El problema de la recta tangente. 96 CAPÍTULO 2 Derivación

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1 96 CAPÍTULO Derivación. La erivaa el problema e la recta tangente Hallar la peniente e la recta tangente a una curva en un punto. Usar la efinición e límite para calcular la erivaa e una función. Comprobar la relación entre erivabilia continuia. Mar Evans Picture Librar ISAAC NEWTON (6-77) Aemás e sus trabajos relativos al Cálculo, Newton aportó contribuciones a la Física tan revolucionarias como la Le e la Gravitación Universal sus tres lees el movimiento. P El problema e la recta tangente El cálculo se esarrolló a la sombra e cuatro problemas en los que estaban trabajano los matemáticos europeos en el siglo XVII.. El problema e la recta tangente (sección. esta sección). El problema e la velocia la aceleración (secciones..). El problema e los máimos mínimos (sección.). El problema el área (secciones..) Caa uno e ellos involucra la noción e límite poría servir como introucción al cálculo. En la sección. se hizo una breve introucción al problema e la recta tangente. Aunque Pierre e Fermat (60-665), René Descartes ( ), Christian Hugens (69-695) e Isaac Barrow (60-677) habían propuesto soluciones parciales, la primera solución general se suele atribuir a Isaac Newton (6-77) a Gottfrie Leibniz (66-76). El trabajo e Newton respecto a este problema proceía e su interés por la refracción e la luz la óptica. Qué quiere ecir que una recta es tangente a una curva en un punto? En una circunferencia, la recta tangente en un punto P es la recta perpenicular al raio que pasa por P, como se muestra en la figura.. Sin embargo, en una curva general el problema se complica. Por ejemplo, cómo se porían efinir las rectas tangentes que se observan en la figura.? Afirmano que una recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla. Tal efinición sería correcta para la primera curva e la figura., pero no para la seguna. También se poría ecir que una recta es tangente a una curva si la toca o hace intersección en ella eactamente en el punto P, efinición que serviría para una circunferencia pero no para curvas más generales, como sugiere la tercera curva e la figura.. Recta tangente a una circunferencia Figura. P f() P f() P = f() Recta tangente a una curva en un punto Figura. EXPLORACIÓN Ientificación e una recta tangente Utilizar una herramienta e graficación para representar la función ƒ() 5. En la misma pantalla, ibujar la gráfica 5, 5 5. Cuál e estas rectas, si es que ha alguna, parece tangente a la gráfica e ƒ en el punto (0, 5)? Eplicar el razonamiento.

2 SECCIÓN. La erivaa el problema e la recta tangente 97 (c, f(c)) (c, f(c )) f(c ) f(c) = Recta secante que pasa por (c, ƒ(c)) (c, ƒ(c )) Figura. En esencia, el problema e encontrar la recta tangente en un punto P se reuce al e calcular su peniente en ese punto. Se puee aproimar la peniente e la recta tangente usano la recta secante* que pasa por P por otro punto cercano e la curva, como se muestra en la figura.. Si (c, ƒ(c)) es el punto e tangencia (c, ƒ(c )) es el otro punto e la gráfica e ƒ, la peniente e la recta secante que pasa por ambos puntos se encuentra sustitueno en la fórmula m fc f c m sec c c m sec fc f c. Cambio en. Cambio en Peniente e la recta secante. El miembro e la erecha en esta ecuación es un cociente e incremento o e iferencias. El enominaor es el cambio (o incremento) en el numeraor ƒ(c ) ƒ(c) es el cambio (o incremento) en. La belleza e este proceimiento raica en que se pueen obtener más aproimaciones más precisas e la peniente e la recta tangente tomano puntos e la gráfica caa vez más próimos al punto P e tangencia, como se muestra en la figura.. EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE En 67 el matemático René Descartes afirmó lo siguiente respecto al problema e la recta tangente: Y no tengo inconveniente en afirmar que éste no es sólo el problema e Geometría más útil general que conozco, sino incluso el que siempre esearía conocer. (c, f(c)) 0 (c, f(c)) (c, f(c)) (c, f(c)) Tangent Recta tangente line (c, f(c)) 0 (c, f(c)) (c, f(c)) (c, f(c)) Recta Tangent tangente line Aproimaciones a la recta tangente Figura. DEFINICIÓN DE LA RECTA TANGENTE CON PENDIENTE m Si ƒ está efinia en un intervalo abierto que contiene a c aemás eiste el límite f c f c lím lím m 0 0 entonces la recta que pasa por (c, ƒ(c)) cuenta con una peniente m es la recta tangente a la gráfica e ƒ en el punto (c, ƒ(c)). La peniente e la recta tangente a la gráfica e ƒ en el punto (c, ƒ(c)) se llama también peniente e la gráfica e f en c. * El uso e la palabra secante procee el latín secare, que significa cortar, no es una referencia a la función trigonométrica el mismo nombre.

3 98 CAPÍTULO Derivación f() m = (, ) La peniente e ƒ en (, ) es m Figura.5 EJEMPLO La peniente e la gráfica e una función lineal Encontrar la peniente e la gráfica e ƒ() en el punto (, ). Solución Para encontrar la peniente e la gráfica e ƒ cuano c, aplicar la efinición e la peniente e una recta tangente como se muestra a continuación: f f lím lím 0 0 lím 0 lím 0 lím 0 La peniente e ƒ en (c, ƒ(c)) (, ) es m, como se observa en la figura.5. NOTA En el ejemplo, la efinición e la peniente e ƒ por meio e límites concuera con la efinición analizaa en la sección P.. La gráfica e una función lineal tiene la misma peniente en toos sus puntos. Esto no sucee en las funciones no lineales, como se puee observar en el siguiente ejemplo. EJEMPLO Rectas tangentes a la gráfica e una función no lineal Recta tangente en ( f() = Recta tangente en (0, ) La peniente e ƒ en un punto cualquiera (c, ƒ(c)) es m c Figura.6 Calcular las penientes e las rectas tangentes a la gráfica e ƒ() en los puntos (0, ) (, ), que se ilustran en la figura.6. Solución Sea (c, ƒ(c)) un punto cualquiera e la gráfica e ƒ. La peniente e la recta tangente en él se encuentra meiante: lím 0 f c f c c lím c 0 c lím c c 0 c lím 0 lím c 0 c. De tal manera, la peniente en cualquier punto (c, ƒ(c)) e la gráfica e ƒ es m c. En el punto (0, ) la peniente es m (0) 0 en (, ) la peniente es m (l). NOTA Observar que en el ejemplo, c se mantiene constante en el proceso e límite (cuano 0).

4 SECCIÓN. La erivaa el problema e la recta tangente 99 Recta tangente vertical La efinición e la recta tangente a una curva no inclue la posibilia e una recta tangente vertical. Para éstas, se usa la siguiente efinición. Si ƒ es continua en c c (c, f(c)) La gráfica e ƒ tiene recta tangente vertical en (c, ƒ(c)) Figura.7 f c f c lím 0 o f c f c lím 0 la recta vertical, c, que pasa por (c, ƒ(c)) es una recta tangente vertical a la gráfica e ƒ, por ejemplo, la función que se muestra en la figura.7 tiene tangente vertical en (c, ƒ(c)). Si el ominio e ƒ es el intervalo cerrao [a, b], se puee ampliar la efinición e recta tangente vertical e manera que inclua los etremos, consierano la continuia los límites por la erecha (para a) por la izquiera (para b). Derivaa e una función Se ha llegao a un punto crucial en el estuio el cálculo. El límite utilizao para efinir la peniente e una recta tangente también se utiliza para efinir una e las os operaciones funamentales el cálculo: la erivación. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN La erivaa e ƒ en está aa por f lím 0 f f siempre que eista ese límite. Para toos los para los que eista este límite, f es una función e. Observar que la erivaa e una función e también es una función e. Esta nueva función proporciona la peniente e la recta tangente a la gráfica e ƒ en el punto (, ƒ()), siempre que la gráfica tenga una recta tangente en icho punto. El proceso e calcular la erivaa e una función se llama erivación. Una función es erivable en si su erivaa en eiste, erivable en un intervalo abierto (a, b) si es erivable en toos caa uno e los puntos e ese intervalo. Aemás e ƒ(), que se lee ƒ prima e, se usan otras notaciones para la erivaa e ƒ(). Las más comunes son: f,,, f, D. Notaciones para la erivaa. La notación se lee erivaa e con respecto a o simplemente,. Usano notaciones e límites, se puee escribir lím 0 lím 0 f. f f

5 00 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO Cálculo e la erivaa meiante el proceso e límite Calcular la erivaa e ƒ(). Solución AYUDA DE ESTUDIO Cuano se use la efinición para encontrar la erivaa e una función, la clave consiste en volver a epresar el cociente incremental (o cociente e iferencias), e manera que no aparezca como factor el enominaor. f lím 0 lím 0 f f lím 0 Definición e erivaa. lím 0 lím 0 lím 0 Cabe recorar que la erivaa e una función ƒ es en sí una función, misma que puee emplearse para encontrar la peniente e la recta tangente en el punto (, ƒ()) e la gráfica e ƒ. EJEMPLO Uso e la erivaa para calcular la peniente en un punto Encontrar ƒ() para ƒ(). Calcular luego la peniente e la gráfica e ƒ en los puntos (, ) (, ). Analizar el comportamiento e ƒ en (0, 0). Solución Se racionaliza el numeraor, como se eplicó en la sección.. (, ) (0, 0) m La peniente e ƒ en (, ƒ()), 0, es m Figura.8 f() = (, ) m f lím 0 lím 0 lím 0 lím 0 lím 0 lím 0, > 0 f f Definición e erivaa. En el punto (, ) la peniente es ƒ(). En el punto (, ) la peniente es ƒ(). Ver la figura.8. En el punto (0, 0) la peniente no está efinia. Aemás, la gráfica e ƒ tiene tangente vertical en (0, 0).

6 SECCIÓN. La erivaa el problema e la recta tangente 0 En muchas aplicaciones, resulta conveniente usar una variable inepeniente istinta e, como se manifiesta en el ejemplo 5. EJEMPLO 5 Cálculo e la erivaa e una función Encontrar la erivaa e la función t respecto a t. Solución Consierano ƒ(t), se obtiene lím t t0 f t t f t t Definición e erivaa. lím t0 t t t t f t t t t f t t. lím t0 t t t tt t t Combinar las fracciones el numeraor. t lím t0 lím t0 t ttt t tt t Cancelar el factor común t. Simplificar. (, ) t. Evaluar el límite cuano t t En el punto (, ) la recta t es tangente a la gráfica e t Figura.9 6 TECNOLOGÍA Se puee utilizar una herramienta e graficación para corroborar el resultao el ejemplo 5. Es ecir, usano la fórmula t t, se sabe que la peniente e la gráfica e t en el punto (, ) es m. Esto implica que, usano la forma punto-peniente, una ecuación e la recta tangente a la gráfica en (, ) es (t ) o t como se muestra en la figura.9. Derivabilia continuia La siguiente forma alternativa como límite e la erivaa es útil al investigar la relación que eiste entre erivabilia continuia. La erivaa e ƒ en c es (c, f(c)) (, f()) fc lím c f f c c Fórmula alternativa e la erivaa. c f() f(c) siempre que icho límite eista (ver la figura.0). (En el apénice A se emuestra la equivalencia e ambas fórmulas.) Observe que la eistencia el límite en esta forma alternativa requiere que los límites unilaterales lím c f f c c f f c lím c c Cuano tiene a c, la recta secante se aproima a la recta tangente Figura.0 c eistan sean iguales. Estos límites laterales se enominan erivaa por la izquiera por la erecha, respectivamente. Se ice que ƒ es erivable en un intervalo cerrao [a, b] si es erivable en (a, b) eisten aemás la erivaa por la erecha en a la erivaa por la izquiera en b.

7 0 CAPÍTULO Derivación f() = [[ ]] La función parte entera no es erivable en 0, a que no es continua en ese punto Figura. Si una función no es continua en c, no puee ser erivable en c. Por ejemplo, la función parte entera o maor entero f no es continua en 0, en consecuencia no es erivable en 0 (ver la figura.). Esto se comprueba con sólo observar que f f 0 lím 0 0 lím 0 f f lím 0 0 lím 0. 0 Derivaa por la izquiera. Derivaa por la erecha. Aunque es cierto que erivable implica continua (como se muestra en el teorema.), el recíproco no es cierto. En otras palabras, puee ocurrir que una función sea continua en c no sea erivable en c. Los ejemplos 6 7 ilustran tal posibilia. EJEMPLO 6 Una gráfica con un punto angular m f() m La función f que se muestra en la figura. es continua en. Sin embargo, los límites unilaterales f f lím lím 0 Derivaa por la izquiera. ƒ no es erivable en, porque las erivaas laterales no son iguales Figura. f f lím lím 0 Derivaa por la erecha. no son iguales. Por consiguiente, ƒ no es erivable en la gráfica e ƒ no tiene una recta tangente en el punto (, 0). f() / EJEMPLO 7 Una gráfica con una recta tangente vertical La función ƒ() es continua en 0, como se observa en la figura.. Sin embargo, como el límite ƒ no es erivable en 0, porque tiene tangente vertical en ese punto Figura. f f 0 lím lím lím 0 es infinito, se puee concluir que la recta tangente en 0 es vertical. Por tanto, ƒ no es erivable en 0. En los ejemplos 6 7 se puee observar que una función no es erivable en un punto one su gráfica cuenta con un punto angular o una tangente vertical.

8 SECCIÓN. La erivaa el problema e la recta tangente 0 TECNOLOGÍA Algunas herramientas e graficación utilizan los programas e cálculo Maple, Mathematica TI89, para realizar una erivación simbólica. Otros la hacen numérica, calculano valores e la erivaa meiante la fórmula f f f one es un número pequeño como Observa algún problema con esta efinición? Por ejemplo, usánola cuál sería la erivaa e ƒ() en 0? TEOREMA. DERIVABLE IMPLICA CONTINUA Si ƒ es erivable en c, entonces ƒ es continua en c. DEMOSTRACIÓN Para comprobar que ƒ es continua en c bastará con mostrar que ƒ() tiene a ƒ(c) cuano c. Para tal fin, usar la erivabilia e ƒ en c consierano el siguiente límite. Puesto que la iferencia ƒ() ƒ(c) tiene a cero cuano c, se puee concluir que f f c). De tal manera, ƒ es continua en c. lím c lím f f c lím c c c f f c c lím c c lím 0 fc 0 f f c c c Los siguientes enunciaos epresan en forma resumia la relación que eiste entre continuia erivabilia:. Si una función es erivable en c, entonces es continua en c. Por tanto, erivable implica continua.. Es posible que una función sea continua en c sin ser erivable. En otras palabras, continua no implica erivable (ver el ejemplo 6).. Ejercicios En los ejercicios, estimar la peniente e la curva en los puntos (, ) (, ). Con el fin e resolver los ejercicios, utilizar la gráfica que se muestra a continuación.. a) b) (, ) (, ) (, ) (, ) 6 5 (, 5) (, ) 5 f 6. Ientificar o trazar en la figura caa una e las cantiaes siguientes.. a) b) a) f f b) c) f f f f f (, ) (, ) (, ) (, ). Escribir un símbolo e esiguala ( o ) entre las cantiaes aas. a) b) f f f f f f f

9 0 CAPÍTULO Derivación En los ejercicios 5 a 0, encontrar la peniente e la recta tangente a la gráfica e la función en el punto ao. 5. f 5,, g 9,, f t t t, 0, 0 0. g, g 6, ht t,,, 5, 7 En los ejercicios a, encontrar la erivaa meiante el proceso e límite f 5 f. f 7.. f hs s f f 0.. f. g f f 8 5 f f f a) b) 5 f 5 f. f. En los ejercicios 5 a, a) encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ en el punto inicao, b) utilizar una herramienta e graficación para ibujar la gráfica, la función su recta tangente en icho punto c) aplicar la función erivaa e una herramienta e graficación con el fin e verificar sus resultaos f,, f,, 0.. f, 5., En los ejercicios a 8, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ paralela a la recta aa f, f, Función f f f f f f,, Recta f f, f, f, , 5, 0, c) ). La recta tangente a la gráfica e g() en el punto (, 5) pasa por el punto (7, 0). Encontrar g() g().. La recta tangente a la gráfica e h() en el punto (, ) pasa por el punto (, 6). Encontrar h() h(). Desarrollo e conceptos En los ejercicios 5 a 50, construir la gráfica e ƒ eplicar cómo se obtuvo la respuesta f f f f En los ejercicios 9 a, se muestra la gráfica e ƒ. Seleccionar la gráfica e ƒ f 5 f f 7 6 f

10 SECCIÓN. La erivaa el problema e la recta tangente 05 Desarrollo e conceptos (continuación) Construir la gráfica e una función cua erivaa siempre sea negativa. Eplicar. 5. Construir la gráfica e una función cua erivaa siempre sea positiva. Eplicar el razonamiento. En los ejercicios 5 a 56, el límite representa a ƒ(c) para una función ƒ un número c. Encontrar ƒ c lím 8 lím lím lím En los ejercicios 57 a 59, ientificar una función ƒ que tenga las características señalaas. Representarla gráficamente. 57. f 0 ; 58., < < 59. f f f 0 0; f 0 0; f > 0 si 0 f 0 ; f 0 0; < 0 para < 0; > 0 para > Suponer que ƒ(c). Encontrar ƒ(c) si: a) ƒ es una función impar b) ƒ es una función par. En los ejercicios 6 6, encontrar las ecuaciones e os rectas tangentes a la gráfica e ƒ que pasen por el punto señalao. f f f Para iscusión (continuación) g 6 a) g0 b) g c) Qué se puee concluir e la gráfica e g, sabieno que g 8? ) Qué se puee concluir e la gráfica e g, sabieno que g 7? e) g(6) g() es positiva o negativa? Eplicar la respuesta. ƒ) Es posible encontrar g() a partir e la gráfica? Eplicar la respuesta. 65. Análisis gráfico Consierar la función f( ). a) Utilizar una herramienta e graficación para representar la función estimar los valores e f(0), f (), f() f(). b) Utilizar los resultaos e la parte a) para eterminar los valores e f ( ), f() f(). c) Trazar una posible gráfica e f. ) Utilizar la efinición e erivaa para eterminar f(). 66. Análisis gráfico Consierar la función f( ). a) Utilizar una herramienta e graficación para representar la función estimar los valores e f(0), f (), f(), f() f(). b) Utilizar los resultaos e la parte a) para eterminar los valores e f ( ), f(), f() f(). c) Trazar una posible gráfica e f. ) Utilizar la efinición e erivaa para eterminar f(). 6. f 6. 5 (, 5) 5 f ) Razonamiento gráfico En los ejercicios 67 68, representar en una misma ventana e la herramienta e graficación las gráficas e ƒ g escribir la relación entre ellas. g f 0.0 f. 0.0 Clasificar las gráficas escribir la relación entre ellas. 67. f 68. f 6. Razonamiento gráfico Utilizar una herramienta e graficación para representar caa una e las funciones sus rectas tangentes en, 0. Con base en los resultaos, eterminar si las penientes e las rectas tangentes a la gráfica e una función en istintos valores e siempre son istintas. a) ƒ() b) g() Para iscusión 6. Razonamiento gráfico En la figura se muestra la gráfica e g. En los ejercicios 69 70, evaluar ƒ() ƒ(.), utilizar los resultaos para estimar ƒ(). 69. f f 7. f Razonamiento gráfico En los ejercicios 7 7, utilizar una herramienta e graficación para representar la función su erivaa en la misma ventana. Clasificar las gráficas escribir la relación que eiste entre ellas. f

11 06 CAPÍTULO Derivación En los ejercicios 7 a 8, utilizar la forma alterna para calcular la erivaa en c (si eiste). 7. f 5, c h 7, c 7 8. En los ejercicios 8 a 88, escribir los valores para los que ƒ es erivable. 8. f f f 88. Análisis gráfico En los ejercicios 89 a 9, utilizar una herramienta e graficación para encontrar los valores e en los que ƒ es erivable. 89. f f, c f 6, c g, c 0 f, c 5 f 6, c 6 g, c 6 f 5 6 f,, > g, c f 6, c 6 f f f,, f 5 0 > 0 En los ejercicios 9 a 96, calcular las erivaas laterales en (si eisten). Es erivable la función en? 9. f f,, > 96. En los ejercicios 97 98, eterminar si la función es erivable en. 97. f, 98., > f f,, f,, > 99. Razonamiento gráfico Una recta e peniente m pasa por el punto (0, ) tiene ecuación m. a) Escribir la istancia que ha entre la recta el punto (, ) como función e m. b) Utilizar una herramienta e graficación para representar la función el apartao a). Basánonos en la gráfica, es esa función erivable para too valor e m? Si no es así, especificar en óne no lo es. 00. Conjetura Tomano en cuenta las funciones ƒ() g() : a) Dibujar la gráfica ƒ ƒ sobre el mismo conjunto e ejes. b) Dibujar la gráfica g g sobre el mismo conjunto e ejes. c) Ientificar un patrón entre ƒ g sus respectivas erivaas. Utilizarlo para hacer conjeturas respecto a h() si h() n, one n es un número entero maor o igual n. ) Encontrar ƒ() si ƒ(). Comparar el resultao con la conjetura el apartao c). Esto comprueba la conjetura? Eplicar la respuesta. Veraero o falso? En los ejercicios 0 a 0, eterminar si la afirmación es veraera o falsa. Para las que sean falsas, eplicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo emuestre. 0. La peniente e la recta tangente a una función erivable ƒ en el punto (, ƒ()) es f f. 0. Si una función es continua en un punto, entonces es erivable en él. 0. Si una función tiene erivaas laterales por la erecha por la izquiera en un punto, entonces es erivable en él. 0. Si una función es erivable en un punto, entonces es continua en él. 05. Sean g sen f sen, 0, 0, 0 0, < 0. 0 Demostrar que ƒ es continua, pero no erivable, en 0. Demostrar que g es erivable en 0 calcular g(0). 06. Reacción Utilizar una herramienta e graficación para representar las funciones ƒ() g() en la misma ventana. Utilizar las funciones zoom trace para analizarlas cerca el punto (0, ). Qué se observa? Cuál función es erivable en ese punto? Escribir un pequeño párrafo escribieno el significao geométrico e la erivabilia en un punto.

12 SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 07. Reglas básicas e erivación razón e cambio Encontrar la erivaa e una función por la regla e la constante. Encontrar la erivaa e una función por la regla e la potencia. Encontrar la erivaa e una función por la regla el múltiplo constante. Encontrar la erivaa e una función por las reglas e suma iferencia. Encontrar la erivaa e las funciones seno coseno. Usar erivaas para calcular razón e cambio. La peniente e una recta horizontal es 0 La regla e la constante En la sección. se usó la efinición por meio e límites para calcular las erivaas. Ésta las os próimas secciones presentan varias reglas e erivación que permiten calcular las erivaas sin el uso irecto e la efinición por límites. La erivaa e una función constante es 0 f() c Se observa que la regla e la constante equivale a ecir que la peniente e una recta horizontal es 0. Esto emuestra la relación que eiste entre erivaa peniente Figura. TEOREMA. LA REGLA DE LA CONSTANTE La erivaa e una función constante es 0. Es ecir, si c es un número real, entonces c 0. (Ver la figura.) DEMOSTRACIÓN Sea ƒ() c. Entonces, por la efinición e erivaa meiante el proceso e límite, se euce que c f lím 0 c c lím 0 lím f f EJEMPLO Aplicación e la regla e la constante a) b) c) ) Función 7 f 0 st Derivaa 0 f 0 st 0 k,k es constante 0 EXPLORACIÓN Conjetura Utilizar la efinición e erivaa e la sección. para encontrar la erivaa e las siguientes funciones. Qué patrones se observan? Utilizar los resultaos para elaborar una conjetura acerca e la erivaa e ƒ() n. a) ƒ() b) ƒ() c) ƒ() ) ƒ() e) ƒ() ƒ) ƒ()

13 08 CAPÍTULO Derivación La regla e la potencia Antes e emostrar la próima regla, revisar el proceso e esarrollo e un binomio. El esarrollo general el binomio para un entero positivo n cualquiera es n n n n nn n... n. () es un factor común en estos términos. Este esarrollo el binomio se va a utilizar para emostrar un caso especial e la regla e la potencia. TEOREMA. LA REGLA DE LA POTENCIA NOTA Del ejemplo 7 e la sección., se encontró que la función f() está efinia en 0 pero no es erivable en 0. Esto se ebe a que no está efinia sobre un intervalo que contiene al cero. Si n es un número racional, entonces la función ƒ() n es erivable n n n. Para que ƒ sea erivable en 0, n ebe ser un número tal que n se encuentre efinio en un intervalo que contenga al 0. DEMOSTRACIÓN Si n es un entero positivo maor que, entonces el esarrollo el binomio resulta n lím n n 0 nn n n n n lím 0 lím 0 n n n n n n.... n n nn n... n Esto emuestra el caso en que n es un entero positivo maor que. Se eja al lector la emostración el caso n. En el ejemplo 7 e la sección. se emuestra el caso para el que n es un entero negativo. En el ejercicio 76 e la sección.5 se emuestra el caso en el cual n es racional (en la sección 5.5 la regla e la potencia se etenerá hasta abarcar los valores irracionales e n). Al utilizar la regla e la potencia, resulta conveniente separar el caso para el que n como otra regla istinta e erivación, a saber La peniente e la recta es Figura.5. Regla e las potencias para n. Esta regla es congruente con el hecho e que la peniente e la recta es, como se muestra en la figura.5.

14 SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 09 EJEMPLO Aplicación e la regla e la potencia a) b) c) Función f g Derivaa f) g Observar que en el ejemplo c, antes e erivar se ha reescrito l como. En muchos problemas e erivación, el primer paso consiste en reescribir la función. f() Daa: Reescribir: Derivar: Simplificar EJEMPLO Peniente e una gráfica (, ) (, ) Calcular la peniente e la gráfica e ƒ() cuano a) b) 0 c). (0, 0) Observar que la peniente es negativa en el punto (, ), cero en el (0, 0) positiva en el (, ) Figura.6 Solución La peniente e una gráfica en un punto es igual a la erivaa en icho punto. La erivaa e ƒ es ƒ(). a) Para, la peniente es ƒ() (). La peniente es negativa. b) Para 0, la peniente es ƒ(0) (0) 0. La peniente es 0. c) Para, la peniente es ƒ() (). La peniente es positiva. Ver la figura.6. EJEMPLO Ecuación e una recta tangente (, ) f() Encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ() cuano. Solución Para encontrar el punto sobre la gráfica e ƒ, evaluar la función en. (, ƒ()) (, ) Punto e la gráfica. Para calcular la peniente e la gráfica en, evaluar la erivaa, ƒ(), en. m ƒ() Peniente e la gráfica en (, ). La recta tangente es tangente a la gráfica e ƒ() en el punto (, ) Figura.7 Ahora, utilizano la forma punto-peniente e la ecuación e una recta, escribir m. Ver la figura.7. Forma punto-peniente. Sustituir, m. Simplificar.

15 0 CAPÍTULO Derivación La regla el múltiplo constante TEOREMA. LA REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE Si ƒ es una función erivable c un número real, entonces cƒ también es erivable cf cf. DEMOSTRACIÓN cf lím 0 lím 0 c c lím 0 cf cf cf f f f f Definición e erivaa. Aplicar teorema.. De manera informal, esta regla establece que las constantes se pueen etraer e la erivaa, incluso cuano aparecen en un enominaor. cf c f cf f c c f c f c f EJEMPLO 5 Aplicación e la regla el múltiplo constante a) b) c) ) e) Función t ft 5 Derivaa ft t 5 t 5 t t 5 t 8 5 t 5 5 La regla el múltiplo constante la e la potencia se pueen combinar en una sola. La regla resultante es cn cn n.

16 SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio EJEMPLO 6 Uso e paréntesis al erivar Función original Reescribir Derivar Simplificar a) b) c) ) Las reglas e suma iferencia TEOREMA.5 LAS REGLAS DE SUMA Y DIFERENCIA La erivaa e la suma (o e la iferencia) e os funciones erivables ƒ g es erivable en sí. Aemás, la erivaa e ƒ g (o ƒ g) es igual a la suma (o iferencia) e las erivaas e ƒ g. f g f g f g f g Regla e la suma. Regla e la iferencia. DEMOSTRACIÓN Una emostración e la regla e la suma se sigue el teorema. (la e la iferencia se emuestra e manera análoga). f g f g f g lím 0 lím 0 lím 0 f g f g f g f f lím 0 f f g g lím 0 g g Las reglas e suma iferencia pueen ampliarse en cualquier número finito e funciones. Por ejemplo, si F() f() g() h(), entonces F() ƒ() g() h(). EJEMPLO 7 Aplicación e las reglas e suma iferencia a) b) Función f 5 g Derivaa f g 9

17 CAPÍTULO Derivación PARA MAYOR INFORMACIÓN El esbozo e una emostración geométrica e las erivaas e las funciones seno coseno puee consultarse en el artículo The Spier s Spacewalk Derivation of sin an cos e Tim Hesterberg en The College Mathematics Journal. Derivaas e las funciones seno coseno En la sección. se vieron los límites siguientes: sen lím 0 cos lím 0 0 Estos os límites pueen utilizarse para emostrar las reglas e erivación e las funciones seno coseno (las erivaas e las emás funciones trigonométricas se analizan en la sección.). TEOREMA.6 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO sen cos cos sen creciente positiva 0 0 ecreciente creciente negativa sen positiva cos La erivaa e la función seno es la función coseno Figura.8 DEMOSTRACIÓN sen sen sen lím 0 lím 0 cos sen sen cos lím 0 lím 0 cos sen sen cos cos lím 0 cos sen 0 cos sen cos cos sen sen sen sen lím 0 Definición e erivaa. cos Esta regla e erivación se ilustra en la figura.8. Observar que para caa, la peniente e la curva seno es igual al valor el coseno. La emostración e la seguna regla se eja como ejercicio (ver el ejercicio 0). EJEMPLO 8 Derivaas que contienen senos cosenos = sen = sen a) b) c) Función sen sen sen cos Derivaa cos cos cos sen = sen Figura.9 = sen a sen a cos TECNOLOGÍA Una herramienta e graficación permite visualizar la interpretación e una erivaa. Por ejemplo, en la figura.9 se muestran las gráficas e a sen para a,,. Estimar la peniente e caa gráfica en el punto (0, 0). Después verificar los cálculos e manera analítica meiante el cálculo e la erivaa e caa función cuano 0.

