PRESENTACIÓN. Ingº M.Sc. Juan Julca Novoa AUTOR

Transcripción

1 PRESENTACIÓN Este trabajo de investigación constituye un aporte del autor hacia la comunidad de estudiantes y demás interesados en especial a los que necesitan alcances de cómo resolver inecuaciones trigonométricas ojalá y fuera posible sea acogido por los estudiantes de distintas partes del mundo. En este texto se podrá encontrar los aspectos teóricos básicos que se tienen en cuenta en la resolución de inecuaciones trigonométricas. Este trabajo modesto busca llenar el vacío que existe en la falta de bibliografía bien ilustrada referente a la resolución de inecuaciones trigonométricas pues es muy escasa la bibliografía a este respecto. El proceso de resolución para cada inecuación ha sido el más claro posible porque se busca que el lector no encuentre mayores dificultades durante la resolución de una inecuación trigonométrica. Como cualquier esfuerzo humano este trabajo es perfectible pues es probable que tenga algunas deficiencias; sin embargo se espera que éstas sean resueltas con las valiosas contribuciones que en su contundente interés demuestren los dignos lectores. Ingº M.Sc. Juan Julca Novoa AUTOR

2 CAPÍTULO Objetivo formativo capítulo Aprender cuestiones previas de nivel teórico que son necesarios tener en cuenta para la resolución de inecuaciones trigonométricas Título Capítulo : Cuestiones previas a la resolución de inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo CAPÍTULO I: CUESTIONES PREVIAS A LA RESOLUCIÓNDE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar usando principalmente las identidades trigonométricas todas las funciones que aparecen allí en una sola función (en lo posible es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último se resuelve la parte trigonométrica es decir conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Cabe indicar que en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas) por ejemplo puede ser al caso en que resulte un cosx = que obviamente se debe descartar pues el rango del coseno se limita al intervalo [- ]. También se debe verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original. Además luego de calculada la solución principal se establecerá la solución general de la ecuación trigonométrica según corresponda.

3 Algunas fórmulas útiles de trigonometría

4 Expresiones del conjunto de arcos con un mismo valor para una de sus funciones trigonométricas (Soluciones Generales) Solución General para expresiones que provienen una función Seno o Cosecante x ) 80º n ( n x p ó x n () n x p Solución General para expresiones que provienen una función Coseno o Secante x º 0 n x p ó x n x p Solución General para expresiones que provienen una función Tangente o Cotangente x º 80 n x p o x n x p Ejercicios Resueltos ) Resolver: sen x.tan x sen x tan x 0 Resolución Como x=5º que resulta primera solución general es: x 80º n 5º ó Como x=0º de Tanx x n proviene de una función Tangente entonces la que resulta de Senx proviene de una función Seno entonces la primera solución general es: n n x 80º n ( ) 0º ó x n ( ) Como x=0º que resulta de Senx proviene de una función Seno entonces la primera solución general es: n x 80º n ( ) 0º ó x n ( ) n

5 5 Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es: Z n n x n x n x R x C S n n ) ( ) ( /.. ) Resolver: cot csc x x Resolución Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es: Z n n x R x S C /.. Como x=0º de Cos resulta que x proviene de una función Coseno entonces la solución general es: 0º º 0 n x ó n x

6 ) Resolver: cosx cos x Resolución Como 5 x arccos 8 5 x arccos 8 resulta de Cos 5 8 entonces la solución general es: que x proviene de una función Coseno 5. arccos 5 8 x 0 º n arccos ó x n 8 80 Como x=80º que resulta de Cosx proviene de una función Coseno entonces la solución general es: x 0 º n 80º ó x n Luego el Conjunto Solución General de la ecuación es: 5. arccos 8 C. S. x R / x n x n 80 n Z

