Reglas de derivación

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1 CAPÍTULO 6 Reglas e erivación OBJETIVOS PARTICULARES. Aplicar reglas básicas e erivación para calcular erivaas, e iverso oren, e funciones algebraicas.. Aplicar la regla e la caena en el cálculo e erivaas, para funciones explícitamente efinias. 3. Aplicar el métoo e erivación implícita en el cálculo e erivaas, para funciones efinias implícitamente. 6. Reglas básicas e erivación Como se abrá notao en el capítulo anterior, para calcular la erivaa e una función y f.x/ meiante la efinición, usano la enominaa regla e los cuatro pasos, generalmente es necesario llevar a cabo un laborioso proceimiento algebraico. Para evitar tal complejia, se opta por el uso o la aplicación e resultaos o reglas básicas generales que nos permiten el cálculo e la erivaa e iversas funciones e uso frecuente. icas reglas se emuestran a partir e la efinición e la erivaa a veces con el uso e algún artificio algebraico. A continuación enunciamos las reglas básicas e erivación, seguia caa una e su respectiva emostración. Regla. Si f.x/ c, con c constante, entonces canek.azc.uam.mx / 5/ 008 f 0.x/ x f.x/ x c 0

2 Cálculo iferencial e Integral I Ejemplos e la regla. Si f.x/ 5, entonces f 0.x/ 0.. Si f.x/ 5, entonces f 0.x/ Si f.x/ k, con k constante, entonces f 0.x/ 0. H emostración regla Si para caa x R se tiene f.x/ c, entonces f 0 f.x C /.x/ lím!0 f.x/ c c lím!0 ) f 0.x/ 0 Es ecir, Regla. Si f.x/ x n, con n N, entonces x c 0 f 0.x/ x f.x/ x xn nx n 0 lím!0 lím 0 0 )!0 Ejemplos e la regla. Si f.x/ x 5, entonces f 0.x/ 5x 4.. Si f.x/ x 00, entonces f 0.x/ 00x 99. H emostración e la regla f.x/ x n ) f.x C /.x C / n f.x C / f.x/.x C / n x n [ ] x n C nx n n.n / C x n C C n x n nx n n.n / C x n n.n /.n / C x n 3 3 C C n.3/ [ ] nx n n.n / C x n n.n /.n / C x n 3 C C n.3/ f.x C / nx n C f.x/ n.n / x n C n.n /.n / x n 3 C C n.3/

3 3 6. Reglas básicas e erivación 3 f.x C / lím!0 nx n C f.x/ n.n / x n.0/ C n.n /.n / x n 3.0/ C C.0/ n.3/ f 0.x/ nx n Es ecir, x xn nx n Más aelante veremos que esta regla se puee generalizar para el caso en que n Q. Nota un caso particular e la regla aparece para n Es ecir, x x. x x x x x x 0 Observación en lo que sigue trabajaremos con funciones que suponemos erivables. Regla 3. Si F.x/ f.x/ C g.x/.x/, entonces Ejemplo e la regla 3 F 0.x/ x F.x/ Œf.x/ C g.x/ x.x// x f.x/ C x g.x/ x.x/ f 0.x/ C g 0.x/ 0.x/ H emostración e la regla 3.x 5 C x 00 x/ 0.x 5 / 0 C.x 00 / 0.x/ 0 5x 4 C 00x 99 F.x/ f.x/ C g.x/.x/ ) F.x C / f.x C / C g.x C /.x C / F.x C / F.x/ Œf.x C / C g.x C /.x C / Œf.x/ C g.x/.x/ Œf.x C / f.x/ C Œg.x C / g.x/ Œ.x C /.x/ F.x C / F.x/ f.x C / f.x/ g.x C / C g.x/.x C /.x/ F.x C / lím!0 lím!0 f.x C / F.x/ f.x/ g.x C / C lím!0 g.x/.x C / lím!0.x/