18 SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio Razón e cambio Ya se ha visto que la erivaa se utiliza para calcular penientes. Pero también sirve para eterminar la razón e cambio e una variable respecto a otra, lo que le confiere utilia en una amplia variea e situaciones. Algunos ejemplos son las tasas e crecimiento e poblaciones, las tasas e proucción, las tasas e flujo e un líquio, la velocia la aceleración. Un uso frecuente e la razón e cambio consiste en escribir el movimiento e un objeto que va en línea recta. En tales problemas, la recta el movimiento se suele representar en posición horizontal o vertical, con un origen marcao en ella. Sobre tales rectas, el movimiento hacia la erecha (o hacia arriba) se consiera e irección positiva el movimiento hacia la izquiera (o hacia abajo) e irección negativa. La función s que representa la posición (respecto al origen) e un objeto como función el tiempo t se enomina función e posición. Si urante cierto lapso e tiempo t el objeto cambia su posición en una cantia s s(t t) s(t), entonces, empleano la consabia fórmula: istancia Razón tiempo la velocia meia es Cambio en istancia Cambio en tiempo s. Velocia meia. t EJEMPLO 9 Velocia meia e un objeto en su caía Si se eja caer una bola e billar ese una altura e 00 pies, su altura s en el instante t se representa meiante la función posición s 6t 00 Función posición. one s se mie en pies t en segunos. Encontrar su velocia meia para caa uno e estos intervalos. a) [, ] b) [,.5] c) [,.] Solución a) En el intervalo [, ], el objeto cae ese una altura e s(l) 6() 00 8 pies hasta una altura e s() 6() 00 6 pies. La velocia meia es Richar MegnaFunamental Photographs Eposición fotográfica e larga uración e una bola e billar en caía libre. s pies por seguno. t b) En el intervalo [,.5] el objeto cae ese una altura e 8 pies hasta una altura e 6 pies. La velocia meia es s pies por seguno. t c) En el intervalo [,.] el objeto cae ese una altura e 8 pies hasta una altura e 80.6 pies. La velocia meia es s pies por seguno. t. 0. Observar que las velociaes meias son negativas, lo que refleja el hecho e que el objeto se mueve hacia abajo.

19 CAPÍTULO Derivación s P Recta secante Recta tangente Supongamos que en el ejemplo anterior se quisiera encontrar la velocia instantánea (o simplemente e la velocia) el objeto cuano t. Al igual que la peniente e la recta tangente puee aproimarse utilizano las penientes e rectas secantes, se puee aproimar la velocia en t por meio e las velociaes meias urante un pequeño intervalo [, t] (ver la figura.0). Se obtiene icha velocia calculano el límite cuano t tiene a cero. Al intentar hacerlo se puee comprobar que la velocia cuano t es e pies por seguno. En general, si s s(t) es la función posición e un objeto en movimiento rectilíneo, su velocia en el instante t es t t La velocia meia entre t t es igual a la peniente e la recta secante. La velocia instantánea en t es igual a la peniente e la recta tangente Figura.0 t st t st vt lím st. Función velocia. t0 t En otras palabras, la función velocia es la erivaa e la función posición. La velocia puee ser positiva, cero o negativa. La rapiez e un objeto se efine como el valor absoluto e su velocia, nunca es negativa. La posición e un objeto en caía libre (espreciano la resistencia el aire) bajo la influencia e la gravea se obtiene meiante la ecuación st gt v 0 t s 0 Función posición. one s 0 es la altura inicial el objeto, v 0 la velocia inicial g la aceleración e la gravea. En la Tierra, el valor e g es e aproimaamente pies. EJEMPLO 0 Aplicación e la erivaa para calcular la velocia En el instante t 0, un clavaista se lanza ese un trampolín que está a pies sobre el nivel el agua e la piscina (ver la figura.). La posición el clavaista está aa por pies s(t) l6t 6t one s se mie en pies t en segunos. a) Cuánto tara el clavaista en llegar al agua? b) Cuál es su velocia al momento el impacto? Solución Función posición. La velocia es positiva cuano un objeto se eleva, negativa cuano esciene. Se observa que el clavaista se mueve hacia arriba urante la primera mita e seguno, porque la velocia es positiva para 0 t. Cuano la velocia es e 0, el clavaista ha alcanzao la altura máima el salto Figura. a) Para eterminar el momento en que toca el agua hacemos s 0 espejamos t. 6t 6t 0 6t t 0 t o Igualar a cero la función posición. Factorizar. Despejar t. Como t 0, hemos e seleccionar el valor positivo, así que el clavaista llega al agua en t segunos. b) Su velocia en el instante t está aa por la erivaa s(t) t 6. En consecuencia, su velocia en t es s() () 6 8 pies por seguno.

20 SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 5. Ejercicios En los ejercicios, utilizar la gráfica para estimar la peniente e la recta tangente a n en el punto (, ). Verificar la respuesta e manera analítica.. a) b). a) b) (, ) En los ejercicios a, usar las reglas e erivabilia para calcular la erivaa e la función f f.. f t t t 6. t t 5. g st t 5t t 8 8. (, ) sen cos. cos.. sen. En los ejercicios 5 a 0, completar la tabla. f g (, ) (, ) g f gt cos t 7 sen 5 cos En los ejercicios a 8, encontrar la peniente e la gráfica e la función en el punto inicao. Utilizar la función erivative e una herramienta e graficación para verificar los resultaos Función original Función f 8 0 f 5 f sen gt cos t 5 Reescribir En los ejercicios 9 a 5, encontrar la erivaa e caa función. 9. f gt t. t. f. 5. f f hs s 5 s f 6 5 cos 5. Derivar ft 5t 5, f 7 5 0, Punto,, 0, 5, 0 0, 0, 7 f Simplificar f f 6 h 6 5 f 5 f t t t f cos En los ejercicios 55 a 58, a) encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ en el punto inicao, b) utilizar una herramienta e graficación para representar la función su recta tangente en el punto, c) verificar los resultaos empleano la función erivative e su herramienta e graficación Función original Reescribir Derivar Simplificar Función f Punto, 0,,, 6

21 6 CAPÍTULO Derivación En los ejercicios 59 a 6, eterminar los puntos (si los ha) one la gráfica e la función tiene una recta tangente horizontal sen, cos, 0 < 0 < En los ejercicios 65 a 70, encontrar una k tal que la recta sea tangente a la gráfica e la función. Desarrollo e conceptos (continuación) En los ejercicios 75 76, se muestran las gráficas e la función ƒ e su erivaa ƒ en el mismo plano cartesiano. Clasificar las gráficas como f o ƒ eplicar en un breve párrafo los criterios empleaos para hacer tal selección Función f k f k Recta f k 5 f k 6 f() k f k 77. Construir las gráficas e las ecuaciones 6 5, así como las os rectas que son tangentes a ambas gráficas. Encontrar las ecuaciones e ichas rectas. 78. Demostrar que las gráficas e l tienen rectas tangentes perpeniculares entre sí en su punto e intersección. 79. Demostrar que la gráfica e la función 7. Bosquejar la gráfica e una función ƒ tal que ƒ 0 para toas las cua razón e cambio e la función sea ecreciente. Para iscusión 7. Utilizar la gráfica para responer a las siguientes preguntas. A B C a) Entre qué par e puntos consecutivos es maor la razón e cambio promeio e la función? b) La razón e cambio promeio e ƒ entre A B es maor o menor que la razón e cambio instantáneo en B? c) Trazar una recta tangente a la gráfica entre los puntos C D cua peniente sea igual a la razón e cambio promeio e la función entre C D. Desarrollo e conceptos D En los ejercicios 7 7 se muestra la relación que eiste entre ƒ g. Eplicar la relación entre ƒ g. 7. g() ƒ() 6 7. g() 5 ƒ() E f f sen no tiene ninguna recta tangente horizontal. 80. Demostrar que la gráfica e la función f 5 5 no tiene una recta tangente con peniente e. En los ejercicios 8 8, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función ƒ que pasa por el punto ( 0, 0 ), no perteneciente a la gráfica. Para eterminar el punto e tangencia (, ) en la gráfica e ƒ, resolver la ecuación f f 8. 0, 0, 0 8. Aproimación lineal En una ventana cuaraa e la herramienta e graficación, aplicar el zoom para aproimar la gráfica e f a fin e estimar ƒ(). Calcular ƒ() por erivación. 8. Aproimación lineal En una ventana cuaraa e la herramienta e graficación, aplicar el zoom para aproimar la gráfica e f f 0, 0 5, 0 a fin e estimar ƒ(). Calcular ƒ() por erivación.

22 SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio Aproimación lineal Tomano en cuenta la función ƒ() con el punto e solución (, 8): a) Utilizar una herramienta e graficación para representar ƒ. Usar el zoom para ampliar el entorno el punto (, 8). Tras varias ampliaciones, la gráfica aparecerá casi lineal. Utilizar la función trace para eterminar las coorenaas e un punto e la gráfica próimo al (, 8). Encontrar la ecuación e la secante S() que une esos os puntos. b) Encontrar la ecuación e la recta T() ƒ()( ) ƒ() tangente a la gráfica e f que pasa por el punto ao. Por qué las funciones lineales S T son casi iguales? c) Representar ƒ T en la misma ventana e la herramienta e graficación. Observar que T es una buena aproimación e ƒ cuano es cercano a. Qué ocurre con la precisión e esta aproimación a meia que el punto e tangencia se aleja? ) Demostrar la conclusión obtenia en el apartao c) completano la tabla. 86. Aproimación lineal Repetir el ejercicio 85 empleano ahora la función ƒ(), one T() es la recta tangente en el punto (, ). Eplicar por qué la precisión e la aproimación lineal isminue más rápio que en el ejercicio anterior. Veraero o falso? En los ejercicios 87 a 9, eterminar si la afirmación es veraera o falsa. Si es falsa, eplicar por qué o proporcionar un ejemplo que emuestre que lo es f T f T Si f g, entonces f g. Si f g c, entonces f g. Si, entonces. Si, entonces. Si g f, entonces g f. Si f n, entonces f n n. En los ejercicios 9 a 96, calcular la razón e cambio promeio e la función en el intervalo ao. Compararlo con las razones e cambio instantáneas en los etremos el intervalo. 9. f t t 5,, f,, 96. f t t 7, f sen,,. 0, 6 Movimiento vertical En los ejercicios 97 98, utilizar la función e posición s(t) 6t v 0 t s 0 para objetos en caía libre. 97. Se eja caer una monea ese lo alto e un eificio que tiene una altura e 6 pies. a) Determinar las funciones que escriben la posición la velocia e la monea. b) Calcular su velocia promeio en el intervalo [, ]. c) Encontrar las velociaes instantáneas cuano t t. ) Calcular el tiempo que tara en llegar al suelo. e) Determinar su velocia al caer en el suelo. 98. Dese una altura e 0 pies, se lanza hacia abajo una bola con una velocia inicial e piess. Cuál es su velocia tras segunos? Y luego e escener 08 pies? Movimiento vertical En los ejercicios 99 00, utilizar la función posición s(t).9t v 0 t s 0 para objetos en caía libre. 99. Se lanza un proectil hacia arriba ese la superficie terrestre con una velocia inicial e 0 ms. Cuál es su velocia a los 5 segunos? Y a los 0? 00. Con el fin e estimar la altura e un eificio, se eja caer una piera ese su parte más alta en el agua e una piscina que se encuentra al nivel el suelo. Cuál es la altura el eificio, si el chapoteo se observa 5.6 segunos espués e soltar la piera? Para pensar En los ejercicios 0 0 se muestra la gráfica e una función posición, que representa la istancia recorria en millas por una persona que conuce urante 0 minutos para llegar a su trabajo. Elaborar un boceto e la función velocia corresponiente Distancia (en millas) s (, ) (0, 6) (6, ) (0, 0) Tiempo (en minutos) Para pensar En los ejercicios 0 0 se muestra la gráfica e una función velocia, que representa la velocia, en millas por hora, e una persona que conuce urante 0 minutos para llegar a su trabajo. Elaborar un boceto e la función posición corresponiente v Velocia (en millas por hora) Tiempo (en minutos) t t Distancia (en millas) Velocia (en millas por hora) s (0, 6) (6, 5) (8, 5) (0, 0) Tiempo (en minutos) v Tiempo (en minutos) t t

23 8 CAPÍTULO Derivación 05. Moelao matemático La istancia e frenao e un automóvil que viaja a una velocia v (kilómetros por hora), es la istancia R (metros) que recorre urante el tiempo e reacción el conuctor más la istancia B (metros) que recorre una vez aplicaos los frenos (ver la figura). La tabla muestra los resultaos e un eperimento al respecto. El conuctor observa el obstáculo Tiempo e reacción R Aplica el freno Distancia e frenao El automóvil se etiene Velocia, v Distancia urante el tiempo e reacción, R Distancia urante el tiempo e frenao, B a) Utilizar las funciones e regresión e una herramienta e graficación para obtener un moelo lineal para el tiempo e reacción. b) Utilizar las funciones e regresión e una herramienta e graficación para obtener un moelo cuarático para la istancia aplicano los frenos. c) Encontrar el polinomio que epresa la istancia total T recorria hasta que el vehículo se etiene por completo. ) Utilizar una herramienta e graficación para representar las funciones R, B T en una misma ventana. e) Calcular la erivaa e T el ritmo e cambio e la istancia total e frenao para v 0, v 80 v 00. ƒ) A partir e los resultaos e este ejercicio, elaborar conclusiones acerca el comportamiento e la istancia total e frenao a meia que se aumenta la velocia. 06. Costo el combustible Un automóvil viaja millas al año recorre millas por galón. Suponieno que el costo promeio el combustible es $.76 por galón, calcular el costo anual C el combustible consumio como función e utilizar esta función para completar la tabla C C/ Quién se beneficiaría más con el aumento en milla por galón en la eficiencia el vehículo: un conuctor que obtiene 5 millas por galón o uno que obtiene 5 millas por galón? Eplicar la respuesta. 07. Volumen El volumen e un cubo con lao s es V s. Calcular el ritmo e cambio el volumen respecto a s cuano s 6 centímetros. 08. Área El área e un cuarao con laos s es A s. Encontrar la razón e cambio el área respecto a s cuano s 6 metros. B Velocia Verificar que la velocia meia en el intervalo [t 0 t, t 0 t] es la misma que la velocia instantánea en t t 0 para la función posición 0. Gestión e inventario El costo anual e inventario C e un fabricante es one Q es el tamaño el peio cuano se reponen eistencias. Calcular el cambio el costo anual cuano Q crece e 50 a 5 compararlo con la razón e cambio instantáneo para Q 50.. Reacción La ecuación N ƒ(p) representa el número e galones N e gasolina normal sin plomo que vene una gasolinería a un precio e p ólares por galón. a) Describir el significao e ƒ(.979). b) ƒ(.979) suele resultar positiva o negativa? Eplicar la respuesta.. Le el enfriamiento e Newton Esta le establece que la razón e cambio o velocia e la temperatura e un cuerpo es proporcional a la iferencia entre su temperatura T la temperatura ambiente T a. Elaborar una ecuación para esta le.. Encontrar la ecuación e la parábola a b c que pasa por el punto (0, ) es tangente a la recta en el punto (, 0).. Sea (a, b) un punto cualquiera e la gráfica e l, 0. Demostrar que el área el triángulo formao por la recta tangente que pasa por (a, b) los ejes coorenaos es. 5. Encontrar la recta o rectas tangentes a la curva 9 en el punto (, 9). 6. Encontrar la ecuación e la recta o rectas tangentes a la parábola en el punto ao. a) (0, a) b) (a, 0) Eiste alguna restricción para la constante a? En los ejercicios 7 8, encontrar a b tales que ƒ sea erivable en toos los puntos st at c. C Q f a, b, f cos, a b, 6.Q > < Dóne son erivables las funciones ƒ () sen ƒ () sen? 0. Demostrar que cos sen. PARA MAYOR INFORMACIÓN En el artículo Sines an Cosines of the Times, e Victor J. Katz, publicao en Math Horizons, encontrará una interpretación geométrica e las erivaas e las funciones trigonométricas.

24 SECCIÓN. Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 9. Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar la erivaa e una función por la regla el cociente. Encontrar las erivaas e las funciones trigonométricas. Encontrar las erivaas e oren superior e una función. La regla el proucto En la sección. se vio que la erivaa e una suma e os funciones es simplemente la suma e sus erivaas. La regla para erivar el proucto e os funciones no es tan simple. TEOREMA.7 LA REGLA DEL PRODUCTO NOTA Algunas personas prefieren la siguiente versión e la regla el proucto fg fg fg. La ventaja e esta forma raica en que se puee generalizar con facilia a multiplicaciones con tres o más factores. El proucto e os funciones erivables ƒ g también es erivable. Aemás, su erivaa es igual a la primera función por la erivaa e la seguna más la erivaa e la primera por la seguna. fg fg gf DEMOSTRACIÓN Algunas emostraciones matemáticas, como en el caso e la regla e la suma, son irectas. Otras requieren pasos inteligentes cuo motivo puee resultar imperceptible para el lector. Esta emostración presenta uno e esos pasos, sumar restar una misma cantia, la cual se muestra en istinto color. f g fg fg lím 0 lím 0 g lím 0 f g lím 0 f g f g f g fg g lím f g g 0 g g f f f lím lím g lím fg gf f f f f lím g 0 Observar que lím f f porque se consiera que ƒ es erivable, por tanto, 0 continua. La regla el proucto es etensiva a multiplicaciones con más e os factores. Por ejemplo, si ƒ, g h son funciones erivables e, entonces fgh fgh fgh fgh. NOTA La prueba e la regla el proucto para prouctos e más e os factores se eja al lector como ejercicio (ver el ejercicio ). Por ejemplo, la erivaa e sen cos es sen cos cos cos sen sen sen cos cos sen.

25 0 CAPÍTULO Derivación LA REGLA DEL PRODUCTO Cuano Leibniz elaboró originalmente una fórmula para la regla el proucto, lo hizo motivao por la epresión e la cual restó (consieránolos espreciables) calculano la forma iferencial. Esta erivación tuvo como resultao la forma traicional e la regla el proucto. (Fuente: The Histor of Mathematics e Davi M. Burton) En términos generales, la erivaa el proucto e os funciones no está aa por el proucto e sus erivaas. Para observarlo basta con comparar el proucto e las erivaas e ƒ() g() 5 con la erivaa obtenia en el ejemplo. EJEMPLO Aplicación e la regla el proucto Encontrar la erivaa e h() ( )(5 ). Solución Primera Derivaa e la seguna Seguna Derivaa e la primera h 5 5 Aplicar la regla el proucto En el ejemplo se cuenta con la opción e calcular la erivaa con o sin la regla el proucto. Sin ella se escribiría D 5 D En el siguiente ejemplo, se ebe utilizar la regla el proucto. EJEMPLO Aplicación e la regla el proucto Encontrar la erivaa e sen. Solución sen sen sen cos sen 6 cos 6 sen cos sen Aplicar la regla el proucto. EJEMPLO Aplicación e la regla el proucto Encontrar la erivaa e cos sen. Solución Regla el proucto Regla el múltiplo constante NOTA Observar que en el ejemplo se usa la regla el proucto cuano ambos factores son variables, la el múltiplo constante cuano uno e ellos es constante. cos cos sen sen cos cos sen

26 SECCIÓN. Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior La regla el cociente TEOREMA.8 LA REGLA DEL COCIENTE El cociente ƒg e os funciones erivables ƒ g también es erivable para toos los valores e para los que g() 0. Aemás, la erivaa e ƒg se obtiene meiante el enominaor por la erivaa el numeraor menos el numeraor por la erivaa el enominaor, too iviio entre el cuarao el enominaor. g f gf fg, g g 0 DEMOSTRACIÓN Al igual que en la emostración el teorema.7, la clave raica en sumar restar una misma cantia. TECNOLOGÍA En una herramienta e graficación se pueen comparar las gráficas e una función e su erivaa. Por ejemplo, en la figura., la gráfica e la función el ejemplo parece incluir os puntos con rectas tangentes horizontales. Cuáles son los valores e en ichos puntos? 5 5 ( ) 6 g f lím 0 gf fg lím 0 gg gf fg fg fg lím 0 gg g f f fg g lím lím 0 0 g lím 0 f g gf fg g f g lím 0 f lím 0 f f gg lím 0 gg g g Definición e erivaa. Observar que lím 0 g( ) g() porque se consiera que g es erivable por tanto es continua. EJEMPLO Aplicación e la regla el cociente Encontrar la erivaa e Solución Comparación gráfica e una función su erivaa Figura Aplicar la regla el cociente.

27 CAPÍTULO Derivación Observar el uso e los paréntesis en el ejemplo. Es recomenable utilizar paréntesis en toos los problemas e erivación. Por ejemplo, cuano se usa la regla el cociente, es conveniente encerrar too factor erivaa en un paréntesis prestar especial atención a la resta eigia en el numeraor. Al presentar las reglas e erivación en la sección preceente, se hizo hincapié en la necesia e reescribir antes e erivar. El ejemplo siguiente ilustra este aspecto en relación con la regla el cociente. f() = 5 La recta es tangente a la gráfica e ƒ() en el punto (, ) Figura (, ) 5 EJEMPLO 5 Reescribir antes e erivar Encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e Solución f Comenzar por reescribir la función f f Función original. 5 en,. Multiplicar por a numeraor enominaor, Reescribir. Regla el cociente. Simplificar. Con objeto e encontrar la peniente en (, ), evaluar ƒ(). f 0 Peniente e la gráfica en (, ). Luego, utilizano la forma punto-peniente e la ecuación e una recta, se puee eterminar que la ecuación e la recta tangente en ese punto es. Ver la figura.. No too cociente requiere ser erivao meiante la regla el cociente. Por ejemplo, caa uno e los cocientes el ejemplo siguiente se puee consierar como el proucto e una constante por una función e, e moo que es más sencillo aplicar la regla el múltiplo constante. EJEMPLO 6 Aplicación e la regla el múltiplo constante Función original Reescribir Derivar Simplificar NOTA Para istinguir la ventaja e la regla el múltiplo constante en ciertos cocientes, tratar e calcular las erivaas el ejemplo 6 meiante la regla el cociente. Se llegará al mismo resultao, pero con un esfuerzo mucho maor. a) b) c) )

28 SECCIÓN. Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior En la sección. se emostró la regla e la potencia sólo para eponentes n enteros maores que. En el ejemplo que sigue se amplía esa emostración a eponentes enteros negativos. EJEMPLO 7 Demostración e la regla e la potencia (eponentes enteros negativos) Si n es un entero negativo, eiste un entero positivo k tal que n k. Por tanto, usano la regla el cociente se puee escribir n k k 0 k k k 0 kk k k k n n. Regla el cociente regla e la potencia. n k. De tal moo, la regla e la potencia n n n Regla e la potencia. es vália para too entero. En el ejercicio 76 e la sección.5 se pie emostrar el caso en el que n es cualquier número racional. Derivaas e las funciones trigonométricas Conocias las erivaas e las funciones seno coseno, la regla el cociente permite establecer las e las cuatro funciones trigonométricas restantes. TEOREMA.9 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS tan sec sec sec tan cot csc csc csc cot DEMOSTRACIÓN Consierano tan (sen )(cos ) aplicano la regla el cociente, se obtiene cos cos sen sen tan cos cos sen cos cos sec. Aplicar la regla el cociente. La emostración e las otras tres partes el teorema se eja como ejercicio (ver el ejercicio 89).

29 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO 8 Derivación e funciones trigonométricas NOTA Debio a las ientiaes trigonométricas, la erivaa e una función trigonométrica puee aoptar iversas formas. Esto complica la comparación e las soluciones obtenias por el lector con las propuestas al final el libro. a) b) Función Derivaa tan sec sec sec tan sec sec tan EJEMPLO 9 Diferentes formas e una erivaa Derivar ambas formas e Solución Primera forma: Seguna forma: cos sen cos sen cos sen sen cos cos sen csc cot csc cot csc csc cot. sen sen cos cos sen Para emostrar que ambas erivaas son iénticas, basta escribir cos sen sen sen cos sen csc csc cot. El siguiente compenio muestra que gran parte el trabajo necesario para obtener la forma simplificaa e una erivaa se ebe hacer espués e erivar. Observar que os características e una forma simplificaa son la ausencia e eponentes negativos el agrupamiento e términos semejantes. Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 5 Ejemplo 9 f tras erivar 5 5 sen cos cos sen sen cos cos sen f tras simplificar sen cos sen

30 SECCIÓN. Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 5 Derivaas e oren superior Así como al erivar una función posición se obtiene una función velocia, al erivar esta última se obtiene una función aceleración. En otras palabras, la función aceleración es la seguna erivaa e la función posición. st vt st at vt st Función posición. Función velocia. Función aceleración. NOTA La seguna erivaa e ƒ es la erivaa e la primera erivaa e ƒ. La función aa por a(t) es la seguna erivaa e s(t) se enota como s(t). La seguna erivaa es un ejemplo e erivaa e oren superior. Se puee efinir erivaas e cualquier oren entero positivo. Por ejemplo, la tercera erivaa es la erivaa e la seguna erivaa. Las erivaas e oren superior se enotan como se muestra a continuación. Primera erivaa: Seguna erivaa: Tercera erivaa: Cuarta erivaa: n-ésima erivaa:,,,, n, f, f, f, f, f n,,,,, n n, f, f, f, f, n f, n D D D D D n EJEMPLO 0 Aceleración e la gravea Puesto que la Luna carece e atmósfera, un objeto que cae en ella no encuentra resistencia el aire. En 97, el astronauta Davi Scott verificó que una pluma e ave un martillo caen con la misma velocia. La función posición para caa uno e esos objetos es Seth ResnickGett Images LA LUNA La masa e la Luna es e kg la e la Tierra kg. El raio e la Luna es 77 km el e la Tierra 6 78 km. Puesto que la fuerza e gravea e un planeta es irectamente proporcional a su masa e inversamente proporcional al cuarao e su raio, la razón entre las fuerzas e gravea en la Luna en la Tierra es s(t) 0.8t one s(t) es la altura en metros t el tiempo en segunos. Cuál es la relación entre la fuerza e gravea e la Tierra respecto a la e la Luna? Solución Para calcular la aceleración, erivar os veces la función posición. st 0.8t st.6t st.6 Función posición. Función velocia. Función aceleración. De esta forma resulta que la aceleración e la gravea en la Luna es e.6 ms. Puesto que la aceleración e la gravea en la Tierra es e 9.8 ms, la fuerza e gravea e la Tierra respecto a la e la Luna es Fuerza e gravea en la Tierra Fuerza e gravea en la Luna

31 6 CAPÍTULO Derivación En los ejercicios a 6, utilizar la regla el proucto para erivar la función.. g.. ht t t. 5. f cos 6. En los ejercicios 7 a, utilizar la regla el cociente para erivar la función gt t f 5t 9. h 0. sen. g sin. En los ejercicios a 8, encontrar ƒ() ƒ(c) Función Valor e c En los ejercicios 9 a, completar la tabla sin usar la regla el cociente f cos f sen Función Reescribir Derivar Simplificar Ejercicios f 5 f f f En los ejercicios 5 a 8, encontrar la erivaa e la función algebraica. 5. f 6. f 6 5 gs ss 8 g sen sin s hs s f t cos t t c 0 c c c c c 6 f 5 El ícono CAS inica que un ejercicio ebe utilizarse con un sistema algebraico por computaora. CAS 7. f f 0.. hs s.. f f c c es una constante c, 8. f c c es una constante c, En los ejercicios 9 a 5 encontrar la erivaa e la función trigonométrica. 9. ft t sen t 0.. ft cos t t.. f tan. 5. gt t 6 csc t 6. sen cos 9. csc sen f tan sen cos 5. En los ejercicios 55 a 58, usar un programa e cálculo para erivar las funciones g 58. sen En los ejercicios 59 a 6, evaluar la erivaa e la función en el punto que se inica. Utilizar una herramienta e graficación para verificar su resultao f 5 f g 5 f Función ht sec t t csc csc f tan cot f sen sen cos Punto f f h g f cos f sen cot h sec sec sen cos f sen cos h 5 sec tan, f sen cos 6,,,

32 SECCIÓN. Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 7 En los ejercicios 6 a 68, a) encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e f en el punto que se inica, b) utilizar una herramienta e graficación para representar la función su recta tangente en ese punto, c) utilizar la función erivative para confirmar los resultaos f, f, 65. f 5, f,, 67. f tan, 68. f sec,,, Curvas famosas En los ejercicios 69 a 7, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica en el punto ao (las curvas e los ejercicios se conocen como Brujas e Agnesi. Las curvas e los ejercicios 7 7 e enominan serpentinas) f() = f() = (, 8 5) 8 En los ejercicios 7 a 76, eterminar el punto o los puntos one la gráfica tiene tangente horizontal. 7. f f 76. (, ) 8,, (, ) f f Rectas tangentes Encontrar las ecuaciones e las rectas tangentes a la gráfica e ƒ() paralelas a la recta 6. Después ibujar la gráfica e la función las rectas tangentes. 78. Rectas tangentes Encontrar las ecuaciones e las rectas tangentes a la gráfica e ƒ() que pasan por el punto (, 5). Después ibujar la gráfica e la función las rectas tangentes. f() = 6 f() = + 6, (, 5) En los ejercicios 79 80, verificar que ƒ() g(), eplicar la relación que eiste entre f g f f En los ejercicios 8 8, utilizar las gráficas e f g, sieno p f g q f g. 8. a) Encontrar p(). 8. a) Encontrar p(). b) Encontrar q() b) Encontrar q(7) 0 8 6, Área La longitu e un rectángulo está aa por 6t 5 su altura es t, one t es el tiempo en segunos las imensiones están en centímetros. Encontrar el ritmo e cambio el área respecto al tiempo. 8. Volumen El raio e un cilinro recto circular está ao por t su altura por t, one t es el tiempo en segunos las imensiones se encuentran en pulgaas. Encontrar el ritmo e cambio el volumen respecto al tiempo. 85. Reposición e inventario El costo C e peio transporte e los elementos utilizaos para la fabricación e un proucto es C , one C se mie en miles e ólares es el tamaño el peio, en cientos. Encontrar la razón e cambio e C respecto a cuano a) 0, b) 5 c) 0. Qué implican estas razones e cambio cuano el tamaño el peio aumenta? 86. Le e Bole Esta le establece que si la temperatura e un gas permanece constante, su presión es inversamente proporcional a su volumen. Utilizar la erivaa para emostrar que el ritmo e cambio e la presión es inversamente proporcional al cuarao el volumen. 87. Crecimiento emográfico Una población e 500 bacterias se introuce en un cultivo aumenta e número e acuero con la ecuación Pt 500 g sen, f g t 50 t 5 g sen one t se mie en horas. Calcular el ritmo e cambio al que está crecieno la población cuano t f g