7 CAPÍTULO Objetivo formativo capítulo Resolver ejercicios preliminares de afianzamiento previos a la resolución de inecuaciones trigonométricas. Título Capítulo : Ejercicios preliminares de afianzamiento para resolver inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo CAPÍTULO : EJERCICIOS PRELIMINARES DE AFIANZAMIENTO PARA RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ) A qué funciones puede representar la expresión a si b 0 b b a a? Como b 0 a a 0 y 0 a () y que () en base a esto se tiene: Resolución b es decir que: b () Si a a b b a b pero es () () Si a b b a b a pero es () () De () () y () se deduce que: a b b a () Analizando se observa que las funciones trigonométricas que pueden tomar valores mayores que son la Tangente Cotangente Secante y Cosecante. Luego la respuesta es: la expresión a si a b 0 puede representar a las funciones trigonométricas Tangente Cotangente Secante y Cosecante. b b a 7

8 ) En qué cuadrantes se cumple que Senx Cosx tgx.? Resolución Para visualizar objetivamente se trazan las gráficas por cuadrantes: 8

9 En el Cuadrante I se observa que Senx. Cosx tgx equivale a ( decimal ( ) menor que).( decimal ( ) menor que) ( decimal ( )) de modo que el Cosx producto Senx. es (+) pero más pequeño que tgx que también es (+) debido al criterio de comparación de números decimales positivos. Conclusión: No se cumple Senx. Cosx tgx En el Cuadrante II se observa que Senx. Cosx tgx equivale a ( decimal ( ) menor que).( decimal ( ) menor que) ( decimal ( )) de modo que el Cosx producto Senx. es (-) pero más grande que tgx que también es (-) debido al criterio de comparación de números negativos. Conclusión: Se cumple Senx. Cosx tgx En el Cuadrante III se observa que Senx. Cosx tgx equivale a ( decimal ( ) menor que 0).( decimal ( ) menor que) ( decimal ( )) de modo que el Cosx producto Senx. es (-) y tgx es (+). Conclusión: No se cumple Senx. Cosx tgx En el Cuadrante IV se observa que Senx. Cosx tgx equivale a ( decimal ( ) menor que 0).( decimal ( ) menor que) ( decimal ( )) de modo que el Cosx producto Senx. es (-) pero más grande que tgx que también es (-) debido al criterio de comparación de números negativos. Conclusión: Se cumple Senx. Cosx tgx La respuesta es: La expresión Senx. Cosx tgx se cumple en los cuadrantes II y IV. 9

10 Cos x tg x ) Resolver: 0 si x 0 Resolución Para resolver esta inecuación bastará con analizar el comportamiento de las expresiones según los cuadrantes del círculo trigonométrico. Cos x 0 tg x Cos x 0 tg x 0 Es decir que: Cos x ( ) y que tg x () Nótese que x ( ) Cos si Cos x () Se observa el círculo trigonométrico y se deduce que: Cos x () y x () es decir cuando x tg el cuadrante II Además también se observa que Cos x ( ) es decir que Cos x () pero Cos x (por extensión del coseno) y que x () tg precisamente en el cuadrante IV. Es decir cuando x Luego el conjunto solución es: C. S. x R / x x 0

11 CAPÍTULO Objetivo formativo capítulo Aprender a resolver inecuaciones trigonométricas Título Capítulo : Resolución de inecuaciones trigonométricas Contenido Capítulo CAPÍTULO : RESOLUCIÓN DE INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ALGUNOS CRITERIOS QUE SE DEBEN CONSIDERAR PARA RESOLVER INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS A manera de establecer un criterio claro para el proceso de resolución de cualquier inecuación trigonométrica el autor considera lo siguiente: ) Ordenar acomodar y/o resolver la inecuación de modo que se observe una última inecuación más elaborada en la que se pueda apreciar la presencia de dos funciones (una trigonométrica y la otra una función elemental conocida) en lo posible claras y graficables manualmente. ) Las gráficas de las funciones deben estar superpuestas en el mismo sistema coordenado cartesiano. ) Establecer y/o calcular los puntos de intersección de las gráficas. Éstos se obtienen usando la solución general de la ecuación que resulta de igualar las funciones graficables (dicha solución ya comprende la solución principal de dicha ecuación). ) A partir de los puntos de intersección de las gráficas establecer la(s) región(es) (o mejor dicho el(los) intervalo(s)) principal(es) que cumplan con la última inecuación indicada en el criterio ). Dicho(s) intervalo(s) representan la(s) solución(es) principal(es) de la inecuación propuesta. 5) A partir de la solución principal de la inecuación teniendo en cuenta el período de la función trigonométrica presente en la última inecuación indicada en el criterio ) se indica la solución general de la inecuación original (también puede utilizarse el conjunto solución general de todos los arcos que contienen a dicha función trigonométrica).

