Derivadas logarítmicas, exponenciales y regla de la cadena

Transcripción

1 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Derivaaslogarítmicas,eponencialesyreglaelacaena por Sanra Elvia Pérez Las funciones logarítmicas y eponenciales se aplican con frecuencia en problemas e crecimiento e poblaciones, ya sea e personas, bacterias, microorganismos en general, pruebas e carbono, temperatura, circuitos eléctricos y varios más. Una función es eponencial o logarítmica si la variable inepeniente aparece entro e algún logaritmo o como eponente. Las figuras y muestran la gráfica e las funciones logarítmica y eponencial. Funciones logarítmicas y log( ), y ( ) Función eponencial y a, y e Figura. Gráfica e funciones logarítmicas Figura. Gráfica e función eponencial Para calcular la erivaa e las funciones logarítmica y eponencial, se aplican teoremas específicos. La siguiente lista e fórmulas, muestra los teoremas que se utilizan en el cálculo e las erivaas e esta sección. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

2 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez FormularioeDerivaaseFuncionesLogarítmicayEponencial C representa cualquier constante Las literales u, v, w, representan cualquier función uʼ, vʼ, wʼ, representan la erivaa e u, v, w. u u. ( u). ( log u) a u a u u. ( a ) a ( a) e u u. ( ) e Figura. Formulario e Derivaas e Funciones eponenciales y logarítmicas realizao con base en la nomenclatura e Leibnitz y e Lagrange. Te recomieno visites la sección Para aprener más, en one encontrarás enlaces sobre el origen e los logaritmos, atos históricos, los personajes que esarrollaron estas teorías, el número e, entre otros temas e interés. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

3 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Para no saturarte e fórmulas, cuano se necesite alguna ley e los logaritmos o ley e los eponentes, ésta se incluirá en el ejemplo específico. Leyeseloslogaritmos log ( A B) log A log B A log log A log B B log ( A) n nlog A n n log ( A) log A Figura. Formulario e Leyes e los logaritmos (Allen, 00). Ejemplo Determina la erivaa e la función y ( 9) Usano la fórmula u ( u) u Tienes: u 9 9 [ ( 9) ] 9 9 Por lo que la erivaa quea: UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

4 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo Determina la erivaa e la función y ( ) Usano la fórmula Tienes: u [ ( )] u ( u) u Por lo que la erivaa quea: Ejemplo Determina la erivaa e la función y ( ) Usano la fórmula Tienes: u [ ( ) ] u ( u) u Por lo que la erivaa quea y UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

5 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo Determina la erivaa e la función y ( ) En este ejemplo usa la fórmula el proucto ( uv) uv vu u, tienes: u u v ( ) v En combinación con la fórmula ( u) [ ( ) ] ( )( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) Por lo que la erivaa quea: ( ) UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 5

6 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo 5 Determina la erivaa e la función y [ ( )( 5) ] En este ejemplo usa la ley número e las leyes e los logaritmos para transformar la epresión anterior. ( AB) ( A) ( B) [( )( 5) ] ( ) ( 5) Una vez transformaa la función original con la ayua e la ley el proucto e logaritmos, utiliza la fórmula ( u) u y tienes lo siguiente: u [ ( ) ( 5) ] [ ( ) ] [ ( 5) ] u [ ( ) ] Por lo que la erivaa quea: [ ( ) ( 5) ] u 5 [ ( 5) ] 5 y 5 5 UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

7 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo Determina la erivaa e la función y Para facilitar el cálculo e esta erivaa recurre nuevamente a las leyes e los logaritmos. Específicamente a: n A A n Al aplicar esta ley e los logaritmos, la función se transforma en Derivano: y y ( ) ( ) ( ) u ( ) Por lo tanto, y UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 7

8 UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 8 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo 7 Determina la erivaa e la función y Para facilitar el cálculo e esta erivaa, recurre nuevamente a las leyes e los logaritmos. Específicamente a: B A B A Al aplicar esta ley e los logaritmos, la función se transforma en: ( ) ( ) y B A y ; Derivano: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) u u ( ) u u Por lo tanto, y

9 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo 8 Determina la erivaa e la función y ( ) log Basánose en la siguiente fórmula: log a u ua Tienes: a u ( ) Ejemplo 9 Determina la erivaa e la función Usano el teorema y 7 5 Quea: u u ( a ) a ( a) a 5 u ( 5 ) 5 UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 9

10 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo 0 Determina la erivaa e la función ( ) y e Empleano el teorema Obtienes: u u u ( e ) e ( e ) Ejemplo Determina la erivaa e la función Y tienes: u 5 5 y e e 5 u 5e 5e 5 5 ( ) e e UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 0

11 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Reglaelacaena Una e las fórmulas e erivación más utilizaas es la siguiente: n ( u ) nu u n A este teorema, con frecuencia se le enomina regla e la caena. Los siguientes ejemplos muestran cómo esta regla, en combinación con el resto e fórmulas permite la obtención e múltiples erivaas. Ejemplo Calcula la erivaa e y. Solución Ientifica u, entonces u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Aplicano la fórmula tienes: UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

12 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo Calcula la erivaa e y sen ( ). Solución En trigonometría, este tipo e epresión es equivalente a [ sen( ) ] y. De esta última epresión, ientifica u sen( ), entonces u cos( ) [ sen( ) ] cos( ) sen ( ) cos( ). Aplicano la fórmula tienes, En el caso e las funciones trigonométricas, se acostumbra orenarlas como sigue: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Ejemplo Calcula la erivaa e ( )( ) 5. Solución En este ejercicio, ebes aplicar la fórmula el proucto y la regla e la caena; tienes: UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

13 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Sustituyeno en la fórmula el proucto quea: [ ] ( )( ) ( ) 5( ) ( ) 5( )( ) ( ) ( ) 5 5 Este último ejemplo, se puee complicar si no se ientifica e manera correcta las fórmulas a utilizar, o si no se sustituye e manera aecuaa. Ejemplo Calcula la erivaa e sen( ) y e Solución Ientificano u sen( ), tienes que u cos( ) e sen ( ) cos( ) u. Aplicano la fórmula ( e ) e u obtienes: u En estos ejemplos, se pone e manifiesto que la aplicación e las fórmulas y el oren en el que se apliquen epene e la función a erivar en particular. Con la práctica serás capaz e encontrar la erivaa e funciones caa vez más complejas. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.

14 CDIN0_MAAL_Logarítmicas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Referencias Allen, R. (00). Álgebra intermeia (a. e.; V. H. Ibarra, Tra.). Méico: Pearson Eucación. Leithol, L. (987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. e.; J. C. Vega, Tra.). Méico: Harla. Purcell, E. J. & Varberg, D. (000). Cálculo Diferencial e Integral (a. e.; J. A. Gómez, Tra.). Méico: Prentice Hall. Smith, R. T., & Minton, R. B. (000). Cálculo Tomo (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Tras.). Méico: McGraw Hill. Stewart, J., Relin, L. & Watson, S, (00). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (a. e.; V. González y G. Sánchez, Tras.). Méico: International Thomson Eitores. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyeno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.