33 8 CAPÍTULO Derivación 88. Fuerza gravitacional La le e la gravitación universal e Newton establece que la fuerza F que eiste entre os masas, m m, es F Gm m one G es una constante es la istancia entre ambas masas. Encontrar una ecuación que calcule el ritmo e cambio instantáneo e F respecto a (suponer que m m representan puntos móviles). 89. Demostrar las siguientes reglas e erivación. a) sec sec tan b) c) cot csc 90. Ritmo o velocia e cambio Determinar si eiste algún valor e en el intervalo [0, ) tal que los ritmos e cambio e f() sec e g() csc sean iguales. 9. Moelo matemático La siguiente tabla muestra las cantiaes q (en millones) e computaoras personales embarcaas en Estaos Unios los valores v (en miles e millones e ólares) e estos embarques urante los años 999 a 00. La t representa el año, t 9 correspone a 999. (Fuente: U.S. Census Bureau.) Año, t q a) Utilizar una herramienta e graficación para encontrar los moelos cúbicos para el número e computaoras personales embarcaas q(t) su valor v(t) corresponiente. b) Representar gráficamente caa uno e los moelos esarrollaos al responer el apartao a). c) Encontrar A v(t)q(t), para obtener la gráfica A. Qué representa esta función? ) Interpretar A(t) en el conteto e estos atos. 9. Satélites Cuano los satélites eploran la Tierra, sólo tienen alcance para una parte e su superficie. Algunos e ellos cuentan con sensores que pueen meir el ángulo que se muestra en la figura. Si h representa la istancia que ha entre el satélite la superficie e la Tierra r el raio e esta última: r csc csc cot v r h a) Demostrar que h r(csc ). b) Encontrar el ritmo al que cambia h respecto a cuano 0. (Suponer que r 960 millas.) En los ejercicios 9 a 00, encontrar la seguna erivaa e la función. 9. f 9. f f f f sen 00. En los ejercicios 0 a 0, encontrar la erivaa e oren superior que se inica. 0. f, f f, f 0. En los ejercicios 05 a 08, utilizar la información aa para encontrar f (). g() g() h() h() 05. f g h 06. f h Desarrollo e conceptos 09. Construir la gráfica e una función erivable f tal que f () 0, f 0 para f 0 para. Eplicar el razonamiento. 0. Construir la gráfica e una función erivable f tal que f 0 f 0 para toos los números reales. Eplicar el razonamiento. En los ejercicios se muestran las gráficas e f, f f sobre el mismo plano cartesiano. Cuál es cuál? Eplicar el razonamiento... En los ejercicios a 6 se muestra la gráfica e f. Construir las gráficas e f f... f f f f sec f, f, 07. f g h 08. f gh 8 f 8 f f 6

34 SECCIÓN. Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior f 7. Aceleración La velocia, en ms, e un objeto es v(t) 6 t, 0 t 6. Calcular su velocia su aceleración cuano t. Qué se puee ecir acerca e la rapiez el objeto cuano velocia aceleración tienen signos opuestos? 8. Aceleración La velocia e un automóvil que parte el reposo es vt 00t t 5 one v se mie en pies por seguno. Calcular su aceleración en a) 5 segunos, b) 0 segunos c) 0 segunos. 9. Distancia e frenao Al momento e aplicar los frenos, un vehículo viaja a 66 piess (5 millas por hora). La función posición el vehículo es s(t) 8.5t 66t, one s se mie en pies t en segunos. Utilizar esta función para completar la tabla encontrar la velocia meia urante caa intervalo. t 0 st vt at Para iscusión 0. Movimiento e una partícula En la figura se muestran las gráficas e las funciones posición, velocia aceleración e una partícula a) Copiar las gráficas e las funciones. Ientificar caa una e ellas. Eplicar el razonamiento. b) En la ilustración, ientificar cuáno aumenta isminue la velocia e la partícula. Eplicar el razonamiento. Búsquea e un patrón En los ejercicios, esarrollar una fórmula general para f (n) (), aa f().. f n. t f f. Búsquea e un patrón Consierano la función f() g() h(). a) Utilizar la regla el proucto para elaborar una regla general para encontrar f (), f () f () (). b) Empleano los resultaos el apartao a), confeccionar una regla general para f (n) ().. Búsquea e un patrón Desarrollar una fórmula general para [f ()] (n), one f es una función erivable e. En los ejercicios 5 6, encontrar las erivaas e la función f para n,,. Utilizar los resultaos para elaborar una regla general para f() en términos e n. 5. f n sen 6. Ecuaciones iferenciales En los ejercicios 7 a 0, verificar que la función satisfaga la ecuación iferencial Función, > sen cos sen Ecuación iferencial Veraero o falso? En los ejercicios a 6, eterminar si la afirmación es veraera o falsa. Si es falsa, eplicar por qué o proporcionar un ejemplo que emuestre que lo es.. Si f()g(), entonces f()g().. Si ( l)( )( )( ), entonces Si f (c) g(c) son cero h() f()g(), entonces h(c) 0.. Si f() es un polinomio e n-ésimo grao, entonces ƒ (n ) () La seguna erivaa representa la razón e cambio e la primera erivaa. 6. Si la velocia e un objeto es constante, entonces su aceleración es cero. 7. Encontrar un polinomio e seguno grao f() a b c tal que su gráfica tenga una recta tangente con peniente e 0 en el punto (, 7) una intersección en en (, 0). 8. Tomano en cuenta el siguiente polinomio e tercer grao: f() a b c, a 0. eterminar las coniciones e a, b, c, si la gráfica e f : a) no tiene tangentes horizontales, b) tiene eactamente una tangente horizontal, c) tiene eactamente os tangentes horizontales. Acompañar las respuestas con un ejemplo. 9. Calcular la erivaa e f(). Eiste f(0)? 0. Para pensar Sean f g funciones cuas respectivas primera seguna erivaas eisten entro el intervalo I. Cuál e las siguientes fórmulas es veraera? a) fg f g (fg f g) b) fg f g (fg) 0 f cos n 0. Utilizar la regla el proucto os veces para emostrar que si f, g h son funciones erivables e, entonces fgh fgh fgh fgh.

35 0 CAPÍTULO Derivación. La regla e la caena Encontrar la erivaa e una función compuesta por la regla e la caena. Encontrar la erivaa e una función por la regla general e la potencia. Simplificar la erivaa e una función por técnicas algebraicas. Aplicar la regla e la caena a funciones trigonométricas. La regla e la caena Ahora es tiempo e analizar una e las reglas e erivación más potentes: la regla e la caena. Ésta se aplica a las funciones compuestas añae versatilia a las reglas analizaas en las os secciones preceentes. Como ejemplo, comparar las funciones que se muestran a continuación; las e la izquiera se pueen erivar sin la regla e la caena, mientras que a las e la erecha conviene aplicarles icha regla. Sin la regla e la caena Con la regla e la caena sen sen 6 ( ) 5 tan tan En esencia, la regla e la caena establece que si cambia u veces más rápio que u, mientras que u cambia u veces más rápio que, entonces cambia (u)(u) veces más rápio que. EJEMPLO La erivaa e una función compuesta Ruea Eje Eje Ruea Ruea Eje : revoluciones por minuto Eje : u revoluciones por minuto Eje : revoluciones por minuto Figura. Ruea Eje Un juego e rueas entaas está construio, como muestra la figura., e forma que la seguna la tercera giran sobre un eje común. Cuano la primera gira, impulsa a la seguna ésta a su vez a la tercera. Sean, u los números e revoluciones por minuto el primero, seguno tercer ejes. Encontrar u, u, verificar que u u. Solución Puesto que la circunferencia el seguno engranaje es tres veces maor que la e la primera, el primer eje ebe ar tres vueltas para que el seguno complete una. Del mismo moo, el seguno eje ha e ar os vueltas para que el tercero complete una, por tanto, se ebe escribir u u. Combinano ambos resultaos, el primer eje ebe ar seis vueltas para hacer girar una vez al tercer eje. De tal manera: Razón e cambio el primer eje con respecto al seguno u 6 u Razón e cambio el seguno eje con respecto al tercero Razón e cambio el primer eje con respecto al tercero. En otras palabras, la razón e cambio e respecto a es igual al proucto e la razón e cambio e con respecto a u multiplicao por el e u con respecto a.

36 SECCIÓN. La regla e la caena EXPLORACIÓN Aplicación e la regla e la caena Caa una e las funciones que se encuentran a continuación se pueen erivar utilizano las reglas e erivación estuiaas en las secciones... Calcular la erivaa e caa función utilizano ichas reglas; luego encontrar la erivaa utilizano la regla e la caena. Comparar los resultaos. Cuál e los os métoos es más sencillo? a) b) ( ) c) sen El ejemplo ilustra un caso simple e la regla e la caena. Su enunciao general es el siguiente. TEOREMA.0 LA REGLA DE LA CADENA Si f(u) es una función erivable e u aemás u g() es una función erivable e, entonces f(g()) es una función erivable e u u o su equivalente f g fgg. DEMOSTRACIÓN Sea h() f(g()). Usano la forma alternativa e la erivaa, es necesario emostrar que, para c, h(c) f(g(c))g(c). Un aspecto importante en esta emostración es el comportamiento e g cuano tiene a c. Se presentan ificultaes cuano eisten valores e, istintos e c, tales que g() g(c). En el apénice A se eplica cómo utilizar la erivabilia e ƒ g para superar este problema. Por ahora, supóngase que g() g(c) para valores e istintos e c. En las emostraciones e las reglas el proucto el cociente se sumó restó una misma cantia. Ahora se recurrirá a un truco similar, multiplicar iviir por una misma cantia (istinta e cero). Observar que, como g es erivable, también es continua, por lo que g() g(c) cuano c. hc lím c f g f gc c f g f gc g gc lím c g gc c,g gc f g f gc lím c g gc lím c fgcgc g gc c Al aplicar la regla e la caena, es útil consierar que la función compuesta ƒ g está constituia por os partes: una interior otra eterior. Función eterior f g f u Función interior La erivaa e ƒ(u) es la erivaa e la función eterior (en la función interior u) multiplicaa por la erivaa e la función interior. fu u

37 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO Descomposición e una función compuesta ƒ(g()) u g() ƒ(u) a) u u b) sen u sen u c) u l u ) tan u tan u EJEMPLO Aplicación e la regla e la caena Encontrar para ( ). AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo también se puee resolver sin hacer uso e la regla e la caena, si se observa que 6, por tanto, Comprobar que esta erivaa es la misma que la el ejemplo. Qué métoo sería preferible para encontrar 50? Solución Para esta función, consierar que la función interior es u. Por meio e la regla e la caena, se obtiene 6. u u La regla general e la potencia La función el ejemplo es uno e los tipos más comunes e funciones compuestas, [u()] n. La regla para erivar tales funciones se llama regla general e la potencia, no es sino un caso particular e la regla e la caena. TEOREMA. LA REGLA GENERAL DE LA POTENCIA Si [u()] n, one u es una función erivable e n es un número racional, entonces u nun o su equivalente un nu n u. DEMOSTRACIÓN Puesto que u n, aplicar la regla e la caena para obtener u u u un u. Por meio e la regla (simple) e la potencia estuiaa en la sección., se tiene D u [u n ] nu n se sigue que u nun.

38 SECCIÓN. La regla e la caena EJEMPLO Aplicación e la regla general e la potencia Encontrar la erivaa e ƒ() ( ). Solución Sea u. Entonces f() ( ) u, meiante la regla general e la potencia, se euce que n u n u f. Aplicar la regla general e la potencia. Derivar. f() ( ) EJEMPLO 5 Derivación e funciones con raicales Encontrar los puntos e la gráfica e ƒ() ( ) en los que ƒ() 0 aquellos en los que ƒ() no eiste. Solución Reescribir e nuevo la función como ƒ() ( ). Aplicar ahora la regla general e las potencias (con u ); se obtiene n u n u f Aplicar la regla general e las potencias. f () La erivaa e ƒ es 0 en 0 no está efinia en l Figura.5. Epresar en forma raical. De tal manera, ƒ() 0 en 0 ƒ() no eiste en, como se muestra en la figura.5. EJEMPLO 6 Derivación e cocientes con numeraores constantes Derivar gt 7 t.. Solución Para empezar, reescribir la función como g(t) 7(t ). NOTA Derivar la función el ejemplo 6 usano la regla el cociente. El resultao será el mismo, pero el métoo es menos eficiente que la regla general e la potencia. Después, con la regla general e la potencia se tiene n u n gt 7t u Aplicar la regla general e la potencia. Regla el múltiplo constante 8t 8 t. Simplificar. Epresar con eponente positivo.

39 CAPÍTULO Derivación Simplificación e erivaas Los siguientes tres ejemplos ponen e manifiesto algunas técnicas para simplificar las erivaas e funciones que involucran prouctos, cocientes composiciones. EJEMPLO 7 Simplificación por factorización e la potencia mínima f f Función original. Reescribir. Regla el proucto. Regla general e la potencia. Simplificar. Factorizar. Simplificar. EJEMPLO 8 Simplificación e la erivaa e un cociente TECNOLOGÍA Las herramientas e graficación con erivación simbólica son capaces e erivar funciones mu complicaas. No obstante, suelen presentar el resultao en forma no simplificaa. Si se cuenta con una e ese tipo, usarla para calcular las erivaas e las funciones e los ejemplos 7, 8 9, comparar espués los resultaos. f f Función original. Reescribir. Regla el cociente. Factorizar. Simplificar. EJEMPLO 9 Simplificación e la erivaa e una potencia n u n u Función original Regla general e la potencia. Regla el cociente. Multiplicar. Simplificar.

40 SECCIÓN. La regla e la caena 5 Funciones trigonométricas la regla e la caena A continuación se muestran las versiones e la regla e la caena corresponientes a las erivaas e las funciones trigonométricas: sen u cos u u tan u sec u u sec u sec u tan u u cos u sen u u cot u csc uu csc u csc u cot u u EJEMPLO 0 Aplicación e la regla e la caena a funciones trigonométricas u cos u u a) b) c) sen cos tan cos sen sec cos cos Ha que asegurarse e entener los convenios matemáticos que afectan a paréntesis funciones trigonométricas. Así, en el ejemplo 0a, se escribe sen que significa sen (). EJEMPLO Paréntesis funciones trigonométricas a) b) c) ) e) cos cos sen 6 6 sen cos cos cos cos cos cos cos9 sen sen 9 cos cos cos sen cos sen cos sen sen cos Para calcular la erivaa e una función con la forma k() ƒ(g(h())) es necesario aplicar la regla e la caena os veces, como se ilustra en el ejemplo. EJEMPLO Aplicación reiteraa e la regla e la caena ft sen t sen t ft sen t sen t t sen t cos t t t sen t cos t sen t cos t Función original. Reescribir. Aplicar la regla e la caena por primera vez. Aplicar la regla e la caena por seguna vez. Simplificar.

41 6 CAPÍTULO Derivación Figura.6 f() = sen + cos (, ) EJEMPLO Recta tangente a una función trigonométrica Encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ() sen cos en el punto (, ), como se muestra en la figura.6. A continuación eterminar toos los valores e en el intervalo (0, ) en los que la gráfica e ƒ tienen una tangente horizontal. Solución Comenzar por encontrar ƒ(). f sen cos f cos sen cos sen Función original. Aplicar la regla e la caena a cos. Simplificar. Para encontrar la ecuación e la recta tangente en (, ), evaluar ƒ(). f cos sen Sustituir. Peniente e la gráfica en (, ). Ahora, utilizano la forma punto-peniente e la ecuación e la recta, escribir m. Forma punto-peniente. Sustituir, m. Ecuación e la recta tangente en (, ). AYUDA DE ESTUDIO Para aquirir maor práctica en la erivación, se eben aprener toas las reglas. Como aua para la memoria, observar que las cofunciones (coseno, cotangente cosecante) tienen un signo negativo en sus erivaas. Se puee eterminar que ƒ() 0 cuano,,. De tal moo, ƒ tiene una 6 6 tangente horizontal en 6,, 6,. 5 Esta sección conclue con un compenio e las reglas e erivación estuiaas hasta este momento. 5 Compenio e reglas e erivación Reglas generales e erivación Sean ƒ, g u funciones erivables e. Regla el múltiplo constante: cf cf Regla e la suma o e la iferencia: f ± g f ± g Derivaas e funciones algebraicas Derivaas e funciones trigonométricas Regla e la caena Regla el proucto: fg fg gf Regla e la constante: c 0 sen cos cos sen Regla e la caena: fu fu u Regla el cociente: g f gf fg g Regla simple e la potencia: n n n, tan sec cot csc Regla general e la potencia: un nu n u sec sec tan csc csc cot

42 SECCIÓN. La regla e la caena 7. Ejercicios CAS En los ejercicios a 6, completar la tabla fg tan csc sen 5 u g En los ejercicios 7 a 6, encontrar la erivaa e la función g 9 0. f t 9t. f t 5 t. g g f f t 0. t... f. f g f v v. v. f f 6. En los ejercicios 7 a, utilizar un sistema algebraico por computaora para encontrar la erivaa e la función. Utilizar el mismo mecanismo para representar gráficamente la función su erivaa en el mismo plano cartesiano. Describir el comportamiento e la función que correspone a cualquier cero e la gráfica e la erivaa cos. st fu t t 5 t gt t ht t t g g gt t g tan En los ejercicios, calcular la peniente e la recta tangente a la función seno en el origen. Comparar este valor con el número e ciclos completos en el intervalo [0, ]. Cuál es la conclusión respecto a la peniente e una función sen a en el origen?. a) b). a) b) En los ejercicios 5 a 66, encontrar la erivaa e la función. 5. cos 6. sen 7. g 5 tan 8. h sec 9. sen 50. cos 5. h sen cos 5. g sec tan 5. f cot 5. sen 55. sec f tan f sen f t sec t 6. 5 cos 6. sen 6. sen sen 65. sen(tan ) 66. cossintan sen En los ejercicios 67 a 7, evaluar la erivaa e la función en el punto inicao. Utilizar una herramienta e graficación para verificar los resultaos. Función Punto sen 5 cos sen st t 6t f 5 f t f t t f 6 sec, 5, 0, 5, sen gv cos v csc v gt 5 cos t g cos 8,,, 6 0, sen ht cot t

43 8 CAPÍTULO Derivación En los ejercicios 75 a 8, a) encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ en el punto que se inica, b) utilizar una herramienta e graficación para representar la función la recta tangente en ese punto c) verificar los resultaos empleano la función erivative e su herramienta e graficación Función f 7 f 5 f 9 f sen cos f tan tan Punto, 5,,,,0 En los ejercicios 8 a 86, a) utilizar una herramienta e graficación para encontrar la erivaa e la función el punto ao, b) encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función el punto ao c) utilizar la herramienta e graficación para representar la función su recta tangente en la misma ventana.,,, En los ejercicios 9 a 96, encontrar la seguna erivaa e la función. 9. f f f sen 96. En los ejercicios 97 a 00, evaluar la seguna erivaa e la función en el punto ao. Utilizar una herramienta e graficación para verificar los resultaos h 9, f, f cos, gt tan t, Desarrollo e conceptos 0, 6, 9 0, 6, f f f sec En los ejercicios 0 a 0, se muestran las gráficas e una función ƒ su erivaa ƒ. Clasificar las gráficas según corresponan a ƒ o ƒ escribir en un breve párrafo los criterios utilizaos para hacer la selección gt f, s t t t t, t t, t 9t,,, 8 0,, Curvas famosas En los ejercicios 87 88, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica el punto ao. Después utilizar una herramienta e graficación para ibujar la función su recta tangente en la misma ventana. 87. Semicírculo superior 88. Curva e bala 8 6 f() = 5 (, ) Recta tangente horizontal Determinar el o los puntos en el intervalo (0, ) en los que la gráfica e ƒ() cos sen tiene una tangente horizontal. 90. Recta tangente horizontal Determinar el o los puntos en los que la gráfica e f tiene una tangente horizontal. f() = (, ) En los ejercicios 05 06, se a la relación que eiste entre ƒ g. Eplicar la relación que eiste entre ƒ g. 05. g() f() 06. g() f( ) 07. Para pensar La tabla muestra algunos valores e la erivaa e una función esconocia f. Completar la tabla encontrano (si es posible) la erivaa e caa una e las siguientes transformaciones e f. a) b) c) ) g f h f r f s f

44 SECCIÓN. La regla e la caena 9 0 f g h r s Tabla para 07 Para iscusión 08. Dao que g(5), g(5) 6, h(5) h(5), encontrar f (5) (si es posible) para caa una e las siguientes funciones. Si no es posible, establecer la información aicional que se requiere. a) f gh b) c) f g ) h En los ejercicios 09 0 se muestran las gráficas e f g. Sea h() ƒ(g()) s() g(ƒ()). Calcular las erivaas, si es que eisten. Si las erivaas no eisten, eplicar por qué. 09. a) Encontrar h() 0. a) Encontrar h() b) Encontrar s(5) b) Encontrar s(9) Efecto Doppler La frecuencia F e la sirena e un carro e bomberos oía por un observaor en reposo está aa por F 00 v f g f gh f g one v representa la velocia el carro e bomberos (observar la figura). Calcular la razón e cambio e F respecto e v cuano a) el carro se acerca a una velocia e 0 ms (usar v). b) el carro se aleja a una velocia e 0 ms (usar v). 0 8 f g F = F = v v. Movimiento armónico El esplazamiento e su posición e equilibrio para un objeto en movimiento armónico situao al etremo e un muelle es cos t sen t one se mie en pies t en segunos. Determinar la posición la velocia el objeto cuano t 8.. Pénulo Un pénulo e 5 cm se mueve según la ecuación 0. cos 8t, one es el esplazamiento angular e la vertical en raianes t es el tiempo en segunos. Calcular el máimo esplazamiento angular la razón e cambio e cuano t segunos.. Movimiento onulatorio Una boa oscila con movimiento armónico simple ao por A cos t, mientras las olas pasan por ella. La boa se mueve verticalmente, ese el punto más bajo hasta el más alto, un total e.5 pies. Caa 0 segunos regresa a su punto e máima altura. a) Escribir una ecuación que eplique el movimiento e esa boa si está en su máima altura cuano t 0. b) Calcular la velocia e la boa en función e t. 5. Sistema circulatorio La velocia S e la sangre que está a r cm el centro en una arteria está aa por S C(R r ) one C es una constante, R es el raio e la arteria S se mie en cms. Suponer que se aministra un fármaco la arteria empieza a ilatarse a un ritmo Rt. A una istancia constante r, encontrar el ritmo e cambio e S con respecto a t para C , R. 0 Rt Moelao matemático En la siguiente tabla se muestra la temperatura máima promeio (en graos Fahrenheit) corresponiente a la ciua e Chicago, Illinois. (Fuente: National Oceanic an Atmospheric Aministration) Mes Temperatura Mes Temperatura Ene a) Utilizar una herramienta e graficación para representar los atos encontrar un moelo para esos atos con la forma T(t) a b sen (ct ) Feb Mar Abr Ma Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic one T es la temperatura t el tiempo en meses, con t corresponiente al mes e enero. b) Representar el moelo en la herramienta e graficación. Ajusta bien a los atos? c) Encontrar T utilizar la herramienta e graficación para representar la erivaa. ) Con base en la gráfica e la erivaa, cuáno cambia la temperatura e manera más rápia? Y más lenta? Coincien las respuestas con las observaciones eperimentales? Eplicar la respuesta.

45 0 CAPÍTULO Derivación 7. Moelao matemático El costo e proucción e uniaes e un artículo es C Durante una semana, la gerencia observó el número e uniaes proucias a lo largo e t horas en un turno e 8 horas. En la tabla se muestran los valores promeio e para una semana. t a) Utilizar una herramienta e graficación para ajustar un moelo cúbico para los atos. b) Usar la regla e la caena para encontrar Ct. c) Eplicar por qué la función e costo no se incrementa con un ritmo constante urante el turno e 8 horas. 8. Búsquea e un patrón Sea ƒ() sen, one es una constante. a) Calcular las cuatro primeras erivaas e la función. b) Verificar que la función su seguna erivaa satisfacen la ecuación ƒ() ƒ() 0. c) Utilizar los resultaos el apartao a) para esarrollar fórmulas generales para las erivaas e oren par e impar. f (k) () f (k l) (). [Sugerencia: () k es positivo si k es par negativo si k es impar.] 9. Conjetura Sea f una función erivable e perioo p. a) La función ƒ es perióica? Verificar la respuesta. b) Consierano la función g() ƒ(), la función g() es perióica? Verificar la respuesta. 0. Para pensar Sean r() ƒ(g()) s() g(ƒ()), con f g tales como muestra la figura ajunta. Calcular a) r() b) s() (, ) g f (6, 6) (6, 5) a) Encontrar la erivaa e la función g() sen cos e os maneras istintas. b) Para ƒ() sec g() tan, emostrar que ƒ() g().. a) Demostrar que la erivaa e una función impar es par. Esto es, si f() ƒ(), entonces ƒ() ƒ(). b) Demostrar que la erivaa e una función par es impar. Es ecir, si ƒ() ƒ(), entonces ƒ() ƒ().. Sea u una función erivable e. Consierar que u u para emostrar que u u u u, u 0. En los ejercicios a 7, utilizar el resultao el ejercicio para encontrar la erivaa e la función. g 5 h cos Aproimaciones lineal cuarática Las aproimaciones lineal cuarática e una función ƒ en a son P ()ƒ(a)( a) ƒ(a) P () ƒ (a)( a) ƒ(a)( a) ƒ(a). En los ejercicios 8 9 a) calcular las aproimaciones lineal cuarática e ƒ que se especifican, b) utilizar una herramienta e graficación para representar ƒ sus aproimaciones, c) eterminar cuál e las os, P o P, es mejor aproimación ) establecer cómo varía la precisión a meia que se aleja e a. 8. f tan 9. a Veraero o falso? En los ejercicios 0 a, eterminar si la afirmación es veraera o falsa. Si es falsa, eplicar por qué o proporcionar un ejemplo que emuestre que lo es. 0. Si ( ), entonces ( ).. Si ƒ() sen (), entonces ƒ() (sen )(cos ).. Si es una función erivable e u, u es una función erivable e v v es una función erivable e, entonces: u v u v.. Sea f() a sen a sen a n sen n, one a, a,, a n son números reales n es un número entero positivo. Dao que ƒ() sen, para too real, emostrar que a a na n.. Sea k un número entero positivo fijo. La n-ésima erivaa e k tiene la forma P n k n f 9 f sen f sec a 6 Preparación el eamen Putnam one P n () es un polinomio. Encontrar P n (). Estos problemas fueron preparaos por el Committee on the Putnam Prize Competition. The Mathematical Association of America. Toos los erechos reservaos.

46 SECCIÓN.5 Derivación implícita.5 Derivación implícita Distinguir entre funciones eplícitas e implícitas. Hallar la erivaa e una función por erivación implícita. EXPLORACIÓN Representación gráfica e una ecuación implícita Cómo se poría utilizar una herramienta e graficación para representar? He aquí os proceimientos posibles: a) Despejar en la ecuación. Intercambiar los papeles e, ibujar la gráfica e las os ecuaciones resultantes. Las gráficas combinaas presentarán una rotación e 90 con respecto a la gráfica e la ecuación original. b) Configurar la herramienta e graficación en moo paramétrico representar las ecuaciones t t t t t t. A partir e cualquiera e estos métoos, se puee eciir si la gráfica tiene una recta tangente en el punto (0, )? Eplicar el razonamiento. Funciones eplícitas e implícitas Hasta este punto, la maoría e las funciones estuiaas en el teto se enunciaron e forma eplícita. Por ejemplo, en la ecuación 5 Forma eplícita. la variable está escrita eplícitamente como función e. Sin embargo, algunas funciones sólo se enuncian e manera implícita en una ecuación. Así, la función l está efinia implícitamente por la ecuación. Supongamos que se pie calcular la erivaa para esta ecuación. Poemos escribir como función eplícita e, luego erivar. Forma implícita Esta estrategia funciona siempre que se puea espejar como función e en la ecuación, e lo contrario, este métoo no es viable. Por ejemplo, cómo encontrar para la ecuación Forma eplícita Derivaa one resulta mu ifícil espejar como función eplícita e? En tales situaciones se ebe usar la llamaa erivación implícita. Para comprener esta técnica, es preciso tener en cuenta que la erivación se efectúa con respecto a. Esto quiere ecir que cuano se tenga que erivar términos que sólo contienen a, la erivación será la habitual. Sin embargo, cuano haa que erivar un término one aparezca, será necesario aplicar la regla e la caena, a que se está suponieno que está efinia implícitamente como función erivable e. EJEMPLO Derivación respecto e a) Las variables coincien: usar la regla simple e las potencias. Las variables coincien u n nu n u b) Las variables no coincien: usar la regla e la caena. Las variables no coincien c) Regla e la caena:. ) Regla el proucto. Regla e la caena. Simplificar.