12 - / -7 / / 5 / / 7 / 5 / Ejercicios Resueltos ) Resolver: Senx 0 Senx 0 Resolución Senx () Considérese: y Senx y Gráfica conjunta de y con y (pa r a K = - ) fig.(*) (pa r a K = ) (pa r a K = ) Para intersecar y con y se tiene: Senx () x () La expresión () es la solución principal de la ecuación dada en (). La solución general para la ecuación () cuyo arco proviene de una expresión Seno es:

13 n x n ( ) () Haciendo n en () se obtiene: 5 x () ( ) 5 x (5) La expresión (5) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (*). De la gráfica dada en la fig. (*) y de lo que se ha obtenido en () y (5) se establece que la solución principal de la inecuación 5 Senx x () Como el período de la función Seno es entonces el período generalizado será donde 0 Observando la gráfica es obvio que la solución general para la inecuación Senx o lo que es lo mismo de la inecuación Senx 0 se obtiene sumando el período generalizado así: es x 5 0 Luego el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es: 5 C. S. x R / x 0 O también: 5 C. S. x R / x Z )Resolver: Cosx 0 Resolución

14 - -arccos(/) - +arccos(/) -arccos(/) arccos(/) -arccos(/) +arccos(/) -arccos(/) Cosx 0 Cosx () Considérese: y Cosx y Gráfica conjunta de y con y fig.(**) (para K= -) (para K=) (para K= -) (para K=) (para K=) Para intersecar y con y se tiene: Cosx () arccos( ) x () O también como Coseno es función par se tiene que: x arccos( ) () La expresión () es la solución principal de la ecuación dada en (). La solución general para la ecuación () cuyo arco proviene de una expresión Coseno es:

15 n arccos x (5) De modo que el intervalo que representa la solución principal de la inecuación fig. (**) es: Cosx x arccos y que se ha identificado en la gráfica dada en la arccos () Como el período de la función Seno es entonces el período generalizado será donde 0 Observando la gráfica es obvio que la solución general para la inecuación Cosx o lo que es lo mismo de la inecuación Cosx 0 se obtiene sumando el período generalizado así: arccos x arccos 0 Luego el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es: C. S. x R / arccos x arccos 0 O también: C. S. x R / arccos x arccos Z 5

16 - +arctg(/8) - -arctg(/8) - +arctg(/8) -arctg(/8) arctg(/8) -arctg(/8) +arctg(/8) -arctg(/8) +arctg(/8) ) Resolver la inecuación: 8 tgx 0 Resolución 8 tgx 0 8 tgx () Pero 8 tgx implica 8 8 tgx () Considérese: y tgx y 8 Gráfica conjunta de y con y fig.(α) para = para = - para = - / - / / / 5 / para = - para = - para = para = Para intersecar y con y se tiene:

17 8 tgx () x arctg( ) () La expresión () es la solución principal de la ecuación dada en (). La solución general para la ecuación () cuyo arco proviene de una expresión tangente es: x n arctg (5) 8 Nótese que el signo en la expresión (5) se debe al valor absoluto presente en la ecuación dada en () es decir éste implica dos soluciones. De modo que el intervalo que representa la solución principal de la inecuación fig. (α) es: tgx 8 x arctg 8 8 y que se ha identificado en la gráfica dada en la arctg () O También como la función arcotangente es impar entonces la expresión dada en () es equivalente a: x arctg 8 8 arctg (7) Como el período de la función Tangente es entonces el período generalizado será donde 0 7

