FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
|
|
|
- Alejandro Roldán Ponce
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 CAPÍTULO 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES (Áreas 1, y ) Las funciones trascenentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un argumento es el número o letras que lo simbolizan que hacen que una función aquiera un valor, es ecir, que se convierta en un número. Sin él, la función es vacía, o sea, no tiene valor. Por ejemplo, la función sen (seno) es vacía, no tiene ningún valor porque le falta el argumento, le falta ese número que la transforme en una cantia concreta. Si a la función anterior se le agrega el número 6 para tener sen 6 entonces esto ya aquiere un valor, el cual es sen 6 = A este número 6 que hizo que sen aquiriera un valor se le llama argu- mento. Otro ejemplo: la función log (logaritmo) es vacía, no tiene asociao ningún valor, pero si se le agrega 107 para tener log 107 entonces así ya aquiere el valor log 107 = En este caso el 107 es el argumento e la función logaritmo. De la misma forma, arc tan (arco tangente o tangente inversa) es vacía, no tiene asociao ningún valor, pero si se le agrega el número 1. para tener arc tan 1. ya aquiere el valor arc tan 1. = En este caso el número 1. es el argumento e la función arc tan. 87
2 Las principales funciones trascenentes son: a) trigonométricas; b) trigonométricas inversas y c) logarítmicas y exponenciales. No son toas, pero las que se van a estuiar en este curso serán ésas. Dos características interesantes en toas las fórmulas e erivación e las funciones trascenentes son que el argumento está representao siempre por la letra u y la seguna es que toas las fórmulas terminan u multiplicano por la erivaa el argumento, o sea por. Es conveniente tener presentes las reglas e escritura matemática para ientificar el argumento en una función trascenente, en las que el símbolo e la función se refiere a la escritura con la que se invoca la función corresponiente. Por ejemplo, sen es el símbolo e la función seno; cos es el símbolo e la función coseno; log es el símbolo e la función logaritmo, etc. Dichas reglas son: 1) El argumento comienza con el símbolo escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función. Ejemplos: a) cos ( x + 1) El argumento comienza con el paréntesis por ser lo que está escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función cos. Por razones obvias, termina one cierra el paréntesis. 88
3 b) tan x 7x El argumento comienza con la raíz cuaraa por ser lo que está escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función tan. c) arc sec x y El argumento comienza con el número por ser lo que está escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función arc sec. ) tan cos 4x El argumento comienza con la función coseno por ser lo que está escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función tan, es ecir, el argumento e la tangente es cos 4x. ) Toos los factores monomios pertenecen al argumento. En el caso e que alguno no sea parte el argumento, éste ebe escribirse antes e la función trascenente. Ejemplo: a) sen ab xy Toos éstos son factores monomios, por lo tanto el argumento e la función seno es ab xy. En caso e que, por ejemplo, y no fuera parte el argumento, así está mal escrito y ebe escribirse y senab x. 89
4 ) Solamente el primer término pertenece al argumento. En caso e que otros términos sean parte el argumento, eben encerrarse entre paréntesis. O en caso e que no lo sean, eben escribirse antes e la función trascenente. Ejemplo: csc x + x 4 6 Una escritura así provoca la ua 6x - son también parte el argumento? Conforme a esta regla, no son y ebería escribirse como 6x - + csc x 4. O en too caso, si lo son su escritura correcta sería csc(x 4 + 6x - ). 4) Solamente el 1 er factor polinomio es parte el argumento. En caso e que un º factor polinomio no sea componente el argumento, ebe escribirse antes e la función trascenente. Ejemplo: ( + 6)( 4 1) cot x x x Esta escritura es incorrecta porque se presta a uas: El factor (4x - 1) es parte el argumento? Para evitar estas ambigüeaes existe la regla anterior que ice que no y que aemás orena escribirlo como 4x 1 cos x + x 6 ; pero en el caso e que fuera ( ) ( ) parte el argumento, su escritura correcta sería ( + 6)( 4 1) cos x x x ) Un exponente escrito sobre el símbolo e la función inica que toa la función está elevaa a icha potencia. Ejemplo: ( x ) cot 6 Este exponente inica que la función cotangente es la que está elevaa al cubo, o sea que 90