47 CAPÍTULO Derivación Derivación implícita Estrategias para la erivación implícita. Derivar ambos laos e la ecuación respecto e.. Agrupar toos los términos en que aparezca en el lao izquiero e la ecuación pasar toos los emás a la erecha.. Factorizar el lao izquiero e la ecuación.. Despejar. Observar que en el ejemplo la erivación implícita puee proucir una epresión para en la que aparezcan a la vez. EJEMPLO Derivación implícita Encontrar ao que 5. Solución. Derivar los os miembros e la ecuación respecto e Agrupar los términos con en la parte izquiera pasar toos los emás al lao erecho. (, ) (, ) (, 0) 5. Factorizar en la parte izquiera. 5. Despejar iviieno entre ( 5). 5 Puntos en la gráfica Peniente e la gráfica (, 0) (, ) 0 0 (, ) No efinia La ecuación implícita 5 tiene la erivaa 5 Figura.7 5 Para ver cómo usar la erivación implícita, consierar la gráfica e la figura.7. En ella se puee observar que no es una función e. A pesar e ello, la erivaa eterminaa en el ejemplo proporciona una fórmula para la peniente e la recta tangente en un punto e esta gráfica. Debajo e la gráfica se muestran las penientes en varios puntos e la gráfica. TECNOLOGÍA Con la maoría e las herramientas e graficación es fácil representar una ecuación que epresa e manera eplícita a en función e. Por el contrario, representar las gráficas asociaas a otras ecuaciones requiere cierto ingenio. Por ejemplo, tratar e representar la gráfica e la ecuación empleaa en el ejemplo configurano la herramienta e graficación en moo paramétrico, a fin e elaborar la gráfica e las representaciones paramétricas t t 5t, t t t 5t, t, para 5 t 5. Cómo se compara el resultao con la gráfica que se muestra en la figura.7?

48 SECCIÓN.5 Derivación implícita + = 0 (0, 0) En una ecuación que no tiene puntos solución, por ejemplo,, no tiene sentio espejar. Sin embargo, si una porción e una gráfica puee representarse meiante una función erivable, tenrá sentio como peniente en caa punto e esa porción. Recorar que una función no es erivable en a) los puntos con tangente vertical b) los puntos en los que la función no es continua. a) b) c) (, 0) (, 0) (, 0) Algunos segmentos e curva pueen representarse por meio e funciones erivables Figura.8 EJEMPLO Representación e una gráfica meiante funciones erivables Si es posible, representar como función erivable e. a) 0 b) c) Solución a) La gráfica e esta ecuación se compone e un solo punto. Por tanto, no efine como función erivable e. Ver la figura.8a. b) La gráfica e esta ecuación es la circunferencia unia, centraa en (0, 0). La semicircunferencia superior está aa por la función erivable, < < la inferior por la función erivable, < <. En los puntos (, 0) (, 0), la peniente no está efinia. Ver la figura.8b. c) La mita superior e esta parábola está aa por la función erivable, < la inferior por la función erivable, <. En el punto (, 0) la peniente no está efinia. Ver la figura.8c. EJEMPLO Cálculo e la peniente e una gráfica implícita Calcular la peniente e la recta tangente a la gráfica e en el punto,. Ver la figura.9. Solución Figura.9 (, ) Por tanto, en,, la peniente es Ecuación original. Derivar respecto e. Despejar términos con.. Evaluar cuano,. NOTA Para observar las ventajas e la erivación implícita, intentar rehacer el ejemplo manejano la función eplícita.

49 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO 5 Cálculo e la peniente e una gráfica implícita Calcular la peniente e la gráfica e ( ) l00 en el punto (, ). Solución (, ) ( ) 00 Lemniscata Figura.0 En el punto (, ), la peniente e la gráfica es como muestra la figura.0. Esta gráfica se enomina lemniscata. EJEMPLO 6 Determinación e una función erivable, ( ) La erivaa es Figura. sen (, ) Encontrar implícitamente para la ecuación sen. A continuación, eterminar el maor intervalo e la forma a a en el que es una función erivable e (ver la figura.). Solución sen cos cos El intervalo más grane cercano al origen en el que es erivable respecto e es. Para verlo, observar que cos es positivo en ese intervalo 0 en sus etremos. Si se restringe a ese intervalo, es posible escribir eplícitamente como función e. Para ello, usar cos sen, < < concluir que. Este ejemplo se estuia más aelante cuano se efinen las funciones trigonométricas inversas en la sección 5.6.

50 SECCIÓN.5 Derivación implícita 5 Al usar la erivación implícita, con frecuencia es posible simplificar la forma e la erivaa (como en el ejemplo 6) utilizano e manera apropiaa la ecuación original. Se puee emplear una técnica semejante para encontrar simplificar las erivaas e oren superior obtenias e forma implícita. EJEMPLO 7 Cálculo implícito e la seguna erivaa The Granger Collection ISAAC BARROW (60-677) La gráfica e la figura. se conoce como la curva kappa ebio a su semejanza con la letra griega kappa,. La solución general para la recta tangente a esta curva fue escubierta por el matemático inglés Isaac Barrow. Newton fue su alumno con frecuencia intercambiaron corresponencia relacionaa con su trabajo en el entonces incipiente esarrollo el cálculo. Daa 5, encontrar. Evaluar la primera seguna erivaas en el punto (, ). Solución Derivano ambos términos respecto e se obtiene 0. En, :. Derivano otra vez respecto e vemos que En, : Regla el cociente. 5. La curva kappa Figura. (, ) ( ) EJEMPLO 8 Recta tangente a una gráfica Encontrar la recta tangente a la gráfica aa por ( ) en el punto ( ), como muestra la figura.. Solución Reescribieno erivano implícitamente, resulta 0 0. En el punto (, ), la peniente es, la ecuación e la recta tangente en ese punto es.

51 6 CAPÍTULO Derivación.5 Ejercicios En los ejercicios a 6, encontrar por meio e la erivación implícita sen cos.. sen tan. 5. sen 6. cos sen sen cos cot sec. Bifolio:. Folio e Descartes: ( ) 6 0 Punto: (, ) Punto:, 8 En los ejercicios 7 a 0, a) encontrar os funciones eplícitas espejano en términos e, b) construir la gráfica e la ecuación clasificar las partes aas por las respectivas funciones eplícitas, c) erivar las funciones eplícitas ) encontrar emostrar que el resultao es equivalente al el apartao c) En los ejercicios a 8, encontrar por meio e la erivación implícita calcular la erivaa en el punto inicao , 0, 6, 9 9,, 5,, 7, 0 6, tan, 0, 0 cos,, Curvas famosas En los ejercicios 9 a, calcular la peniente e la recta tangente a la gráfica en el punto propuesto. 9. Bruja e Agnesi: 0. Cisoie: 8,,, ( ) 8 ( ) Punto: (, ) Punto: (, ) Curvas famosas En los ejercicios a 0, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica en el punto ao.. Parábola. Circunferencia Hipérbola rotaa 6. Elipse rotaa = = 0 (, ) 7. Cruciforme 8. Astroie 9 = 0 6 (, ) ( ) = ( 5) 6 6 (6, ) 6 8 ( ) + ( ) = (, ) / + / = 5 (8, ) (, )

52 SECCIÓN.5 Derivación implícita 7 9. Lemniscata 0. Curva kappa ( + ) = 00( ) 6 (, ) a) Utilizar la erivación implícita para encontrar la ecuación e la recta tangente a la elipse en (, ). 8 b) Demostrar la ecuación e la recta tangente a la elipse a b en (, ) es a 0 b.. a) Utilizar la erivación implícita para encontrar la ecuación e la recta tangente a la hipérbola en (, ). 6 8 b) Demostrar que la ecuación e la recta tangente a la hipérbola a b en (, ) es a 0. b En los ejercicios, calcular e manera implícita encontrar el maor intervalo con la forma a a o 0 < a tal que sea una función erivable e. Epresar en función e.. tan. cos En los ejercicios 5 a 50, encontrar en términos e En los ejercicios 5 5 usar una herramienta e graficación para representar la ecuación. Encontrar la ecuación e la recta tangente en la gráfica obtenia en el punto la gráfica en la recta tangente. 5. 5, 9, 5. ( + ) = En los ejercicios 5 5, encontrar las ecuaciones e las rectas tangente normal a la circunferencia en el punto inicao (la recta normal en un punto es perpenicular a la tangente en ese punto). Utilizar una herramienta e graficación para representar la ecuación, la recta tangente la normal. (, ), 5, 5 En los ejercicios 57 58, localizar los puntos en los que la gráfica e la ecuación tiene recta tangente horizontal o vertical Traectorias ortogonales En los ejercicios 59 a 6, utilizar herramienta e graficación para representar las ecuaciones probar que en sus intersecciones son ortogonales. (Dos gráficas son ortogonales en un punto e intersección si sus rectas tangentes en ese punto son perpeniculares entre sí.) ( ) sen ( 9) Traectorias ortogonales En los ejercicios 6 6, verificar que las os familias e curvas son ortogonales, sieno C K números reales. Utilizar una herramienta e graficación para representar ambas familias con os valores e C os valores e K. 6. C, K 6. C, K En los ejercicios 65 a 68, erivar: a) respecto a ( es una función e ) b) respecto a t ( son funciones e t) cos sen 68. sen cos Desarrollo e conceptos 69. Describir la iferencia que eiste entre la forma eplícita e una ecuación una ecuación implícita. Elaborar un ejemplo e caa una. 70. Con sus propias palabras, establezca las estrategias a seguir en la erivación implícita. 7. Traectorias ortogonales En la siguiente figura se muestra un mapa topográfico realizao por un grupo e ecursionistas. Ellos se encuentran en el área boscosa que está en la parte superior e la colina que se muestra en el mapa ecien seguir la ruta e escenso menos empinaa (traectorias ortogonales a los contornos el mapa). Dibujar la ruta que eben seguir si parten ese el punto A si lo hacen ese el punto B. Si su objetivo es llegar a la carretera que pasa por la parte superior el mapa, cuál e esos puntos e partia eben utilizar? (, ), (, ) (6, 0), (5, ) 55. Demostrar que la recta normal a cualquier punto e la circunferencia r pasa por el origen. 56. Dos circunferencias e raio son tangentes a la gráfica e en el punto (, ). Encontrar las ecuaciones e esas os circunferencias. 67 A B

53 8 CAPÍTULO Derivación 7. Mapa climático El siguiente mapa climático muestra varias curvas isobáricas (curvas que representan áreas con presión constante e aire); tres e alta presión H una e baja presión L. Puesto que la velocia el viento es maor a lo largo e las traectorias ortogonales e las curvas isobáricas, utilizar el mapa para eterminar las áreas con maor velocia el viento. H 7. Consierano la ecuación ( ): a) Utilizar una herramienta e graficación para representarla. b) Encontrar representar gráficamente las cuatro rectas tangentes a la curva en. c) Calcular las coorenaas eactas el punto e intersección e las os rectas tangentes en el primer cuarante. Para iscusión 7. Determinar si el enunciao es veraero. Si es falso, eplicar por qué corregir. Para caa caso, suponer que es una función e. cos sen a) b) cos sen c) cos sen L H H 75. Sea L una recta tangente a la curva c. Demostrar que la suma e las intersecciones e L en los ejes es c. 76. Demostrar (teorema.) que: n n n para el caso one n es un número racional. (Sugerencia: Escribir pq en la forma q p erivar e forma implícita. Suponer que p q son enteros, con q > 0.) 77. Peniente Encontrar toos los puntos e la circunferencia 00 one la peniente es igual a. 78. Tangente horizontal Determinar el (los) punto(s) en el (los) que la gráfica e tiene una tangente horizontal. 79. Rectas tangentes Encontrar las ecuaciones e las os rectas tangentes a la elipse que pasa por el punto (, 0) Normales a una parábola En la gráfica se mostraron las rectas normales ese el punto (, 0) a la gráfica e la parábola. Encontrar cuántas rectas normales eisten ese el punto ( 0, 0) a la gráfica e la parábola si a) 0, b) 0 c) 0. Para qué valor e 0 eisten os rectas normales perpeniculares entre sí? (, 0) = 8. Rectas normales a) Encontrar la ecuación e la recta normal a la elipse en el punto (, ). b) Utilizar una herramienta e graficación para representar la elipse la recta 8 normal. c) En qué otros puntos interseca esta recta normal a la elipse? PROYECTO DE TRABAJO Ilusiones ópticas En caa una e las siguientes gráficas se genera una ilusión óptica por intersecciones e rectas con una familia e curvas. En toos los casos, las rectas parecen ser curvas. Encontrar el valor e para los valores e. a) Circunferencia: C b) Hipérbolas: C,, C 5,, C c) Rectas: a b ) Curvas coseno: C cos,, a, b,, C PARA MAYOR INFORMACIÓN Para obtener más información sobre las matemáticas e las ilusiones ópticas, leer el artículo Descriptive Moels for Perception of Optical Illusions, e Davi A. Smith, en The UMAP Journal.

54 SECCIÓN.6 Razones e cambio relacionaas 9.6 Razones e cambio relacionaas Hallar una razón e cambio relacionaa. Resolver problemas e la via real con razones e cambio relacionaas. r h Cálculo e razones e cambio relacionaas Ya se sabe cómo usar la regla e la caena para encontrar e manera implícita. Otra aplicación relevante e la regla e la caena consiste en encontrar razones e cambio e os o más variables relacionaas que están cambiano respecto al tiempo. Por ejemplo, cuano sale agua e un epósito cónico (figura.), el volumen V, el raio r la altura h el nivel el agua son funciones e t. Sabieno que estas magnitues variables se relacionan meiante la ecuación V r h Ecuación original. r se puee erivar implícitamente con respecto a t a fin e obtener la ecuación e razones e cambio h ( V) rh t t V t r h h r r t t r h rh r. t t Diferenciar con respecto a t. r h Para esta ecuación se puee ver que la razón e cambio e V está relacionaa con la razón e cambio e h r. EXPLORACIÓN Cálculo e una razón e cambio relacionaa Suponer que en el tanque cónico que se muestra en la figura., la altura está cambiano a un ritmo e 0. pies por minuto el raio lo está hacieno a un ritmo e 0. pies por minuto. Cuál es la razón e cambio el volumen cuano el raio es r pie la altura es h pies? La razón e cambio el volumen epene e los valores e r h? Eplicar la respuesta. EJEMPLO Dos razones e cambio relacionaas El volumen está relacionao con el raio con la altura Figura. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para aprener más sobre la historia e los problemas e razones e cambio relacionaas, ver el artículo The Lengthening Shaow: The Stor of Relate Rates, e Bill Austin, Don Barr Davi Berman, en Mathematics Magazine. Sean os funciones erivables e t, relacionaas por la ecuación. Calcular t para, sabieno que t para. Solución Derivar ambos laos con respecto a t, utilizano la regla e la caena. t t t t Cuano t, se tiene. t Ecuación original. Derivar con respecto a t. Regla e la caena.

55 50 CAPÍTULO Derivación Solución e problemas con razones e cambio relacionaas En el ejemplo se io la ecuación que relaciona las variables, se peía hallar el ritmo e cambio e para. Ecuación: Ritmo ao: Hallar: t t cuano cuano En los ejemplos restantes e esta sección, se ebe crear un moelo matemático a partir e una escripción verbal. EJEMPLO Onas en un lago En un lago en calma se eja caer una piera, lo que provoca onas circulares, como se muestra en la figura.. El raio r el círculo eterior está crecieno a una razón constante e pies. Cuano el raio es pies, a qué razón está cambiano el área A e la región circular perturbaa? Solución Las variables r A están relacionaas por A r. La razón e cambio el raio r es rt. Russ Bishop&Alam El área total se incrementa a meia que lo hace el raio el círculo eterior Figura. Ecuación: Ritmo ao: Hallar: A r r t A t Con esta información, proceer como en el ejemplo. t A t r A t r r t cuano r A t 8 Derivar con respecto a t. Regla e la caena. Sustituir por r por rt. Cuano el raio es e pies, el área cambia a razón e 8 pies s. Estrategia para la solución e problemas e razones e cambio relacionaas NOTA Al utilizar esta estrategia, ha que cerciorarse e que el paso no se realiza hasta que el paso esté terminao. Sustituir los valores conocios e las variables antes e erivarlas tenría como resultao final una erivaa inapropiaa.. Ientificar toas las cantiaes aas por eterminar. Hacer un esbozo clasificarlas.. Escribir una ecuación que inclua las variables cuas razones e cambio se encuentran en la información aa o eben calcularse.. Utilizano la regla e la caena, erivar e manera implícita ambos laos e la ecuación con respecto al tiempo t.. Después e terminar el paso, sustituir en la ecuación resultante toos los valores conocios e las variables sus razones e cambio. Luego se espeja la razón e cambio requeria.

56 SECCIÓN.6 Razones e cambio relacionaas 5 La tabla siguiente contiene varios ejemplos e moelos matemáticos que incluen razones e cambio. Por ejemplo, la razón e cambio el primer ejemplo es la velocia el automóvil. Enunciao verbal La velocia e un automóvil tras una hora e viaje es e 50 millas por hora. Se introuce agua en una piscina a razón e 0 metros cúbicos por hora. Una ruea gira a 5 revoluciones por minuto ( revolución raianes). Moelo matemático istancia recorria 50 cuano t t V volumen e agua en la piscina V t 0 m h ángulo e giro t 5 ramin EJEMPLO Inflao e un globo Se bombea aire en el interior e un globo esférico (ver la figura.5) a razón e.5 pies cúbicos por minuto. Calcular la razón e cambio el raio el globo cuano el raio es e pies. Solución Sea V el volumen el globo r su raio. Puesto que el volumen está crecieno a razón e.5 pies cúbicos por minuto, se sabe que en el instante t la razón e cambio el volumen es Vt. De tal moo que el problema se puee formular e la siguiente manera: Ritmo ao: Calcular: V t 9 r t (ritmo constante) cuano r Para encontrar el ritmo e cambio el raio, encontrar una ecuación que relacione el raio r con el volumen V. Ecuación: V r Volumen e una esfera. Derivar ambos laos e la ecuación con respecto a t, para obtener: Inflano un globo Figura.5 V t r r t r t r V t. Derivar con respecto a t. Despejar rt. Por último, cuano r la razón e cambio el raio resulta ser r t pies por minuto. Observar que en el ejemplo el volumen está crecieno a razón constante, pero el raio cambia a razón variable. El hecho e que os razones estén relacionaos no implica que sean proporcionales. En este caso en particular, el raio crece más más lentamente con el paso el tiempo. Por qué?

57 5 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO Velocia e un avión etectao por raar Un avión recorre una ruta e vuelo que le llevará irectamente sobre una estación e raar, como se muestra en la figura.6. Si s está ecrecieno a razón e 00 millas por hora cuano s 0 millas, cuál es la velocia el avión? 6 millas s Solución Sea la istancia horizontal al raar, como se ilustra en la figura.6. Observar que cuano s 0, No está ibujao a escala Un avión vuela a 6 millas e altura ista s millas e la estación e raar Figura.6 Ritmo ao: Encontrar: Encontrar la velocia el avión e la siguiente manera: Ecuación: st 00 t 6 s cuano cuano s 0 8 s s t t t s s t 0 t 8 00 s millas por hora Teorema e Pitágoras. Derivar con respecto a t. Despejar t. Sustituir s, st. Simplificar. Puesto que la velocia es e 500 millas por hora, la rapiez (o velocia en sentio coloquial) es 500 millash. NOTA Observar en el ejemplo que la velocia es negativa porque representa una istancia que isminue. EJEMPLO 5 Ángulo e elevación variable Calcular la razón e cambio el ángulo e elevación e la cámara que se muestra en la figura.7, iez segunos espués el espegue. tan = s pies No está ibujao a escala Una cámara e televisión, situaa a ras el suelo, está filmano el espegue el transboraor espacial, que se mueve verticalmente e acuero con la ecuación e posición s 50t, one s se mie en pies t en segunos. La cámara está a 000 pies e la plataforma e lanzamiento Figura.7 s Solución Sea el ángulo e elevación, como se muestra en la figura.7. Cuano t 0, la altura s el cohete es s 50t 50(0) pies. Ritmo ao: Encontrar: Utilizano la figura.7, relacionar s meiante la ecuación tan s 000. Ecuación: Cuano t 0 s 5 000, se tiene t st 00t velocia el cohete t cuano t 0 s tan s 000 sec t 000 s t t cos 00t s t 000 raianes por seguno. Ver la figura.7. Derivar con respecto a t. Sustituir 00t por st. cos 000s 000. De tal moo, cuano t 0, cambia a razón e raianes por seguno. 9

58 SECCIÓN.6 Razones e cambio relacionaas 5 EJEMPLO 6 Velocia e un pistón En el motor que se muestra en la figura.8, una varilla e 7 pulgaas está conectaa a un cigüeñal e pulgaas e raio, que gira en sentio contrario al e las manecillas el reloj, a 00 revoluciones por minuto. Calcular la velocia el pistón cuano. Cigüeñal Pistón Bujía 7 Varilla La velocia e un pistón está relacionaa con el ángulo el cigüeñal Figura.8 Solución Nombrar las istancias como se muestra en la figura.8. Puesto que una revolución completa equivale a raianes, se euce que t 00() 00 raianes por minuto. a Le e los cosenos: b a c ac cos Figura.9 c b Ritmo ao: Encontrar: 00 t t cuano (razón constante) Usar la le e los cosenos (figura.9) para encontrar una ecuación que relacione a a. Ecuación: 0 t 6 sen t cos t 6 cos t 6 sen t t 6 sen 6 cos t Cuano, se puee espejar e la siguiente manera: 7 cos cos Elegir la solución positiva. De esta manera, cuano 8, la velocia el pistón es 68 t pulgaas por minuto. NOTA Observar que la velocia en el ejemplo 6 es negativa porque representa una istancia que está ecrecieno.

59 5 CAPÍTULO Derivación.6 Ejercicios En los ejercicios a, suponer que son funciones erivables e t encontrar los valores señalaos e t t..... En los ejercicios 5 a 8, un punto se está movieno sobre la gráfica e la función, e moo que t es cms. Calcular t para los valores e que se inican Ecuación 5 5 tan cos Encontrar a) cuano t b) cuano 5 t a) cuano t b) cuano t a) cuano t 8 b) cuano t Desarrollo e conceptos a) cuano, t b) cuano, t a) b) 0 c) a) b) 0 c) a) b) c) Dao t t t t 5 0 t t 6 t 8 t a) b) c) 6 9. Consierano la función lineal a b, si cambia a razón constante, también lo hace a razón constante? De ser así, lo hace con la misma razón que? Eplicar la respuesta. 0. Con las propias palabras, mencionar la estrategia para resolver problemas e razones e cambio relacionaas.. Encontrar la razón e cambio e la istancia entre el origen un punto que se mueve por la gráfica e, si t cms.. Encontrar la razón e cambio e la istancia entre el origen un punto que se mueve sobre la gráfica e sen, si t cms.. Área El raio r e un círculo está crecieno a razón e centímetros por minuto. Calcular la razón e cambio el área cuano a) r 8 cm b) r cm. 0. Área Sea A el área e un círculo con un raio r variable con el tiempo. Si rt es constante, es constante At? Eplicar la respuesta. 5. Área El ángulo entre los os laos iguales, con longitu s, e un triángulo isósceles es. a) Demostrar que el área el triángulo se obtiene meiante A s sen. b) Si está crecieno a razón e raián por minuto, encontrar la razón e cambio el área cuano 6. c) Eplicar por qué la razón e cambio el área el triángulo no es constante, a pesar e que t es constante. 6. Volumen El raio r e una esfera está crecieno a razón e pulgaas por minuto. a) Calcular la razón e cambio el volumen cuano r 9 r 6 pulgaas. b) Eplicar por qué la razón e cambio el volumen e la esfera no es constante, a pesar e que rt es constante. 7. Volumen Se infla un globo esférico con gas a razón e 800 centímetros cúbicos por minuto. A qué razón está aumentano su raio en el momento en el que éste está a a) 0 centímetros b) 60 centímetros? 8. Volumen Toas las aristas e un cubo están crecieno a razón e 6 centímetros por seguno. A qué ritmo está aumentano el volumen cuano caa arista mie a) cm b) 0 cm? 9. Superficie Bajo las coniciones el problema anterior, eterminar la razón a la que cambia el área e la superficie cuano caa arista mie a) cm b) 0 cm. 0. Volumen La fórmula para calcular el volumen e un cono es V r h. Encontrar el ritmo e cambio el volumen si rt es e pulgaas por minuto h r, cuano a) r 6 pulgaas b) r pulgaas.. Volumen En una planta e arena grava, la arena cae e una cinta transportaora creano un montículo e forma cónica, a razón e 0 pies cúbicos por minuto. El iámetro e la base el montículo es e aproimaamente tres veces la altura. A qué razón cambia la altura el montón cuano su altura es 5 pies?. Profunia Un epósito cónico (con el vértice abajo) mie 0 pies e ancho en su parte más alta tiene pies e profunia. Si se le vierte agua a razón e 0 pies por minuto, calcular la razón e cambio e la profunia el agua cuano ésta es e 8 pies.. Profunia Una piscina tiene metros e largo, 6 e ancho una profunia que oscila ese hasta m (ver la figura). Se bombea agua en ella a razón e e metro cúbico por minuto a ha m e agua en el etremo más profuno. a) Qué porcentaje e la piscina está lleno? b) A qué razón se eleva el nivel el agua?

60 SECCIÓN.6 Razones e cambio relacionaas 55 m Figura para Figura para. Profunia Una artesa tiene pies e largo e ancho en su parte superior (ver la figura), sus etremos tienen forma e triángulo isósceles con una altura e pies. a) Si se vierte agua en ella a razón e pies cúbicos por minuto, a qué razón sube el nivel el agua cuano ha pie e profunia e agua? b) Si el agua sube a una razón e e pulgaa por minuto cuano h, eterminar una razón al que se está vertieno agua en la artesa. 5. Escalera eslizante Una escalera e 5 pies e longitu está apoaa sobre una pare (ver la figura). Su base se esliza por la pare a razón e pies por seguno. a) A qué razón está bajano su etremo superior por la pare cuano la base está a 7, 5 pies e la pare? b) Determinar la razón a la que cambia el área el triángulo formao por la escalera, el suelo la pare, cuano la base e la primera está a 7 pies e la pare. c) Calcular la razón e cambio el ángulo formao por la escalera la pare cuano la base está a 7 pies e la pare. r m min m 6 m 5 pies pies s Figura para 5 Figura para 6 PARA MAYOR INFORMACIÓN Para obtener más información sobre las matemáticas relativas a las escaleras eslizantes, ver el artículo The Falling Laer Parao, e Paul Scholten Anrew Simoson, en The College Mathematics Journal. m pies pies pies min pies 0.5 m s h pies 6. Construcción Un obrero levanta, con aua e una soga, un tablón e cinco metros hasta lo alto e un eificio en construcción (ver la figura). Suponer que el otro etremo el tablón sigue una traectoria perpenicular a la pare que el obrero mueve el tablón a razón e 0.5 ms. A qué ritmo esliza por el suelo el etremo cuano está a.5 m e la pare? 5 m 7. Construcción Una polea situaa en lo alto e un eificio e metros levanta un tubo e la misma longitu hasta colocarlo en posición vertical, como se muestra en la figura. La polea recoge la cuera a razón e 0. ms. Calcular las razones e cambio vertical horizontal el etremo el tubo cuano 6. s m (, ) Figura para 7 Figura para 8 8. Navegación Un velero es arrastrao hacia el muelle por meio e una polea situaa a una altura e pies por encima e la quilla el barco (ver la figura). a) Si la cuera se recoge a razón e pies por seguno, eterminar la velocia el velero cuano quean pies e cuera sin recoger. Qué ocurre con la velocia el velero a meia que el barco se acerca más al muelle? b) Suponieno que el bote se mueve a un ritmo constante e pies por seguno, eterminar la velocia a la que la polea recoge la cuera cuano quean pies e ella por recoger. Qué ocurre con la velocia e la polea a meia que el barco se acerca más al muelle? 9. Control e tráfico aéreo Un controlaor etecta que os aviones que vuelan a la misma altura tienen traectorias perpeniculares convergen en un punto (ver la figura). Uno e ellos está a 5 millas e icho punto vuela a 50 millas por hora. El otro está a 00 millas se esplaza a 600 millash. Distancia (en millas) s 0. m t s 6 a) A qué ritmo se reuce la istancia entre ellos? b) De cuánto tiempo ispone el controlaor para moificar la ruta e alguno e ellos? s Distancia (en millas) Figura para 9 Figura para 0 5 millas pies pies No está ibujao a escala 0. Control e tráfico aéreo Un avión vuela a 5 millas e altura pasa eactamente por encima e una antena e raar (ver la figura). Cuano el avión está a 0 millas (s 0), el raar etecta que la istancia s está cambiano a una velocia e 0 millash. Cuál es la velocia el avión? s No está ibujao a escala