18 Observando la gráfica es obvio que la solución general para la 8 inecuación tgx o lo que es lo mismo de la inecuación 8 tgx 0 se obtiene sumando el período generalizado así: arctg x arctg Luego el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es: C. S. x R / arctg x arctg O también: C. S. x R / arctg x arctg Z 8 8 ) Resolver la inecuación: Senx Cosx Resolución Senx Cosx Senx Cosx 0 Cosx 0 Senx () Como Sen Cos entonces la expresión () queda así: Cos Senx Sen Cosx 0 0 x Sen () Sea q x entonces la inecuación () queda así: Sen q () 8

19 Considérese: y Senq y 0 Gráfica conjunta de y con y (pa r a K = - ) fig.(β) (pa r a K = ) (pa r a K = ) (pa r a K = -) (pa r a K = ) Para intersecar y con y se tiene: Sen q () q (5) La expresión (5) es la solución principal de la ecuación dada en (). La solución general para la ecuación () cuyo arco proviene de una expresión Seno es: 0 n q n ( ) q n Haciendo n en () se obtiene: q () () q (7) La expresión (7) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (β). 9

20 De la gráfica dada en la fig. (β) y de lo que se ha obtenido en (5) y (7) se establece que la solución principal de la inecuación Sen q 0 es 0 q (8) Como el período de la función Seno es entonces el período generalizado será donde 0 Observando la gráfica es obvio que la solución general para la inecuación Sen q 0 se obtiene sumando el período generalizado así: 0 q 0 q (9) Reemplazando x q hecho anteriormente en (9): x 0 x 0 5 x 0 Luego el Conjunto Solución de la inecuación propuesta Senx Cosx es: 5 C. S. x R / x 0 O también: 5 C. S. x R / x Z 0

21 5) Resolver: 5 Cos x Senx Resolución Como Cosx Sen x entonces la inecuación propuesta queda así: 5 ( Sen x) Senx 7 x Senx Sen () Sea: q Senx entonces la expresión () queda así: 7 q q () Hallando punto crítico: 0 q q luego debe analizarse para q q a) Para q 0 q q q () reemplazando () en () se tiene: 7 q q 7q q 0 q q 0 0 q q 5 0 (q 5)( q ) entonces: 5 q q ()

22 Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en () con la condición a) se tiene: 5 q q q S [ (5) q b) Para q q 0 q q () reemplazando () en () se tiene: 7 q q 7 q q 0 q q 0 q q 0 (q )( q ) q q (7) Intersecando el conjunto solución parcial obtenido en () con la condición a) se tiene: q q q q S (8) Luego el conjunto solución para y que resulta de reunir el resultado obtenido en (5) con el resultado obtenido en (8) es: C. S. q [ q q (9) De este conjunto solución obtenido en (9) analizamos cada componente.

23 -7 / - / -5 / - / 7 / / 9 / / i) Para q Como antes de la expresión () se hizo q Senx se tiene: q Considérese: Senx y Senx y Gráfica conjunta de y con y fig.( ) (pa r a K = - ) (pa r a K = ) (pa r a K = ) 0 (pa r a K = - ) (pa r a K = ) (pa r a K = ) Para intersecar y con y se tiene: Senx (0) x () La expresión () es la solución principal de la ecuación dada en (0).

24 La solución general para la ecuación (0) cuyo arco proviene de una expresión Seno es: n n ( ) x () Haciendo n en () se obtiene: 5 5 x ( ) ( ) x () La expresión () representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. ( ). De la gráfica dada en la fig. ( ) y de lo que se ha obtenido en () y () se establece que la solución principal de la inecuación es: 5 Senx x () Como el período de la función Seno es entonces el período generalizado será donde 0 Observando la gráfica es obvio que la solución general para la inecuación Senx se obtiene sumando el período generalizado así: 5 x 0 lego el Conjunto Solución de la inecuación Senx es: 5 C. S. x R / x 0 O también: 5 C. S. ( ) x R / x Z (5)

25 ii) Para q Como antes de la expresión () se hizo q Senx se tiene: q Senx Es decir que del proceso de resolución resulta : Senx ----(*) Del rango de la función seno se tiene: Senx (**) De modo que intersecando (*) y (**) resulta: Senx () La expresión () es una ecuación cuya solución principal es: x La solución general para la ecuación () a fin de que se acople al conjunto solución obtenido en (5) se obtendrá sumando el período generalizado de la función Seno así: x 0 Luego el conjunto solución de dicha ecuación dada en () es C. S. ) x R / x ( 0 O lo que es lo mismo: C. S. ( ) x R / x Z (7) 5