4 4 4 Cálculo iferencial e Integral I F 0.x/ f 0.x/ C g 0.x/ 0.x/ Es ecir, x Œf.x/ C g.x/.x/ f 0.x/ C g 0.x/ 0.x/ Esta regla se generaliza para el caso e tener la suma algebraica e más funciones. Regla 4. Si.x/ f.x/g.x/, entonces 0.x/ f.x/g 0.x/ C g.x/f 0.x/. Ejemplo e la regla 4 [.x 5 C x/.x 00 / ] 0.x 5 C x/.x 00 / 0 C.x 00 /.x 5 C x/ 0.x 5 C x/ 00x 99 C.x 00 /.5x 4 C / H emostración e la regla 4.x/ f.x/g.x/ ).x C / f.x C /g.x C /.x C /.x/ f.x C /g.x C / f.x/g.x/ Restamos y sumamos f.x C /g.x/.x C /.x/ f.x C /g.x C / f.x C /g.x/ C f.x C /g.x/ f.x/g.x/ f.x C /Œg.x C / g.x/ C g.x/œf.x C / f.x/.x C /.x/ f.x C /Œg.x C / g.x/ g.x/œf.x C / C f.x/ [ ] [ ] g.x C / g.x/ f.x C / f.x/ f.x C / C g.x/.x C / lím!0 lím!0 [ f.x C /.x/ g.x C / g.x/ ] [ f.x C / C lím g.x/ f!0.x/ ] 0.x/ [ ] lím f.x C /!0 lím!0 g.x C / g.x/ [ ] f.x C / C lím g.x/ lím!0!0 f.x/ Nótese que lím f.x C / f.x/, pues f es continua, ya que es erivable. Entonces!0 0.x/ f.x/g 0.x/ C g.x/f 0.x/

5 5 6. Reglas básicas e erivación 5 Es ecir, x Œf.x/g.x/ f.x/g 0.x/ C g.x/f 0.x/ Nota un caso particular e esta regla 4 será enunciaa como regla 5, ebio a que se usa frecuentemente. Regla 5. Si.x/ cg.x/, con c constante, entonces 0.x/ cg 0.x/. Ejemplo e la regla 5 H emostración e la regla 5.5x 00 / 0 5.x 00 / x x 99 Consierano la regla 4 con f.x/ c y la regla en la que se asegura que f 0.x/ x c 0 0.x/ x Œcg.x/ cg 0.x/ C g.x/ x c cg 0.x/ C g.x/.0/ cg 0.x/ ) ) 0.x/ cg 0.x/ Es ecir, x Œcg.x/ c x g.x/ Regla 6. Si.x/ f.x/ g.x/, entonces 0.x/ g.x/f 0.x/ f.x/g 0.x/. Œg.x/ Ejemplo e la regla 6 ( ) x 5 0 C x.x00 /.x 5 C x/ 0.x 5 C x/.x 00 x 00.x 00 / / 0.x00 /.5x 4 C /.x 5 C x/ 00x 99.x 00 / H emostración e la regla 6..x/ f.x/ f.x C / ).x C / g.x/ g.x C / ) f.x C / f.x/ g.x/f.x C / g.x C /f.x/ ).x C /.x/ g.x C / g.x/ g.x C /g.x/ Restamos y sumamos g.x/f.x/ en el numeraor.x C /.x/ g.x/f.x C / g.x/f.x/ C g.x/f.x/ g.x C /f.x/ g.x C /g.x/ g.x/œf.x C / f.x/ f.x/œg.x C / g.x/ g.x C /g.x/