61 56 CAPÍTULO Derivación. Deportes Un campo e beisbol tiene forma e un cuarao con laos e 90 pies (ver la figura). Si un jugaor corre e seguna a tercera a 5 pies por seguno se encuentra a 0 pies e la tercera base, a qué ritmo está cambiano su istancia s respecto a home? Seguna base 6 Tercera base Figura para Figura para. Deportes En el campo e beisbol el ejercicio anterior, suponer que el jugaor corre ese primera hasta seguna base a 5 pies por seguno. Calcular la razón e cambio e su istancia con respecto a home cuano se encuentra a 0 pies e la seguna base.. Longitu e una sombra Un hombre e 6 pies e altura camina a 5 pies por seguno alejánose e una luz que está a 5 pies e altura sobre el suelo (ver la figura). Cuano este hombre está a 0 pies e la base e la luz: a) a qué velocia se mueve el etremo e su sombra? b) a qué razón está cambiano la longitu e su sombra?. Longitu e una sombra Repetir el ejercicio anterior, suponieno ahora que el hombre camina hacia la luz que ésta se encuentra situaa a 0 pies e altura (ver la figura) pies Home Figura para Figura para 5 5. Diseño e máquinas Los etremos e una varilla móvil e m e longitu tienen coorenaas (, 0) (0, ) (ver la figura). La posición el etremo que se apoa en el eje es t sen t 6 Primera base one t se mie en segunos. a) Calcular la uración e un ciclo completo e la varilla. b) Cuál es el punto más bajo que alcanza el etremo e la varilla que está en el eje? c) Encontrar la velocia el etremo que se mueve por el eje cuano el otro está en (, 0). 6. Diseño e máquinas Repetir el ejercicio anterior para una función e posición (t) sen t. Utilizar el punto (, 0) para el apartao c). 8 (0, ) m (, 0) 7. Evaporación Al caer, una gota esférica alcanza una capa e aire seco comienza a evaporarse a un ritmo proporcional a su área superficial (S r ). Demostrar que el raio e la gota ecrece a ritmo constante. Para iscusión 8. Utilizano la gráfica e f, a) eterminar si t es positiva o negativa ao que t es negativa b) eterminar si t es positiva o negativa ao que t es positiva. i) i) (ii) ii) f 9. Electricia La resistencia eléctrica combinaa R e R R, conectaas en paralelo, es aa por R R R one R, R R se mien en ohmios. R R están crecieno a razón e.5 ohmios por seguno, respectivamente. A qué ritmo está cambiano R cuano R 50 R 75 ohmios? 0. Epansión aiabática Cuano cierto gas poliatómico sufre una epansión aiabática, su presión p su volumen V satisfacen la ecuación pv. k, one k es una constante. Encontrar la relación que eiste entre las razones pt Vt.. Diseño e autopistas En cierta autopista, la traectoria e los automóviles es un arco circular e raio r. Con el fin e no epener totalmente e la fricción para compensar la fuerza centrífuga, se construe un peralte con un ángulo e inclinación sobre la horizontal (ver la figura). Este ángulo satisface la ecuación rg tan v, one v es la velocia e los automóviles g pies por seguno al cuarao es la aceleración e la gravea. Encontrar la relación que eiste entre las razones e cambio relacionaas vt t.. Ángulo e elevación Un globo asciene a metros por seguno ese un punto el suelo a 50 m e un observaor. Calcular la razón e cambio el ángulo e elevación el globo cuano está a 50 metros e altura. r 6 5 f

62 SECCIÓN.6 Razones e cambio relacionaas 57. Ángulo e elevación El pescaor e la figura recoge seal para capturar su pieza a razón e pie por seguno, ese un punto que está a 0 pies por encima el agua (ver la figura). A qué ritmo cambia el ángulo entre el seal el agua cuano quean por recoger 5 pies e seal? (0, 50). Ángulo e elevación Un avión vuela a 5 millas e altitu a una velocia e 600 millas por hora, hacia un punto situao eactamente en la vertical e un observaor (ver la figura). A qué ritmo está cambiano el ángulo e elevación cuano el ángulo es a) 0, b) 60 c) 75? 5. Velocia lineal velocia angular La patrulla e la figura está estacionaa a 50 pies e un largo almacén. La luz e su torreta gira a 0 revoluciones por minuto. A qué velocia se está movieno la luz a lo largo el muro cuano el haz forma ángulos e a) 0, b) 60 c) 70? POLICIA 50 pies 0 pies Figura para Figura para Figura para 5 Figura para 6 5 millas 6. Velocia lineal velocia angular Una ruea e 0 cm e raio gira a razón e 0 vueltas por seguno. Se pinta un punto P en su bore (ver la figura). a) Encontrar t como función e. b) Utilizar una herramienta e graficación para representar la función el apartao a). c) Cuáno es maor el valor absoluto el ritmo e cambio e?, el menor? ) Calcular t cuano Control e vuelo Un avión vuela en coniciones e aire en calma a una velocia e 75 millas por hora. Si asciene con un ángulo e 8, calcular el ritmo al que está ganano altura. 8. Cámara e vigilancia Una cámara e vigilancia está a 50 pies e altura sobre un vestíbulo e 00 pies e largo (ver la figura). Es más fácil iseñar la cámara con una velocia e rotación constante, pero en tal caso toma las imágenes el vestíbulo a velocia variable. En consecuencia, es eseable iseñar un sistema con velocia angular variable e moo tal que la velocia e la toma a lo largo el vestíbulo sea constante. Encontrar un moelo para la velocia variable e rotación aecuao si t pies por seguno. P No está ibujao a escala 0 cm Figura para 8 00 pies 9. Para pensar Describir la relación que eiste entre la razón e cambio e el e en los casos siguientes. Suponer que toas las variables erivaas son positivas. a) b) L 0 L t t t t, Aceleración En los ejercicios 50 5, calcular la aceleración el objeto especificao. (Sugerencia: Recorar que si una variable cambia a velocia constante, su aceleración es nula.) 50. Calcular la aceleración el etremo superior e la escalera el ejercicio 5 cuano su base está a 7 pies e la pare. 5. Calcular la aceleración el velero el ejercicio 8a cuano faltan por recoger pies e cuera. 5. Moelo matemático La siguiente tabla muestra el número e mujeres solteras s (nunca casaas) casaas m (en millones) en el muno laboral estaouniense ese 997 hasta 005. (Fuente: U.S. Bureau of Labor Statistics) s m a) Utilizar las funciones e regresión e su herramienta e graficación para encontrar un moelo e la forma m(s) as bs cs para esos atos, one t es el tiempo en años, sieno t 7 el año 997. b) Encontrar mt. Después utilizar ese moelo para estimar mt para t 0, si se supone que el número e mujeres solteras s que forman parte e la fuerza e trabajo va a crecer a razón e 0.75 millones al año. 5. Sombra en movimiento Se eja caer una pelota ese una altura e 0 m, a una istancia e m e una lámpara (ver la figura). La sombra e la pelota se mueve a lo largo el suelo. A qué ritmo se está movieno la sombra seguno espués e soltar la pelota? (Enviao por Dennis Gittinger, St. Philips College, San Antonio, TX ) 0 m m Sombra

63 58 CAPÍTULO Derivación Ejercicios e repaso En los ejercicios a, encontrar la erivaa e la función usano la propia efinición e erivaa.. f 5.. f. En los ejercicios 5 6, buscar los valores e en los que ƒ es erivable. 7. Construir la gráfica e ƒ(). a) ƒ es continua en? b) ƒ es erivable en? Eplicar la respuesta. 8. Construir la gráfica e f,, <. a) ƒ es continua en? b) ƒ es erivable en? Eplicar la respuesta. En los ejercicios 9 0, encontrar la peniente e la recta tangente a la gráfica e la función en el punto ao g 6, h 8,, 5 6, 5 En los ejercicios, a) encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e f en el punto ao, b) utilizar una herramienta e graficación para representar la función su tangente en el punto c) usar la función erivative e una herramienta e graficación para confirmar sus resultaos.. f,,. En los ejercicios, utilizar la forma alternativa e la erivaa para calcular la erivaa en c (si eiste).. g, c. En los ejercicios 5 a 0, usar las reglas e erivación para encontrar la erivaa e la función f 8 8. f f 6 5. f f f, f, 0 g , c 9. ht t 0. f t 8t 5. f. gs s 5s. h gt t f 5 sen f cos sen 0. Reacción En los ejercicios, en la figura se muestran las gráficas e una función su erivaa. Nombrar las gráficas como ƒ ƒ escribir un pequeño párrafo establecieno los criterios utilizaos al hacer la selección... f h 0 7 g cos 6 g 5 sen. Cuera vibrante Cuano se pulsa la cuera e una guitarra, ésta vibra con una frecuencia F 00 T, one F se mie en vibraciones por seguno la tensión T se mie en libras. Encontrar las razones e cambio en F cuano a) T b) T 9.. Movimiento vertical Se eja caer una pelota ese una altura e 00 pies. Un seguno espués, se eja caer otra pelota ese una altura e 75 pies. Cuál e ellas llega primero al suelo? 5. Movimiento vertical Para estimar la altura e un eificio, se eja caer una piera ese su parte superior a una piscina que se encuentra a nivel el suelo. Qué altura tiene el eificio si el impacto en el agua ocurre 9. segunos espués e lanzaa la piera? 6. Movimiento vertical Se eja caer una bomba ese un aeroplano que vuela a una altura e 00 pies. Cuánto tiempo tarará la bomba en llegar al suelo? (Debio al movimiento el avión, la caía no será vertical, pero el tiempo será el mismo.) Si el avión viaja a 600 millas por hora, cuánto se moverá la bomba e manera horizontal espués e soltarla? 7. Movimiento e un proectil Se lanza una pelota que sigue la traectoria escrita por 0.0. a) Construir la gráfica e la traectoria. b) Encontrar la istancia horizontal total e la pelota. c) En qué valor e alcanzará la pelota la altura máima? (Utilizar la simetría e la ruta.) ) Encontrar la ecuación que sirve para calcular el ritmo e cambio instantáneo para la altura e la pelota con respecto al cambio horizontal. Evaluar la ecuación en 0, 0, 5, e) Cuál es la razón e cambio instantánea e la altura cuano la pelota alcanza su altura máima?

64 Ejercicios e repaso Movimiento e un proectil La traectoria e un proectil lanzao con un ángulo e 5 con respecto al piso es v 0 one la velocia inicial es v 0 pies por seguno. a) Encontrar la coorenaa el punto one el proectil golpea al suelo. Utilizar la simetría e la traectoria el proectil para localizar la coorenaa el punto en el que alcanza su altura máima. b) Cuál es la razón e cambio instantáneo e la altura cuano el proectil se encuentra a su altura máima? c) Demostrar que uplicar la velocia inicial el proectil multiplicaría por la altura máima el alcance. ) Calcular la altura máima el alcance e un proectil lanzao con una velocia inicial e 70 pies por seguno. Utilizar una herramienta e graficación para representar la traectoria el proectil. 9. Movimiento horizontal La función e posición e una partícula que se mueve a lo largo el eje es: (t) t t para t. a) Calcular la velocia e la partícula. b) Encontrar el o los intervalos t abiertos en los que la partícula se mueve hacia la izquiera. c) Determinar la posición e la partícula cuano la velocia es 0. ) Encontrar la velocia e la partícula cuano la posición es Moelao matemático En la siguiente tabla se muestra la velocia e un automóvil en millas por hora la istancia e frenao en pies: Velocia, Distancia e frenao, a) Utilizar las funciones e regresión e la herramienta e graficación para encontrar un moelo cuarático para los atos. b) Utilizar una herramienta e graficación para representar los atos trazar el moelo. c) Utilizar una herramienta e graficación para representar. ) Utilizar el moelo para aproimar la istancia e frenao para una velocia e 65 millas por hora. e) Utilizar la gráfica e los apartaos b) c) para eplicar el cambio en la istancia e frenao a meia que aumenta la velocia. En los ejercicios a 5, encontrar la erivaa e la función... f g 7. h sen. 5. f f cos f t t 5 cos t f f sen sec cos sen 5. En los ejercicios 55 a 58, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e ƒ en el punto ao. 55. f,, 56. f,, cos 57. f tan, 0, f cos, 59. Aceleración La velocia e un objeto es v(t) 6 t, 0 t 6, en metros por seguno. Calcular la velocia aceleración el objeto cuano t. 60. Aceleración La velocia inicial e un automóvil que parte el reposo es vt 90t t 0 one v se mie en pies por seguno. Calcular la velocia aceleración el vehículo una vez transcurrios los siguientes tiempos: a) seguno b) 5 segunos c) 0 segunos En los ejercicios 6 a 66, calcular la seguna erivaa e la función. 6. gt 8t 5t f f tan 66. En los ejercicios 67 68, emostrar que la función que satisface la ecuación En los ejercicios 69 a 80, encontrar la erivaa e la función. 69. h f s s 5 s cos sen sen 7 sen7 79. sen 80. En los ejercicios 8 a 8, encontrar la erivaa e la función en el punto ao Función 0 cos sen cos f, f,,, tan g sen cos Ecuación h f sen f 5 h sec7 7 sec5 5 f cos, ht 0 cos t 5 sen t cos cos

65 60 CAPÍTULO Derivación CAS CAS En los ejercicios 85 a 88, utilizar un sistema algebraico computarizao para encontrar la erivaa e la función. Utilizar una herramienta e graficación para representar la función su erivaa en el mismo plano cartesiano. Describir el comportamiento e la función que correspona a too cero e la gráfica e la erivaa. 85. g f t t t 88. En los ejercicios 89 a 9, a) utilizar un sistema algebraico computarizao para encontrar la erivaa e la función en el punto ao, b) encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función en el punto c) representar gráficamente la función su recta tangente en el mismo plano cartesiano csc, csc cot, En los ejercicios 9 a 96, encontrar la seguna erivaa e la función cos f cot 96., 6, f t t t 5,, g,, 0 f () tan,, tan f () csc,, csc f tan sen En los ejercicios 0 a 08, utilizar la erivación implícita para encontrar sen cos 08. En los ejercicios 09 0, encontrar las ecuaciones e las rectas tangente normal a la gráfica e la ecuación en el punto ao. Utilizar una herramienta e graficación para representar la ecuación, la recta tangente la normal ,, 0.. Un punto se mueve sobre la curva e manera tal que el valor en aumenta con un ritmo e os uniaes por seguno. A qué ritmo cambia en caa uno e los siguientes valores? a) b) c) 5 cos 0, 6,. Superficie Las aristas e un cubo se epanen a un ritmo e 8 centímetros por seguno. A qué ritmo cambia el área e su superficie cuano sus aristas tienen 6.5 centímetros?. Profunia La sección transversal e un canal e 5 metros es un trapezoie isósceles con base menor e os metros, base maor e tres metros una altura e os metros. El agua corre por el canal a un ritmo e un metro cúbico por minuto. Con qué rapiez aumenta el nivel el agua cuano ésta tiene un metro e profunia?. Velocia lineal angular Un faro giratorio se localiza a kilómetro en línea recta e una plaa (ver la figura). Si el faro gira a un ritmo e tres revoluciones por minuto, a qué velocia parece moverse el haz e luz (en kilómetros por hora) para un espectaor que se encuentra a meio kilómetro sobre la plaa? CAS En los ejercicios 97 a 00, utilizar un sistema algebraico computarizao para encontrar la seguna erivaa e la función. 97. f t t 98. ( t 99. g tan sen Refrigeración La temperatura T en graos Fahrenheit e los alimentos colocaos en un congelaor es T 700 t t 0 g 6 5 h 5 6 one t es el tiempo en horas. Calcular la razón e cambio e T con respecto a t en caa uno e los siguientes tiempos: a) t b) t c) t 5 ) t 0 0. Flujo e fluios La velocia e salia v e un líquio que flue por el orificio que se encuentra en la parte inferior e un tanque está aa por v gh, one g es la aceleración e la gravea ( pies por seguno al cuarao) h es la profunia el líquio entro el tanque. Encontrar el ritmo e cambio e v con respecto a h cuano a) h 9 b) h. (Observar que g pies por seguno al cuarao. El signo g epene e cómo se moele el problema. En este caso, consierar una g negativa prouciría un valor imaginario para v.) km rev min km No está ibujao a escala 5. Sombra en movimiento Se eja caer un costal e arena ese un globo aerostático que se encuentra a 60 metros e altura; en ese momento el ángulo e elevación el Sol es e 0 graos (ver la figura). Encontrar el ritmo al que se mueve la sombra sobre el piso cuano el costal está a una altura e 5 metros. [Sugerencia: La posición el costal está aa por s(t) 60.9t.] Posición: s(t) = 60.9t 0 60 m Traectoria e la sombra Raos solares

66 Solución e problemas 6 SP Solución e problemas. Tomano en cuenta la gráfica e la parábola : a) Encontrar el raio r el círculo más grane posible centrao sobre el eje que es tangente a la parábola en el origen, como se muestra en la figura. Este círculo se enomina el círculo e curvatura (ver la sección.5). Encontrar la ecuación e este círculo. Utilizar una herramienta e graficación para representar el círculo la parábola en la misma ventana, con el fin e verificar la respuesta. b) Encontrar el centro (0, b) el círculo con raio centrao sobre el eje que es tangente a la parábola en os puntos, como se muestra en la figura. Encontrar la ecuación e este círculo. Utilizar una herramienta e graficación para representar el círculo la parábola en la misma ventana, con el fin e verificar la respuesta. (0, b) ) Demostrar que para too punto (a, b) (0, 0) sobre la parábola, la recta normal corta a la gráfica una seguna vez. 5. Encontrar un polinomio e tercer grao p() tangente a la recta en el punto (, ), tangente a la recta 5 en el punto (, ). 6. Encontrar la función e la forma ƒ() a b cos c tangente a la recta en el punto (0, ) tangente a la recta en el punto,. 7. La gráfica e la curva ocho, en forma e pera, a, a 0, es la siguiente r a a Figura para a Figura para b. Representar las os parábolas 5 en el mismo plano cartesiano. Encontrar las ecuaciones e las os rectas igualmente tangentes a ambas parábolas.. a) Encontrar el polinomio P () a 0 a cuo valor peniente concueran con el valor la peniente e ƒ() cos en el punto 0. b) Encontrar el polinomio P () a 0 a a cuo valor primeras os erivaas concueran con el valor las os primeras erivaas e ƒ() cos en el punto 0. Este polinomio se enomina polinomio e Talor e seguno grao e ƒ() cos en 0. c) Completar la siguiente tabla comparano los valores e ƒ() cos P (). Qué es lo que se observa? a) Eplicar cómo poría utilizarse una herramienta e graficación para representar esta curva. b) Utilizar una herramienta e graficación para representar la curva para iversos valores e la constante a. Describir cómo influe en la forma e la curva. c) Determinar los puntos e la curva one la recta tangente es horizontal. 8. La gráfica e la curva cuártica, en forma e pera, b (a ), a, b 0, es la siguiente cos P a ) Encontrar el polinomio e Talor e tercer grao e ƒ() sen en 0.. a) Encontrar la ecuación e la recta tangente a la parábola en el punto (, ). b) Encontrar la ecuación e la recta normal a en el punto (, ). (La recta normal es perpenicular a la tangente.) Dóne corta esta recta a la parábola por seguna vez? c) Encontrar las ecuaciones e las rectas tangente normal a en el punto (0, 0). a) Eplicar cómo poría utilizar una herramienta e graficación para representar esta curva. b) Utilizar una herramienta e graficación para representar la curva para iversos valores e las constantes a b. Describir cómo influen en la forma e la curva. c) Determinar los puntos e la curva one la recta tangente es horizontal.

67 6 CAPÍTULO Derivación 9. Un hombre que mie seis pies e estatura camina a un ritmo e 5 pies por seguno hacia una farola el alumbrao público que tiene 0 pies e altura (ver la figura). Su hijo, que mie pies, le sigue a la misma velocia pero 0 pies etrás e él. Por momentos, la sombra que quea etrás el niño es la proucia por el hombre, en otros, es la el niño. a) Suponieno que el hombre está a 90 pies e la farola, emostrar que su sombra se proecta tras el niño. b) Suponieno que el hombre está a 60 pies e la farola, emostrar que la sombra el niño se etiene más allá e la el hombre. c) Determinar la istancia ese el hombre hasta la farola en la que los bores e ambas sombras están eactamente a la misma istancia e la farola. ) Determinar a qué velocia se mueve el bore e la sombra en función e, la istancia entre el hombre la farola. Analizar la continuia e esta función e velocia e la sombra. 0 pies 6 pies No está ibujao a escala pies 0 pies Figura para 9 Figura para 0 0. Una partícula se mueve sobre la gráfica e (ver la figura). Cuano 8, la componente e su posición aumenta con un ritmo e un centímetro por seguno. a) A qué velocia se moifica la componente en este momento? b) A qué velocia se moifica la istancia ese el origen en este momento? c) A qué velocia cambia el ángulo e inclinación en este momento?. Sea L una función erivable para too. Demostrar que si L(a b) L(a) L(b) para too a b, entonces L() L(0) para too. A qué se parece la gráfica e L?. Sea E una función que satisface E(0) E(0). Demostrar que si E(a b) E(a)E(b) para too a b, entonces E es erivable E() E() para too. Encontrar un ejemplo e una función que satisfaga E(a b) E(a)E(b). sen. El límite funamental lím supone que se mie en 0 raianes. Qué sucee si se miió en graos en vez e raianes? a) Configurar una herramienta e graficación en moo egree completar la tabla. z (en graos) sen z z (8, ) b) Utilizar la tabla para estimar sen z lím z0 z para z en graos. Cuál es el valor eacto e este límite? (Sugerencia: 80 raianes). c) Utilizar la efinición por límite e la erivaa para encontrar z sen z para z en graos. ) Definir las nuevas funciones S(z) sen(cz) C(z) cos(cz), one c 80. Encontrar S(90) C(80). Utilizar la regla e la caena para calcular z Sz. e) Eplicar por qué el cálculo es más sencillo utilizano raianes en lugar e graos.. Un astronauta que está en la Luna lanza una roca. El peso e icha roca es s 7 0 t 7t 6 one s se mie en pies t en segunos. a) Encontrar epresiones para la velocia aceleración e la roca. b) Encontrar el tiempo en que la roca está en su punto más alto calculano el tiempo en el que la velocia es igual a 0. Cuál es la altura e la roca en este momento? c) Cómo se compara la aceleración e la roca con la aceleración e la gravea e la Tierra? 5. Si a es la aceleración e objeto, la variación e la aceleración j se efine como j a(t). a) Utilizar esta efinición para elaborar una interpretación física e j. b) Encontrar j para el vehículo que se menciona en el ejercicio 9 e la sección. e interpretar el resultao. c) En la figura se muestra la gráfica e las funciones e posición, velocia, aceleración variación e la aceleración e un vehículo. Ientificar caa gráfica eplicar el razonamiento. b c a

68 Aplicaciones e la erivaa En este capítulo se iscutirán iferentes aplicaciones e la erivaa e una función. Estas aplicaciones se ivien en tres categorías básicas: trazao e curvas, optimización técnicas e aproimación. En este capítulo, se aprenerá: n Cómo utilizar la erivaa para loca- lizar los valores máimos mínimos e una función en un intervalo cerrao. (.) n Cómo un gran número e resultaos en este capítulo epenen e os importantes teoremas: el Teorema e Rolle el Teorema el valor meio. (.) n Cómo utilizar la primera erivaa para eterminar si una función es creciente o ecreciente. (.) n Cómo emplear la seguna erivaa para eterminar si la gráfica e una función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. (.) n Cómo eterminar las asíntotas hori- zontales e la gráfica e una función. (.5) n Cómo graficar una función con las técnicas el capítulo P-. (.6) n Cómo resolver problemas e optimi- zación. (.7) n Cómo utilizar técnicas e aproima- ción para resolver problemas. (.8.9) E.J. Baumeister Jr./Alam Una nave pequeña inicia su escenso ese una altitu e milla, millas al oeste e la pista e aterrizaje. Daa una función que moela la traectoria en la que planea el avión, cuáno esciene el avión con la maor razón e cambio? (Ver la sección., ejercicio 75.) En el capítulo se usará el cálculo para analizar gráficas e funciones. Por ejemplo, se puee usar la erivaa e una función para eterminar sus valores máimos mínimos. Se usarán límites para ientificar las asíntotas e la gráfica e una función. En la sección.6 se combinarán estas técnicas para trazar la gráfica e una función. 6

69 6 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa. Etremos en un intervalo Entener la efinición e etremos e una función en un intervalo. Entener la efinición e etremos relativos e una función en un intervalo abierto. Encontrar los etremos en un intervalo cerrao. 5 (, 5) Máimo f() = + Etremos e una función En el cálculo, se eica mucho esfuerzo para eterminar el comportamiento e una función ƒ sobre un intervalo I. ƒ tiene un valor máimo en I? Tiene un valor mínimo? Dóne es creciente la función? Dóne es ecreciente? En este capítulo se verá cómo las erivaas se utilizan para responer estas preguntas. También por qué los planteamientos anteriores son importantes en las aplicaciones e la via real. DEFINICIÓN DE EXTREMOS (0, ) Mínimo a) f es continua [, ] es cerrao 5 (0, ) No es un máimo f() = + Mínimo b) f es continua (, ) es abierto 5 (, 5) Máimo g() = No es un mínimo, 0, 0 c) g no es continua [, ] es cerrao. Los etremos pueen encontrarse en puntos interiores o en puntos terminales e un intervalo. Los etremos que se presentan en puntos terminales se enominan etremos o terminales Figura. Sea ƒ efinia sobre un intervalo I que contiene a c.. ƒ(c) es el mínimo e ƒ en I si ƒ(c) ƒ() para toa en I.. ƒ(c) es el máimo e ƒ en I si ƒ(c) ƒ() para toa en I. Los mínimos máimos e una función en un intervalo son los valores etremos, o simplemente etremos, e la función en el intervalo. El mínimo el máimo e una función en un intervalo también reciben el nombre e mínimo absoluto máimo absoluto en el intervalo. Una función no siempre tiene un mínimo o un máimo en un intervalo. Por ejemplo, en la figura.a b, es posible ver que la función ƒ() tiene tanto un mínimo como un máimo en el intervalo cerrao [, ], pero no tiene un máimo en el intervalo abierto (, ). Aemás, en la figura.c se observa que la continuia (o la falta e la misma) puee afectar a la eistencia e un etremo en un intervalo. Esto sugiere el siguiente teorema. (Aunque el teorema e los valores etremos es intuitivamente plausible, la prueba el mismo no se encuentra entro el objetivo e este libro.) TEOREMA. EL TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si ƒ es continua en el intervalo cerrao [a, b], entonces f tiene tanto un mínimo como un máimo en el intervalo. EXPLORACIÓN Determinación e los valores mínimo máimo El teorema el valor etremo (al igual que el teorema el valor intermeio) es un teorema e eistencia porque inica la eistencia e valores mínimo máimo, pero no muestra cómo eterminarlos. Emplear la función para valores etremos e una herramienta e graficación con el fin e encontrar los valores mínimo máimo e caa una e las siguientes funciones. En caa caso, los valores e son eactos o aproimaos? Eplicar. a) f() 5 en el intervalo cerrao [, ] b) f() en el intervalo cerrao [, ]

70 SECCIÓN. Etremos en un intervalo 65 Cresta (0, 0) Máimo relativo (, ) 6 f() = 9( f() = ) Valle (, f tiene un máimo relativo en (0, 0) un mínimo relativo en (, ) Figura. a) ƒ() 0 Etremos relativos puntos o números críticos En la figura., la gráfica e ƒ() tiene un máimo relativo en el punto (0, 0) un mínimo relativo en el punto (, ). De manera informal, para una función continua, es posible que se piense que un máimo relativo ocurre en una cima e la gráfica. Y que un mínimo relativo se presenta en un valle en la gráfica. Tales cimas valles pueen ocurrir e os maneras. Si la cima (o valle) es suave reoneaa, la gráfica tiene una tangente horizontal en el punto alto (o punto bajo). Si la cima (o valle) es angosta picua, la gráfica representa una función que no es erivable en el punto alto (o punto bajo). DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS. Si ha un intervalo abierto que contiene a c en el cual ƒ(c) es un máimo, entonces ƒ(c) recibe el nombre e máimo relativo e ƒ, o se poría afirmar que ƒ tiene un máimo relativo en (c, ƒ(c)).. Si ha un intervalo abierto que contiene a c en el cual ƒ(c) es un mínimo, entonces ƒ(c) recibe el nombre e mínimo relativo e ƒ, o se poría afirmar que ƒ tiene un mínimo relativo en (c, ƒ(c)). El plural e máimo relativo es máimos relativos, el plural e mínimo relativo es mínimos relativos. Un máimo relativo un mínimo relativo algunas veces son llamaos máimo local mínimo local, respectivamente. El ejemplo eamina las erivaas e una función en etremos relativos aos. (Se habla bastante acerca e la eterminación e los etremos relativos e una función en la sección..) EJEMPLO El valor e la erivaa en los etremos relativos Encontrar el valor e la erivaa en caa uno e los etremos relativos que se ilustran en la figura.. f() = b) f (0) no eiste (0, 0) c) 0; f f Figura. f() = sen (, ) Mínimo relativo Mínimo relativo Máimo relativo (, ) 0 Solución a) La erivaa e f 9 es f 8 9 Derivar utilizano la regla el cociente. 99. Simplificar. En el punto (, ), el valor e la erivaa es ƒ() 0 (ver la figura.a). b) En 0, la erivaa e ƒ() no eiste ebio a que ifieren los siguientes límites unilaterales (ver la figura.b). f f 0 lím lím f f 0 lím lím c) La erivaa e ƒ() sen es Límite ese la izquiera. Límite ese la erecha. f cos. En el punto (, ), el valor e la erivaa es ƒ(,) cos () 0. En el punto (, ), el valor e la erivaa es ƒ() cos () 0 (ver la figura.c).

71 66 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa Nótese que en el ejemplo en los etremos relativos la erivaa es cero o no eiste. Los valores e en estos puntos especiales reciben el nombre e puntos críticos. La figura. ilustra los os tipos e números críticos. Obsérvese en la efinición que el número crítico c ebe estar en el ominio e f, pero c no tiene que estar en el ominio e f. DEFINICIÓN DE UN NÚMERO O PUNTO CRÍTICO Sea ƒ efinia en c. Si ƒ(c) 0 o si ƒ no es erivable en c, entonces c es un punto crítico e ƒ. f (c) no eiste f (c) 0 Tangente horizontal c c c es un punto crítico e ƒ Figura. TEOREMA. LOS EXTREMOS RELATIVOS OCURREN SÓLO EN NÚMEROS O PUNTOS CRÍTICOS Si ƒ tiene un mínimo relativo o un máimo relativo en c, entonces c es un punto crítico e ƒ. DEMOSTRACIÓN Mar Evans Picture Librar PIERRE DE FERMAT (60-665) Para Fermat, que estuió abogacía, las matemáticas eran más una afición que una profesión. Sin embargo, Fermat realizó muchas contribuciones a la geometría analítica, la teoría e números, el cálculo la probabilia. En cartas a sus amigos, escribió muchas e las ieas funamentales el cálculo, bastante antes e Newton o Leibniz. Por ejemplo, el teorema. algunas veces se atribue a Fermat. Caso : Si ƒ no es erivable en c, entonces, por efinición, c es un punto crítico e ƒ el teorema es válio. Caso : Si ƒ es erivable en c, entonces ƒ(c) ebe ser positiva, negativa o 0. Suponer que ƒ(c) es positiva. Entonces f f c fc lím > 0 c c lo cual implica que eiste un intervalo (a, b) que contiene a c e moo tal que f f c > 0, para too c en a, b. (Ver el ejercicio 8b, sección..) c Como este cociente es positivo, los signos en el enominaor el numeraor eben coinciir. Lo anterior prouce las siguientes esigualaes para los valores e en el intervalo (a, b). Izquiera e c: Derecha e c: < c > c f < f c f > f c f c f c no es un mínimo relativo no es un máimo relativo De tal moo, la suposición e que ƒ(c) 0 contraice la hipótesis e que ƒ(c) es un etremo relativo. Suponieno que ƒ(c) 0 prouce una contraicción similar, sólo quea una posibilia, a saber, ƒ(c) 0. En consecuencia, por efinición, c es un punto crítico e ƒ el teorema resulta válio.

