FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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1 CAPÍTULO 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES (Áreas 1, y ) Las funciones trascenentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un argumento es el número o letras que lo simbolizan que hacen que una función aquiera un valor, es ecir, que se convierta en un número. Sin él, la función es vacía, o sea, no tiene valor. Por ejemplo, la función sen (seno) es vacía, no tiene ningún valor porque le falta el argumento, le falta ese número que la transforme en una cantia concreta. Si a la función anterior se le agrega el número 6 para tener sen 6 entonces esto ya aquiere un valor, el cual es sen 6 = A este número 6 que hizo que sen aquiriera un valor se le llama argu- mento. Otro ejemplo: la función log (logaritmo) es vacía, no tiene asociao ningún valor, pero si se le agrega 107 para tener log 107 entonces así ya aquiere el valor log 107 = En este caso el 107 es el argumento e la función logaritmo. De la misma forma, arc tan (arco tangente o tangente inversa) es vacía, no tiene asociao ningún valor, pero si se le agrega el número 1. para tener arc tan 1. ya aquiere el valor arc tan 1. = En este caso el número 1. es el argumento e la función arc tan. 87

2 Las principales funciones trascenentes son: a) trigonométricas; b) trigonométricas inversas y c) logarítmicas y exponenciales. No son toas, pero las que se van a estuiar en este curso serán ésas. Dos características interesantes en toas las fórmulas e erivación e las funciones trascenentes son que el argumento está representao siempre por la letra u y la seguna es que toas las fórmulas terminan u multiplicano por la erivaa el argumento, o sea por. Es conveniente tener presentes las reglas e escritura matemática para ientificar el argumento en una función trascenente, en las que el símbolo e la función se refiere a la escritura con la que se invoca la función corresponiente. Por ejemplo, sen es el símbolo e la función seno; cos es el símbolo e la función coseno; log es el símbolo e la función logaritmo, etc. Dichas reglas son: 1) El argumento comienza con el símbolo escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función. Ejemplos: a) cos ( x + 1) El argumento comienza con el paréntesis por ser lo que está escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función cos. Por razones obvias, termina one cierra el paréntesis. 88

3 b) tan x 7x El argumento comienza con la raíz cuaraa por ser lo que está escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función tan. c) arc sec x y El argumento comienza con el número por ser lo que está escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función arc sec. ) tan cos 4x El argumento comienza con la función coseno por ser lo que está escrito inmeiatamente espués el símbolo e la función tan, es ecir, el argumento e la tangente es cos 4x. ) Toos los factores monomios pertenecen al argumento. En el caso e que alguno no sea parte el argumento, éste ebe escribirse antes e la función trascenente. Ejemplo: a) sen ab xy Toos éstos son factores monomios, por lo tanto el argumento e la función seno es ab xy. En caso e que, por ejemplo, y no fuera parte el argumento, así está mal escrito y ebe escribirse y senab x. 89

4 ) Solamente el primer término pertenece al argumento. En caso e que otros términos sean parte el argumento, eben encerrarse entre paréntesis. O en caso e que no lo sean, eben escribirse antes e la función trascenente. Ejemplo: csc x + x 4 6 Una escritura así provoca la ua 6x - son también parte el argumento? Conforme a esta regla, no son y ebería escribirse como 6x - + csc x 4. O en too caso, si lo son su escritura correcta sería csc(x 4 + 6x - ). 4) Solamente el 1 er factor polinomio es parte el argumento. En caso e que un º factor polinomio no sea componente el argumento, ebe escribirse antes e la función trascenente. Ejemplo: ( + 6)( 4 1) cot x x x Esta escritura es incorrecta porque se presta a uas: El factor (4x - 1) es parte el argumento? Para evitar estas ambigüeaes existe la regla anterior que ice que no y que aemás orena escribirlo como 4x 1 cos x + x 6 ; pero en el caso e que fuera ( ) ( ) parte el argumento, su escritura correcta sería ( + 6)( 4 1) cos x x x ) Un exponente escrito sobre el símbolo e la función inica que toa la función está elevaa a icha potencia. Ejemplo: ( x ) cot 6 Este exponente inica que la función cotangente es la que está elevaa al cubo, o sea que 90

5 ( ) = ( ) ( ) ( ) cot x 6 cot x 6 cot x 6 cot x 6 6) Un exponente escrito sobre el argumento inica que es el argumento el que está elevao a icha potencia. Ejemplo cot ( x 6) Este exponente inica que el argumento (x - 6) es el que está elevao al cubo, o sea que ( 6) ( 6)( 6)( 6) cot x = cot x x x Nótese como se cumplen las reglas e escritura anteriores. 7) Too argumento negativo ebe escribirse entre paréntesis. Ejemplo: sen ( x) La razón e esta regla es para evitar confusiones en los inexpertos que interpretan como resta cuano se escribe sen x, a pesar e que carece e sentio una resta así, pues la función sen estaría vacía (sin argumento), ya que se estaría tomano como un término a sen y como otro término a - x. 8) Cuano una función trascenente está iviia entre cualquier cantia, ebe escribirse la fracción que inica la ivisión antes e la función trascenente. En caso e que sea solamente el argumento el que esté iviio, ebe encerrarse el argumento entre paréntesis o en caso extremo ebe escribirse la línea e fracción claramente a la mita el símbolo e la función. Ejemplos 91