6 6 6 Cálculo iferencial e Integral I Entonces, Calculamos el límite.x C / lím!0 {.x C /.x/ [ ] g.x/œf.x C / f.x/ f.x/œg.x C / g.x/ g.x C /g.x/ g.x C /g.x/ [ ] [ ] g.x/ f.x C / f.x/ f.x/ g.x C / g.x/ g.x C /g.x/ g.x C /g.x/ lím!0.x/ [ ] f.x C / f.x/ g.x/ g.x C /g.x/ f.x/ g.x C /g.x/ Vemos que lím g.x C / g.x/, pues g.x/ es continua por ser erivable.!0 Entonces, Es ecir, 0.x/ g.x/ g.x/g.x/ Œf 0.x/ g.x/f 0.x/ Œg.x/ 0.x/ g.x/f 0.x/ f.x/g 0.x/ Œg.x/ [ ]} g.x C / g.x/ f.x/ g.x/g.x/ Œg 0.x/ f.x/g 0.x/ g.x/f 0.x/ f.x/g 0.x/ Œg.x/ Œg.x/ x [ ] f.x/ g.x/ x f.x/ g.x/ f.x/ x g.x/ Œg.x/ g.x/f 0.x/ f.x/g 0.x/ Œg.x/ Generalizamos la regla en el caso en que n Z. Regla. Si f.x/ x n, con n Z, entonces f 0.x/ nx n. Ejemplo e la regla.x 00 / 0 00x 0 H emostración e la regla Si n N, la función es la e la regla precisamente. Si n 0 ) f.x/ x 0 ) f 0.x/ 0 0x 0. Si n es un entero negativo, entonces n N. f.x/ x n x n x n ) f 0.x/ x x x n x n.0/. n/x n.x n / x n nx n x n nx n Cn nx n

7 7 6. Reglas básicas e erivación 7 Por aora suponremos que para n Q se cumple x xn nx n. Ejemplo 6.. Calcular las erivaas e las funciones. f.x/ 0.. g.x/ x t/ j.y/ y x/ p x z/ z 4 z. 7. ˇ.t/ p t t C x/ 5x 4 x 3 C 4x. 9. ı.x/ 3x 4x C 5 7x. 0. y 5x 6x 3 8x 4 p. x H Soluciones. f 0.x/ x. 0/ 0. g 0.x/ x.x5 / 5x 5 5x t/ t ( ) j 0.y/ ( ) y y 8 y.y 8 / 8y 8 8y 9 8 y x/ p x3 x x x 3 3 x 3 3 x 3p x 6. 0.z/ z ( ) z 4 z z.z4 z / z z4 z z 4z 4. /z 4z 3 C z 3 4z 3 C z 3

8 8 8 Cálculo iferencial e Integral I 7. ˇ 0.t/ t ( pt ) t C 6 t t t C 0 t t t C t 6 t p t 8. 0.x/ x.5x4 x 3 C 4x / x.5x4 / x.x3 / C x.4x / 5 x x4 x x3 C 4 x x 5.4x 3 /.3x / C 4.x/ 0x 3 6x C 8x 9. ı 0.x/ ( ) 3x 4x C 5 x 7x ( 3x 4x x 7x 7x C 5 ) 7x [ 3 4 x 7 7 x C 5 ] 7 x ( ) ( ) 3 4 x 7 x 7 x C ( ) 5 x 7 x ( ) x x C 5 ( ) 7 x x 4 7. x / C 5 7. x 3 / 4 7 x 0 7 x x 0 7x 7x3 7x 3 También poríamos erivar ı.x/ irectamente como un cociente e funciones ı 0.x/ 7x x.3x 4x C 5/.3x 4x C 5/ x.7x /.7x / 7x.6x 4/.3x 4x C 5/4x 49x 4 4x3 8x 4x 3 C 56x 70x 8x 70x 49x 4 49x 4 4x 0 7x 3 7x.4x 0x/ 7x.7x 3 /