5 ( ) = ( ) ( ) ( ) cot x 6 cot x 6 cot x 6 cot x 6 6) Un exponente escrito sobre el argumento inica que es el argumento el que está elevao a icha potencia. Ejemplo cot ( x 6) Este exponente inica que el argumento (x - 6) es el que está elevao al cubo, o sea que ( 6) ( 6)( 6)( 6) cot x = cot x x x Nótese como se cumplen las reglas e escritura anteriores. 7) Too argumento negativo ebe escribirse entre paréntesis. Ejemplo: sen ( x) La razón e esta regla es para evitar confusiones en los inexpertos que interpretan como resta cuano se escribe sen x, a pesar e que carece e sentio una resta así, pues la función sen estaría vacía (sin argumento), ya que se estaría tomano como un término a sen y como otro término a - x. 8) Cuano una función trascenente está iviia entre cualquier cantia, ebe escribirse la fracción que inica la ivisión antes e la función trascenente. En caso e que sea solamente el argumento el que esté iviio, ebe encerrarse el argumento entre paréntesis o en caso extremo ebe escribirse la línea e fracción claramente a la mita el símbolo e la función. Ejemplos 91
6 1 log x ( 6 1) Lo que pie esta regla es que se evite escribir el ejemplo ante- rior como ciente como log ( 6x 1) log ( 6x 1), pues es frecuente una escritura efi- a toa la función o solamente al argumento?. que provoca la ua: El ivie sec 6x 1 Para evitar las confusiones señalaas en el ejemplo anterior, con un paréntesis en el argumento se eja en claro qué ivie el. 6. FÓRMULAS PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (Áreas 1, y ) Las fórmulas e erivación e las seis funciones trigonométricas son: (9) (10) (11) (1) (1) u sen u = cos u u cosu = sen u tanu = cot u = sec u csc u u u secu = tanu secu u 9
7 (14) csc u = cot u cscu u Debe notarse que la erivaa e una función trigonométrica es otra, u otras, función trigonométrica con el mismo argumento. Esto es muy importante: el argumento nunca cambia. Aemás toas las fórmulas terminan multiplicano por la erivaa el argumento u Ejemplo 1: Hallar la erivaa e y = sen x Solución: El argumento es x, o sea que u = x. Aplicano la fórmula (9) se obtiene = cos x x cos u u cos x = Nótese que el argumento x no cambia e la función original al resultao e la erivaa. Ejemplo : Hallar la erivaa e y= cos x. Solución: El argumento es x, o sea que u = x. Aplicano la fórmula (10) se obtiene 9
8 = sen x x - sen u u x sen x = Ejemplo : Hallar la erivaa e y = tan (x - x + ) Solución: El argumento es (x - x + ), o sea que u = x - x +. Aplicano la fórmula (11) se obtiene: ( ) ( ) = sec x x + x x + sec u u = + ( x ) sec ( x x ) Ejemplo 4: Hallar la erivaa e y = cot 7x 94
9 Solución: El argumento es 7x, o sea que u = 7x. Aplicano la fórmula (1): = csc 7x 7x 7 7 ( ) 1 / = csc x x -csc u u La erivaa peniente es e la forma u n, por lo que 1 ( ) 1/ = csc 7x 7x 7x n u n - 1 u 7 = csc 7x 7x Finalmente orenano conforme a las reglas e escritura matemática = 7 7x csc 7x 9
10 1 Ejemplo : Hallar la erivaa e y = sec 4 x 1 1 Solución: El argumento es, o sea que u =. Aplicano la fórmula (1): 4 4 x x = tan sec x x x = tan sec 4 4 ( x ) x x 1 1 = tan sec 4x 4 4 x x Finalmente orenano conforme a las reglas e escritura matemática = tan sec 4 4 x x x Ejemplo 6: Hallar la erivaa e y = csc 6x 1 4 Solución: El argumento es, o sea que u =. Aplicano la fórmula (14): 4 4 6x 1 6x 1 = cot csc x 1 6x 1 6x 1 96
11 = cot csc 6x x 1 6x 1 ( ) 1 / 4 La erivaa peniente es e la forma u n, por lo que 4 ( / 6 1 ) ( 6 1 ) = cot csc x x 4 4 6x 1 6x ( x ) ( ) = cot csc x 1 6x 1 46x 1 / Finalmente orenano conforme a las reglas e escritura matemática 4 90x = cot csc ( x 1 ) / 6x 1 6x 1 y = sen 4x 4x + 7 Ejemplo 7: Hallar la erivaa e ( ) Solución: El argumento es (4x - 4x + 7), por lo que u = (4x - 4x + 7). Empleano la fórmula (9): = cos x x + x x + ( 4 4 7) ( 4 4 7) La erivaa peniente es e la forma u n, por lo que 97
12 ( ) ( ) 4 cos 4x 4x 7 4x 4x 7 ( 4x = + + 4x + 7) n u n ( 4 4 7) ( 4 4 7) ( 8 4) = cos x x + x x + x u finalmente, orenano conforme a las reglas e escritura matemática: = + + ( x x ) ( x ) cos( x x ) 4 Ejemplos con potencias Ejemplo 8: Hallar la erivaa e y = cos 4 x Solución: Como la función y cos 4 x es lo mismo que y = cosx, tiene la forma e u n, en = ( ) 4 one u = cos x y n = 4. Entonces aplicano la fórmula (6) corresponiente a u n e la página 69 se obtiene: ( ) = 4 cos x cos x n - 1 n u u 98