72 SECCIÓN. Etremos en un intervalo 67 Determinación e etremos en un intervalo cerrao El teorema. señala que los etremos relativos e una función sólo pueen ocurrir en los puntos críticos e la función. Sabieno lo anterior, se pueen utilizar las siguientes estrategias para eterminar los etremos en un intervalo cerrao. Estrategias para la eterminación e etremos en un intervalo cerrao Para eterminar los etremos e una función continua ƒ en un intervalo cerrao [a, b], se siguen estos pasos.. Se encuentran los puntos críticos e ƒ en (a, b).. Se evalúa ƒ en caa punto crítico en (a, b).. Se evalúa ƒ en caa punto etremo e [a, b].. El más pequeño e estos valores es el mínimo. El más grane es el máimo. Los siguientes tres ejemplos muestran cómo aplicar estas estrategias. Asegurarse e ver que la eterminación e los puntos críticos e la función sólo es una parte el proceimiento. La evaluación e la función en los puntos críticos los puntos etremos o terminales corresponen a la otra parte. EJEMPLO Determinación e los etremos en un intervalo cerrao Determinar los etremos e ƒ() en el intervalo [, ]. Solución Se empieza erivano la función f f Escribir la función original. Derivar. Para eterminar los puntos críticos e ƒ, se necesitan encontrar los valores e para los cuales ƒ() 0 toos los valores e para los cuales ƒ() no eiste. f 0 0 0, Igualar f () a cero. Factor. Números críticos. ( 6 8 (, 6) Máimo Debio a que ƒ se efine para too, es posible concluir que estos números son los únicos puntos críticos e ƒ. Al evaluar ƒ en estos os puntos críticos en los puntos etremos e [, ], es posible eterminar que el máimo es ƒ() 6 el mínimo correspone a ƒ(), como se muestra en la tabla. La gráfica e ƒ se muestra en la figura.5. (0, 0) f() = (, Mínimo Punto terminal izquiero f 7 Punto crítico f 0 0 Punto crítico f Mínimo Punto terminal erecho f 6 Máimo En el intervalo cerrao [, ], f tiene un mínimo en (, ) un máimo en (, 6) Figura.5 En la figura.5 nótese que el punto crítico 0 no prouce un mínimo relativo o un máimo relativo. Esto inica que el recíproco el teorema. no es válio. En otras palabras, los números críticos e una función no necesitan proucir etremos relativos.

73 68 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa (0, 0) Máimo EJEMPLO Determinación e los etremos en un intervalo cerrao Encontrar los etremos e ƒ() en el intervalo [, ]. (, ) ), 6 9) Solución Se empieza erivano la función. Mínimo (, 5) 5 f f Escribir la función original. Derivar. f() / En el intervalo cerrao [, ], f tiene un mínimo en (, 5) un máimo en (0, 0) Figura.6 A partir e esta erivaa, es posible avertir que la función tiene os puntos críticos en el intervalo [, ]. El número es crítico porque ƒ() 0, el punto 0 es un punto crítico ebio a que ƒ(0) no eiste. Al evaluar ƒ en estos os números en los puntos etremos el intervalo, se puee concluir que el mínimo es ƒ() 5 el máimo, ƒ(0) 0, como se inica en la tabla. La gráfica e ƒ se muestra en la figura.6. Punto terminal izquiero Punto crítico Punto crítico Punto terminal erecho f 5 Mínimo f 0 0 Máimo f f (0, ) (, ) Máimo f() sen cos ( ), Mínimo (, ) 7 (, (, ) En el intervalo cerrao, [0, ], f tiene os mínimos en (76, ) (6, ) un máimo en (, ) Figura.7 ) EJEMPLO Determinación e los etremos en un intervalo cerrao Encontrar los etremos e ƒ() sen cos en el intervalo [0, ]. Solución Esta función es erivable para too real, por lo que es posible eterminar toos los puntos críticos erivánola e igualano ƒ() a cero, como se inica. f sen cos f cos sen 0 cos cos sen 0 cos sen 0 Escribir la función original. Igualar f () a cero. sen cos sen. Factor. En el intervalo [0, ], el factor cos es cero cuano cuano. El factor ( sen ) es cero cuano 76 cuano 6. Al evaluar ƒ en estos cuatro números críticos en los puntos etremos el intervalo, se conclue que el máimo es ƒ() que el mínimo se presenta en os puntos, ƒ(76) ƒ(6), como se inica en la tabla. La gráfica se muestra en la figura.7. Punto terminal izquiero f 0 Punto crítico Punto crítico Punto crítico Punto crítico f f f f Máimo Mínimo Mínimo Punto terminal erecho f

74 SECCIÓN. Etremos en un intervalo 69. Ejercicios En los ejercicios a 6, eterminar el valor e la erivaa (si ésta eiste) en caa etremo inicao.. f. (0, 0). g. 5. f (, ) En los ejercicios 7 a 0, aproimar los puntos críticos e la función que se muestra en la gráfica. Determinar si la función tiene un máimo relativo, mínimo relativo, máimo absoluto, mínimo absoluto o ninguno e éstos en caa número crítico sobre el intervalo inicao f cos (0, ) f ( ), (, 0) f 6 (0, ) (, ) En los ejercicios a 6, eterminar cualesquiera e los puntos críticos e la función.. f gt t t, t <. f 5. h sen cos 6. f sec tan En los ejercicios 7 a 6, ubicar los etremos absolutos e la función en el intervalo cerrao. En los ejercicios 7 a 0, localizar los etremos absolutos e la función (si eisten) sobre caa intervalo < 7. f,, 8. f 9. g, 0, 0. h 5,,. f,.,.,, < < t,, 5 0. g,. f,,. 0, 6. f cos,. 5. cos, 0, 6. tan 0, 8,, g < t 5. gt, 6. f t,, 7. hs 0, 8. ht t s, t, 5, f, 0, g,,, 5 h,, g sec, 6, 8 0, 5, f 8. f 5 (a) 0, (b) 0, (a), (b), (c) 0, () 0, (c), (), 9. f 0. f (a), (b), (a), (b), 0 (c) 0, (), (c), (),

75 70 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa CAS En los ejercicios a 6, ibujar la gráfica e la función. Luego localizar los etremos absolutos e la misma sobre el intervalo inicao.... f,., En los ejercicios 7 8, a) usar un sistema e álgebra por computaora para representar la función aproimar cualesquiera etremos absolutos sobre el intervalo ao. b) Utilizar una herramienta e graficación para eterminar cualesquiera puntos críticos emplear éstos para encontrar toos los etremos absolutos no ubicaos en los puntos etremos o terminales. Comparar los resultaos con los el apartao a) f,, f,, f, f cos, f, 0, < <, 5 0, f , 0,, 0, 0,, 5 f, 0, Desarrollo e conceptos En los ejercicios 55 56, ibuje la gráfica e una función sobre el intervalo [, 5] que tenga las siguientes características. 55. Máimo absoluto en, mínimo absoluto en, máimo relativo en. 56. Mínimo relativo en, número crítico en 0, pero ningún etremo, máimo absoluto en, mínimo absoluto en 5. En los ejercicios 57 a 60, eterminar a partir e la gráfica si ƒ tiene un mínimo en el intervalo abierto (a, b). 57. a) b) a b f a b f CAS CAS En los ejercicios 9 50, utilizar un sistema e álgebra por computaora para encontrar el valor máimo e ƒ() en el intervalo cerrao. (Este valor se usa en la estimación el error para la regla el trapecio, como se eplica en la sección.6.) 9. f, 0, 50. En los ejercicios 5 5, utilizar un sistema e álgebra por computaora para eterminar el valor máimo e ƒ () () en el intervalo cerrao. (Este valor se emplea en la estimación el error corresponiente a la regla e Simpson, como se eplica en la sección.6.) 5. f 5. f, 0,,, f,, 5. Reacción Escribir un párrafo breve eplicano por qué una función efinia sobre un intervalo abierto puee no tener un máimo o un mínimo. Ilustrar la eplicación con un ibujo e la gráfica e tal función. 58. a) b) f a b a 59. a) b) f b f f Para iscusión 5. Deciir si caa uno e los puntos etiquetaos es un máimo o un mínimo absoluto, un máimo o un mínimo relativo o ninguno. a b a 60. a) b) b B E G C F f f A D a b a b

76 SECCIÓN. Etremos en un intervalo 7 6. Potencia La fórmula para la salia e potencia P e una batería es P VI RI, one V es la fuerza electromotriz en volts. R es la resistencia e I es la corriente. Determinar la corriente (meia en amperes) que correspone a un valor máimo e P en una batería para la cual V volts R 0.5 ohms. Suponer que un fusible e 5 amperes enlaza la salia en el intervalo 0 I 5. Poría aumentarse la salia e potencia sustitueno el fusible e 5 amperes por uno e 0 amperes? Eplicar. 6. Aspersor giratorio para céspe Un aspersor giratorio para céspe se construe e manera tal que t es constante, one varía entre 5 5 (ver la figura). La istancia que el agua recorre horizontalmente es v sen, 5 5 one v es la velocia el agua. Determinar t eplicar por qué este aspersor no rocía e manera uniforme. Qué parte el céspe recibe la maor cantia e agua? v v v v 6 6 PARA MAYOR INFORMACIÓN Para maor información acerca e cálculo e un aspersor e riego para céspe consultar el artículo Design of an Oscillating Sprinkler e Bart Braen en Mathematics Magazine. 6. Panal El área e la superficie e una cela e un panal es S 6hs s cos sen one h s son constantes positivas es el ángulo al cual las caras superiores alcanzan la altura e la cela (ver la figura). Encontrar el ángulo (6 ) que minimiza el área superficial S. h s Aspersor e agua: 5 5 PARA MAYOR INFORMACIÓN Para maor información acerca e la estructura geométrica e una cela e un panal, consultar el artículo The Design of Honecombs e Anthon L. Peressini en UMAP Móulo 50, publicao por COMAP, Inc., Suite 0, 57 Befor Street, Leington, MA Diseño e una autopista Para construir una autopista, es necesario rellenar una parte e un valle one los eclives (penientes) son e 9 6% (ver la figura). La parte superior e la región rellenaa tenrá la forma e un arco parabólico que es tangente a las os penientes en los puntos A B. La istancia horizontal ese el punto A haste el eje ese el punto B hasta el eje es e 500 pies en ambos casos. A 500 pies 500 pies Declive e 9% No está ibujao a escala Declive e 6% Autopista B a) Determinar las coorenaas e A B. b) Determinar una función cuarática a b c, que escriba la parte superior e la región rellenaa. c) Construir una tabla en la que se iniquen las profuniaes el relleno para 500, 00, 00, 00, 00, 0, 00, 00, 00, ) Cuál será el punto más bajo e la autopista terminaa? Estará irectamente sobre el punto one se juntan los os eclives? Veraero o falso? En los ejercicios 65 a 68, eterminar si el enunciao es veraero o falso. Si es falso, eplicar por qué o ar un ejemplo que emuestre la falsea. 65. El máimo e una función que es continua en un intervalo cerrao puee ocurrir en os valores iferentes en el intervalo. 66. Si una función es continua en un intervalo cerrao, entonces ebe tener un mínimo en el intervalo. 67. Si c es un punto crítico e la función ƒ, entonces también es un número crítico e la función g() ƒ() k, one k es una constante. 68. Si c es un punto crítico e la función ƒ, entonces también es un número crítico e la función g() ƒ( k), one k es una constante. 69. Sea la función ƒ erivable en un intervalo I que contiene c. Si ƒ tiene un valor máimo en c, emostrar que ƒ tiene un valor mínimo en c. 70. Consierar la función cúbica ƒ() a b c, one a 0. Demostrar que ƒ puee tener uno, os o ningún punto crítico ar un ejemplo e caa caso. Preparación el eamen Putnam 7. Determinar toos los números reales a > 0 para los que eiste una función f () continua no negativa efinia sobre [0, a], con la propiea e que la región efinia por R {(, ) ; 0 a, 0 f ()} tiene perímetro k área k para algún número real k. Este problema fue preparao por el Committee on the Putnam Prize Competition. The Mathematical Association of America. Toos los erechos reservaos.

77 7 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa. El teorema e Rolle el teorema el valor meio Comprener el uso el teorema e Rolle. Comprener el uso el teorema el valor meio. TEOREMA DE ROLLE Michel Rolle, matemático francés, fue el primero en publicar en 69 el teorema que lleva su nombre. Sin embargo, antes e ese tiempo Rolle fue uno e los más severos críticos el cálculo, señalano que éste proporcionaba resultaos erróneos se basaba en razonamientos infunaos. Posteriormente Rolle se io cuenta e la utilia el cálculo. Teorema e Rolle El teorema el valor etremo (sección.) establece que una función continua en un intervalo cerrao [a, b] ebe tener tanto un mínimo como un máimo en el intervalo. Ambos valores, sin embargo, pueen ocurrir en los puntos etremos. El teorema e Rolle, nombrao así en honor el matemático francés Michel Rolle (65-79), proporciona las coniciones que garantizan la eistencia e un valor etremo en el interior e un intervalo cerrao. EXPLORACIÓ N Valores etremos en un intervalo cerrao Dibujar un plano e coorenaas rectangular en un peazo e papel. Marcar los puntos (, ) (5, ). Utilizano un lápiz o una pluma, ibujar la gráfica e una función erivable f que empieza en (, ) termina en (5, ). Eiste al menos un punto sobre la gráfica para el cual la erivaa sea cero? Sería posible ibujar la gráfica e manera que no hubiera un punto para el cual la erivaa es cero? Eplicar el razonamiento. TEOREMA. TEOREMA DE ROLLE Máimo relativo Sea f continua en el intervalo cerrao [a, b] erivable en el intervalo abierto (a, b). Si ƒ(a) ƒ(b) f entonces eiste al menos un número c en (a, b) tal que ƒ (c) 0. a) f es continua en [a, b] erivable en (a, b) a c Máimo relativo f b DEMOSTRACIÓN Sea ƒ(a) ƒ(b). Caso : Si ƒ() para too en [a, b], f es constante en el intervalo, por el teorema., ƒ() 0 para too en (a, b). Caso : Suponer que ƒ() > para algún en (a, b). Por el teorema el valor etremo, se sabe que f tiene un máimo en algún punto c en el intervalo. Aemás, como ƒ(c) >, este máimo no puee estar en los puntos terminales. De tal moo, f tiene un máimo en el intervalo abierto (a, b). Esto implica que f(c) es un máimo relativo por el teorema., c es un número crítico e f. Por último, como f es erivable en c, es posible concluir que ƒ(c) 0. Caso : Si ƒ() < para algún en (a, b), se puee utilizar un argumento similar al el caso, pero implicano el mínimo en vez el máimo. a b) f es continua en [a, b] Figura.8 c b De acuero con el teorema e Rolle, puee verse que si una función f es continua en [a, b] erivable en (a, b), si ƒ(a) ƒ(b), ebe eistir al menos un valor entre a b en el cual la gráfica e f tiene una tangente horizontal, como se muestra en la figura.8a. Si se elimina el requerimiento e erivabilia el teorema e Rolle, f seguirá tenieno un número crítico en (a, b), pero quizá no prouzca una tangente horizontal. Un caso e este tipo se presenta en la figura.8b.

78 SECCIÓN. El teorema e Rolle el teorema el valor meio 7 EJEMPLO Ilustración el teorema e Rolle Encontrar las os intersecciones en e f f() = + (, 0) (, 0) f ( ) = 0 Tangente horizontal El valor e para el cual f () = 0 está entre las os intersecciones con el eje Figura.9 emostrar que ƒ () 0 en algún punto entre las os intersecciones en. Solución Avertir que f es erivable en toa la recta real. Igualano a 0 ƒ() se obtiene 0 0. Igualar f() a cero. Factor. De tal moo, ƒ() ƒ() 0, e acuero con el teorema e Rolle se sabe que eiste al menos una c en el intervalo (, ) tal que ƒ (c) 0. Para eterminar una c e este tipo, es factible resolver la ecuación f 0 Igualar f () a cero. eterminar que ƒ () 0 cuano. Avertir que el valor e se encuentra en el intervalo abierto (, ), como se inica en la figura.9. El teorema e Rolle establece que si f satisface las coniciones el teorema, ebe haber al menos un punto entre a b en el cual la erivaa es 0. Es posible que eista más e un punto e estas características, como se muestra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO Ilustración el teorema e Rolle f( ) = 8 8 f() = f() = 8 Sea ƒ(). Determinar toos los valores e c en el intervalo (, ) tal que ƒ (c) 0. 6 f (0) = 0 f ( ) = 0 f () = 0 Solución Para empezar, avertir que la función satisface las coniciones el teorema e Rolle. Esto es, f es continua en el intervalo [, ] erivable en el intervalo (, ). Aemás, ebio a que ƒ() ƒ() 8, es posible concluir que eiste al menos una c en (, ) tal que ƒ (c) 0. Igualano a 0 la erivaa, se obtiene f 0 0 0,,. Igualar f () a cero. Factor. Valores e para los cuales f() es igual a cero. f() = 0 para más e un valor e en el intervalo (, ) Figura.0 De tal moo, en el intervalo (, ), la erivaa es cero en valores iferentes e, como se inica en la figura.0. 6 CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Una herramienta e graficación puee utilizarse para inicar si los puntos sobre las gráficas e los ejemplos son mínimos o máimos relativos e las funciones. Sin embargo, al usar una herramienta e graficación, se ebe tener presente que es posible obtener imágenes o gráficas equivocaas. Por ejemplo, usar una herramienta e graficación para representar ƒ ( ) = ( ). 7 / 000( ) + Figura. Con la maoría e las ventanas e visión, parece ser que la función tiene un máimo e cuano (ver la figura.). No obstante al evaluar la función en, se observará que ƒ() 0. Para eterminar el comportamiento e esta función cerca e, es necesario eaminar la gráfica e manera analítica para obtener la imagen completa.

79 7 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa El teorema el valor meio El teorema e Rolle puee utilizarse para probar otro teorema: el teorema el valor meio. TEOREMA. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Peniente e la recta tangente = f (c) Si f es continua en el intervalo cerrao [a, b] erivable en el intervalo abierto (a, b), entonces eiste un número c en (a, b) tal que ƒ = ƒ ( b) () ƒ ( a) c. b a Figura. Mar Evans Picture Librar (a, f(a)) a c b Recta tangente Recta secante (b, f(b)) JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (76-8) El teorema el valor meio fue emostrao por primera vez por el famoso matemático Joseph-Louis Lagrange. Nacio en Italia, Lagrange formó parte e la corte e Feerico El Grane en Berlín urante 0 años. Después, se traslaó a Francia, one se reunió con el emperaor Napoleón Bonaparte, quien ijo lo siguiente: Lagrange es la cúspie e las ciencias matemáticas. DEMOSTRACIÓN Hacemos refererencia a la figura.. La ecuación e la recta secante que contiene los puntos (a, ƒ(a)) (b, ƒ(b)) es b a = ƒ ( ) ƒ ( ) ( a ) +ƒ ( a ). b a Sea g() la iferencia entre f(). Entonces g ( ) =ƒ( ) ( b) ( a) =ƒ( ) ƒ ƒ ( a ) ƒ ( a ). b a Evaluano g en a b, se observa que g(a) 0 g(b). Como f es continua en [a, b] se sigue que g también es continua en [a, b]. Aemás, en virtu e que f es erivable, g también lo es, resulta posible aplicar el teorema e Rolle a la función g. Así, eiste un número c en (a, b) tal que g (c) 0, lo que implica que 0 = g () c = ƒ ƒ ( b) c ƒ ( a) (). b a De tal moo, eiste un número c en (a, b) tal que ƒ = ƒ ( b) () ƒ ( a) c. b a NOTA El término meio en el teorema el valor meio se refiere al ritmo e cambio meio (o promeio) e f en el intervalo [a, b]. Aunque es posible utilizar el teorema el valor meio e manera irecta en la solución e problemas, se usa más a menuo para emostrar otros teoremas. De hecho, algunas personas consieran que éste es el teorema más importante en el cálculo (se relaciona estrechamente con el teorema funamental el cálculo eplicao en la sección.). Por ahora, es posible obtener una iea e la versatilia e este teorema consierano los resultaos planteaos en los ejercicios 8 a 89 e esta sección. El teorema el valor meio tiene implicaciones para ambas interpretaciones básicas e la erivaa. Geométricamente, el teorema garantiza la eistencia e una recta tangente que es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a, ƒ(a)) (b, ƒ(b)), como se inica en la figura.. El ejemplo ilustra esta interpretación geométrica el teorema el valor meio. En términos el ritmo o velocia e cambio, el teorema el valor meio implica que ebe haber un punto en el intervalo abierto (a, b) en el cual el ritmo o velocia e cambio instantánea es igual al ritmo o velocia e cambio promeio sobre el intervalo [a, b]. Esto se ilustra en el ejemplo.

80 SECCIÓN. El teorema e Rolle el teorema el valor meio 75 EJEMPLO Determinación e una recta tangente Recta tangente (, ) (, ) f() = 5 Recta secante (, ) La recta tangente en (, ) es paralela a la línea secante que pasa por (, ) (, ) Figura. Daa ƒ() 5 (), eterminar toos los valores e c en el intervalo abierto (, ) tales que ƒ = ƒ ( ) () ƒ ( ) c. Solución La peniente e la recta secante que pasa por (, ƒ()) (, ƒ()) es ƒ( ) ƒ( ) = =. Nótese que f satisface las coniciones el teorema el valor meio. Esto es que f es continua en el intervalo [, ] erivable en el intervalo (, ). Entonces, eiste al menos un número c en (, ) tal que ƒ (c). Resolvieno la ecuación ƒ (), se obtiene ƒ ( ) = = que implica. De tal moo, en el intervalo (, ), se puee concluir que c, como se inica en la figura.. EJEMPLO Determinación el ritmo e cambio instantáneo 5 millas t = minutos t = 0 No está ibujao a escala En algún tiempo t, la velocia instantánea es igual a la velocia promeio urante los minutos Figura. Dos patrullas estacionaas equipaas con raar se encuentran a 5 millas e istancia sobre una autopista, como se inica en la figura.. Cuano pasa un camión al lao e la primera patrulla, la velocia e éste se registra en un valor e 55 millas por hora. Cuatro minutos espués, cuano el camión pasa al lao e la seguna patrulla, el registro e velocia correspone a 50 millas por hora. Demostrar que el camión ha eceio el límite e velocia (e 55 millas por hora) en algún momento entro el intervalo e los minutos señalaos. Solución Sea t 0 el tiempo (en horas) cuano el camión pasa al lao e la primera patrulla. El tiempo en el que el camión pasa al lao e la seguna patrulla es t = = 60 5 hora. Si s(t) representa la istancia (en millas) recorrias por el camión, se tiene que s(0) 0 s( ) 5. Por tanto, la velocia promeio el camión sobre el trecho e cinco millas e autopista es s( 5 ) s( 0) Velocia promeio = ( 5 ) 0 5 = = 75 millas por hora. 5 Suponieno que la función e posición es erivable, es posible aplicar el teorema el valor meio para concluir que el camión ebe haber estao viajano a razón e 75 millas por hora en algún momento urante los minutos. Una forma alternativa útil el teorema el valor meio es como sigue: si f es continua en [a, b] erivable en (a, b), entonces eiste un número c en (a, b) tal que f b f a b afc. Forma alternativa el teorema el valor meio. NOTA Al realizar los ejercicios e esta sección tener presente que las funciones polinomiales, las racionales las trigonométricas son erivables en toos los puntos en sus ominios.

81 76 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa En los ejercicios a, eplicar por qué el teorema e Rolle no se aplica a la función aun cuano eistan a b tales que ƒ(a) ƒ(b).. f.,. f,. En los ejercicios 5 a 8, eterminar os intersecciones con el eje e la función ƒ emostrar que ƒ () 0 en algún punto entre las os intersecciones. 5. f f 8. Teorema e Rolle En los ejercicios 9 0, se muestra la gráfica e ƒ. Aplicar el teorema e Rolle eterminar toos los valores e c tales que ƒ (c) 0 en algún punto entre las intersecciones marcaas. 9. f() = + 0. f cot,, En los ejercicios a, eterminar si es posible aplicar el teorema e Rolle a ƒ en el intervalo cerrao [a, b]. Si se puee aplicar el teorema e Rolle, eterminar toos los valores e c en el intervalo abierto (a, b) tales que ƒ (c) 0. Si no se puee aplicar, eplicar por qué no , [0, ] Ejercicios f, f 5, f, f, f, f, f, f, f sen, f cos, 0, f 6 sen, 0, f tan, f sec, (, 0) (, 0) f cos,, 0,, 0,, 0,, 8, 8 0, 6,, 6 f,, f f (0, 0), f() = sen π (, 0) π π π En los ejercicios 5 a 8, utilizar una herramienta e graficación para representar la función en el intervalo cerrao [a, b]. Determinar si el teorema e Rolle puee aplicarse a ƒ en el intervalo, si es así, encontrar toos los valores e c en el intervalo abierto (a, b) tales que ƒ (c) f,, 6. f, 0, f tan,, f sen,, Movimiento vertical La altura e una pelota t segunos espués e que se lanzó hacia arriba a partir e una altura e 6 pies con una velocia inicial e 8 pies por seguno es ƒ(t) 6t 8t 6. a) Verificar que ƒ() ƒ(). b) De acuero con el teorema e Rolle, cuál ebe ser la velocia en algún tiempo en el intervalo (, )? Determinar ese tiempo. 0. Costos e nuevos peios El costo e peio transporte C para componentes utilizaos en un proceso e manufactura se aproima meiante C 0, one C se mie en miles e ólares es el tamaño el peio en cientos. a) Verificar que C() = C(6). b) De acuero con el teorema e Rolle, el ritmo e cambio el costo ebe ser 0 para algún tamaño e peio en el intervalo (, 6). Determinar ese tamaño e peio. En los ejercicios, copiar la gráfica ibujar la recta secante a la misma a través e los puntos (a, ƒ(a)) (b, ƒ(b)). Después ibujar cualquier recta tangente a la gráfica para caa valor e c garantizaa por el teorema el valor meio... a Reacción En los ejercicios a 6 eplicar por qué el teorema e valor meio no se aplica a la función ƒ en el intervalo [0, 6] f 6. f b 5 a 5 6 f f b

82 SECCIÓN. El teorema e Rolle el teorema el valor meio Teorema el valor meio Consierar la gráfica e la función ƒ() 5. a) Determinar la ecuación e la recta secante que une los puntos (, ) (, ). b) Utilizar el teorema el valor meio para eterminar un punto c en el intervalo (, ) tal que la recta tangente en c sea paralela a la recta secante. c) Encontrar la ecuación e la recta tangente que pasa por c. ) Utilizar espués una herramienta e graficación para representar ƒ, la recta secante la recta tangente. Figura para 7 Figura para 8 8. Teorema el valor meio Consierar la gráfica e la función ƒ(). a). Encontrar la ecuación e la recta secante que une los puntos (, 6) (, 0). b) Emplear el teorema el valor meio para eterminar un punto c en el intervalo (, ) tal que la recta tangente en c sea paralela a la recta secante. c) Determinar la ecuación e la recta tangente que pasa por c. ) Utilizar espués una herramienta e graficación para representar ƒ, la recta secante la recta tangente. En los ejercicios 9 a 8, eterminar si el teorema el valor meio puee aplicarse a ƒ sobre el intervalo cerrao [a, b]. Si el teorema el valor meio puee aplicarse, encontrar toos los valores e c f b f a en el intervalo abierto (a, b) tal que fc. Si no b a puee aplicarse eplicar por qué no (, ) 6 f, f, f, f, f sen, f() = + 5 (, ), 0, 0, f cos tan, En los ejercicios 9 a 5, utilizar una herramienta e graficación para a) representar la función ƒ sobre el intervalo, b) encontrar representar la recta secante que pasa por los puntos sobre la gráfica e ƒ en los puntos terminales el intervalo ao c) encontrar representar cualesquiera rectas tangentes a la gráfica e ƒ que sean paralelas a la recta secante. 9. f,, f,, 9 5. f, 0, 6,, 0, 0... (, 6) f() = (, 0) 8 8 f sen,, 5. Movimiento vertical La altura e un objeto tres segunos espués e que se eja caer ese una altura e 00 metros es s(t).9t 00. f, f, 0, f 8, 6. f, 7, 0,, a) Encontrar la velocia promeio el objeto urante los primeros tres segunos. b) Utilizar el teorema el valor meio para verificar que en algún momento urante los primeros tres segunos e la caía la velocia instantánea es igual a la velocia promeio. Determinar ese momento. 5. Ventas Una compañía introuce un nuevo proucto para el cual el número e uniaes venias S es St t one t es el tiempo en meses. a) Encontrar el valor promeio e cambio e S(t) urante el primer año. b) Durante qué mes el primer año S(t) es igual al valor promeio e cambio? Desarrollo e conceptos 55. Sea ƒ continua en [a, b] erivable en (a, b). Si eiste c en (a, b) tal que ƒ (c) 0, se conclue que ƒ(a) ƒ(b)? Eplicar. 56. Sea ƒ continua en el intervalo cerrao [a, b] erivable en el intervalo abierto (a, b). Aemás, suponer que ƒ(a) ƒ(b) que c es un número real en el intervalo tal que ƒ (c) 0. Encontrar un intervalo para la función g sobre la cual puea aplicarse el teorema e Rolle eterminar el punto crítico corresponiente e g (k es una constante). a) g f k b) g f k c) g f k 57. La función f 0,, 0 0 < es erivable en (0, ) satisface ƒ(0) ƒ(). Sin embargo, su erivaa nunca es cero en (0, ). Contraice lo anterior al teorema e Rolle? Eplicar. 58. Es posible encontrar una función ƒ tal que ƒ(), ƒ() 6 ƒ () < para toa. Por qué sí o por qué no? 59. Velocia Un avión espega a las :00 p.m. en un vuelo e 500 millas. El avión llega a su estino a las 7:0 p.m. Eplicar por qué ha al menos os momentos urante el vuelo en los que la velocia el avión es e 00 millas por hora. 60. Temperatura Cuano se saca un objeto el horno se pone a temperatura ambiente constante e 90 F la temperatura e su núcleo es e 500 F. Cinco horas espués la temperatura el núcleo correspone a 90 F. Eplicar por qué ebe eistir un momento (o instante) en el intervalo en el que la temperatura isminue a un ritmo o tasa e F por hora. 6. Velocia Dos ciclistas empiezan una carrera a las 8:00 a.m. Ambos terminan la carrera horas 5 minutos espués. Demostrar en qué momento e la carrera los ciclistas viajan a la misma velocia. 6. Aceleración A las 9: a.m., un automóvil eportivo viaja a 5 millas por hora. Dos minutos espués se esplaza a 85 millas por hora. Demostrar que en algún momento urante este intervalo, la aceleración el automóvil es eactamente igual a 500 millas por hora al cuarao.