9 9 6. Reglas básicas e erivación 9 0. y 0 x y ( ) 5x 6x 3 8x 4 x p ( ) 5x 6x 3 8x 4 x x x x x ( ) 5 x x 3 x.3x 5 / x.4x 7 / 5 x x 3 3 x x 5 4 x x 7 5 ( ) ( ) ( ) x 3 x 3 4 x 5 5 p 5p x x 3 4 p x 5 5p x 30 p x 3 56 p x Y como cociente ( ) 5x y 0 6x 3 8x 4 0 p x.0x 8x 3x 3 /.5x 6x 3 8x 4 /x x 4x 0x 3 36x 5 64x 7 5x 3 C 6x 5 C 8x 7 4x 5x 3 30x 5 56x 7 4x 5x 30x 3 56x 5 4 5p x 30 p x 3 56 p x 5 4 Ejemplo 6.. Calcular las erivaas e las funciones. f.x/ x 3 x C 3...y/ y3 C y y.5x 3 4x /. x C x 4 /. 4. z. p 3 u p ( u/ u u C ). u 3 H Soluciones. f 0.x/ x ( ) x 3 x C 3.x C 3/ x.x 3/.x 3/ x.x C 3/.x C 3/.x C 3/.x 0/.x 3/.x C 0/ x.x C 3/ x.x 3/.x C 3/.x C 3/ x3 C 6x x 3 C 6x x.x C 3/.x C 3/

10 0 0 Cálculo iferencial e Integral I. 0.y/ ( ) y 3 y C y 3. C y 3 / y. y3 /. y 3 / y. C y3 /. C y 3 /. C y3 /.0 6y /. y 3 /.0 C 6y /. C y 3 / 6y. C y 3 / 6y. y 3 / 6y y 5 6y C y 5. C y 3 /. C y 3 / y. C y 3 / 3. y 0 y x x Œ.5x3 4x /. x C x 4 /.5x 3 4x / x. x C x 4 / C. x C x 4 / x.5x3 4x /.5x 3 4x /.0 x C 4x 3 / C. x C x 4 /.5x 8x/.5x 3 4x /.4x 3 x/ C.x 4 x C /.5x 8x/ También poemos efectuar primero el proucto.5x 3 4x /. x C x 4 / y luego erivar y.5x 3 4x /. x C x 4 / 5x 3 4x 5x 5 C 4x 4 C 5x 7 4x 6 x 7 4x 6 5x 5 C 4x 4 C 5x 3 4x I por esto, y x 35x6 4x 5 5x 4 C6x 3 C5x 8x 4. z 0 z u [. p ( u 3p u/ u u u C )] u 3. p ( u 3p u/ u.u u C u 3 / C u u C ) u 3 u.u u 3 /. p ( u 3p u/. u C u 3 3u 4 / C u u C ) ( ) u 3 u 3 u 3. p ( u 3p u/ u C ) ( 3 C u 3 u 4 u u C ) ( ) u 3 u 3u 3. p ( u 3p u/ u C ) ( 3 C u 3 u 4 u u C ) ( ) u 3 p u 3 3p u

11 6. Reglas básicas e erivación Poemos efectuar también primero el proucto y luego erivar z.u u 3 /.u u Cu 3 / u u 3 u 3 Cu 5 3Cu 5 u 8 3 I por lo tanto z u u 3 C 3 u 5 3 C 3 u u u 7 C 8 3 u 3 Ejercicios 6.. Soluciones en la página?? Utilizano reglas e erivación, calcular la erivaa e las funciones siguientes. (. f.x/ x C 3x 4x y x. g.x/ 3x t/ 3t 4x 6 3 C 5x t C 4 5 5t 3 6t y 4 p x 3 6 3p x 4 C 8 4p x u p y 3p y 4p y. 6. x 3y 4y C 5 6 p y. 9. x C x 8. z.x 3 C /.x / x C t3 t y x x C 4.. w 3u C 4u 9.. v w w C. ) ( px p x ).

12 Cálculo iferencial e Integral I Ejercicios 6.. Reglas básicas e erivación, página??. f 0.x/ C 6x x.. g 0.x/ 6x 9 8x 5 C 5 x t/ 3t C 3 t 3 5t 4 C 0 3t y x 6p x 8 3p x C 0 4p x. u y y C y C y. 5 x y 3 p y 4 3 p y 5 y 3. ( 7. y 0 x C )( p x C x C ( x )( px p C x x x 3 ) p C ) x z 0.x 3 C/.6x 5 x 3 C6x/C.x / 3.6x 5 C 6x/ x t 6t. t 3 /. y x x C 8.x C 4/.4 x /.x C 4/. w u u C 6u C 7.4u 9/. v w w.w w C /.