13 La erivaa peniente es e la forma cos u, e manera que aplicano ahora la fórmula (10) el coseno: 4( ) = cos x sen x x = - sen u ( ) 4cos x sen x u Finalmente, orenano conforme a las reglas e escritura matemática se llega a = 0 cos x sen x Ejemplo 9: Hallar la erivaa e y = 7x tan( x 7) Solución: La función tiene la forma el proucto uv, en one u 7x y v = tan x 7. Enton- ces aplicano la fórmula (7) el proucto uv e la página 77: = 7 x tan( x 7) + tan( x 7) 7x = ( ) v u v u 99
14 La primera erivaa peniente es e la forma tan u, en one u = x - 7: ( ) ( ) ( ) = 7x sec x 7 x 7 + tan x 7 1x sec u u ( )( ) ( ) = 7x sec x 7 10x + tan x 7 1x Nótese que el factor 1x se escribió con un paréntesis e iferente forma al el argu- mento e la tangente para evitar confusiones y ejar claro que no pertenece al argumento. Finalmente, orenano conforme a las reglas e escritura matemática: = + ( ) ( ) 4 70x sec x 7 1x tan x 7 Ejemplo 10: Derivar y = 4 sen x sec x u Solución: La función tiene la forma e un cociente, es ecir, e, en one u que representa al nu- v meraor es 4 u = sen x y v que representa al enominaor es v = secx. De manera que empleano la fórmula el cociente: 100
15 u v u v 4 4 sec x sen x sen x sec x = ( sec x ) v La primera erivaa peniente o inicaa es sen 4 x, la cual se eriva con la fórmula e u n (ver ejemplo 8), ya que sen 4 x = (sen x) 4 ; en one ahora por cambiar e fórmula u = sen x y n = 4, mientras que la seguna erivaa peniente es sec x, la cual es e la forma sec v, en one v = x. Nótese que aunque la fórmula original está expresaa en términos e la variable u, es ecir, secu = tanu secu u, en este caso se está empleano la variable v, esto es sec v = tanv sec v v en virtu e que la variable u se utilizó en la primera erivaa peniente. Realizano las erivaas inicaas: 101
16 u n u n - 1 tan v sec v v = ( ) 4 sec x 4 sen x sen x sen x tan x sec x x sec x u Como la erivaa el seno es sen u = cos u : = sec x ( [ ]) sec x 4sen x cos x x sen 4 x tan x sec x x Finalmente, multiplicano y orenano conforme a las reglas e escritura se llega a 0 sec x sen x cosx x sen x tan x sec x = sec x 4 Ejemplo 11: Derivar y = tan sen 4x. Solución: En este caso ebe istinguirse en primer lugar que el argumento e la función trigonométrica tangente es a su vez la función trigonométrica seno; y que el argumento e este seno es 4x. Significa que la función a erivar tiene la forma e tan u, en one u = sen 4x.. Utilizano entonces la fórmula e erivación e la tangente se obtiene que 10
17 = sec sen 4x sen 4x sec u u = sec sen 4x cos 4x 4x cos u u = 4sec sen 4xcos 4 x aunque para evitar confusiones en el argumento e la secante, es preferible escribirlo con el coseno por elante: = cos x sec sen x ( ) Ejemplo 1: Obtener la erivaa e y = tan x. ( ) Solución: Obsérvese que la función a erivar puee escribirse también como y = tan x, por lo tanto es e la forma u n, en one u = tan (x - ) y mula se obtiene: n =. Empleano icha fór- 10
18 = ( ) 1 ( tan x tan x ) n u n -1 u = tan x sec x x ( ) ( ) ( ) = tan ( x ) sec ( x ) x 10x tan x sec x ( ) ( ) = 10x sec x tan x ( ) ( ) = 104
19 EJERCICIO 1 Hallar la erivaa e las siguientes funciones trigonométricas: y = sen 8x y = cos ( 6x) 1) ) = ( ) y = cot( x + 6x) 4 y tan x x ) 4) ) y sec x 6) 1 y = csc x = 7 7) y = sen 8) x y cos x = 8 ( ) 6 y = tan 4x 9) 10) y = cot ( x ) 7 11) y = sec x + 1) x ( 6) y = csc x x + x 1) y = sen 4 x 14) y = cos 6x y 7 = tan x y = 7 1) 16) y 17) 18) sec x 4 = csc( x ) y = sen( x x) 10
20 y 1 = y = 9 cot ( 8 x) 19) 0) cos 6x 4 = y = x 7 cot( 4x 9) 1) y cotx secx ) 1 y = ( x) csc x ) 4) ( ) 7 y = tan x x 1 x ) y = cos 6) x 1 y = sen x x x 7) y = 8) sec 1 x ( ) y = 4 6 cot 7x 9) y = tancosx 0) y = csc sen x ( ) 7 1) y = tan x ) y = cot x x 106
FUNCIONES IMPLÍCITAS. y= e tanx cos x. ln x. y= x x CAPÍTULO 10. 10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)
CAPÍTULO 10 FUNCIONES IMPLÍCITAS 10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 3) En el curso e Precálculo el 4º semestre se vieron iferentes clasificaciones e las funciones, entre ellas las funciones eplícitas
2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior
SECCIÓN 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior 119 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar
LA DERIVADA POR FÓRMULAS
CAPÍTULO LA DERIVADA POR FÓRMULAS. FÓRMULAS Obtener la erivaa e cualquier función por alguno e los os métoos vistos anteriormente, el e tabulaciones y el e incrementos, resulta una tarea muy engorrosa,
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
Universia Metropolitana Dpto. e Matemáticas Para Ingeniería Cálculo I (FBMI0) Proesora Aia Montezuma Revisión: Proesora Ana María Roríguez Semestre 08-09A DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES DERIVADAS
INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS
INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponen a los espacios acaémicos en los que el estuiante el Politécnico Los Alpes puee profunizar y reforzar sus conocimientos en iferentes temas e cara al eamen
Cálculo I Derivadas de Funciones Trascendentes. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción Derivadas de funciones trigonométricas inversas 7
3.3. Derivaas e Funciones Trascenentes Julio C. Carrillo E. * Ínice. Introucción 2. Derivaas e funciones trigonométricas 3. Derivaas e funciones trigonométricas inversas 7 4. Derivaas e la función exponencial
1) PRINCIPIO FUNDAMENTAL: Toda regla de escritura matemática debe facilitar la comprensión de los objetos matemáticos representados y su lectura.
APÉNDICE B REGLAS DE ESCRITURA REGLAS GENERALES 1) PRINCIPIO FUNDAMENTAL: Toda regla de escritura matemática debe facilitar la comprensión de los objetos matemáticos representados y su lectura. La comprensión
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
SESIÓN Nº 1 Derivaas e Funciones Trigonométricas, Eponenciales y Logarítmicas Ahora correspone revisar las fórmulas principales e erivación y algunos ejemplos e aplicación. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 1) (
Regla de la cadena. Ejemplo 1. y = f (g(x)) Como las funciones son diferenciables son suaves.
1 Regla e la caena Hasta aquí hemos erivao funciones que no son compuestas. El problema surge cuano tenemos una función que es compuesta, por ejemplo, igamos que el precio e la gasolina epene el precio
2.5 Derivación implícita
SECCIÓN.5 Derivación implícita 4.5 Derivación implícita Distinguir entre funciones eplícitas e implícitas. Hallar la erivaa e una función por erivación implícita. E X P L O R A C I Ó N Representación gráfica
3 DERIVADAS ALGEBRAICAS
DERIVADAS ALGEBRAICAS DERIVADAS ALGEBRAICAS Entiénase la erivaa como la peniente e la recta tangente a la función en un punto ao, lo anterior implica que la función ebe eistir en ese punto para poer trazar
Regla de la cadena. f (x) 1 x 3. d dx x3 1 x 3. (3x 2 ) 3 x. f(x) 3 d dx ln x 3. 1 x. para x70, d dx ln x 1. para x60, d dx ln( x) 1x.
74 CAPÍTULO 3 La erivaa EJEMPLO 4 Diferencie f ()=ln 3. Regla e la caena Solución Debio a que 3 ebe ser positiva, se entiene que 70. Así, por (3), con u= 3, tenemos Solución alterna: Por iii) e las lees
LA DERIVADA UNIDAD III III.1 INCREMENTOS. y, esto es:
Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa LA DERIVADA UNIDAD III III. INCREMENTOS Se eine como incremento e la variable al aumento o isminución que
La regla de la constante. DEMOSTRACIÓN Sea ƒ(x) c. Entonces, por la definición de derivada mediante el proceso de límite, se deduce que.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 07. Reglas básicas e erivación razón e cambio Encontrar la erivaa e una función por la regla e la constante. Encontrar la erivaa e una función por la
MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS x = x - x y2 = f(x2) y = y - y y = f(x )
Faculta e Contauría Aministración. UNAM Derivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS Se eine como incremento e la variable al aumento o isminución que eperimenta,
2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior
SECCIÓN.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 119.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar la erivaa
Reglas de derivación (continuación)
Derivaas Reglas e erivación Suma [f() + g()] = f () + g () Proucto Cociente [kf()] = kf () [f()g()] = f ()g() + f()g () [ ] f() = f ()g() f()g () g() g() Regla e la caena {f[g()]} = f [g()]g () {f(g[h()])}
Derivación de funciones trascendentes.