6 1 log x ( 6 1) Lo que pie esta regla es que se evite escribir el ejemplo ante- rior como ciente como log ( 6x 1) log ( 6x 1), pues es frecuente una escritura efi- a toa la función o solamente al argumento?. que provoca la ua: El ivie sec 6x 1 Para evitar las confusiones señalaas en el ejemplo anterior, con un paréntesis en el argumento se eja en claro qué ivie el. 6. FÓRMULAS PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (Áreas 1, y ) Las fórmulas e erivación e las seis funciones trigonométricas son: (9) (10) (11) (1) (1) u sen u = cos u u cosu = sen u tanu = cot u = sec u csc u u u secu = tanu secu u 9

7 (14) csc u = cot u cscu u Debe notarse que la erivaa e una función trigonométrica es otra, u otras, función trigonométrica con el mismo argumento. Esto es muy importante: el argumento nunca cambia. Aemás toas las fórmulas terminan multiplicano por la erivaa el argumento u Ejemplo 1: Hallar la erivaa e y = sen x Solución: El argumento es x, o sea que u = x. Aplicano la fórmula (9) se obtiene = cos x x cos u u cos x = Nótese que el argumento x no cambia e la función original al resultao e la erivaa. Ejemplo : Hallar la erivaa e y= cos x. Solución: El argumento es x, o sea que u = x. Aplicano la fórmula (10) se obtiene 9

8 = sen x x - sen u u x sen x = Ejemplo : Hallar la erivaa e y = tan (x - x + ) Solución: El argumento es (x - x + ), o sea que u = x - x +. Aplicano la fórmula (11) se obtiene: ( ) ( ) = sec x x + x x + sec u u = + ( x ) sec ( x x ) Ejemplo 4: Hallar la erivaa e y = cot 7x 94

9 Solución: El argumento es 7x, o sea que u = 7x. Aplicano la fórmula (1): = csc 7x 7x 7 7 ( ) 1 / = csc x x -csc u u La erivaa peniente es e la forma u n, por lo que 1 ( ) 1/ = csc 7x 7x 7x n u n - 1 u 7 = csc 7x 7x Finalmente orenano conforme a las reglas e escritura matemática = 7 7x csc 7x 9

10 1 Ejemplo : Hallar la erivaa e y = sec 4 x 1 1 Solución: El argumento es, o sea que u =. Aplicano la fórmula (1): 4 4 x x = tan sec x x x = tan sec 4 4 ( x ) x x 1 1 = tan sec 4x 4 4 x x Finalmente orenano conforme a las reglas e escritura matemática = tan sec 4 4 x x x Ejemplo 6: Hallar la erivaa e y = csc 6x 1 4 Solución: El argumento es, o sea que u =. Aplicano la fórmula (14): 4 4 6x 1 6x 1 = cot csc x 1 6x 1 6x 1 96

11 = cot csc 6x x 1 6x 1 ( ) 1 / 4 La erivaa peniente es e la forma u n, por lo que 4 ( / 6 1 ) ( 6 1 ) = cot csc x x 4 4 6x 1 6x ( x ) ( ) = cot csc x 1 6x 1 46x 1 / Finalmente orenano conforme a las reglas e escritura matemática 4 90x = cot csc ( x 1 ) / 6x 1 6x 1 y = sen 4x 4x + 7 Ejemplo 7: Hallar la erivaa e ( ) Solución: El argumento es (4x - 4x + 7), por lo que u = (4x - 4x + 7). Empleano la fórmula (9): = cos x x + x x + ( 4 4 7) ( 4 4 7) La erivaa peniente es e la forma u n, por lo que 97

12 ( ) ( ) 4 cos 4x 4x 7 4x 4x 7 ( 4x = + + 4x + 7) n u n ( 4 4 7) ( 4 4 7) ( 8 4) = cos x x + x x + x u finalmente, orenano conforme a las reglas e escritura matemática: = + + ( x x ) ( x ) cos( x x ) 4 Ejemplos con potencias Ejemplo 8: Hallar la erivaa e y = cos 4 x Solución: Como la función y cos 4 x es lo mismo que y = cosx, tiene la forma e u n, en = ( ) 4 one u = cos x y n = 4. Entonces aplicano la fórmula (6) corresponiente a u n e la página 69 se obtiene: ( ) = 4 cos x cos x n - 1 n u u 98

