Hasta el momento (semestre ) el contenido de la primera unidad es el que sigue: UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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1 Hasta el momento (semestre 01-) el contenido de la primera unidad es el que sigue: UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Capítulo 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Lección 1: Fundamentos generales como apoo a las ecuaciones diferenciales. Lección : Conceptualización de una ecuación diferencial. Lección : Resolución de una ecuación diferencial. Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Lección 5: Ejercicios propuestos. Capítulo : ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Lección 6: Ecuaciones con variables separables. Lección 7: Ecuaciones Homogéneas. Lección 8: Ecuaciones eactas. Lección 9: El factor integrante. Lección10: Ejercicios Propuestos. Capítulo : CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Lección 11: Traectorias Ortogonales. Lección 1: Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. Lección 1: Aplicaciones de familias de curvas traectorias ortogonales. Lección 14: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Lección 15: Ejercicios Propuestos. ECUACIONES DIFERENCIALES 1 Definición 1. Ecuación diferencial: Es una relación de igualdad entre una función, una o varias de sus derivadas otras funciones conocidas en función de la variable independiente; en otras palabras es una ecuación donde puede figurar: una función (función incógnita, casi siempre ), algunas de sus derivadas, otras epresiones en función de la variable independiente (casi siempre ). 1 Este teto lo elaboró el docente Pablo Pinto Avellaneda, vinculado en la sede José Acevedo Gómez - Bogotá. 1

2 En nuestro curso de Cálculo Diferencial teníamos una función = f() aprendimos algunas técnicas para encontrar su derivada = f (). Ejemplo 1. Si Sen, supimos que Cos. Nótese que ésta última es una Ecuación Diferencial (revisa la definición 1), tenemos una relación de igualdad entre una función o variable dependiente (en esta epresión no aparece la función, pero no es necesario), una o varias de sus derivadas (la primera derivada de ) otras funciones conocidas en función de la variable independiente (en este caso Cos()). Entonces a estamos familiarizados con las Ecuaciones Diferenciales, todas las epresiones que encontramos al derivar lo son. Ejemplo. Si e, sabemos que o lo que es lo mismo e (Ojo, esto es importante, en la segunda ecuación sólo hemos reemplazado el factor eponencial por pues son iguales). Otros ejemplos: Estas dos últimas son Ecuaciones Diferenciales. d 4 d Esta es otra Ecuación Diferencial que nos dice que la primera derivada de la función es igual a la cuarta potencia de la variable dependiente multiplicada por la función misma (aquí aún no podemos saber quién es esa función). Ln Es una Ecuación Diferencial que nos dice que la segunda derivada de la función disminuida en el doble de la primera derivada de la función es igual al producto entre la función el logaritmo natural de la variable dependiente.

3 ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA La notación (escritura) de una Ecuación Diferencial es: n F,,,,,,. Recuérdese lo dicho en nuestro repaso (1). 0 Esta notación nos dice que una Ecuación Diferencial es una relación de igualdad en donde pueden aparecer la variable independiente, la variable dependiente al menos una de sus derivadas. Otro ejemplo: Esta es otra Ecuación Diferencial que nos dice que la primera derivada de la función es igual a su derivada. Puedes recordar cuál es esa función? Observa que en ella no aparece la variable independiente (no es necesario), lo importante es que en ésta aparezca al menos una derivada de la variable dependiente. En el estudio de las ecuaciones diferenciales la variable de estudio es la función, a diferencia de lo que anteriormente hacíamos en donde dada una ecuación f 0, se tenía como variable de estudio a. Ahora en el estudio de las ecuaciones Diferenciales se tiene por ejemplo: d dt 5 1 Aquí la función incógnita o variable dependiente es la variable independiente es t. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden, grado linealidad, así: a) Según su tipo: Las ecuaciones diferenciales pueden ser Ordinarias (cuando la variable dependiente sólo depende de una variable independiente) o Parciales (cuando la variable dependiente depende de dos o más variables independientes).

4 1. e Sen Es una ecuación diferencial Ordinaria. z. 0 Es una ecuación diferencial Parcial Obsérvese la notación: Cuando la función incógnita depende de más de una variable independiente, en la notación para las derivadas utilizamos la letra griega en vez de la d en las diferenciales. Las ecuaciones diferenciales parciales son mu importantes, pero su estudio eige una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ello en este curso limitaremos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias (de aquí en adelante EDO s). d d. Cos 0 Ordinaria. d d Es una ecuación diferencial b) Según su orden: El orden de una ecuación diferencial es la derivada de maor orden que figura en dicha ecuación. 4. z Orden. Sen Es una ecuación diferencial parcial de Segundo d d Orden. Es una ecuación diferencial ordinaria de Primer 6. e Es una ecuación diferencial ordinaria de Tercer Orden. 4