57 Derivación e funciones trascenentes. Como en el caso e las funciones algebraicas eisten teoremas para erivar las funciones trascenentes como se muestra a continuación: Teoremas e erivación: Sean u y
2.4 La regla de la cadena
0 CAPÍTULO Derivación. La regla e la caena Encontrar la erivaa e una función compuesta por la regla e la caena. Encontrar la erivaa e una función por la regla general e la potencia. Simplificar la erivaa
VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante. Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente,
Cálculo de Derivadas
Cálculo de Derivadas Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones. Derivada de una constante Derivada de x Derivada de la función lineal Derivada de una potencia Derivada
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
CAPÍTULO 7 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 7. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Una fnción eponencial es aqella en la qe la variable está en el eponente. Ejemplos e fnciones eponenciales son
4.1 Antiderivadas o primitivas e integración indefinida
48 CAPÍTULO 4 Integración 4. Antierivaas o primitivas e integración inefinia Escribir la solución general e una ecuación iferencial. Usar la notación e la integral inefinia para las antierivaas o primitivas.
CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería 5.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ( ) f ( x) = a Enunciado. x h x. x h.
Escela Colombiana e Ingeniería.. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Aplicano la efinición e la erivaa se tiene: f a Ennciao. + f + f a a f ' Lim Lim Aplicano la efinición e la erivaa. 0 0 a a a a ( a f
CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
4.1 Antiderivadas o primitivas e integración indefinida
48 CAPÍTULO 4 Integración 4. Antierivaas o primitivas e integración inefinia Escribir la solución general e una ecuación iferencial. Usar la notación e la integral inefinia para las antierivaas o primitivas.
DERIVACIÓN. mtan. y x x. lim lim y ' f '( x) CAPÍTULO IV
75 CAPÍTULO IV DERIVACIÓN. LA DERIVADA COMO PENDIENTE DE UNA CURVA La peniente e una curva en un punto ao, es iual a la peniente e la recta tanente a la curva en icho punto. Δ Q, Δ Q Q P, La peniente e
Semana 14-Derivadas I[1/29] Derivada. 7 de junio de Derivada
![Semana 14-Derivadas I[1/29] Derivada. 7 de junio de Derivada](/thumbs/71/65048770.jpg "Semana 14-Derivadas I[1/29] Derivada. 7 de junio de Derivada")
Semana 14-s I[1/9] 7 e junio e 007 s Introucción Semana 14-s I[/9] Introucción P f Q Consieremos el gráfico e una función f con ominio R. Sea P = (x 0, y 0 ) un punto el gráfico e f y sea Q = (x 1, y 1
3.1. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN
.. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN La erivaa y ' f ' es la primera erivaa e y con respecto a, pero igualmente es posible realizar la erivaa e la erivaa, y y '' f ''. Lo que se conoce como la seguna erivaa e
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Unia os Geometría Trigonometría 8. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. El círculo trigonométrico o unitario En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con razones, es ecir con cocientes e
DERIVADA. Interpretación Geométrica Encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella.
DERIVADA Interpretación Geométrica Objetivo: Encontrar la peniente e la recta tangente a una curva en un punto ao e ella. Para precisar correctamente la iea e tangente a una curva en un punto, se utilizará
Cálculo Diferencial en una variable
Tema 3 Cálculo Diferencial en una variable 3.1 Introucción Analizaremos en este Tema los conceptos funamentales acerca e las erivaas e las funciones reales e variable real. En el tema siguiente estuiaremos
GLOSARIO DE REGLAS DE DERIVACIÓN
CÁLCULO GLOSARIO DE REGLAS DE DERIVACIÓN RESUMEN 1. Derivadas de funciones elementales o Derivada de una constante o Derivada de una función potencial (monomio) o Derivada de una raíz cuadrada (caso particular
4.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Escuela Colombiana e Ingeniería 4.. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Derivaa e y La erivaa e y se puee obtener como: y + Lim 0 Para calcular este límite se utilizan los siguientes conceptos previamente
Tipos de funciones. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas
Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,
Integración por partes VIII INTEGRACIÓN POR PARTES. Supóngase que se tiene la función producto y = uv. Si se deriva con respecto de x se obtiene:
VIII INTEGRACIÓN POR PARTES Área Supóngase que se tiene la función producto y = uv. Si se deriva con respecto de x se obtiene: dy d = uv dx dx dy dv du = u + v dx dx dx Multiplicando toda la igualdad por
MATE 3031. Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77
MATE 3031 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 77 Qué es una función? MATE 3171 En esta parte se recordará la idea de función y su definición formal.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos:
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Logaritmos. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Operaciones básicas con números reales. Propiedades de
Cuadro de derivadas. Cuadro de Derivadas. y = k La derivada de una cte es igual a cero. Es decir: y = 0
Cuadro de derivadas y = k La derivada de una cte es igual a cero. Es decir: 0 y = x y = + g(x) y = g(x) y = k y = g(x) La derivada de la función identidad es igual a. Es decir: La derivada de una suma
TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 7 INTRODUCCIÓN El propósito e este tema es introucir a los alumnos en la terminología básica e las Ecuaciones Diferenciales eaminar brevemente como se
1. Hallar la derivada por definición de f ( x) x x 1. Solución: para resolver la derivada aplicaremos la definición de la derivada: f '( x)
. Hallar la erivaa por efinición e f ( ) Solución: para resolver la erivaa aplicaremos la efinición e la erivaa: f '( ) lim 0 f ( ) f ( ) f ( ) f '( ) lim 0 ara allar la erivaa meiante efinición ebemos
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES GUÍA N 11 CÁLCULO I. Profesor: Carlos Ruz Leiva DERIVADAS. Derivadas de orden superior. Ejemplos
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS Profesor: Carlos Ruz Leiva GUÍA N CÁLCULO I DERIVADAS Derivaas e oren superior Ejemplos Hallar las siguientes
Cálculo I. Índice Reglas Fundamentales para el Cálculo de Derivadas. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción 1. 2.