13 La erivaa peniente es e la forma cos u, e manera que aplicano ahora la fórmula (10) el coseno: 4( ) = cos x sen x x = - sen u ( ) 4cos x sen x u Finalmente, orenano conforme a las reglas e escritura matemática se llega a = 0 cos x sen x Ejemplo 9: Hallar la erivaa e y = 7x tan( x 7) Solución: La función tiene la forma el proucto uv, en one u 7x y v = tan x 7. Enton- ces aplicano la fórmula (7) el proucto uv e la página 77: = 7 x tan( x 7) + tan( x 7) 7x = ( ) v u v u 99

14 La primera erivaa peniente es e la forma tan u, en one u = x - 7: ( ) ( ) ( ) = 7x sec x 7 x 7 + tan x 7 1x sec u u ( )( ) ( ) = 7x sec x 7 10x + tan x 7 1x Nótese que el factor 1x se escribió con un paréntesis e iferente forma al el argu- mento e la tangente para evitar confusiones y ejar claro que no pertenece al argumento. Finalmente, orenano conforme a las reglas e escritura matemática: = + ( ) ( ) 4 70x sec x 7 1x tan x 7 Ejemplo 10: Derivar y = 4 sen x sec x u Solución: La función tiene la forma e un cociente, es ecir, e, en one u que representa al nu- v meraor es 4 u = sen x y v que representa al enominaor es v = secx. De manera que empleano la fórmula el cociente: 100

15 u v u v 4 4 sec x sen x sen x sec x = ( sec x ) v La primera erivaa peniente o inicaa es sen 4 x, la cual se eriva con la fórmula e u n (ver ejemplo 8), ya que sen 4 x = (sen x) 4 ; en one ahora por cambiar e fórmula u = sen x y n = 4, mientras que la seguna erivaa peniente es sec x, la cual es e la forma sec v, en one v = x. Nótese que aunque la fórmula original está expresaa en términos e la variable u, es ecir, secu = tanu secu u, en este caso se está empleano la variable v, esto es sec v = tanv sec v v en virtu e que la variable u se utilizó en la primera erivaa peniente. Realizano las erivaas inicaas: 101

16 u n u n - 1 tan v sec v v = ( ) 4 sec x 4 sen x sen x sen x tan x sec x x sec x u Como la erivaa el seno es sen u = cos u : = sec x ( [ ]) sec x 4sen x cos x x sen 4 x tan x sec x x Finalmente, multiplicano y orenano conforme a las reglas e escritura se llega a 0 sec x sen x cosx x sen x tan x sec x = sec x 4 Ejemplo 11: Derivar y = tan sen 4x. Solución: En este caso ebe istinguirse en primer lugar que el argumento e la función trigonométrica tangente es a su vez la función trigonométrica seno; y que el argumento e este seno es 4x. Significa que la función a erivar tiene la forma e tan u, en one u = sen 4x.. Utilizano entonces la fórmula e erivación e la tangente se obtiene que 10

17 = sec sen 4x sen 4x sec u u = sec sen 4x cos 4x 4x cos u u = 4sec sen 4xcos 4 x aunque para evitar confusiones en el argumento e la secante, es preferible escribirlo con el coseno por elante: = cos x sec sen x ( ) Ejemplo 1: Obtener la erivaa e y = tan x. ( ) Solución: Obsérvese que la función a erivar puee escribirse también como y = tan x, por lo tanto es e la forma u n, en one u = tan (x - ) y mula se obtiene: n =. Empleano icha fór- 10

18 = ( ) 1 ( tan x tan x ) n u n -1 u = tan x sec x x ( ) ( ) ( ) = tan ( x ) sec ( x ) x 10x tan x sec x ( ) ( ) = 10x sec x tan x ( ) ( ) = 104

19 EJERCICIO 1 Hallar la erivaa e las siguientes funciones trigonométricas: y = sen 8x y = cos ( 6x) 1) ) = ( ) y = cot( x + 6x) 4 y tan x x ) 4) ) y sec x 6) 1 y = csc x = 7 7) y = sen 8) x y cos x = 8 ( ) 6 y = tan 4x 9) 10) y = cot ( x ) 7 11) y = sec x + 1) x ( 6) y = csc x x + x 1) y = sen 4 x 14) y = cos 6x y 7 = tan x y = 7 1) 16) y 17) 18) sec x 4 = csc( x ) y = sen( x x) 10

20 y 1 = y = 9 cot ( 8 x) 19) 0) cos 6x 4 = y = x 7 cot( 4x 9) 1) y cotx secx ) 1 y = ( x) csc x ) 4) ( ) 7 y = tan x x 1 x ) y = cos 6) x 1 y = sen x x x 7) y = 8) sec 1 x ( ) y = 4 6 cot 7x 9) y = tancosx 0) y = csc sen x ( ) 7 1) y = tan x ) y = cot x x 106