e 0 e e ln e C De la conición inicial (0), se tiene 0 C, lo cual implica que C. Así, la solución particular tiene la forma implícita ln e ln e. Se puee verificar esto erivano reescribieno para obtener la ecuación original. 0 = e EJEMPLO Encontrar la curva e una solución particular Encontrar la ecuación e la curva que pasa a través el punto (, ) tiene peniente e en cualquier punto (, ). Solución Dao que la peniente e la curva está aa por, se tiene con la conición inicial (). Separano las variables e integránolas se tiene, ln C Figura 6. (, ) ( )/ = e e C Ce. Dao que cuano, se conclue que Ce C e. Así, la ecuación e la curva especificaa es (e)e e (), > 0. Ya que la solución no se efine en 0 la conición inicial se a en, está restringia a valores positivos. Ver la figura 6..

92 SECCIÓN 6. Separación e variables la ecuación logística 5 NOTA La notación f(, ) se usó para enotar una función e os variables e la misma forma como f() enota una función e una variable. Se estuiarán funciones e os variables a etalle en el capítulo. Ecuaciones iferenciales homogéneas Algunas ecuaciones iferenciales que no son separables en se pueen separar por un cambio e variables. Éste es el caso e ecuaciones iferenciales e la forma f(, ), one f es una función homogénea. La función aa por f(, ) es homogénea e grao n si f t, t t n f, Función homogénea e grao n. one n es un número real. EJEMPLO Verificar funciones homogéneas a) f(, ) es una función homogénea e grao ao que ft, t t t t tt t t t t t f,. b) f(, ) e sen () es una función homogénea e grao ao que ft, t te tt t sen t t t e sen tf,. c) f(, ) no es una función homogénea ao que ft, t t t t t t n. ) f(, ) es una función homogénea e grao 0 ao que ft, t t t t 0. DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Una ecuación iferencial homogénea es una ecuación e la forma M(, ) N(, ) 0 one M N son funciones homogéneas el mismo grao. EJEMPLO 5 Prueba para ecuaciones iferenciales homogéneas a) ( ) 0 es homogénea e grao. b) es homogénea e grao. c) ( ) 0 no es una ecuación iferencial homogénea.

93 6 CAPÍTULO 6 Ecuaciones iferenciales Para resolver una ecuación iferencial homogénea por el métoo e separación e variables, usar el siguiente teorema e cambio e variables. TEOREMA 6. CAMBIO DE VARIABLES PARA ECUACIONES HOMOGÉNEAS Si M(, ) N(, ) 0 es homogénea, entonces se puee transformar en una ecuación iferencial cuas variables son separables por la sustitución v one v es una función erivable e. EJEMPLO 6 Resolver una ecuación iferencial homogénea Encontrar la solución general e AYUDA DE ESTUDIO La sustitución = v llevará a una ecuación iferencial que es separable con respecto a las variables v. Se ebe escribir su solución final, sin embargo, en términos e. ( ) 0. Solución Dao que ( ) son homogéneas e grao, usar v para obtener v v. Entonces, por sustitución, se tiene v v v v 0 v v v 0 v v v 0. Al iviir entre separar variables, se prouce v v v v v v ln ln v C ln ln v ln C ln lnc v C v. Al sustituir por v se prouce la siguiente solución general. Solución general e ( ) 0 Figura 6. C = C = ( + ) = C C = C = C C C Solución general. Se puee verificar esto al erivar reescribir para obtener la ecuación original. TECNOLOGÍA Si se tiene acceso a una herramienta e graficación, representar varias soluciones para el ejemplo 6. La figura 6. muestra las gráficas e ( ) C para C,,.

94 SECCIÓN 6. Separación e variables la ecuación logística 7 Aplicaciones EJEMPLO 7 Población salvaje La razón e cambio el número e cootes N(t) en una población es irectamente proporcional a 650 N(t), one t es el tiempo en años. Cuano t 0, la población es 00, cuano t, la población se incrementó a 500. Encontrar la población cuano t. Solución Dao que el ritmo o velocia e cambio e la población es proporcional a 650 N(t), se puee escribir la siguiente ecuación iferencial. N t k650 N Se puee resolver esta ecuación iferencial por separación e variables. franzfoto.com/alam N k650 N t N k t 650 N ln 650 N kt C ln650 N kt C 650 N e ktc N 650 Ce kt Forma iferencial. Variables separables. Integrar. Suponer N < 650. Solución general. Si se usa N 00 cuano t 0, se puee concluir que C 50, lo cual prouce N e kt. Entonces, meiante el valor e N 500 cuano t, se euce que e k e k 7 Así, el moelo para la población e cootes es k 0.6. N e 0.6t. Moelo para la población. Cuano t, se puee aproimar la población a N e 0.6() 55 cootes. En la figura 6. se muestra el moelo e población. Note que N 650 es la asíntota horizontal e la gráfica es la capacia e carga el moelo. Es posible aprener más acerca e la capacia e carga espués en esta sección. N 700 Número e cootes (0, 00) (, 500) (, 55) N = e 0.6t 00 Figura Tiempo (en años) t