3.2. Reglas Funamentales para el Cálculo e Derivaas Julio C. Carrillo E. * Ínice 1. Introucción 1 2. Reglas básicas 3 3. El Álgebra e funciones erivables 4 4. Regla e la caena 8 * Profesor Escuela e Matemáticas,
FECHA OBJETIVO CONTENIDO Semana. Introducir el tema de funciones ( tentativo)
Página 1 de 11 INA Uruca Bachillerato por madurez Cronograma 2011 de Matemáticas Profesora: Lordys Serrano Ramírez FECHA OBJETIVO CONTENIDO Semana Introducir el tema de funciones ( tentativo) inicio de
FECHA OBJETIVO CONTENIDO 12 DE MARZO. Introducir el tema de funciones
Página 1 de 11 INA Turismo Bachillerato por madurez Cronograma 2011 de Matemáticas Profesora: Lordys Serrano Ramírez FECHA OBJETIVO CONTENIDO 12 DE MARZO Introducir el tema de funciones inicio de clases
UNIDAD 3 LOGARITMOS EJERCICIOS RESUELTOS. Objetivo general.
. UNIDAD LOGARITMOS EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad comprenderás la importancia histórica de los logaritmos y resolverás ejercicios y problemas en los que apliques los logaritmos
Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo
página 1/9 Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo Índice de contenido Dominio de una función...2 Rango o recorrido de una función...3 Simetría...4 Periodicidad...5
UNIDAD I CÁLCULO DIFERENCIAL
Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Licenciatura en Aministración Mención Gerencia y Mercaeo Unia Curricular: Matemática I UNIDAD I CÁLCULO DIFERENCIAL Elaborao por: Ing. Ronny Altuve
INTEGRALES DE LA FORMA k dx
Integrales de la forma ( + + ) ax bx c V INTEGRALES DE LA FORMA k ( ax + bx + c), con k ± 1, - Las nueve fórmulas estudiadas en el capítulo anterior son las que habrán de utilizarse en este tema. Simplemente
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS página 87
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS página 87 página 88 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA 5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 5. CONCEPTOS Y DEFINICIONES La palabra ecuación viene del latín, de aequatus, participio pasivo
La derivada de las funciones trascendentes
La erivaa e las funciones trascenentes Manuel Barahona, Eliseo Martínez Diciembre 205 Muchos fenómenos e la naturaleza son moelaos meiante funciones eponeciales, logarítimicas, trigonométricas y combinaciones
Complejos, C. Reales, R. Fraccionarios
NÚMEROS COMPLEJOS Como ya sabemos, conocemos distintos cuerpos numéricos en matemáticas como por ejemplo el cuerpo de los números racionales, irracionales, enteros, negativos,... Sin embargo, para completar
(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)
![(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)](/thumbs/24/2434623.jpg "(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)")
Derivaa e una función en un punto: El concepto e erivaa e una función matemática se halla íntimamente relacionao con la noción e límite. Así, la erivaa se entiene como la variación que experimenta la función
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE
DERIVADAS ( Derivada de una constante K K R F ( 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº nº nº nº 4 nº 5 nº 6 Derivada de una función potencial: Forma simple r r R r. r LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL
INTEGRAL INDEFINIDA. Una pregunta inicial para hacerse. Cuál es una función F(x), que al haber sido derivada se obtuvo f ( x) B?.
es INTEGRAL INDEFINIDA UConcepto e antierivaau: Una pregunta inicial para hacerse. Cuál es una función F(), que al haber sio erivaa se obtuvo f ( ) =?. La repuesta es: F ( ) =. Una nueva pregunta. Es la
Tema 8: Derivación. José M. Salazar. Noviembre de 2016
Tema 8: Derivación. José M. Salazar Noviembre e 2016 Tema 8: Derivación. Lección 9. Derivación: teoría funamental. Lección 10. Aplicaciones e la erivación. Ínice 1 Derivaas. Principales nociones y resultaos.