5 ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA 7. Sen 4 d d 4 d Es una ecuación diferencial ordinaria de d Cuarto. Orden. d d d d 8. tg 0 C ordinaria de Segundo Orden. 5 Es una ecuación diferencial 9. e 0 Es una ecuación diferencial ordinaria de Tercer Orden. En conclusión. Llamamos ecuación diferencial (ED) a una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO); si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales (EDP). c) Según su grado: El grado de una ecuación diferencial es el eponente de la derivada de maor orden, luego de epresar la ecuación de forma que la variable dependiente () o sus derivadas no queden incluidas en radicales o denominadores. 10. Sen Es una ecuación diferencial parcial de segundo orden de Grado Dos. 5 4 Es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden Grado Tres. 11. d) Según su estructura de linealidad: Una ecuación diferencial es lineal si la variable dependiente sus derivadas son a los más de grado uno (1), no se hallan en productos, además si la variable dependiente no aparece como argumento de funciones 5

6 trigonométricas, eponenciales, logarítmicas, ni radicales (en general funciones trascendentes, no lineales). Una ecuación diferencial es no lineal si la variable dependiente sus derivadas son de grado maor que uno (1), /o se hallan en productos, además si la variable dependiente aparece como argumento de funciones trigonométricas, eponenciales, logarítmicas, ni radicales (en general funciones trascendentes, no lineales). 1. e 0 Es una ecuación diferencial no lineal a que la función e es no lineal. d d 1. Cos 0 d d Es una ecuación diferencial lineal (el término Cos() no afecta esta característica a que es la variable independiente). d d Cos 5 Es una ecuación diferencial no lineal, debido a 14. la presencia del factor en el segundo término e Es una ecuación diferencial parcial lineal Es una ecuación diferencial no lineal, debido a la presencia de la potencia de ". 17. Sen 0 Es una ecuación diferencial no lineal a que la función Sen() es no lineal. Ejercicio 1: Clasifique según su tipo, orden, grado linealidad las ecuaciones 1 al 17. 6

7 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL En el álgebra cuando teníamos una ecuación al pretender solucionarla lo que se quería era buscar el (los) valor(es) de la variable independiente, que satisfacía(n) dicha ecuación. Decíamos que 1 satisfacen o son las soluciones de la ecuación 4 0 Es decir que al reemplazar la en la ecuación por alguno de estos valores (-1 ó - ) la igualdad se cumple. El problema al que nos enfrentamos ahora no es el de determinar los valores de la variable ; más bien, el problema consiste en: si se da una ecuación diferencial como funciones), hallar de alguna manera una función (o un conjunto de f que satisfaga dicha ecuación. En una palabra, se desea resolver o solucionar ecuaciones diferenciales. Por ejemplo: i. La función d Sen d Cos e, es una solución de la ecuación diferencial 0. En efecto si reemplazamos en la EDO la función su derivada, recordando que la derivada de d Sen d e Cos, se obtiene Cos e es Mira bien la EDO Sen Cos Cos e Sene d d 0 7

8 ii. La función 1 4 es solución de la ecuación diferencial efecto, la derivada de la función es 1, con lo cual se cumple que. En En conclusión. En este curso solucionar una ecuación diferencial es determinar el conjunto de funciones que satisfacen dicha ecuación diferencial. Ejercicio : Verifica que la función 0 Sen es solución de la EDO Cuáles de las funciones siguientes son soluciones de la ecuación diferencial 0? a) b) t e te e t t c) t d) t e Verifica si son soluciones de las ecuación diferencial que se dan, las funciones que se indican: a) 1 8

9 Cos SenCos Sen 1 Más adelante retomaremos el concepto de Solución de una ecuación diferencial. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN En esta parte del curso trataremos el tema de las EDO s de primer orden, es decir que sólo incluen a la primera derivada. IMPORTANTE Obsérvese que e d d d 5 e e d 0 Son tres formas de escribir la misma ecuación diferencial. APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Aplicaciones a la Biología: Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas eitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microrganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación. Crecimiento Biológico: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. Problemas de Epidemiología: 9

10 Un problema importante de la biología de la medicina trata de la ocurrencia, propagación control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que ha una epidemia. Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que ha solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente ha un numero especificado de estudiantes infectados. Aplicaciones a la Economía: En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad. Bibliografia Edwards J, P. D. (1986). Ecuaciones Diferenciales elementales con aplicaciones. Meico: Calpso S.A. SHEPLEY, R. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Barcelona: Reverté S.A. Simmons, G. F. (199). ECUACIONES DIFERENCIALES, Con aplicaciones notas historicas. Meico: McGrawHill. ZILL, D. G. (1997). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Meico: Thomson Editores. 10