83 78 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa 6. Consierar la función f cos. a) Utilizar una herramienta e graficación para representar ƒ ƒ. b) Es ƒ una función continua? Es ƒ una función continua? c) Se aplica el teorema e Rolle al intervalo [, ]? Se aplica en el intervalo [, ]? Eplicar. ) Evaluar si es posible, lím ƒ ( ) lím ƒ ( ). Para iscusión Razonamiento gráfico La figura muestra os partes e la gráfica e una función erivable continua ƒ en [0, ]. La erivaa ƒ también es continua. a) Eplicar por qué ƒ ebe tener al menos un cero en [0, ]. b) Eplicar por qué ƒ ebe tener también al menos un cero en el intervalo [0, ]. Cómo se llaman estos ceros? c) Realizar un posible ibujo e la función con un cero con ƒ en el intervalo [0, ]. ) Realizar un posible ibujo e la función con os ceros e ƒ en el intervalo [0, ]. e) Fueron necesarias las coniciones e continuia e ƒ ƒ para efectuar las partes e la a) a la )? Eplicar. Para pensar En los ejercicios 65 66, ibujar la gráfica e una función arbitraria ƒ que satisface la conición aa pero que no cumple las coniciones el teorema el valor meio en el intervalo [5, 5]. 65. ƒ es continua en [5, 5]. 66. ƒ no es continua en [5, 5]. En los ejercicios 67 a 70, usar el teorema el valor intermeio el teorema e Rolle para emostrar que la ecuación tiene eactamente una solución real sen sin cos 0 7. Determinar los valores a, b c tales que la función ƒ satisfaga la hipótesis el teorema el valor meio en el intervalo [0, ]. f, a b, c, 0 0 < < 7. Determinar los valores a, b, c e manera que la función ƒ satisfaga la hipótesis el teorema el valor meio en el intervalo [, ]. f a,, b c,, < 0 0 < < Ecuaciones iferenciales En los ejercicios 7 a 76, encontrar una función ƒ que tiene la erivaa ƒ () cua gráfica pasa por el punto ao. Eplicar el razonamiento. 7. f 0,, f,, Veraero o falso? En los ejercicios 77 a 80, eterminar si el enunciao es veraero o falso. Si es falso, eplicar por qué o ar un ejemplo que lo emuestre. 77. El teorema el valor meio puee aplicarse a ƒ() en el intervalo [, ]. 78. Si la gráfica e una función tiene tres intersecciones con el eje, entonces ebe tener al menos os puntos en los cuales su recta tangente es horizontal. 79. Si la gráfica e una función polinomial tiene tres intersecciones con el eje, entonces ebe tener al menos os puntos en los cuales su recta tangente es horizontal. 80. Si ƒ () 0 para too en el ominio e ƒ, entonces ƒ es una función constante. 8. Demostrar que si a > 0 n es cualquier entero positivo, entonces la función polinomial p() n a b no puee tener os raíces reales. 8. Demostrar que si ƒ () 0 para too en el intervalo (a, b), entonces ƒ es constante en (a, b). 8. Sea p() A B C. Demostrar que para cualquier intervalo [a, b], el valor c garantizao por el teorema el valor meio es el punto meio el intervalo. 8. a) Sea ƒ() g(). Entonces ƒ() g() ƒ() g(). Demostrar que ha al menos un valor c en el intervalo (, ) one la recta tangente a ƒ en (c, ƒ(c)) es paralela a la recta tangente g en (c, g(c)). Ientificar c. b) Sea ƒ g la función erivable en [a, b] one ƒ(a) g(a) ƒ(b) g(b). Demostrar que ha al menos un valor c en el intervalo (a, b) one la recta tangente ƒ en (c, ƒ(c)) es paralela a la recta tangente a g en (c, g(c)). 85. Demostrar que si ƒ es erivable en (, ) ƒ() < para too número real, entonces ƒ tiene al menos un punto fijo. Un punto fijo para una función ƒ es un número real c tal que ƒ(c) c. 86. Usar el resultao el ejercicio 85 para emostrar que ƒ() cos tiene al menos un punto fijo. 87. Demostrar que cos a cos b a b para toa a b. 88. Demostrar que sen a sen b a b para toa a b. 89. Sea 0 < a < b. Utilizar el teorema el valor meio para emostrar que b a < b a a. f, 0, f,, 0

84 SECCIÓN. Funciones crecientes ecrecientes el criterio e la primera erivaa 79. Funciones crecientes ecrecientes el criterio e la primera erivaa Determinar los intervalos sobre los cuales una función es creciente o ecreciente. Aplicar el criterio e la primera erivaa para eterminar los etremos relativos e una función. Funciones crecientes ecrecientes En esta sección se verá cómo se pueen utilizar las erivaas para clasificar etremos relativos a sea como mínimos o como máimos relativos. En primer término, es importante efinir las funciones crecientes ecrecientes. DEFINICIÓN DE FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Decreciente a Constante b f Creciente f () 0 f () 0 f () 0 La erivaa se relaciona con la peniente e una función Figura.5 Una función ƒ es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera os números en el intervalo, implica ƒ( ) ƒ( ). Una función ƒ es ecreciente sobre un intervalo si para cualesquiera os números en el intervalo, implica ƒ( ) ƒ( ). Una función es creciente si, cuano se mueve hacia la erecha, su gráfica asciene, es ecreciente si su gráfica esciene. Por ejemplo, la función en la figura.5 es ecreciente en el intervalo (, a), es constante en el intervalo (a, b) creciente en el intervalo (b, ). Como se muestra en el teorema.5, una erivaa positiva implica que la función es creciente; una erivaa negativa implica que la función es ecreciente, una erivaa cero en too el intervalo implica que la función es constante en ese intervalo. TEOREMA.5 CRITERIO PARA LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Sea ƒ una función que es continua en el intervalo cerrao [a, b] erivable en el intervalo abierto (a, b).. Si ƒ() 0 para too en (a, b), entonces ƒ es creciente en [a, b].. Si ƒ() 0 para too en (a, b) entonces ƒ es ecreciente en [a, b].. Si ƒ() 0 para too en (a, b) entonces ƒ es constante en [a, b]. DEMOSTRACIÓN Para probar el primer caso, supongamos que ƒ() 0 para too en el intervalo (a, b) sean cualesquiera os puntos en el intervalo. Meiante el teorema el valor meio, se sabe que eiste un número c tal que c, ( ) ( ) () c. Como ƒ(c) 0 0, se sabe que f f > 0 lo cual implica que ƒ( ) ƒ( ). De tal moo, ƒ es creciente en el intervalo. El seguno caso tiene una emostración similar (ver el ejercicio 0), el tercer caso se io en el ejercicio 8 en la sección.. NOTA Las conclusiones en los primeros os casos el teorema.5 son válias incluso si ƒ() 0 en un número finito e valores e en (a, b).

85 80 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa EJEMPLO Intervalos sobre los cuales ƒ es creciente ecreciente Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales ƒ() es creciente o ecreciente. Solución Nótese que ƒ es erivable en toa la recta e los números reales. Para eterminar los puntos críticos e ƒ, igualar a cero ƒ(). (, ) Creciente (0, 0) Figura.6 f() Decreciente Creciente f f 0 0 0, Escribir la función original. Derivar e igualar f() a cero. Factorizar. Puntos críticos. Como no ha puntos para los cuales ƒ no eista, es posible concluir que 0 son los únicos puntos críticos. La tabla siguiente resume la prueba e los tres intervalos eterminaos por estos os puntos críticos. Intervalo Valor e prueba Signo e f < < 0 f 6 > 0 0 < < f < 0 < < f 6 > 0 Conclusión Creciente Decreciente Creciente f () = Creciente Creciente a) Función estrictamente monótona Constante Creciente De tal moo, ƒ es creciente en los intervalos (, 0) (, ) ecreciente en el intervalo (0, ), como se inica en la figura.6. El ejemplo muestra cómo eterminar intervalos sobre los cuales una función es creciente o ecreciente. La guía siguiente resume los pasos que se siguen en el ejemplo. Estrategias para eterminar los intervalos en los que una función es creciente o ecreciente Sea ƒ continua en el intervalo (a, b). Para encontrar los intervalos abiertos sobre los cuales ƒ es creciente o ecreciente, ha que seguir los siguientes pasos.. Localizar los puntos críticos e ƒ en (a, b), utilizarlos para eterminar intervalos e prueba.. Determinar el signo e ƒ() en un valor e prueba en caa uno e los intervalos.. Recurrir al teorema.5 para eterminar si ƒ es creciente o ecreciente para caa intervalo. Estas estrategias también son válias si el intervalo (a, b) se sustitue por un intervalo e la forma (, b), (a, ) o (, ). Creciente f(), 0, ( ), b) No estrictamente monótona Figura Una función es estrictamente monótona sobre un intervalo si es creciente o ecreciente en too el intervalo. Por ejemplo, la función ƒ() es estrictamente monótona en toa la recta e los números reales porque es creciente siempre sobre ella, como se inica en la figura.7a. La función que se muestra en la figura.7b no es estrictamente monótona en toa la recta e los números reales porque es constante en el intervalo [0, ].

86 SECCIÓN. Funciones crecientes ecrecientes el criterio e la primera erivaa 8 (0, 0) Máimo relativo Mínimo relativo Etremos relativos e ƒ Figura.8 f() ( ), Criterio e la primera erivaa Una vez que se han eterminao los intervalos e crecimiento o ecrecimiento, es fácil localizar los etremos relativos e la función. Por ejemplo, en la figura.8 (el ejemplo ), la función ( ) tiene un máimo relativo en el punto (0, 0) porque ƒ es creciente inmeiatamente a la izquiera e 0 ecreciente inmeiatamente a la erecha e 0. De manera similar, ƒ tiene un mínimo relativo en el punto (, ) ebio a que ƒ ecrece e inmeiato a la izquiera e crece e inmeiato a la erecha e. El siguiente teorema, enominao prueba o criterio e la primera erivaa, precisa más esta observación. TEOREMA.6 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Sea c un punto crítico e una función ƒ que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si ƒ es erivable en el intervalo, ecepto posiblemente en c, entonces ƒ(c) puee clasificarse como sigue.. Si ƒ() cambia e negativa a positiva en c, entonces ƒ tiene un mínimo relativo en (c, ƒ(c)).. Si ƒ() cambia e positiva a negativa en c, entonces ƒ tiene un máimo relativo en (c, ƒ(c)).. Si ƒ() es positiva en ambos laos e c o negativa en ambos laos e c, entonces ƒ(c) no es ni un mínimo relativo ni un máimo relativo. () () () () f () 0 f () 0 a c b Mínimo relativo f () 0 f () 0 a c b Máimo relativo () () () () f () 0 f () 0 f () 0 f () 0 a c b a c b Ni mínimo relativo ni máimo relativo DEMOSTRACIÓN Supóngase que ƒ() cambia e negativa a positiva en c. Entonces ahí eisten a b en I tales que f < 0 para too en a, c f > 0 para too en c, b. Por el teorema.5, ƒ es ecreciente en [a, c] creciente en [c, b]. De tal moo, ƒ(c) es un mínimo e ƒ en el intervalo abierto (a, b), en consecuencia, un mínimo relativo e ƒ. Esto emuestra el primer caso el teorema. El seguno caso puee emostrarse e una manera similar (ver el ejercicio 05).

87 8 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa EJEMPLO Aplicación el criterio e la primera erivaa Determinar los etremos relativos e la función ƒ() sen en el intervalo (0, ). Solución Obsérvese que ƒ es continua en el intervalo (0, ). Para eterminar los puntos críticos e ƒ en este intervalo, hacer ƒ() igual a 0. f cos 0 Igualar f () a cero. cos, 5 Puntos críticos. Debio a que ƒ eiste en toos los puntos, se puee concluir que 5 son los únicos puntos críticos. La tabla resume valores prueba en caa uno e los tres intervalos e prueba eterminaos por estos os puntos críticos. Intervalo 0 < < < < 5 5 < < f() = sen Máimo relativo Valor e prueba Signo e f f < 0 f > 0 7 f 7 < 0 Conclusión Decreciente Creciente Decreciente Mínimo relativo 5 Ocurre un mínimo relativo one ƒ cambia e ecreciente a creciente, un máimo relativo one ƒ cambia e creciente a ecreciente Figura.9 Aplicano el criterio e la primera erivaa, es posible concluir que ƒ tiene un mínimo relativo en el punto one un máimo relativo en el punto en el que 5 como se muestra en la figura.9. Valor e one ocurre el mínimo relativo. Valor e one ocurre el máimo relativo. EXPLORACIÓN Comparación e los enfoques gráfico analítico De la sección., se sabe que una herramienta e graficación, por sí misma, puee proucir información equivocaa acerca e los etremos relativos e una gráfica. Sin embargo, utilizaa en conjunción con un enfoque analítico una herramienta e graficación tiene la posibilia e ofrecer una buena forma e reforzar sus conclusiones. Recurra a una herramienta e graficación para representar la función el ejemplo. Después utilizar las características zoom trace para estimar los etremos relativos. Cómo son e precisas las aproimaciones gráficas que se obtuvieron? Nótese que en los ejemplos las funciones aas son erivables en toa la recta real. Para tales funciones, los únicos puntos críticos son aquellos para los cuales ƒ() 0. El ejemplo se relaciona con una función que tiene os tipos e puntos críticos: aquellos para los cuales ƒ() 0 aquellos para los cuales ƒ no es erivable.

88 SECCIÓN. Funciones crecientes ecrecientes el criterio e la primera erivaa 8 EJEMPLO Aplicación el criterio e la primera erivaa Encontrar los etremos relativos e f. Solución Empezar observano que ƒ es continua en toa la recta real. La erivaa e ƒ f Regla e la potencia general. f() = ( ) / Máimo relativo 0, 6 (, 0) Mínimo relativo Se puee aplicar el criterio e la primera erivaa para encontrar los etremos relativos Figura.0 ( ) (, 0) Mínimo relativo Simplificar. es 0 cuano 0 no eiste cuano. De tal moo, los puntos críticos son, 0. La tabla resume los valores prueba e cuatro intervalos eterminaos por estos puntos críticos. Intervalo Valor e prueba Signo e f Conclusión Decreciente Creciente Decreciente Creciente Aplicano el criterio e la primera erivaa, se puee concluir que ƒ tiene un mínimo relativo en el punto (, 0), un máimo relativo en el punto (, 0 6), otro mínimo relativo en el punto (, 0), como se ilustra en la figura.0. CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Cuano se utiliza una herramienta e graficación para representar una función que inclua raicales o eponentes racionales, ha que cerciorarse e entener la forma en que la herramienta e graficación evalúa las epresiones raicales. Por ejemplo, aun cuano f < < f < 0 < < 0 f > 0 0 < < f < 0 < < f > 0 g son los mismos algebraicamente, algunas herramientas e graficación establecen una istinción entre estas os funciones. Cuál e las gráficas que se muestran en la figura. es incorrecta? Por qué la herramienta e graficación prouce una gráfica incorrecta? f() = ( ) / 5 g() = [( ) ] / 5 Cuál e las gráficas es incorrecta? Figura.

89 8 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa Al usar el criterio e la primera erivaa, es necesario asegurarse e que se consiere el ominio e la función. Por ejemplo, en el siguiente ejemplo, la función ( ) no está efinia cuano 0. Este valor e ebe utilizarse con los puntos críticos para eterminar los intervalos e prueba. EJEMPLO Aplicación el criterio e la primera erivaa Determinar los etremos relativos e f( ). Solución f f Reescribir la función original. Derivar. Reescribir con eponente positivo. Simplificar. Factorizar. f() 5 (, ) (, ) Mínimo relativo Mínimo relativo Valores e que no están en el ominio e f, así como los puntos críticos, eterminan los intervalos prueba e ƒ Figura. De tal moo, ƒ() es cero en. Aemás, como 0 no está en el ominio e ƒ, es necesario utilizar este valor e junto con los puntos críticos para eterminar los intervalos prueba. 0 Puntos críticos, ƒ() 0. Cero no está en el ominio e f. La tabla resume los valores prueba e los cuatro intervalos eterminaos por estos tres valores e. Intervalo Valor e prueba Signo e f < < f < 0 < < 0 f > 0 0 < < f < 0 Conclusión Decreciente Creciente Decreciente < < f > 0 Creciente Aplicano el criterio e la primera erivaa, se puee concluir que ƒ tiene un mínimo relativo en el punto (, ) otro en el punto (, ), como se muestra en la figura.. TECNOLOGÍA El paso más ifícil al aplicar el criterio e la primera erivaa es eterminar los valores para los cuales la erivaa es igual a 0. Por ejemplo, los valores e para los cuales la erivaa e ( ) es igual a cero son 0. Si se tiene acceso a tecnología que puee efectuar erivación simbólica resolver ecuaciones, utilizarla para aplicar el criterio e la primera erivaa a esta función.

90 SECCIÓN. Funciones crecientes ecrecientes el criterio e la primera erivaa 85 EJEMPLO 5 La traectoria e un proectil Thomas Kienzle/Wie Worl Photos Si un proectil se lanza ese el nivel el suelo se ignora la resistencia el aire, el objeto viajará más lejos con un ángulo inicial e 5. Pero, si el proectil se lanza ese un punto sobre el nivel el suelo, el ángulo que prouce una istancia máima horizontal no es 5 (ver el ejemplo 5). Ignorano la resistencia el aire, la traectoria e un proectil que se lanza a un ángulo es g sec v 0 tan h, 0 one es la altura, es la istancia horizontal, g es la aceleración ebia a la gravea, v 0 es la velocia inicial h es la altura inicial. (Esta ecuación se obtuvo en la sección..) Sea g pies por seguno, v 0 pies por seguno h 9 pies por seguno. Qué valor e proucirá una máima istancia horizontal? Solución Para encontrar la istancia que el proectil recorre, sea 0, utilizar la fórmula cuarática para resolver con respecto a. g sec v 0 tan h 0 sec tan 9 0 sec 6 tan 9 0 tan tan sec sec 8 8 cos sen sen, 0 En este punto, se necesita eterminar el valor e que prouce un valor máimo e. La aplicación el criterio e la primera erivaa en forma manual resultaría teiosa. Sin embargo, el uso e tecnología para resolver la ecuación 0 elimina la maoría e los cálculos engorrosos. El resultao es que el valor máimo e ocurre cuano raianes, o 5.. Esta conclusión se refuerza ibujano la traectoria el proectil para iferentes valores e como se inica en la figura.. De las tres traectorias inicaas, notar que la istancia recorria es maor para h = La traectoria e un proectil con un ángulo inicial Figura.

91 86 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa. Ejercicios En los ejercicios, utilizar la gráfica e ƒ para eterminar a) el intervalo abierto más grane sobre el cual ƒ es creciente b) el intervalo abierto más grane sobre el cual ƒ es ecreciente f En los ejercicios a 8, utilizar la gráfica para estimar los intervalos abiertos sobre los cuales la función es creciente o ecreciente. Posteriormente eterminar los mismos intervalos analíticamente.. f En los ejercicios 9 a 6, ientificar los intervalos abiertos sobre los cuales la función es creciente o ecreciente g 8 0. h f 7. f 8. f CAS.. 5. f sin sen, h cos, cos, 0 < < 0 < < 0 < < 6. f cos cos, 0 < < En los ejercicios 7 a, a) encontrar los puntos críticos e ƒ (si los ha), b) eterminar el (los) intervalo(s) abierto(s) sobre los cuales la función es creciente o ecreciente, c) aplicar el criterio e la primera erivaa para ientificar toos los etremos relativos ) utilizar una herramienta e graficación para confirmar los resultaos f 8. f f f f f f f 5 5 f f 9 f f,,. f, 5, 0 > 0 > En los ejercicios a 50, consierar la función sobre el intervalo (0, ). Para caa función, a) encontrar el (los) intervalo(s) abierto(s) sobre los cuales la función es creciente o ecreciente, b) aplicar el criterio e la primera erivaa para ientificar toos los etremos relativos c) utilizar una herramienta e graficación para confirmar los resultaos.. f cos. f sen cos 5 5. f sen cos 6. f sen 7. f cos 8. f sen cos 9. f sen sen 50. En los ejercicios 5 a 56, a) utilizar un sistema e álgebra por computaora para erivar la función, b) ibujar las gráficas e ƒ ƒ en el mismo conjunto e ejes e coorenaas sobre el intervalo inicao, c) encontrar los puntos críticos e ƒ en el intervalo abierto ) eterminar el (los) intervalo(s) sobre el cual ƒ es positiva el (los) intervalo(s) sobre el cual es negativa. Comparar el comportamiento e ƒ el signo e ƒ. 0.. f 6 5. f 6. f 8. f 0. f.. f f 6 0 f 8 f f f f,,. f,, f sen cos > 0 > 0

92 SECCIÓN. Funciones crecientes ecrecientes el criterio e la primera erivaa f 9,, f 05 6, 0, 5 5. ft t 0, 5. f cos sen t,, f sen 0, 6, f sen cos, 0, 0, f 6 f En los ejercicios 57 58, utilizar la simetría, los etremos los ceros para ibujar la gráfica e ƒ. En qué ifieren ƒ g? f 5, f t cos t sen t, Para pensar En los ejercicios 59 a 6, la gráfica e ƒ se muestra en la figura. Dibujar una gráfica e la erivaa e ƒ En los ejercicios 65 a 68, utilizar la gráfica e ƒ para a) ientificar el (los) intervalo(s) sobre el cual ƒ es creciente o ecreciente b) estimar los valores e para los cuales ƒ tiene un máimo o mínimo relativo f f f f g ) gt sen t f f f f En los ejercicios 69 70, utilizar la gráfica e f para a) ientificar los puntos críticos e f b) eterminar si f tiene un máimo relativo, un mínimo relativo, o ninguno e los os en caa punto crítico Desarrollo e conceptos En los ejercicios 7 a 76, suponer que ƒ es erivable para too. Los signos e ƒ son como sigue. f > 0 en, f < 0 en, 6 f > 0 en 6, Inicar la esiguala apropiaa para el valor e c inicao Función g f 5 g f g f g f f g f 0 g f Dibujar la gráfica e la función arbitraria e ƒ tal que f > 0, inefinia, < 0, Para iscusión <. > 6 6 Signo e gc g00 g50 g60 g00 g00 g Una función erivable e ƒ tiene un punto crítico en 5. Ientificar los etremos relativos e ƒ en el punto crítico si ƒ().5 ƒ(6). 6 6 f

93 88 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa Para pensar En los ejercicios 79 80, la función ƒ es erivable en el intervalo inicao. La tabla muestra el valor e ƒpara algunos valores seleccionaos e. a) Dibujar la gráfica e ƒ, b) aproimar los puntos críticos c) ientificar los etremos relativos. 79. ƒ es erivable sobre [, ] f f ƒ es erivable sobre [0, ] Roamiento e un cojinete e bola Un cojinete e bola se coloca sobre un plano inclinao empieza a roar. El ángulo e elevación el plano es. La istancia (en metros) que el cojinete e bola ruea en t segunos es s(t).9(sen )t. a) Determinar la velocia el cojinete e bola espués e t segunos. b) Completar la tabla utilizarla para eterminar el valor e que prouce la máima velocia en un instante particular. 8. Análisis numérico, gráfico analítico La concentración C e un compuesto químico en el flujo sanguíneo t horas espués e la inección en el tejio muscular es C(t) st 0 6 t 7 t, t 0. f f a) Completar la tabla utilizarla para aproimar el tiempo en el que la concentración es más grane. t Ct b) Utilizar una herramienta e graficación para representar la función e concentración emplear la gráfica para aproimar el tiempo en el que la concentración es más grane. c) Recurrir al cálculo para eterminar analíticamente el tiempo en que la concentración es más grane. 8. Análisis numérico, gráfico analítico Consierar las funciones ƒ() g() sen en el intervalo (0, ). a) Completar la tabla hacer una conjetura acerca e cuál es la función más grane en el intervalo (0, ). b) Utilizar la herramienta e graficación para representar las funciones emplear las gráficas para hacer una conjetura acerca e cuál es la función más grane en el intervalo (0, ). c) Demostrar que ƒ() g() en el intervalo (0, ). [Sugerencia: Demostrar que h() 0 one h ƒ g.] 8. Análisis numérico, gráfico analítico Consierar las funciones ƒ() g() tan en el intervalo (0, ). a) Completar la tabla realizar una conjetura acerca e cuál es la función más grane en el intervalo (0, ). b) Utilizar una herramienta e graficación para representar las funciones utilizar las gráficas para realizar una suposición acerca e cuál es la función más grane en el intervalo (0, ). c) Demostrar que ƒ() g() en el intervalo (0, ). [Sugerencia: Demostrar que h() 0, one h g f.] 85. Contracción e la tráquea La tos obliga a que la tráquea (tubo e viento) se contraiga, lo cual afecta la velocia v el aire que pasa a través e este conucto. La velocia el aire cuano se tose es v kr rr, 0 r < R one k es una constante, R es el raio normal e la tráquea r es el raio cuano se tose. Qué raio proucirá la máima velocia el aire? 86. Potencia La potencia eléctrica P en watts en un circuito e corriente irecta con os resistores R R conectaos en paralelo es P vr R R R one v es el voltaje. Si v R se mantienen constantes, qué resistencia R prouce la potencia máima? 87. Resistencia eléctrica La resistencia R e cierto tipo e resistor es CAS f g f g R 0.00T T 00 one R se mie en ohms la temperatura T se mie en graos Celsius. a) Utilizar un sistema algebraico por computaora para eterminar RT el punto crítico e la función. Determinar la resistencia mínima para este tipo e resistor. b) Utilizar una herramienta e graficación para representar la función R usar la gráfica para aproimar la resistencia mínima e este tipo e resistor.