2.1. Derivada de una función en un punto
Capítulo 2 Diferenciación 1 2.1. Derivaa e una función en un punto Ritmo (o razón, o tasa) e cambio e una función en un momento ao. Peniente e la recta tangente. Aproximación por la peniente e las rectas
RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN f y LA DE SU INVERSA f -1
RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN f y LA DE SU INVERSA f -1 Sabemos que la función inversa 1 Si f a b, entonces f b a 1 f (o recíproca) de f cumple la siguiente condición: Por lo tanto: 1 f f 1
Información importante
Universia Técnica Feerico Santa María Departamento e Matemática Coorinación e Matemática I (MAT021) 1 er Semestre e 2010 Semana 9: Lunes 17 viernes 21 e Mayo Información importante El control Q2A es el
1. Grafique la familia de curvas que representa la solución general de la ecuación diferencial: y ' + y = 0
Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones. Grafique la familia e curvas que representa la solución general e la ecuación iferencial: ' + = 0 Solución:
1. Conocimientos previos. 1 Funciones exponenciales y logarítmicas.
. Conocimientos previos. Funciones exponenciales y logarítmicas.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas.
Los números complejos
7 Los números complejos 1. Forma binómica del número complejo Piensa y calcula Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales. a) x 2 25 = 0
Tema 6: Derivadas, Técnicas de Derivación
Matemáticas º Bacillerato CCNN Tema 6: Derivaas, Técnicas e Derivación.- Introucción.- Tasa e Variación Meia.- Derivaa e una unción en un punto..- Derivaas Laterales...- Interpretación geométrica e la
4. Mecánica en la Medicina Derivar e Integrar
4. Mecánica en la Meicina Derivar e Integrar Teoría Dr. Willy H. Gerber Instituto e Ciencias Físicas y Matemáticas, Universia Austral, Valivia, Chile 17.04.2011 W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática
TEORÍA DE LAS ECUACIONES
TEORÍA DE LAS ECUACIONES Página 7 TEMA 8 TEORÍA DE LAS ECUACIONES En este tema se va a estudiar de manera breve un poco de la teoría sobre la resolución de ecuaciones de grado superior a dos. Como se irá
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. S O L U C I Ó N y R Ú B R I C A
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AÑO: 207 PERÍODO: PRIMER TÉRMINO MATERIA: Cálculo e una variable PROFESOR: EVALUACIÓN:
Universidad Abierta y a Distancia de México. 2 cuatrimestre. Cálculo diferencial. Unidad 3. Derivación
Universia Abierta y a Distancia e Méico cuatrimestre Cálculo iferencial Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías Ínice Presentación e la unia 3 Propósitos 3 Competencia
Cada grado se divide en 60 minutos (60 ) y cada minuto en 60 segundos (60 ). Así, por ejemplo, un ángulo puede medir = 38º
Sistemas e meición e ángulos Como en toos los elementos susceptibles a meiciones, en los ángulos se han establecio iversos sistemas e meición, entre ellos los más importantes son: El sistema seagesimal
La regla de la constante. La derivada de una función constante es 0. Es decir, si c es un número real, entonces d c 0. dx (Ver la figura 2.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 07. Reglas básicas e erivación razón e cambio Encontrar la erivaa e una función por la regla e la constante. Encontrar la erivaa e una función por la
Para que un punto P(x, y) pertenezca a la circunferencia unitaria debe cumplir con la ecuación x 2 + y 2 = 1.
GUIA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS GRADO DECIMO FUNCIOENES TRIGONOMETRICAS El estudio de la trigonometría se puede realizar por medio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo,
Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)
Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:
Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones
Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones 1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias
2.5 Derivación implícita
SECCIÓN.5 Derivación implícita.5 Derivación implícita Distinguir entre funciones eplícitas e implícitas. Hallar la erivaa e una función por erivación implícita. EXPLORACIÓN Representación gráfica e una
Funciones Trigonométricas
Unidad. Trigonometría.5 funciones trigonométricas e identidades trigonométricas Funciones Trigonométricas Denición 1. Dado un circulo de radio 1 y un punto P sobre el circulo a un ángulo θ, denimos cos
Logaritmos. Cuál es la etimología de la palabra logaritmo? Proviene del griego Lógos: estilo, manera, relación, razón Arithmós: número
Logaritmos La invención de los logaritmos se debe al matemático escocés John Neper quien, a principios del siglo XVII, intentó idear un método que aliviara los complejos cálculos que debían realizarse
( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( )
Derivaa e una Función Ínice.. Introucción.. Peniente e una recta tangente.. Derivaa e una función. 4. Derivaas laterales. 5. Derivaa e una función compuesta (Regla e la Caena). 6. Tabla e erivaas usuales.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.- PRIMERAS DEFINICIONES Se denomina ángulo en el plano a la porción de plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común denominado vértice. Ángulo central es el ángulo
Ejercicios de derivadas e integrales
Ejercicios e erivaas e integrales Este material puee escargarse ese http://wwwuves/~montes/biologia/matceropf Departament Estaística i Investigació Operativa Universitat e València Derivaas Reglas e erivación
lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas
º ESO 1. Expresiones algebraicas En matemáticas es muy común utilizar letras para expresar un resultado general. Por ejemplo, el área de un b h triángulo es base por altura dividido por dos y se expresa
Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)
Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se
Derivadas logarítmicas, exponenciales y regla de la cadena
CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Derivaaslogarítmicas,eponencialesyreglaelacaena por Sanra Elvia Pérez Las funciones logarítmicas y eponenciales se aplican con frecuencia
Ejercicios resueltos de trigonometría
Ejercicios resueltos de trigonometría 1) Convierte las siguientes medidas de grados en radianes: a) 45º b) 60º c) 180º d) 270º e) 30º f) 225º g) 150º h) 135º i) -90º j) 720º 2) Expresa las siguientes razones
REGLAS DE LOS SIGNOS
1. 1 UNIDAD 1 REGLAS DE LOS SIGNOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las reglas de los signos. Objetivos específicos: 1. Recordarás las reglas
LOGARITMOS. El logaritmo de un número es, entonces, el exponente a que debe elevarse otro número que llamado base, para que dé el primer número.