26 Finalmente el conjunto solución de la inecuación 5 Cos x Senx será la reunión de los resultados obtenidos en (5) y (7) así: C. S. C. S. ) C. S. () 5 x R / x Z x R / x ( Z es decir: 5 C. S. x R / x x R / x Z ) Resolver: Cos x Senx 0 Resolución Cos x Senx 0 ( Sen x) Senx 0 Sen xsenx 0 Sen xsenx 0 xsenx 0 Sen () Sea: Senx q () Reemplazando () en () se tiene: q 0 q () Los puntos críticos de la inecuación dada en () son: q ()( ) () 5

27 de lo que resulta que: 5 5 q q () Revirtiendo el cambio hecho en (): Senx q Entonces () queda así: 5 5 Senx Senx (5) i) Resolviendo Senx 5 Considérese: y Senx y 5 7

28 -7 /0 - /0-9 /0 - /0-7 /0 - /0 /0 9 /0 /0 7 /0 /0 9 /0 /0 / /0 Gráfica conjunta de y con y fig.(ω) (pa r a K = - ) (pa r a K = ) (pa r a K = ) (pa r a K = - ) (pa r a K = ) (para K= -) 0 (para K=) (pa r a K = - ) (pa r a K = ) (pa r a K = ) Para intersecar y con y se tiene: 5 Senx () 0 x (7) La expresión (7) es la solución principal de la ecuación dada en (). La solución general para la ecuación () cuyo arco proviene de una expresión Seno es: n x n ( ) (8) 0 Haciendo n en () se obtiene: 7 ( ) ( x ) x (9) La expresión (9) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω). 8

29 De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en (7) y (9) se establece que la solución principal de la inecuación 5 Senx es: x (0) Como el período de la función Seno es entonces el período generalizado será donde 0 Observando la gráfica es obvio que la solución general para la inecuación así: Senx 5 se obtiene sumando el período generalizado 7 x Luego el Conjunto Solución de la inecuación 5 Senx es: C. S. ) 7 x R / x 0 0 ( 0 O también: 7 C. S. () x R / x Z () ii) Resolviendo 5 Senx Considérese: y Senx y 5 Obsérvese la gráfica conjunta de y con y en la pág. Anterior de la fig.(ω) Para intersecar y con y se tiene: 9

30 5 Senx () 0 x () La expresión () es la solución principal de la ecuación dada en (). La solución general para la ecuación () cuyo arco proviene de una expresión Seno es: n x n ( ) () 0 Haciendo n en () se obtiene: 9 x () ( ) x (5) La expresión (5) representa el otro punto de intersección del intervalo principal identificado en la gráfica dada en la fig. (Ω). De la gráfica dada en la fig. (Ω) y de lo que se ha obtenido en () y (5) se establece que la solución principal de la inecuación 5 Senx es: 0 9 x () 0 Como el período de la función Seno es entonces el período generalizado será donde 0 Observando la gráfica es obvio que la solución general para la inecuación así: 5 Senx se obtiene sumando el período generalizado 9 x Luego el Conjunto Solución de la inecuación 5 Senx es: 0

31 C. S. ) x R / x ( 0 O también: 9 C. S. () x R / x Z (7) El conjunto solución de la inecuación Cos x Senx 0 se obtiene de reunir los resultados obtenidos en () y (7) así: C. S. C. S. () C. S. () x R / 7 x 0 0 x 0 9 Z 0 Es decir que el conjunto solución buscado es: C. S. x R / 7 x 0 0 x Z 7) Resolver: Cosx Log Cosx Resolución Log Cosx Cosx () pero Cos x Cos x entonces la inecuación () se convierte en: Log Cosx (Cos x ) Cos x En la inecuación () hágase el reemplazo Log Cosx () Cosx q () Reemplazando () en () se obtiene:

32 Log q q () Se procede a encontrar el universo de la inecuación: Condición dela raíz: q (5) Condición del logaritmo q () De intersecar (5) y () resulta: q 0 q 0 q 0 q q 0 q q (7) Condición de la base del logaritmo: q 0 q (8) q y que : q (9) de intersecar (8) y (9) se tiene: 0 q q (0)

33 Intersecando (7) con (0) se tiene que el universo de la inecuación es: q q () La inecuación dada en () se resolverá en de acuerdo al universo obtenido en (): i) Para q (A) q 0 q q q q Si es decir que la base del logaritmo es menor que y que 0 q es decir que esta expresión es mayor que 0 entonces se tendrá que: Log q q q q Como q 0 q q q q q (B) Hallando la intersección de (A) parcial para q: con (B) se obtiene la solución q q q S q R / q = q (C)

34 ii) Para q q (D) q q q q Si q es decir que la base del logaritmo es mayor que y que q es decir que esta expresión es mayor que 0 e inclusive mayor que entonces se tendrá que: Log q q q q Como 0 q q q q q 8 q (E) Intersecando (D) con (E) se tiene que: q q 8 S Luego el conjunto solución para q será la reunión de las soluciones parciales S con S así: c. s. ( q) S S q R / q c s.. ( q) q R / q = q (F) Reemplazando () en (F) es decir revirtiendo el cambio q Cosx se tiene: q Cosx Cosx Cosx (G)

35 - -arccos( /) - / - / - +arccos( /) -arccos( /) - / / arccos( /) -arccos( /) / / +arccos( /) -arccos( /) Sea: y y Cosx y Gráfica conjunta de y con y y con y fig. (µ) (pa r a K = - ) (pa r a K = ) (pa r a K = - ) (pa r a K = ) 0 (pa r a K = - ) (pa r a K = ) (pa r a K = - ) (pa r a K = ) (pa r a K = ) Para intersecar y con y se tiene: Cos x (a) arccos x (b) La expresión (b) es la solución principal de la ecuación dada en (a). La solución general para la ecuación (a) cuyo arco proviene de una expresión Coseno es: 5

36 n arccos x (c) Haciendo n 0 en (c) se obtiene: x (0) arccos arccos arccos x (d) La expresión (d) indica los dos puntos de intersección identificados en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada en (a). Para intersecar y con y se tiene: Cos x (e) x (f) La expresión (f) es la solución principal de la ecuación dada en (e). La solución general para la ecuación (e) cuyo arco proviene de una expresión Coseno es: n x (g) Haciendo n 0 en (g) se obtiene: x (0) x (h) La expresión (h) indica los dos puntos de intersección identificados en la gráfica dada en la fig. (µ) correspondiente a la ecuación dada en (e).

37 7 De la gráfica dada en la fig. (µ) y de lo que se ha obtenido en (d) y (h) se establece que las soluciones principales correspondientes a la inecuación Cosx son: x arccos (*) arccos x (**) Como el período de la función Coseno es entonces el período generalizado será donde 0 Observando la gráfica dada en la fig. (µ) es obvio que la solución general para la inecuación Cosx se obtiene sumando el período generalizado así: x arccos (*) arccos x (**) Luego el Conjunto Solución de la inecuación propuesta es: 0 /.. arccos x x arccos R x S C O también: Z arccos x x arccos R x C S /..

38 LISTA DE REFERENCIAS Y MATERIAL DOCUMENTAL CONSULTADO ) V. B. Lidsi y otros Problemas de Matemáticas Elementales. Editorial MIR. Moscú 97. ) Colección de Matemática y Ciencias Trigonometría Plana y Esférica e Introducción al Cálculo. Lumbreras Editores S.R.L. Lima ) M. W. Piotr y G. B. Ana Introducción a las Matemáticas Universitarias. Editorial McGraw-Hill Interamericana. 00. ) C. A. Raul Trigonometría Teoría y Problemas. Editorial CUZCANO. Lima ) tascat_view/gid89/direds/ordername/limit5/limitstart5/ consultado el 0 de marzo del 009. ) consultado el de abril del