94 SECCIÓN. Funciones crecientes ecrecientes el criterio e la primera erivaa Moelao matemático Los activos al final el año para el Meicare Hospital Insurance Trust Fun (en miles e millones e ólares) en los años 995 a 006 se muestran a continuación: 995: 0.; 996:.9; 997: 5.6; 998: 0.; 999:.; 000: 77.5; 00: 08.7; 00:.8; 00: 56.0; 00: 69.; 005: 85.8; 006: 05. (Fuente: U.S. Center for Meicare an Meicai Services) a) Utilizar las capaciaes e regresión e la herramienta e graficación para encontrar un moelo e la forma M at bt ct t e para los atos. (Dejar que t 5 represente a 995.) b) Utilizar una herramienta e graficación para ibujar los atos representar el moelo. c) Encontrar en forma analítica el mínimo el moelo comparar el resultao con los atos reales. Movimiento a lo largo e una recta En los ejercicios 89 a 9, la función s(t) escribe el movimiento e una partícula que se mueve a lo largo e una recta. Para caa función, a) encontrar la función e la velocia e la partícula en cualquier instante t 0, b) ientificar el (los) intervalo(s) e tiempo cuano la partícula se está movieno en la irección positiva, c) ientificar el (los) intervalo(s) e tiempo cuano la partícula se mueve en la irección negativa ) ientificar el instante en el que la partícula cambia su irección. 89. st 6t t st t 5t t st t 0t 8t 80 Movimiento a lo largo e una recta En los ejercicios 9 9, la gráfica muestra la posición e una partícula que se mueve a lo largo e una recta. Describir cómo cambia la posición e la partícula con respecto al tiempo. 9. s 9. st t 7t t t Creación e funciones polinomiales En los ejercicios 95 a 98, encontrar una función polinomial f a n n a n n... a a a 0 que tiene únicamente los etremos especificaos. a) Determinar el grao mínimo e la función proporcionar los criterios que se utilizaron para eterminar el grao. b) Recurrieno al hecho e que las coorenaas e los etremos son puntos solución e la función al e que las coorenaas son puntos críticos, eterminar un sistema e ecuaciones lineales cua solución prouce los coeficientes e la función requeria. c) Utilizar una herramienta e graficación para resolver el sistema e ecuaciones eterminar la función. ) Utilizar la herramienta e graficación para confirmar su resultao. 95. Mínimo relativo: (0, 0); máimo relativo: (, ) 96. Mínimo relativo: (0, 0); máimo relativo: (, 000) 97. Mínimo relativo: (0, 0), (, 0); máimo relativo: (, ) s 98. Mínimo relativo: (, ); máimo relativo: (, ), (, ) Veraero o falso? En los ejercicios 99 a 0, eterminar si el enunciao es veraero o falso. Si es falso, eplicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo emuestre. 99. La suma e os funciones crecientes es creciente. 00. El proucto e os funciones crecientes es creciente. 0. Too polinomio e grao n tiene (n ) puntos críticos. 0. Un polinomio e grao n tiene a lo más (n ) puntos críticos. 0. Eiste un máimo o mínimo relativo en caa punto crítico. 0. Demostrar el seguno caso el teorema Demostrar el seguno caso el teorema Utilizar las efiniciones e funciones crecientes ecrecientes para emostrar que ƒ() es creciente en (, ). 07. Utilizar las efiniciones e funciones creciente ecreciente para emostrar que ƒ() es ecreciente en (0, ). Preparación el eamen Putnam 08. Encontrar el mínimo valor e PROYECTO DE TRABAJO Arco iris sen cos tan cot sec csc con números reales. Estos problemas fueron preparaos por el Committee on the Putnam Prize Competition. The Mathematical Association of America. Toos los erechos reservaos. Los arco iris se forman cuano la luz incie sobre gotas e lluvia, sufrieno refleión refracción como se inica en la figura. (Esta figura presenta una sección transversal e una gota e lluvia esférica.) La le e la refracción establece que (sen )(sen ) k, one k. (para el agua). El ángulo e efleión está ao por D. a) Utilizar una herramienta e graficación para representar D sen (/ ksen ), 0 /. b) Demostrar que el ángulo mínimo e la efleión ocurre cuano cos k. Para el agua, cuál es el ángulo mínimo e efleión, D mín? (El ángulo D mín recibe el nombre e ángulo e arco iris.) Qué valor e prouce este ángulo mínimo? (Un rao e luz solar que incie sobre una gota e lluvia a este ángulo,, se conoce como un rao e arco iris.) PARA MAYOR INFORMACIÓN Para maor información acerca e las matemáticas e los arco iris, consultar el artículo Somewhere Within the Rainbow e Steven Janke en The UMAP Journal. D Agua

95 90 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa. Concavia el criterio e la seguna erivaa Determinar intervalos sobre los cuales una función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Encontrar cualesquiera puntos e infleión e la gráfica e una función. Aplicar el criterio e la seguna erivaa para eterminar etremos relativos e una función. Concavia Ya se ha visto que localizar los intervalos en los que una función ƒ es creciente o ecreciente aua a escribir su gráfica. En esta sección, se verá cómo el localizar los intervalos en los que ƒ es creciente o ecreciente puee utilizarse para eterminar óne la gráfica e ƒ se curva hacia arriba o se curva hacia abajo. DEFINICIÓN DE CONCAVIDAD Sea ƒ erivable en un intervalo abierto I. La gráfica e ƒ es cóncava hacia arriba sobre I si ƒ es creciente en el intervalo cóncava hacia abajo en I si ƒ es ecreciente en el intervalo. La siguiente interpretación gráfica e concavia es útil. (Ver el apénice A para una prueba e estos resultaos.) f() =. Sea ƒ erivable sobre un intervalo abierto I. Si la gráfica e ƒ es cóncava hacia arriba en I, entonces la gráfica e ƒ ace sobre toas sus rectas tangentes en I. (Ver la figura.a.). Sea ƒ erivable en un intervalo abierto I. Si la gráfica e ƒ es cóncava hacia abajo en I, entonces la gráfica e ƒ ace ebajo e toas sus rectas tangentes en I. (Ver la figura.b.) Cóncava hacia abajo m 0 Cóncava hacia arriba m Cóncava hacia arriba, f es creciente. m 0 Cóncava hacia abajo, f es ecreciente. (, 0) f () = f es ecreciente (, 0) (0, ) f es creciente La concavia e f se relaciona con la monotonía e la erivaa Figura.5 a) La gráfica e f se encuentra sobre sus b) La gráfica e f se encuentra ebajo e sus rectas tangentes rectas tangentes Figura. Para eterminar los intervalos abiertos sobre los cuales la gráfica e una función ƒ es cóncava hacia arriba o hacia abajo, se necesita eterminar los intervalos sobre los cuales ƒ sea creciente o ecreciente. Por ejemplo, la gráfica e ( ) es cóncava hacia abajo en el intervalo abierto (, 0) ebio a que ƒ() es ahí ecreciente. (Ver la figura.5.) De manera similar, la gráfica e ƒ es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, ) ebio a que ƒ es creciente en (0, ).

96 SECCIÓN. Concavia el criterio e la seguna erivaa 9 El siguiente teorema muestra cómo utilizar la seguna erivaa e una función ƒ para eterminar intervalos sobre los cuales la gráfica e ƒ es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Una prueba e este teorema sigue irectamente el teorema.5 e la efinición e concavia. TEOREMA.7 CRITERIO DE CONCAVIDAD Sea ƒ una función cua seguna erivaa eiste en un intervalo abierto I.. Si ƒ() 0 para too en I, entonces la gráfica e ƒ es cóncava hacia arriba en I.. Si ƒ() 0 para too en I, entonces la gráfica e ƒ es cóncava hacia abajo en I. NOTA Un tercer caso el teorema.7 poría ser que si f () 0 para too en I, entonces f es lineal. Notar, sin embargo, que la concavia no se efine para una recta. En otras palabras una recta no es ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo. Para aplicar el teorema.7, se localizan los valores e para los cuales ƒ() 0 o ƒ no eiste. Seguno, se usan los valores e para eterminar los intervalos e prueba. Por último, se prueba el signo e ƒ() en caa uno e los intervalos e prueba. EJEMPLO Determinación e la concavia Determinar los intervalos abiertos en los cuales la gráfica e 6 ( ) 6 f() es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Solución Se empieza observano que ƒ es continua en toa la recta real. A continuación, se encuentra la seguna erivaa e ƒ. f () 0 f () 0 Cóncava Cóncava hacia arriba hacia arriba f () 0 Cóncava hacia abajo f 6 f 6 f 6 Reescribir la función original. Derivar. Primera erivaa. Derivar. Seguna erivaa. A partir el signo e f se puee eterminar la concavia e la gráfica e f Figura.6 Como ƒ() 0 cuano ƒ se efine en toa la recta real, se ebe probar ƒ en los intervalos (, ), (, ) (, ). Los resultaos se muestran en la tabla en la figura.6. Intervalo Valor e prueba Signo e f () < < f > 0 < < 0 f0 < 0 < < f > 0 Conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba La función aa en el ejemplo es continua en toa la recta real. Si ha valores e en los cuales la función no es continua, ichos valores eben usarse junto con los puntos en los cuales ƒ() 0 o ƒ() no eiste para formar los intervalos e prueba.

97 9 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa EJEMPLO Determinación e la concavia Cóncava hacia arriba 6 6 Figura Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba f() = Determinar los intervalos abiertos sobre los cuales la gráfica e f( ) es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Solución Al erivar os veces se obtiene lo siguiente f f 0 f Escribir la función original. Derivar. Primera erivaa. Derivar. Seguna erivaa. No ha puntos en los cuales ƒ() 0, pero en la función ƒ no es continua, por lo que se prueba la concavia en los intervalos (, ), (, ) (, ), como se ilustra en la tabla. La gráfica e ƒ se muestra en la figura.7. Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Intervalo < < < < < < Valor e prueba 0 Signo e f () f > 0 f0 < 0 f > 0 Conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba Puntos e infleión La gráfica en la figura.6 tiene os puntos en los cuales cambia la concavia. Si la recta tangente a la gráfica eiste en un punto e este tipo, ese punto es un punto e infleión. Se muestran tres tipos e puntos e infleión en la figura.8. Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo DEFINICIÓN DE PUNTO DE INFLEXIÓN Sea ƒ una función que es continua en un intervalo abierto sea c un punto en ese intervalo. Si la gráfica e ƒ tiene una recta tangente en este punto (c, ƒ(c)), entonces este punto es un punto e infleión e la gráfica e ƒ si la concavia e ƒ cambia e cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o e cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba) en ese punto. Cóncava hacia arriba La concavia e f cambia en un punto e infleión. Notar que la gráfica cruza su recta tangente en un punto e infleión Figura.8 NOTA La efinición e punto e infleión aa en este libro requiere que la recta tangente eista en el punto e infleión. Algunos libros no requieren esto. Por ejemplo, en este libro no se consiera que la función f,, < 0 0 tenga un punto e infleión en el origen, aun cuano la concavia e la gráfica cambia e cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

98 SECCIÓN. Concavia el criterio e la seguna erivaa 9 Para localizar los posibles puntos e infleión, se pueen eterminar los valores e para los cuales ƒ() 0 o ƒ() no eiste. Esto es similar al proceimiento para localizar los etremos relativos e ƒ. TEOREMA.8 PUNTO DE INFLEXIÓN 8 f() Si (c, ƒ(c)) es un punto e infleión e la gráfica e ƒ, entonces ƒ(c) 0 o ƒ no eiste en c. 9 9 Puntos e infleión EJEMPLO Determinación e los puntos e infleión Determinar los puntos e infleión analizar la concavia e la gráfica e ƒ(). 8 Solución La erivación oble prouce lo siguiente. 7 Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba Pueen ocurrir puntos e infleión one f () 0 o f no eiste Figura.9 f f f Escribir la función original. Encontrar la primera erivaa. Encontrar la seguna erivaa. Hacieno ƒ() 0 es posible eterminar que los puntos e infleión posibles ocurren en 0. Al probar los intervalos eterminaos por estos valores e, se puee concluir que ambos proucen puntos e infleión. Un resumen e esta prueba se presenta en la tabla, la gráfica e ƒ se ilustra en la figura.9. f() = Intervalo < < 0 0 < < < < Valor e prueba Signo e f () f > 0 f < 0 f > 0 Conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba f () 0, pero (0, 0) no es un punto e infleión Figura.0 El recíproco el teorema.8 por lo general no es cierto. Esto es, es posible que la seguna erivaa sea 0 en un punto que no es un punto e infleión. Por ejemplo, la gráfica e ƒ() se muestra en la figura.0. La seguna erivaa es 0 cuano 0, pero el punto (0, 0) no es un punto e infleión porque la gráfica e ƒ es cóncava hacia arriba en ambos intervalos < 0 0. EXPLORACIÓN Consierar una función cúbica general e la forma ( ) a b c. Se sabe que el valor e tiene relación con la localización e la gráfica, pero no con el valor e la primera erivaa en los valores aos e. Gráficamente, esto es cierto ebio a que los cambios en el valor e esplazan a la gráfica hacia arriba o hacia abajo, pero no cambian su forma básica. Utilizar una herramienta e graficación para representar varias funciones cúbicas con iferentes valores e c. Después proporcionar una eplicación gráfica e por qué los cambios en c no afectan los valores e la seguna erivaa.

99 9 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa f (c) 0 Cóncava hacia arriba f Criterio e la seguna erivaa Aemás e un métoo para analizar la concavia, es posible utilizar la seguna erivaa para efectuar una prueba simple corresponiente a los máimos mínimos relativos. Se basa en el hecho e que si la gráfica e una función ƒ es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c ƒ(c) 0, ƒ(c) ebe ser un mínimo relativo e ƒ. De manera similar, si la gráfica e una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c ƒ(c) 0, ƒ(c) ebe ser un máimo relativo e ƒ (ver la figura.). c TEOREMA.9 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Si f (c) 0 ƒ(c) 0, f (c) es un mínimo relativo f (c) 0 Cóncava hacia abajo c Si f (c) 0 ƒ(c) 0, f (c) es un máimo relativo Figura. f Sea ƒ una función tal que ƒ(c) 0 la seguna erivaa e ƒ eiste en un intervalo abierto que contiene a c.. Si ƒ(c) 0, entonces ƒ tiene un mínimo relativo en (c, ƒ(c)).. Si ƒ(c) 0, entonces ƒ tiene un máimo relativo en (c, ƒ(c)). Si ƒ(c) 0, entonces el criterio falla. Esto es, ƒ quizá tenga un máimo relativo, un mínimo relativo o ninguno e los os. En tales casos, se puee utilizar el criterio e la primera erivaa. DEMOSTRACIÓN Si ƒ(c) 0 ƒ(c) 0, eiste un intervalo abierto I que contiene a c para el cual ( ) ( c) ( ) c c 0 para too c en I. Si c, entonces c 0 ƒ() < 0. Aemás, si > c, entonces c 0 ƒ() 0. De tal moo, ƒ() cambia e negativa a positiva en c, el criterio e la primera erivaa implica que ƒ(c) es un mínimo relativo. Una emostración el seguno caso se eja al lector. f() 5 5 Máimo relativo (, ) EJEMPLO Empleo el critero e la seguna erivaa Encontrar los etremos relativos corresponientes a ƒ() 5 5. Solución Empezano con la eterminación e los puntos críticos e ƒ. f , 0, Igualar f() a cero. Puntos críticos. Empleano f se puee aplicar el criterio e la seguna erivaa como se inica a continuación. (0, 0), Mínimo relativo (0, 0) no es ni un mínimo relativo ni un máimo relativo Figura. Punto Signo e f (), f > 0, f < 0 0, 0 f0 0 Conclusión Mínimo relativo Máimo relativo Falla e la prueba Como el criterio e la seguna erivaa no ecie en (0, 0), es posible utilizar el criterio e la primera erivaa observar que ƒ aumenta hacia la izquiera hacia la erecha e 0. De tal moo, (0, 0) no es ni un mínimo relativo ni un máimo relativo (aun cuano la gráfica tiene una recta tangente horizontal en este punto). La gráfica e ƒ se muestra en la figura..

100 SECCIÓN. Concavia el criterio e la seguna erivaa 95 En los ejercicios a se muestra la gráfica e f. Establecer los signos e f f sobre el intervalo (0, )... Ejercicios.. f sec,. f sen cos, 5. f sen sen, 0, 0, 6. f cos, 0, 0,. f f. f f En los ejercicios 7 a 5, encontrar toos los etremos relativos. Utilizar el criterio e la seguna erivaa one sea conveniente. 7. f 5 8. f 5 9. f 6 0. f 8. f. f 5 7. f. f 8 5. g 6 6. g 8 7. f 8. f 9. f 50. f 5. f cos, 0, 5. f sen cos, 0, En los ejercicios 5 a 8, eterminar los intervalos abiertos en los cuales la gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo g 8. h f f h g 7. tan, 8.,, sen sin, En los ejercicios 9 a 6, encontrar los puntos e infleión analizar la concavia e la gráfica e la función f 6. f f. f f f f 5. f. f 8 5. f 6. f 7. f 8. f 9 9. f 0.. f sen, 0, f. f csc 0,, CAS En los ejercicios 5 a 56, recurrir a un sistema algebraico por computaora para analizar la función sobre el intervalo que se inica. a) Encontrar la primera la seguna erivaas e la función. b) Determinar cualesquiera etremos relativos puntos e infleión. c) Representar gráficamente ƒ, ƒ ƒ en el mismo conjunto e ejes e coorenaas establecer la relación entre el comportamiento e ƒ los signos e ƒ ƒ f 0.,, f 6, 6, 6 f sen sen 5 sen 5, 0, f sen, 0, Desarrollo e conceptos 57. Consierar a una función ƒ tal que ƒ es creciente. Dibujar gráficas e ƒ para a) ƒ 0 b) ƒ > Consierar a una función ƒ tal que ƒ es ecreciente. Dibujar gráficas e ƒ para a) ƒ 0 b) ƒ Dibujar la gráfica e una función ƒ tal que no tenga un punto e infleión en (c, ƒ(c)) aun cuano ƒ(c) S representa las ventas semanales e un proucto. Qué puee ecirse e S S en relación con caa uno e los siguientes enunciaos? a) El ritmo e cambio e las ventas está crecieno. b) Las ventas están crecieno a un ritmo más lento. c) El ritmo e cambio e las ventas es constante. ) Las ventas están estables. e) Las ventas están eclinano, pero a una velocia menor. ƒ) Las ventas se han esplomao han empezao a crecer.

101 96 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa En los ejercicios 6 a 6, se muestra la gráfica e ƒ. Representar gráficamente ƒ, ƒ ƒ en el mismo conjunto e ejes e coorenaas Para pensar En los ejercicios 65 a 68, ibujar la gráfica e una función ƒ que tenga las características inicaas. 65. f f f 67. f f f f 69. Para pensar La figura muestra la gráfica e ƒ. Dibujar una gráfica e ƒ. (La respuesta no es única.) 6 5 f 5 Figura para 69 Figura para 70 < 0 si < > 0 si < ff no eiste. 0 f > 0 si > f < 0 si > f < 0,f < 0 f > 0 si < f no eiste. f < 0 si > f > 0, Para iscusión f 0 f Para pensar Se vierte agua en el florero que se muestra en la figura a una velocia constante. a) Representar gráficamente la profunia el agua en el florero como una función el tiempo. b) La función tiene algún etremo? Eplicar. c) Interpretar los puntos e infleión e la gráfica e. f f0 f 0 f < 0 si < f 0 f > 0 si > f > 0 f f 7. Conjetura Consierar la función ƒ() ( ) n. a) Emplear una herramienta e graficación para representar ƒ con respecto a n,,. Utilizar las gráficas para realizar una conjetura acerca e la relación entre n cualesquiera e los puntos e infleión e la gráfica e ƒ. b) Verificar la conjetura el apartao a). 7. a) Representar gráficamente f e ientificar el punto e infleión. b) Eiste ƒ() en el punto e infleión? Eplicar. En los ejercicios 7 7, eterminar a, b, c tales que la función cúbica ƒ() a b c satisfaga las coniciones que se inican. 7. Máimo relativo: (, ) 7. Máimo relativo: (, ) Mínimo relativo: (5, ) Mínimo relativo: (, ) Punto e infleión: (, ) Punto e infleión: (, ) 75. Traectoria e planeo e un avión Un pequeño avión empieza su escenso ese una altura e milla, millas al oeste e la pista e aterrizaje (ver la figura). a) Encontrar la función cúbica ƒ() a b c en el intervalo [, 0] que escribe una traectoria e planeo uniforme para el aterrizaje. b) La función el apartao a) moela la traectoria e planeo el avión. Cuáno escenería el avión a la velocia más rápia? PARA MAYOR INFORMACIÓN Para maor información acerca e este tipo e moelación, ver el artículo How Not to Lan at Lake Tahoe! e Richar Barshinger en The American Mathematical Monthl. 76. Diseño e autopistas Una sección e autopista que conecta os laeras con inclinación e 6 % se va a construir entre os puntos que están separaos por una istancia horizontal e 000 pies (ver la figura). En el punto en que se juntan las os laeras, ha una iferencia e altura e 50 pies. Autopista 6% inclinación No está ibujao a escala A( 000, 60) B( 000, 90) 50 pies a) Diseñar una sección e la autopista que conecte las laeras moelaas por la función ƒ() a b c ( ). En los puntos A B, la peniente el moelo ebe igualar la inclinación e la laera. b) Utilizar una herramienta e graficación para representar el moelo. c) Emplear una herramienta e graficación para representar la erivaa el moelo. ) Determinar la parte más inclinaa e la sección e transición e la autopista. % inclinación

102 SECCIÓN. Concavia el criterio e la seguna erivaa Defleión e viga La efleión D e una viga e longitu L es D 5L L, one es la istancia a un etremo e la viga. Determinar el valor e que prouce la máima efleión. 78. Gravea específica Un moelo para el peso específico el agua S es CAS S T T T , one T es la temperatura el agua en graos Celsius. 0 < T < 5 a) Utilizar un sistema algebraico por computaora para eterminar las coorenaas el valor máimo e la función. b) Dibujar una gráfica e la función sobre el ominio especificao. (Utilizar un ajuste en el cual S.00.) c) Estimar el peso específico el agua cuano T Costo promeio Un fabricante ha eterminao que el costo total C e operación e una fábrica es C , one es el número e uniaes proucias. En qué nivel e proucción se minimizará el costo promeio por unia? (El costo promeio por unia es C.) 80. Costo e inventario El costo total C para peir almacenar uniaes es C (00 000). Qué tamaño e peio proucirá un costo mínimo? 8. Crecimiento e ventas Las ventas anuales S e un nuevo proucto están aas por S 5 000t, 0 t, one t es 8 t el tiempo en años. a) Completar la tabla. Después utilizarla para estimar cuáno las ventas anuales se incrementan a ritmo más alto. t S b) Utilizar una herramienta e graficación para representar la función S. Después emplear la gráfica para estimar cuáno las ventas anuales están crecieno más rápiamente. c) Encontrar el tiempo eacto en el que las ventas anuales crecen al ritmo más alto. 8. Moelao matemático La tabla muestra la velocia meia S (palabras por minuto) a la que teclea un estuiante e mecanografía espués e t semanas e asistir a clase. t S Un moelo para los atos es S 00t t > t, a) Utilizar una herramienta e graficación para representar los atos el moelo. b) Utilizar la seguna erivaa para eterminar la concavia e S. Comparar el resultao con la gráfica el apartao a). c) Cuál es el signo e la primera erivaa para t 0? Combinano esta información con la concavia el moelo, qué se puee inferir sobre la velocia cuano t crece? Aproimaciones lineal cuarática En los ejercicios 8 a 86, utilizar una herramienta e graficación para representar la función. Representar espués las aproimaciones lineal cuarática P f a fa a P f a fa a f a a en la misma ventana e observación. Comparar los valores e ƒ, P P sus primeras erivaas en a. Cómo cambia la aproimación cuano se aleja e a? Función f sen cos f sen cos f f 87. Utilizar una herramienta e graficación para representar sen(). Demostrar que la gráfica es cóncava hacia abajo hacia la erecha e. 88. Mostrar que el punto e infleión e ƒ() ( 6) se encuentra a meio camino entre los etremos relativos e ƒ. 89. Comprobar que toa función cúbica con tres istintos ceros reales tiene un punto e infleión cua coorenaa es el promeio e los tres ceros. 90. Mostrar que el polinomio cúbico p() a b c tiene eactamente un punto e infleión ( 0, 0 ), one 0 b a a 0 a 0 a 0 b bc. 7a a Valor e a a Utilizar esta fórmula para eterminar el punto e infleión e p(). Veraero o falso? En los ejercicios 9 a 9, eterminar si el enunciao es veraero o falso. Si es falso, eplicar la razón o proporcionar un contraejemplo. 9. La gráfica e too polinomio cúbico tiene precisamente un punto e infleión. 9. La gráfica e ƒ() es cóncava hacia abajo para 0 cóncava hacia arriba para 0, por ello tiene un punto e infleión en Si ƒ(c) 0, entonces ƒ es cóncava hacia arriba en c. 9. Si ƒ() 0, entonces la gráfica e ƒ ebe tener un punto e infleión en. En los ejercicios 95 96, consierar que ƒ g representan funciones erivables tales que ƒ 0 g Demostrar que si ƒ g son cóncavas hacia arriba en el intervalo (a, b), entonces ƒ g es también cóncava hacia arriba en (a, b). 96. Demostrar que si ƒ g son positivas, crecientes cóncavas hacia arriba en el intervalo (a, b), entonces ƒg es también cóncava hacia arriba en (a, b).

103 98 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa.5 Límites al infinito Determinar límites (finitos) al infinito. Determinar las asíntotas horizontales, si las ha, e la gráfica e una función. Determinar límites infinitos en el infinito. f() cuano f() = f() cuano Límites en el infinito Esta sección analiza el comportamiento final (o asintótico) e una función en un intervalo infinito. Consierar la gráfica e ( ) como se ilustra en la figura.. Gráficamente, puee verse que los valores e ƒ() parecen aproimarse a cuano crece o ecrece sin límite. Se puee llegar numéricamente a las mismas conclusiones, como se inica en la tabla. El límite e f () cuano tiene a o es Figura. f ecrece sin límite. crece sin límite f() se aproima a. f() se aproima a. NOTA La afirmación lím ( ) L o lím ( ) L significa que el límite eiste el límite es igual a L. La tabla sugiere que el valor e ƒ() se aproima a cuano crece sin límite ( ). De manera similar, ƒ() tiene a cuano ecrece sin límite ( ). Estos límites en el infinito se enotan meiante lím f Límite lím f. Límite en infinito negativo. en infinito positivo. Decir que un enunciao es cierto cuano crece sin límite significa que para algún número real (grane) M, el enunciao es veraero para too en el intervalo {: > M}. La siguiente efinición recurre a este concepto. L lím f() L DEFINICIÓN DE LÍMITES AL INFINITO Sea L un número real.. El enunciao lím ( ) L significa que para caa 0 eiste un M 0 tal que ƒ() L siempre que M.. El enunciao lím ( ) L significa que para caa 0 eiste un N 0 tal que ƒ() L siempre que N. M f () está entro e uniaes e L cuano Figura. La efinición e un límite al infinito se muestra en la figura.. En esta figura, se avierte que para un número positivo ao eiste un número positivo M tal que, para M, la gráfica e ƒ estará entre las rectas horizontales aas por L L.

104 SECCIÓN.5 Límites al infinito 99 EXPLORACIÓN Utilizar una herramienta e graficación para hacer la representación f ( ) 6 6. Describir toas las características importantes e la gráfica. Se puee encontrar una sola ventana e observación que muestre con claria toas esas características? Eplicar el razonamiento. Cuáles son las asíntotas horizontales e la gráfica, e manera que ésta se encuentre entro e 0.00 uniaes e su asíntota horizontal? Eplicar el razonamiento. Asíntotas horizontales En la figura., la gráfica e ƒ se aproima a la recta L cuano crece sin límite. La recta L recibe el nombre e asíntota horizontal e la gráfica e ƒ. DEFINICIÓN DE UNA ASÍNTOTA HORIZONTAL La recta L es una asíntota horizontal e la gráfica e ƒ si lím f L o lím f L. Nótese que a partir e esta efinición se conclue que la gráfica e una función e puee tener a lo mucho os asíntotas horizontales (una hacia la erecha otra hacia la izquiera). Los límites al infinito tienen muchas e las propieaes e los límites que se estuiaron en la sección.. Por ejemplo, si eisten tanto lím ( ) lím g( ), entonces lím f g lím f lím g lím f g lím f lím g. Se cumplen propieaes similares para límites en. Cuano se evalúan límites al infinito, resulta e utilia el siguiente teorema. (Una prueba e este teorema se a en el apénice A.) TEOREMA.0 LÍMITES AL INFINITO Si r es un número racional positivo c es cualquier número real, entonces lím c r 0. Aemás, si r se efine cuano < 0, entonces lím c r 0. EJEMPLO Determinación el límite al infinito Encontrar el límite: lím 5. Solución Utilizano el teorema.0, es posible escribir lím 5 lím 5 lím Propiea e límites.

105 00 CAPÍTULO Aplicaciones e la erivaa EJEMPLO Determinación e un límite al infinito Determinar el límite: lím. Solución Avertir que tanto el numeraor como el enominaor tienen a infinito cuano tiene a infinito. lím lím lím NOTA Cuano se encuentra una forma ineterminaa tal como la el ejemplo, se ebe iviir el numeraor el enominaor entre la potencia más alta e en el enominaor. 5 es una asíntota horizontal Figura f() Esto prouce una forma ineterminaa. Para resolver este problema, es posible iviir tanto el numeraor como el enominaor entre. Después e eso, el límite puee evaluarse como se muestra. lím lím lím lím lím lím lím 0 0 Diviir el numeraor el enominaor entre. Simplificar. Tomar límites el numeraor el enominaor. Aplicar el teorema.0. De tal moo, la recta es una asíntota horizontal a la erecha. Al tomar el límite cuano, puee verse que también es una asíntota horizontal hacia la izquiera. La gráfica e la función se ilustra en la figura.5. TECNOLOGÍA Se puee verificar que el límite el ejemplo es razonable evaluano ƒ() para unos pocos valores positivos granes e. Por ejemplo, f , f f Otra forma e verificar que el límite obtenio es razonable consiste en representar la gráfica con una herramienta e graficación. Por ejemplo, en la figura.6, la gráfica e f Cuano aumenta, la gráfica e f se mueve más más cerca a la recta Figura.6 se muestra con la recta horizontal. Notar que cuano crece, la gráfica e ƒ se mueve más más cerca e su asíntota horizontal.

106 SECCIÓN.5 Límites al infinito 0 EJEMPLO Una comparación e tres funciones racionales Determinar caa límite. 5 lím 5 a) lím b) c) lím 5 Solución En caa caso, el intento e evaluar el límite prouce la forma ineterminaa. The Granger Collection MARIA GAETANA AGNESI (78-799) Agnesi fue una e las pocas mujeres en recibir créito por aportaciones importantes a las matemáticas antes el siglo XX. Casi al cumplir 0 años, escribió el primer teto que incluó tanto cálculo iferencial como integral. Alreeor e los 0, fue miembro honorario e la faculta en la Universia e Boloña. Para maor información sobre las contribuciones e las mujeres a las matemáticas, ver el artículo Wh Women Succee in Mathematics e Mona Fabricant, Slvia Svitak Patricia Clark Kenschaft en Mathematics Teacher. a) Diviir tanto el numeraor como el enominaor entre. lím 5 5 lím b) Diviir tanto el numeraor como el enominaor entre. lím 5 5 lím 0 0 c) Diviir tanto el numeraor como el enominaor entre. lím 5 5 lím Es posible concluir que el límite no eiste porque el numeraor aumenta sin límite mientras el enominaor se aproima a. Estrategia para eterminar límites en e funciones racionales. Si el grao el numeraor es menor que el grao e enominaor, entonces el límite e la función racional es 0.. Si el grao el numeraor es igual al grao e enominaor, entonces el límite e la función racional es el cociente e los coeficientes ominantes.. Si el grao el numeraor es maor que el grao el enominaor, entonces el límite e la función racional no eiste. f() + Recurrir a esta estrategia para verificar los resultaos el ejemplo. Estos límites parecen razonables cuano se consiera que para granes valores e, el término e la potencia más alta e la función racional es lo que más influe en la eterminación el límite. Por ejemplo, el límite cuano tiene a infinito e la función f es 0 porque el enominaor supera al numeraor cuano aumenta o isminue sin límite, como se muestra en la figura.7. La función que se muestra en la figura.7 es un caso especial e un tipo e curva estuiao por la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi. La fórmula general e esta función es lím f() 0 lím f() 0 f tiene una asíntota horizontal en 0 Figura.7 f 8a a Bruja e Agnesi., a través e la traucción errónea e la palabra italiana vertéré, la curva ha llegao a conocerse como la bruja (o hechicera) e Agnesi. El trabajo e Agnesi con esta curva apareció por primera vez en un amplio libro e cálculo que se publicó en 78.