LOGARITMOS A. DEFINICIONES La función y=2 x se puede representar gráficamente. Para ello se debe tabular de la siguiente forma. X - -4-3 -2-1 0 1 2 3 Y=2 x 0.0625.125.25.5 1 2 4 8 La gráfica sería esta:
1. Función exponencial y funciones definidas mediante la exponencial
TEMA 3 FUNCIONES COMPLEJAS ELEMENTALES 1. Función exponencial funciones efinias meiante la exponencial 1.1 La función exponencial 1. Funciones trigonométricas 1.3 Funciones hiperbólicas. Función logaritmo
Derivadas de orden superior e implícitas
CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Derivaas e oren superior e implícitas por Sanra Elvia Pérez Derivación implícita Las funciones que has estuiao hasta este momento
Apuntes de Matemática Discreta 12. Ecuaciones Diofánticas
Apuntes e Matemática Discreta 2. Ecuaciones Diofánticas Francisco José González Gutiérrez Cáiz, Octubre e 2004 Universia e Cáiz Departamento e Matemáticas ii Lección 2 Ecuaciones Diofánticas Contenio 2.
TIPOS DE FUNCIONES. Ing. Caribay Godoy Rangel
TIPOS DE FUNCIONES Repasar los conceptos de dominio, rango, gráfica, elementos esenciales y transformaciones de las funciones: lineal, cuadrática, racional, trigonométrica, exponencial y logarítmica. FUNCIONES
Anexos. Anexo 10: Calculadora
Anexo 0: Calculadora. Qué calculadora utilizar Utiliza la calculadora que tengas. En caso de que necesites comprarla busca una que te sirva para todo el Bachillerato. De ser así comprueba:. Que sea científica.
180º 36º 5. rad. rad 7. rad
ÁNGULOS: Usaremos dos unidades para expresar los ángulos: grados sexagesimales (MODE: DEG en la calculadora) y radianes (MODE: RAD en la calculadora). El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema
Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas
Tema Las Funciones y sus Gráficas..- Definición de Función y Conceptos Relacionados Es muy frecuente, en geometría, en física, en economía, etc., hablar de ciertas magnitudes que dependen del valor de
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE--4-M---7 CURSO: Matemática Básica SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL CURSO: TIPO DE EXAMEN: Eamen Final FECHA DE
1. NUMEROS COMPLEJOS.
Apunte de Números complejos o imaginarios: Representación gráfica. Complejos conjugados y opuestos. Forma trigonométrica, de De Moivre, exponencial. Operaciones. Raíces.Fórmula de Euler. 1. NUMEROS COMPLEJOS.
UNIVERSIDAD SAN MARCOS
Prof. Edwin Gerardo Acuña Acuña UNIVERSIDAD SAN MARCOS ALGEBRA Este capítulo estudia los conceptos básicos del álgebra, una de las disciplinas de la matemática que tiene más aplicaciones en diversos campos.
Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I si D x F(x) = f (x) en I; esto es, si F (x) = f (x) para toda x en I.
Sección 3.8 Antiderivadas 197 C Después de derivar y hacer el resultado igual a cero, muchos problemas prácticos de máximos y mínimos conducen a una ecuación que no puede resolverse de manera exacta. Para
operaciones inversas Para unificar ambas operaciones, se define la potencia de exponente fraccionario:
Potencias y raíces Potencias y raíces Potencia operaciones inversas Raíz exponente índice 7 = 7 7 7 = 4 4 = 7 base base Para unificar ambas operaciones, se define la potencia de exponente fraccionario:
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS www.cedicaped.com CENTRO DE ESTUDIOS, DIDÁCTICA Y CAPACITACIÓN RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 1. DEFINICIÓN Se dice que un triángulo es rectángulo